一个图册是一套坐标系中的，所以，tr与UV不是同一套图册，没法谈论相容性。

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一个图册是一套坐标系中的，所以，tr与UV不是同一套图册，没法谈论相容性。


2010-8-24 20:58 回复

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33楼

。。。。。。。。一套坐标系？？？。。。。。不同的开覆盖的交集对应不同的坐标，两交集之间有光滑映射不就相容吗。。。。。。

2010-8-24 21:05 回复

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34楼

问题不知是简单了还是复杂了，总觉得有问题了。。。。

2010-8-24 21:10 回复

LostAbaddon
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35楼

　　tr坐标与UV坐标是两套不同的图册。

　　所谓图册(atlas)，就是图(chart)的集合。
　　而所谓图，则是满足如下两个条件的局部坐标系(Oa,wa)，这里a是表示不同区间的指标，其中Oa是流形的一个开区间，wa坐标，也可以看作是映射到平直时空Rn的映射（坐标就是映射），而且开区间Oa构成流形M上的覆盖：
　　1，wa能见Oa映射到wa（坐标的意义）；
　　2，若Oa与Ob相交不空，则符合映射wa*wb^-1光滑（无穷光滑）。
　　第二条叫做相容性条件。
　　可见，当覆盖和图册都给定以后，一个开区间上的坐标映射只有一个，整个图册的所有这种坐标映射构成整个流形上的坐标系（当然，有些流形必须要多个坐标系）。
　　当然，这两个图册之间也可以讨论是否相容这个问题，我前面给忽略了。
　　这个时候就要求同一个开区间（或者不同覆盖的开区间之间的交区间）上的坐标（映射）也满足相容性条件。
　　这个条件中要求wa*wb^-1光滑，暗含了要求在所取开区间里两个都是一一到上的映射，而且彼此光滑。
　　显然，UV图册与rt图册在大部分区域都是如此的，但是在rt坐标系的视界面上不是，因为任意时刻视界面上的rt的点都映射到UV坐标系的同一个点，所以wa*wb^-1或者wb*wa^-1之一必然是不光滑的。
　　所以，视界面上两者不相容。


2010-8-24 21:31 回复

LostAbaddon
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36楼

　　恩，我误以为相容性条件只在一个图册中可用了，哈哈。


2010-8-24 21:31 回复

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37楼

问题就是rt坐标在世界上是退化的，r=2m这张超曲面不是坐标域啊。。就好像E3中的极坐标在r=0处退化不是坐标域一样。。。。。。

2010-8-24 21:47 回复

LostAbaddon
84位粉丝
38楼

　　作为一个流形，视界面这个位置是可以取的。只不过作为微分流形不行，会出现发散。
　　就坐标来说，视界面也是可以取的，并无不妥，但是联系两者的坐标变换在此处不光滑（这是保度过所留下的问题）。
　　因而，就坐标来说，取视界面没问题。
　　而如果说在视界面上不能取的话，那相当于在原史瓦西坐标中是一个R4时空扣掉一个球面，这在拓扑上就与UV坐标系所描述的不同了——前者是不连通的，后者是单联通的。拓扑都不同，两者自然不可能微分同胚了。


2010-8-24 21:52 回复

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39楼

。。坐标也不能代表流形吧，要是一个坐标域能覆盖整个流形了那就全成平凡流形了。坐标域都是拼起来的，单个坐标不能体现整个的拓扑性质吧，E3极坐标域就有奇点，也不能说E3不完备吧。。。。。。

2010-8-24 21:57 回复

LostAbaddon
84位粉丝
40楼

　　图册可以不是一个坐标，可以有N个坐标，只要满足相容条件。
　　不过，如果你把tr坐标系中的r=2M处扣除的话，就需要补处这个部分的合适坐标，否则图册就不能称为图册了，因为有坐标区域必须是整个流形的一个覆盖，所以r=2M这个部分必须要有坐标才行（而且还必须相容）。


2010-8-24 22:05 回复

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41楼

所以有Kruskal延拓把他堵上成为流形啊。。。。。（这不算诡辩吧....)

2010-8-24 22:09 回复

LostAbaddon
84位粉丝
42楼

　　我说的是rt这个坐标系中。
　　UV坐标系自然是没问题的，但我的问题之一就是UV坐标系与rt坐标系并不完全微分同胚。UV坐标系的部分之代表了rt坐标系的r>2M的区域，所以无法将r=2M以及r

2010-8-24 22:12 回复

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43楼

回复：42楼
坐标之间没同胚关系吧，现在不就是有个坐标域02m相容吗。。。。。。。。闵氏球坐标和直角坐标，除原点外相容，原点不是共同坐标域，和这个差不多吧。。。

2010-8-24 22:15 回复

LostAbaddon
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44楼

43楼：
　　坐标之间不用同胚，但我之前谈论的是坐标之间的相容啊，不是同胚。
　　因而，首先，一个图册一旦给出，流形的所有区域都必须能用图册中的图给出。因而，在rt坐标系（或者更应该叫rt图册）中，r=2M必须有图，也就是必须给出坐标描述。否则，rt图册描述的就是R4/(r=2m)，不是R4。
　　随后，rt图册与UV图册是否相容？至少从现在所取的坐标系来看，在r=2M处两者是不相容的，因为从rt图册到UV图册以及从UV图册到rt图册的坐标变换是不光滑的，不满足相容性条件。
　　至于微分同胚这个性质，由于图册必须涵盖整个流形，也就是说，如果你所选择的图册中没有某个区域的坐标，那么这个图册所描述的流形就不含这个区域。比如说，如果某人说r=2M这个要从史瓦西时空中挖走，那么显然就不可能与UV图册相容了，因为两个图册所描述的流形本身就不同，且不微分同胚。

2010-8-24 22:31 回复

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45楼

回复：44楼
rt本身是一个坐标，也就是一个图，满足两个条件的所有图才是图册，它本身就无法再视界上有域，于是可以借一个坐标变换完成视界上的拓延，他们组合起来的两个图就完成了一个图册，他满足1坐标域覆盖，2相容。就像E3中球坐标无法独立作为图册，与直角坐标联系起来的两个图就可以了。。。。。

2010-8-24 22:37 回复

LostAbaddon
84位粉丝
46楼

　　在流形上给出坐标系的时候，度规应该没给定吧？
　　也就是说，但从微分流形的坐标来将，并不需要考虑度规，因为此时压根就没有定义度规。
　　现有微分流形，然后才赋予度规这个结构的吧。
　　所以，rt坐标系是否可以覆盖整个流形，只需要考虑这个流形的拓扑性质和即可。至于度规如何，那是后话。
　　一个单纯的拓扑空间给出图册以后，才有的微分结构。而这个拓扑空间本身并不要求事先就具有度量结构。
　　而rt坐标系到UV坐标系的坐标变换，是保度规变换，此时才需要考虑度规的问题。


2010-8-24 22:44 回复

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47楼

回复：46楼
时空是黎曼流形。。。当然要先搞度规。退一步说，就算先不搞度规，想要让拓扑空间成流形，先要考虑坐标域的覆盖问题，不考虑度规，一个斯瓦西时空，就可以被一个坐标域覆盖，结果是平凡流形，实际上这么做就会让所有的流形都成为平凡的。我觉得既然要考虑让流形被开覆盖所覆盖，就要先确定坐标域，无论用不用到度规。

2010-8-24 22:53 回复

LostAbaddon
84位粉丝
48楼

　　考虑时空的话，必然是需要考虑度量的。
　　但是我们这里不是考虑坐标变换么？这个问题不需要考虑度量，只需要考虑微分结构以及坐标变换就可以了。因为流形上的坐标变换的本质是微分结构之间的映射，不涉及更多的内容。


2010-8-24 22:59 回复

LostAbaddon
84位粉丝
49楼

　　你看啊，现在的关键问题就是从rt坐标到UV坐标的时候，映射在r=2M的地方不光滑。
　　这个问题本身涉及到度规了吗？没有啊。
　　注意，是坐标变换在r=2M处不光滑，没说度规如何如何。你就是平直度规，取现在的坐标变换函数，也还是不光滑的。
　　所以，这个问题和度规无关。


2010-8-24 23:01 回复

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50楼

坐标域应该随坐标一定则定了吧，具体光考虑坐标本身当然与流形无关，不过既然要覆盖到流形上就一定和流形本身性质有一定关系了吧。还是那个问题斯瓦西时空，考虑坐标xyzt，他们本身取值全时空，但这样未必能覆盖全部斯瓦西，如果不考虑流形覆盖问题，难道斯瓦西也是平凡流形？？

2010-8-24 23:15 回复

LostAbaddon
84位粉丝
51楼

　　即使是考虑流形上的覆盖，也就是覆盖流形，也未必就要牵扯到流形的度量结构。
　　覆盖本身是拓扑结构，并不需要考虑流形的度量结构。所以，谈论覆盖的时候并不必须要考虑度量结构——甚至于不需要考虑微分结构。
　　在考虑图册的时候，才需要考虑微分结构，但依然不需要考虑度量结构。
　　史瓦西流形是否是平凡的？就图册来说，的确是平凡流形。但注意，这里只是说微分结构，没说别的，比如度量。平凡流形可以是非平直时空，因为前者只说到了微分结构，而度量结构以及曲率等更加复杂的结构并未谈及。所以平凡与否与平直与否没有直接联系。
　　你看，微分结构本身只涉及到拓扑结构与图册两个概念，没有度量——度量既不是拓扑的性质，也不是图册的性质。


2010-8-24 23:23 回复

LostAbaddon
84位粉丝
52楼

　　我们现在所讨论的问题基本上可以浓缩在49楼中。已经与是否是史瓦西时空无关了。
　　只有在讨论坐标奇异性与时空奇异性的时候才需要考虑具体的度量，以及具体的史瓦西时空。
　　我们现在只是在讨论rt图册与UV图册是否是同一个流形的两个相容图册罢了，只需要考虑到微分结构，不需要考虑更多。


2010-8-24 23:24 回复

一个叫兔子的猫
65位粉丝
53楼

连通流行都是齐性的，那么两点间的局部微分同胚都可拓展为流形的自微分同胚。。。。。吾对此很不理解。。。。。。。。。。

2010-8-24 23:33 回复

LostAbaddon
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54楼

53楼：
　　呃……不懂……………………

2010-8-24 23:41 回复

能量动量张量
55楼

回复：52楼
按51楼的说法会导致所有流形都平凡。。。。。我想说的只是r=2m不是坐标域，光滑与否不重要，考虑流形覆盖问题必须考虑坐标域，否则就全是平凡。。


回复：53楼
齐性流刑要求有等度规群于其上传递，两点间有微分同胚映射而且连同就必然导致有一个killing场诱导的单参微分同胚群（非完备就是局部群），此两点在他的轨道上。
明天有点事，今天无法通宵了，等云K吧，他要是不出来就把http://tieba.baidu.com/f?kz=563946246贴砖到相吧。。。下了。。。

2010-8-24 23:48 回复

一个叫兔子的猫
65位粉丝
56楼

1.映射F【F为双射】:A—>B满足F和F的逆都是连续的，则F是同胚映射

2.而F与F的逆都是光滑的

微分同胚的两点要求。。。。。。。。。。。。补充一下




2010-8-24 23:49 回复

一个叫兔子的猫
65位粉丝
57楼

回复：55楼
单参微分同胚群.................顿悟。。。。。。。。。。。
但等度规群这个概念吾书上木有。。。。。。。。。。。。。
回复：54楼
LA竟然有不懂的。。。。。。。。。。。。。。。。

2010-8-24 23:52 回复

LostAbaddon
84位粉丝
58楼

　　关于史瓦西流形是否是平凡流形，这里补充一下。
　　首先，如果史瓦西流形允许r=0处存在的话，那自然是平凡的。但，如果史瓦西流形的定义中要求r=0不能存在，那么此时的流形就不能用一个单一图来实现，从而是非平凡的。
　　可以类比二维挖掉原点的情况，此时需要两个图册，一个是上半平面加上x>0与x0与x 　　从而，二维平面挖掉原点是非平凡的微分流形——虽然是平直的。
　　附带，这个流形也不是不可延拓的，因为它是二维平面的真子集。
　　史瓦西流形（如果要扣掉原点的话）也是如此，可以用两个图覆盖。事实上，四维平直的闵氏时空如果挖掉原点，也是非平凡的，但是平直的。
　　所以，微分结构是否平凡与流形是否平直没有关系。

2010-8-24 23:54 回复

一个叫兔子的猫
65位粉丝
59楼

回复：55楼
...............................

LA啊，这类【过度】学术帖基本上木有可能有太多人讨论。。。。。。
其1是理论物理性太强，工科不深究，数学系看不懂。。。。。。。。。。。
其2是杀脑细胞。。。。。。。。。。。。。

2010-8-24 23:55 回复

LostAbaddon
84位粉丝
60楼

55楼：
　　我52楼的说法不会导致所有流形都平凡。我在58楼已经给出例子以说明了。
　　请仔细想想，我们所讨论的只是微分结构，不涉及到度量性质，所以度量发散不能作为r=2M不是坐标域的合法理由。

2010-8-24 23:57 回复

一个叫兔子的猫
65位粉丝
61楼

史瓦西流形闻所未闻啊。。。。。。。。。。。
微分几何广的我想自杀。。。。。。。。。。。。。。。。