"内积自由度",万有量子力学

万有量子力学
发表于 2007年11月15日 由 李淼
实在找不到一个好的翻译，只好将Steve Giddings的文章《Universal quantum mechanics》翻译成为万有量子力学，也许普适量子力学也行。

我本来计划在前一篇博文后面写一下我对Steve的文章和另一篇文章的印象，或评价，今天觉得如果这么做，不会有太多的人重看那篇老文章。

在没有翻看任何一本标准量子力学教科书的前提下，我们复习一下量子力学的要素。

(1) 基本自由度，也就是说，找到一组基本动力学量，这些动力学量可以用Hermitian算符表示。

(2) 既然提到算符，不得不提到这些算符作用的矢量空间，这个空间就是著名的物理Hilbert空间。一个物理态由这个空间中的一个矢量描述，例如。毫无疑问，(1)(2) 是相互依赖的。量子力学还有一个重要原理，就是线性叠加原理（注1），这个原理说，如果态和是两个物理态，那么也是一个物理态，其中a和b是两个复数。Hilbert空间可以看成由一组基矢生成，每个基矢可以是 (1) 中的某个动力学量的本征态，物理的解释是，在这个本征态中，该动力学量的测量结果是固定的。

(3) 存在一个Hamiltonian，可以用基本动力学量和他们的共轭量表达出来（注2），存在一个时间，那么 (a) 在Schrodinger表象中，物理态的演化由这个Hamiltonian决定或者 (b) 等价地，在Heisenberg表象中，动力学量的演化由这个Hamiltonian决定。

注1：经常有人误认为量子场论破坏了线性叠加原理，因为如果存在一个相互作用标量场，那么这个标量场满足的不是线性方程。这是一个误解，产生的原因是误将标量场看成物理态矢（波函数），一个标量场只是一个动力学量而已，不是波函数，所以非线性方程不是非线性Schrodinger方程，而是该动力学量满足的Heisenberg方程，真正的波函数是这个标量场的泛函。我们不要将标量场满足的方程和Schrodinger方程混淆，这是从一次量子化到二次量子化带来的误解。

注2：我们没有将每一对共轭量算入 (1) 的基本动力学量中去，例如一个单粒子系统，如果动力学量含位置算符，我们就不计入动量算符了，我们只将动量算符看成与位置算符满足Heisenberg对易关系的那个算符。动量本身和测不准原理在这里是第二位的。如果我们知道Hamiltonian，可以由Hamiltonian 推出动量的存在与否（如果Hamiltonian只是位置算符的函数，那么动量对于这个动力学系统是多余的）。

我说过，我写上面的话时没有翻书，不知道这种说法是否就是标准的量子力学，如果不是，离标准量子力学相距不会太远。

好了，我们开始谈谈量子场论。量子场论可以看成是以上量子力学的一个特例，但这个特例非常有特点，我们将这些特点列在下面。

(1) 在前面的第三点中提到的时间外，还存在空间。物理的Hilbert空间形成时空的Poincare群的一个表示。

(2) 前面第三点中提到的Hamiltonian是Poincare的生成元之一，同时还有叫做动量的生成元。理论是Poincare不变的，也就是说，两个态矢的内积在Poincare群作用下不变。

(3) 局域性。Hamiltonian可以写成空间上的积分，被积函数是Hamiltonian密度，两个空间点的Hamiltonian密度互相对易。通过Poincare不变性，可以证明，两个类空间隔的时空点上的Hamiltonian密度互相对易。

(4) 上面三点如果将Poincare不变性去掉，任何凝聚态物理系统也会满足。粒子物理除了Poincare对称性外，还要加上S矩阵的存在性，就是说，Hilbert空间存在两组基矢，一组叫入态，另一组叫出态，这两组基矢的内积叫S矩阵，该矩阵可以用Hamiltonian构造获得。

我们看到，所谓场论，就是一个特殊的量子力学系统，但这个特殊的量子力学系统有无限多个自由度，因为Hamiltonian密度需要用场来构造。并且，我们一般放弃了场的可测量性（通常得到无限大，这就是零点涨落），也放弃关联函数的可测量性，到了后来，只承认S矩阵是唯一的可观测量。

现在，我们引进引力，问题来了。首先，时空在广义相对论中是可变的，所以我们放弃Poincare对称性，特别地，我们放弃Hamiltonian。进一步，所谓局域性，没有严格的表述，所以局域性也要放弃。最后，由于存在含有大爆炸点的宇宙学，也存在含有一个正的宇宙学常数的de Sitter空间，我们也要放弃S矩阵，这样，我们放弃了量子场论的(2)-(4)三点。

弦论在很长一段时间内没有放弃第四点，也就是说，S矩阵是弦论的基本可观测量。如果宇宙学不可避免地含有大爆炸点，入态就无法定义。其实，引力的存在使得即使在平坦时空中也无法定义场论中的任意入态：如果两个粒子的的空间间隔小于它们质心能量的话（在Planck单位中），那么该系统变成了黑洞，黑洞是什么入态？我们不知道答案。

弦论的研究，特别是AdS/CFT的研究，使得我们认识到时空本身也不是基本的，所以我们也要放弃场论的第一点，这样，我们就放弃了刻画场论的所有重要特点。我们问，那么，量子力学的三点哪些必须保留？第一点，即关于基本自由度的那一条不能保留，因为我们原则上都可以没有时空了，如何构造基本自由度？自由度的时间演化等等在最一般的情况下必须放弃，同时，我们得放弃Feynman路径积分中的历史概念。量子力学的第二点只能保留一部分，放弃那个关于动力学量的部分，保留Hilbert空间和线性叠加原理部分。自然，量子力学的第三点也得放弃。

这样，我们就得到Steve Giddings的万有量子力学的“两个基本点”：

(1) 存在一个物理的Hilbert空间，线性叠加原理成立。

(2) Hilbert空间中的两个任意态矢存在内积，内积的含义是：其中一个态在另一个态中体现。也就是说，一个态看上去像另一个态的程度。

当然，Giddings还提出了第三点，我还没有看到这个第三点的必要性。


毫无疑问，凭借以上万有量子力学的两个基本点，我们无法构造出一个量子引力理论，因为我们还不知道如何得到近似时空。另外，我们虽然放弃了时空和时空上的自由度，为了得到半经典自由度，还是需要引入自由度。如何引入？我觉得这是Giddings没有回答，但别人必须回答的问题。

万有量子力学的进一步发展也许能够帮助我们回答现在的弦论肯定不能回答的问题。如，如果S矩阵不是可观测量，什么是？还是根本不存在可观测量？不同时空如不同AdS时空之间有没有动力学联系？也就是说，不同AdS上的物理态的内积是0还是不为0？什么样的半经典时空是允许的？进一步，半经典到底是什么意思？

如果Giddings开了一个有意义的头，路还很长。

明天要去郊区，如果那里可以上网，再谈谈其他文章。

也许Steve的这篇文章会同他类似的文章一起进入垃圾筒，也许不会。

我从不确定的年代那里找来弄来几个垃圾筒，真希望拥有几个这样的垃圾桶，以便将来扔垃圾文章。





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晃晃 说：
2007年11月16日0:37:41
先占个沙发！然后再仔细看，哈哈

李老师写学术贴了，看来感冒已经好乐，祝贺下

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李淼 说：
2007年11月16日0:50:49
感冒不是小好，是大好。可惜自己总觉得年纪大，时时小心。

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成王败寇 说：
2007年11月16日1:28:17
(2) Hilbert空间中的两个任意态矢存在内积，内积的含义是：其中一个态在另一个态中体现。也就是说，一个态看上去像另一个态的程度。
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这个地方容易让人不好理解。其实这里只是多种等效说法中的一种而已。例如，内积可以理解为一个态矢在另一个态矢上的投影，也可以看作是一个态向另一个态的跃迁几率幅，还可以看作：把一个态用另一个态所在的正交完备基中进行展开时，在另一个态上的权重（展开系数）。当然这其实也是投影意义上的理解。在数学上，内积还可以看作右边那个态矢的泛函。

不知李老师对James B. Hartle的理论有何看法？感觉他的理论目前还属于边缘的一家之言。

另外，我觉得“可观察量”这个词的定义，是值得严格思考的问题。量子力学中好像是把“本征值为实数”看作一个力学量（算符）是否对应可观察量的一个唯一标准（自伴算子符合这个要求，但是符合这个要求的不一定是自伴算子，因此传统量子力学的一个直接推广就是，把正交投影测量推广到能够描述开放系统的POVM）。反之，如果如果我们只是从物理学上、从人类技术的角度来定义“可观察量”，那麻烦就大了——因为我们无法判断某个力学量在今天的技术水平下不可观察，是否就意味着在将来的技术水平上也不可观察。

如果沿着那个作者的思路往下走，或许会得到这么个看似疯狂的观点：物理学在最本质的层面上，可能没有“可观察量”这个概念的容身之所——只要月亮在我们没有看到它时它依然存在。

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rrua 说：
2007年11月16日3:34:27
李老师好。我问个和您的帖子关系不大的问题。Zanelli等人这几年在做高维Chern-Simons，他们试图用纯粹的chern-simons去解释5d 黑洞以及AdS/CFT等。您对这个方向怎么看？

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J 说：
2007年11月16日10:05:31
(2) 既然提到算符，不得不提到这些算符作用的矢量空间，这个空间就是著名的物理Hilbert空间。一个物理态由这个空间中的一个矢量描述，例如。
____________________________

关于量子力学的这一点，如果是纯态的话，那么一个物理态（量子态）不单是由一个矢量描述的，应该是由Hilbert空间的一根复线（ray）来描述的；所有量子态的集合是这些复线的集合，叫做射影Hilbert空间，在有限维度是就是CP^n。这个射影Hilbert空间本身具有辛结构，同时也具有黎曼结构。量子力学的Heisenberg方程可以由射影Hilbert空间上的辛结构得到。
这方面断断续续有那么些文献（最早好象是Kibble做的），但从来都没主流过，也许里面有什么原则性问题。不知道李老师或者哪位知道。

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李淼 说：
2007年11月16日10:39:38
成王败寇：

谢谢comments.

rrua：

没有怎么看他们的文章，以后补课。

J：

谢谢comment.

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成王败寇 说：
2007年11月16日11:30:29
“关于量子力学的这一点，如果是纯态的话，那么一个物理态（量子态）不单是由一个矢量描述的，应该是由Hilbert空间的一根复线（ray）来描述的；所有量子态的集合是这些复线的集合，叫做射影Hilbert空间，在有限维度是就是CP^n。这个射影Hilbert空间本身具有辛结构，同时也具有黎曼结构。量子力学的Heisenberg方程可以由射影Hilbert空间上的辛结构得到。”
—————————————————
在我的理解中，张成一个Hilbert空间的完备基集合中的每个态矢，都是一个纯态吧。例如，假如某个Hilbert空间用某个Hamiltonian算符的所有本征态集合张成，这里的每个本征态单独就是一个纯态。

另一方面，“矢量”这个概念是针对某个变换群来定义的，如果某个Hilbert空间承载某个变换群的一个表示，则这个Hilbert空间中的任一个态矢（可以用这个Hilbert空间的基展开），就是这个群的向量。而象能量算子、动量算子，场算子这些算符，属于这个群的张量。

“这个射影Hilbert空间本身具有辛结构，同时也具有黎曼结构。”
－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－
这些知识我倒是第一次听说，长见识了。很惭愧，过去我还以为只有相空间中才有辛结构（量子力学倒是存在相空间中的表述形式）。另外在我的理解中，以时空为底空间时，切丛有辛结构。

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