公式(1.6)是向量 的新坐标 和旧坐标 之间的关系，它是坐标变换系数 的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：

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绪论

第一章 矢量与张量
§1. 矢量代数

1.1 向量的定义

1.2 Einstein约定求和

1.3 eijk与dij 之间的关系

§2. 张量代数

§3. 矢量分析

§4. 张量分析

第二章 应变分析

第三章 应力分析

第四章 本构关系

第五章 弹性力学的边值问题

第六章 Saint-venant问题

第七章 弹性力学平面问题的直角坐标解法

第八章 弹性力学平面问题的极坐标解法

第九章 弹性力学平面问题的复变函数

第十一章 弹性力学的空间问题




本章介绍向量与张量的代数运算和分析运算，作为后面章节的数学准备。





§1 向量代数

　

1.1 向量的定义



从几何观点来看，向量定义为有向线段。在三维欧氏空间 中，建立直角坐标系 ，沿坐标 方向的单位向量为 ，即其标架为 。设从坐标原点 至点 的向量为 ，它在所述坐标系中的坐标为 ，那么 可写成

　

(1.1)

　

设在 中有另一个坐标系 ，其标架为 ，它与 之间的关系为

（1.2）

由于单位向量 之间互相正交， 之间也互相正交，因此矩阵

(1.3)

　

将是正交矩阵，即有 ，其中上标 表示转置。从(1.2)可反解出

　

（1.4）

　

向量 在新坐标系 中的分解记为

　

(1.5)

将(1.4)代入(1.1),得到

　

(1.6)

　

公式(1.6)是向量 的新坐标 和旧坐标 之间的关系，它是坐标变换系数 的一次齐次式。这个式子应该是有向线段的几何客观性质（如：长度、角度）不随坐标的人为主观选取而变化的一种代数反映。可以说，公式(1.6)表示了向量在坐标变换下的不变性。

这样，我们就从向量的几何定义，得到了向量的代数定义：一个有序数组 ，如果在坐标变换下为关于变换系数 由（1.6）所示的一次齐次式，则称之为向量。