在作用量的表达式的展开形式里用到了度

《我说广义相对论4》之引力几何化：运动方程 [转]
fishwoodok
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1楼

给百度

2008-1-16 23:33 回复

fishwoodok
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2楼

质点在引力场中如何运动？这应该是广义相对论的中心问题之一。
因为引力被解释成时空弯曲，所以质点在引力作用下的运动实际上
是质点在弯曲时空里的自由运动。在广义相对论以前，自由质点是
遵循牛顿第一定律的，作匀速直线运动。但到了广义相对论中，时
空是弯曲的，没有真正的直线运动，该怎么办呢？

为了实现弯曲时空里的“直线”运动，我们必须把直线这个概念推
广。平直空间中的直线有很多性质，比如它各点处的的切向量总是
平行的、它是连接两点的线中最短的等等。

先看第一条，切矢量处处平行，显然这可以作为直线的定义，在弯
曲空间里是否能实现这种定义呢？可以。实际上，切矢量处处平行
正是测地线的局部定义。测地线是一个仿射几何的概念，不必引入
黎曼度量就可以定义测地线。不过，为了定义什么叫切矢量、什么
叫平行，就必须在仿射空间上引入一种附加的结构叫做联络，它描
述的是张量在仿射空间上平行移动时的变化规律。有了这个，才可
以对张量进行微分和比较。

不过要注意的是，联络是可以随意引入的，不同的联络得到的测地
线也不同，哪种联络是我们需要的呢？黎曼告诉我们，在黎曼几何
里可以确定唯一的无挠联络，它只跟度规张量的形式有关，这种联
络叫做黎曼联络。这样一来我们就把运动方程完全确定了。

再看第二条，两点之间的最短线，因为这里涉及了长度这种度量性
质，所以必须在黎曼几何里进行讨论了。给定两点和他们之间的一
条路经，因为ds已经由度规张量确定，所以只需积分就可以得到整
条路径的长度，之后的问题就是什么样的路径使这个长度最小了，
这只是个简单的泛函极值，用变分法很容易得到这样的路径满足的
方程。结果是令人惊讶而又合情合理的，这种路径正是黎曼联络下
的测地线。

两种方法得到一致的结果，弯曲时空里的自由质点沿测地线运动。
这里的数学原因应该是黎曼联络的存在唯一性。

2008-1-16 23:33 回复

fishwoodok
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3楼

下面来分析一下测地线两种定义的物理意义。

第一种把测地线定义为切矢量处处平行的曲线，这对运动质点来说
就是速度保持“不变”。所以这种定义实际上是牛顿第一定律的推
广。

第二种把测地线定义成一个某个泛函极值问题的驻点。把这个泛函
在平直空间的形式写出来，我们立刻会发现这正是狭义相对论的作
用量，如果再考虑它的牛顿形式，实际上就是能量。所以这种定义
是能量最低原理或者说是作用量原理的推广。

从这个角度来理解两种定义的一致性就更清楚了，实际上这种一致
性就是牛顿定律和能量最低原理的一致性。牛顿定律和作用量原理
的一致性从数学上看就是算子方程和泛函极值相对应的表现。从这
些类比中，我有一个问题，算子方程和泛函极值相对应这一事实和
黎曼联络的存在唯一性有什么数学上的关系吗？因为他们导出了一
致的物理结果，所以我怀疑这里面有什么数学原因，但我的微分几
何知识仅限于GR范围内，所以可能回答不了这个问题了，不过我想
所有的这些，都是某一数学对象的局部性质和整体性质之间的关系
，从这里入手大概可以发现点什么。

2008-1-16 23:34 回复
141.35.26.* 5楼

偶能想到的是，从作用量求极值的这个方法，用积分形式写出来，这本身就隐含
了要求时空流型是连续的这个条件，在作用量的表达式的展开形式里用到了度
规，这也是来自于时空流型存在度规这个假设，接下来在变分的过程里，对度规
求导这一步又要求时空度规是可导的。所以说从这个方法导出运动方程，是建立
在对时空流型的连续性和可导性这个基础上的。

2008-1-31 21:15 回复
图腾主义
血染图腾
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6楼

楼上注意：偏导都连续、可微、（函数）连续、偏导都存在的关系有没有弄的很清楚？否则很可能是不严密的。

2008-1-31 21:21 回复

invariant
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7楼

可导流型(differentiable manifold)+切空间有度规（或者说内积）＝黎曼流型，
楼上对这个有什么地方不理解的呢？
可导流型就意味着在局域内可以使用欧式空间下的微分积分，楼上对这个莫非有什么异议？