数学物理好图 广义相对论 如何描述引力场强度 场强类比于重力加速度

类比理解会比较容易 场强类比于重力加速度 电势类比于高度 电势能类比于重力势能

假设空间某处有一电荷+q 则它会在空间产生电场 这个电荷+q 就相当于地球 而其产生的电场 就相当于是地球产生的重力场
当有一个电子进入到此电荷的电场时，这个电子就会受到此电场的作用 表现的形式就是受到引力作用 就好比一个物体进入到地球的重力场而受到地球的吸引一样
场强：就是描述这个电场的强度 只和产生这个场强的东西有关 和别的都没关系 就像重力加速度 我们用重力加速度来描述地球对周围物体吸引能力的大小 这是地球本身的性质 在电学里 我们用场强来描述电场对进入到其内的带电体的吸引能力的大小 比如说 同样的物体 在地球收到的引力和在太阳上收到的引力不同 为什么呢 是因为两者的引力场不同 吸引周围物体的能力不同 那如何描述这种不同呢 就用重力加速度来量化这种不同 重力加速度就是单位质量的物体收到的力 而场强就是单位电荷收到的力
电势：就相当于高度 这两者都是需要规定零点的 否则就没有意义 两点的高度差越大 则物体在这两点间移动时重力做的功（重力势能）就越多 同理，两点在电场方向上的距离越大 则电荷在这两点间移动时电场做的功（电势能）就越多
电势能：类比于重力势能 （物体进入到某一场后，受到这个场的力的作用 这个力对这个物体在某段位移上做的功的多少 就叫势能） 物体受到重力的作用而发生的位移 就会有重力势能 而电荷进入电场后 会受到电场力 这个力在某个位移上做的功 就是电势能

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广 义 相 对 论第二版刘 辽 赵 峥 编著 高等教育出版社 郑 重 声 明 高等教育出版社依法对本书享有 专有 出版 权.任何 未经 许可的 复制, 售 销 行为均违反 中华人民共和国著作权 法 其 行为 人将 承担相 应的 民事责 任和 行 《 》, 政责任 , 构成犯罪的 , 将被依法追究刑 事责 任.为 了维护 市场 秩序 , 保护 读者 的 合法权益 , 避免读者误用盗版书造成不良后果 , 我社将配合行政执法部门和司法 机关对违法犯罪的单位和个人给予严厉打击.社会各界人士如发现上述侵权行 为 , 希望及时举报 , 本社将奖励举报有功人员. 反盗版举报电话 : (010 ) 58581897/ 58581896/ 58581879 传 真 : (010 ) 82086060 E - mail: dd@ hep .com .cn 通信地址 : 北京市西城区德外大街 4 号 高等教育出版社打击盗版办公室 邮 编 : 100011 购书请拨打电话 : [phone] 64054601 64054588 内容提要 本书第一版是刘辽教授根据多年来在 北京师范大学 物理系讲授 "广义相 对论"课程 的 经验 , 在《广义相对论》讲义的基础上整理,撰写而成 的 , 本 书第二 版由刘 辽教授 和赵峥 教 授修订而成 , 新版改正了原版中不少错误并增添了一些新内容. 本书是广义相对论的 入门 书 , 内容 叙述 深入 浅出 , 详 尽全 面 , 材料 的选 择比较 恰当 , 不少篇幅吸收了广义相对论一些经典著作的若干精华 , 并吸收了近年来有关领域的新成果. 内容包括 : 广义相对论的物理基础,黎曼空间的张量 运算,爱因斯 坦引力 场方程 和引力 场 的能量表述,引力辐射,K rus kal 度规,致密物质和致密星,黑洞物理,宇宙学. 本书可作为我国高等学校理工科高年级大学生,研究生的广义相对论课程的教学用书 , 也可供有关的科学研究人员,教师参考. 图书在版编目 ( CIP) 数据 广义相对论/ 刘辽 , 赵峥编著 . —2 版 . —北京 : 高等教育出版社 , 2004. 7 ISBN 7 - 04 - 014430 - 1 Ⅰ. 广 ... Ⅱ. ①刘 ... ②赵 ... Ⅲ. 广义相 对论 Ⅳ . O412. 1 中国版本图书馆 CIP 数据核字 ( 2004 ) 第 033486 号 策划编辑 陶 铮 责任编辑 王文颖 封面设计 于文燕 责任绘图 吴文信 版式设计 史新薇 责任校对 康晓燕 责任印制 出版发行 高等教育出版社 购书热线 010 - 64054588 社 址 北京市西城区德外大街 4 号 邮政编码 100011 总 机 010 - 82028899 经 销 新华书店北京发行所 印 刷 开 本 787×960 1/ 16 印 张 25. 5 字 数 470 000 版 次 1987 年 11 月第 1 版 年 月第 2 版 印 次 年 月第 次印刷 定 价 36.80 元 免费咨询 800 - 810 - 0598 网 址 h tt p : / / w ww. h ep. edu. cn h tt p : / / w ww. h ep. com. cn 本书如有缺页,倒页,脱页等质量问题 , 请到所购图书销售部门联系调换. 版权所有 侵权必 究 谨以此书献给那些 在科学高峰的攀登中 持之以恒, 畏险阻的勇士们 ! 不 序 言 狭义相对论和广义相对论分别建立于 1905 年和 1915 年前后 , 它们是许多 实验物理学家,理论物理学家,数学家和天文学家长期集体努力的产物.而在 该领域中有突出 贡 献的 集 大 成 者 则是 伟 大 的 物 理学 家 爱 因 斯 坦 ( A. Ei nstein , 1879 —1955 ) . 两个理论都是物质世界的时空理论和在时空中物质运动的普遍理论.但两 者仍有所不同 , 狭义相对论认为物质世界存在一种优越的所谓惯性系 , 从惯性 系看来 , 空间的大小和时间的快慢与物体的运动状态有关 , 但时空的几何性质 却丝毫不受运动物质的影响.例 如 , 静置 空间 各处的 标准 钟 , 一 旦调整 同步 , 就不受周围运动物质的影响 , 永远保持同步 ; 用静置空间各处的标准尺所测得 空间的几何性质也不受周围运动物质的影响 , 永远遵守欧几里得几何学. 广义相对论则不然 , 它首先认为 , 一切坐标系都是平权的 , 不仅空间的大 小和时间的快慢与物体的运动状态有关 , 而且物质世界的时空性质完全取决于 运动着的物质 , 完全取决于运动物质所产生的引力场 , 它断言 , 我们事实上并 不是生活在平直的欧几里得空间而是生活在一个弯曲的黎曼空间. 从哲学上看 , 广义相对论比狭义相对论更进一步地揭示了时间,空间与运 动着的物质之间的辩证关系 , 标志着人类对客观物质世界的时空结构认识上的 深化. 从物理学看 , 在不同领域 , 狭义相对论和广义相对论所起的作用则有所不 同.大家知道 , 在通常的宏观物理学中 , 不论广义相对论或狭义相对论都是可 以忽略不计的 , 而在微观高能物理学中 , 狭义相对论却取得了辉煌的成就 , 例 如 , 目前认为 , 任何正确的基本粒子理论都必须满足洛伦兹协变性要求 , 正是 在这一思想的指引下 , 20 世纪 30 年代狄拉克 ( P. A. M. Dirac) 把狭 义相对论 和 量子力学结合起来 , 预言了正 电 子和 其他 反粒 子的 存 在.40 年 代 以来 发展 起 来的洛伦兹协变量子场论在研究基本粒子的相互转化规律方面又取得了巨大成 就.所有这些都表明狭义相对论是我们认识微观高能物理现象所不可缺少的一 个重要基础理论.但迄今为止 , 广义相对论在当今的微观物理学中还没有得到 应用 , 其原因乃在于引 力相 互作 用 比其 他 已 知的 三 种相 互 作用 , 即 强相 互 作 用,电磁相互作用和弱相互作用分别小 103 8 倍到 102 5 倍 , 因此一些 物理学家 认 为 , 在微观领域 , 广义相对论的影响 或引 力作用 可忽 略不计. 然而 近 20 年 来 不少理论物理学家认为 , 即使在微观领域 , 当宇宙 曲率 甚大 ( 例 如接 近 Planck ·Ⅱ· 序 言 曲率 106 6 cm - 2 ) 时 , 广义相对论或引力将起着最重要的作用. 至于涉及大尺度时空范围 ( 或称宇观领域 ) 内的物质过程 , 广义相对论已日 益成为一门不可缺少的理论工具了. 1915 年爱因斯坦首次由 广义 相对 论圆 满 地说 明了 牛顿 力学 所 无法 解释 的 水星近日点的进 动 , 预 言 星光 经 过太 阳 表 面 应 有 1. 75〃 引 力 偏 转.3 年 后 , 的 A. Edding ton 实 测 证 实 了 上 述 预 言 , 1919 年 V. M. Slipher 和 1929 年 哈 勃 ( E. P. H ubb le ) 等 人 先 后 发 现 了 河 外 星 系 的 谱 线 红 移 现 象 , 1922 年 A. F riedm ann 和 1927 年 G. Lemaitr e 先后由广义 相对论 提出 膨胀 宇宙论 模型 , 企图说明这种红移本质上是一种多普勒红移.1948 年 G. Gamov 提出大爆炸 宇 宙论 ( 原始火球模型 ) 首次企图建立一种宇宙的演 化理论 , 1965 年所发现 的 3 K 微波背景辐射被认为是对原始火球模型的有力支持. 20 世纪 60 年 代所发现 的 高能天体— —类星体和脉冲星大大地刺激了人们对于黑洞的研究 , 也进一步推 — 动了天体晚期演化— —白矮星,中 子 星等 的研 究.1968 年 J. Weber 声 称接 受 — 到从银河系中心发射 来的 引力 波 , 虽 然这 一 试验 并 未取 得 以 后重 复 实验 的 支 持 , 但却推动了这方面的进一步研究.如上所述 , 广义相对论在恒星晚期演化 问题和黑洞问题 , 及宇宙演化问题上都起着十分重要的作用. " 一切产生出 来的 东西 都一 定 要死 亡" ( 歌 德《浮 士德》) . 总有 一 天" 地 球 , 一个像月亮一样的死了的冻结了的球体 , 将在深深的黑暗里沿着愈来愈狭 小的轨道绕行在同样死了的太阳周围" ( 恩格斯 《自然辩证法" 导言" 17 页 ) . 》 第 当恒星 , 星系完成它们一生的演化后结局是什么 ? 黑洞是恒星的一种最终归宿 吗 ? 宇宙是无穷尽的 , 还是有始终的 ? 我们相信广义相对论中的黑洞理论与宇 宙演化理论将会给我们以启示 ! 本书是根据作者多年来在北京师范 大学物理系的讲 稿整理而成的.按照广 义相对论的课程计划 , 广义相对论课程分成 , 两个阶段.本书就是第一阶段的 Ⅰ Ⅱ 入门 教 材.第 二 阶 段 的 教 材 , 我 们 采 用 S. W. Hawking 和 C F. R. Ellis 的 T he . Large Scale Structure o f S pace-time(1974) 和 R. Wald 的 General Relativity (1984) , 以及梁灿 彬 的《微 分 几 何 入 门 与 广 义 相 对 论 2001 ). 本 书 的 不 少 内 容 取 自 》( C M ller ( 1952 ) , L. D. Landau 和 E. M. Lifshitz ( 1975 ) , Y. B Zeldovich 和 . . I. D. Novikov ( 1971 ) , S. Weinberg ( 1972 ) 以 及 C. W. Misne r , K. S. Thorne 和 J. A. Wheeler (1973) 等人的名作 , 更多的较新内容 则直接取 自原始 论文.本 书 新版希望保持原书的特色 , 力求做到叙述比较全面 , 推演比较详尽.因此 , 本 书完全可以作为一本自学的教材. 不少同行和学生 曾对本书的原型— — 1980 年 的油印讲义 , 以及 1987 年 的 — 第一版 , 提出过许多改进意见 , 他们是肖 兴华 教授 ( 宇 宙论 ) , 李宗伟 教授 ( 致 密星 ) , 裴寿镛教授 ( 致密 星 ) , 桂 元星 教 授 ( 黑 洞物 理 ) , 王永 久 教授 ( 黑 洞 物 序 言 ·Ⅲ· 理 ) , 此外李鉴增教授 , 张力生博士 和喻乃 昌博 士曾 参加了 本书 第一版 的整 理 工作 , 段一士教授 , 黄永畅教授曾对第一版提出过不少宝贵的改进意见 , 应特 别提到黄超光教授 , 在第二版的改写中他提出了不少重要的改进意见并亲手参 与了一些章节的编写.本书新版编著者特向为本书做过贡献的同行们致以深切 的感谢. 本书新版编写过程中 , 我们参考了下述国内学术专著 , 获益匪浅 , 谨向它 们的作者致谢.他们是 : 王永久 . 广义相对论和宇宙学 . 长沙 : 湖南科技出版社 , 2000 黑洞物理学 . 长沙 : 湖南师范大学出版社 , 2000 梁灿彬 . 微分 几 何入 门 与 广 义 相 对论 ( 上 册 ) . 北 京 : 北 京 师 范 大 学 出 版 社 , 2000 微分几何 入 门 与 广 义 相 对 论 ( 下册 ) . 北 京 : 北 京 师 范 大 学 出 版 社 , 2001 俞允强 . 广义相对论引论 . 北京 : 北京大学出版社 , 1997 热大爆炸宇宙学 . 北京 : 北京大学出版社 , 2001 物理宇宙学讲义 . 北京 : 北京大学出版社 , 2002 须重明,吴 雪 君 . 广 义 相 对 论 与现 代 宇 宙 学 . 南 京 : 南 京 师 范 大 学 出 版 社 , 1999 何香涛 . 观测宇宙学 . 北京 : 科学出版社 , 2002 李宗伟 . 天体物理学 . 北京 : 高等教育出版社 , 2000 愿本书新版的出现能与其他优秀教材一起 , 给有志于学习,研究广义相对 论和相对论天体物理的读者们带来方便. 编著者 2003. 12 目 录序言 ……………………………………………………………………………… 第一章 广义相对 论的物理基 础 …………………………………………… §1. 1 牛顿引力理论的成就和困难 §1. 2 等效原理和广义相对性原理 Ⅰ 1 ……………………………… 1 ……………………………… 4 §1. 3 广义相对论的空间与时间 ………………………………… 12 §1. 4 引力场中自由粒子的运动方程 …………………………… 23 §1. 5 引力场的势 ………………………………………………… 24 §1. 6 引力场中的光速 …………………………………………… 28 §1. 7 引力场中运动标准钟的速率 ……………………………… 30 附录 A 引力常数 G 的测定 ……………………………………… 31 附录 B 转盘上的非欧几里得几何 ………………………………… 31 第二章 黎曼空间 的张量运算 …………………………………………… 36 §2. 1 度量空间的基本概念 ……………………………………… 36 §2. 2 张量代数 …………………………………………………… 42 §2. 3 联络空间 …………………………………………………… 44 §2. 4 张量分析— —协变微商 …………………………………… 51 — §2. 5 黎曼空间的积分公式 ……………………………………… 55 §2. 6 黎曼空间的曲率张量 ……………………………………… 56 §2. 7 局部惯性系与测量问题 …………………………………… 68 §2. 8 引力场的影响 ……………………………………………… 73 第三章 爱因斯坦 引力场方程 和引力场 的能量表述 ………………… 80 §3. 1 引力场方程的建立 ………………………………………… 80 §3. 2 引力场方程的几点讨论 …………………………………… 82 §3. 3 引力场方程的弱场线性近似 能量条件 ………………… 88 §3. 4 马赫原理 …………………………………………………… 93 §3. 5 广义相对论的拉格朗日表述和哈密顿表述 ……………… 96 附录 C 求 Gibbon s-H aw king 表面项 ( 边界项 ) ………………… 104 §3. 6 正交标架 …………………………………………………… 106 §3. 7 引力场的能量 ……………………………………………… 109 ·Ⅱ· 目 录 第四章 引力辐射 …………………………………………………………… 128 §4. 1 平面引力波 ………………………………………………… 128 §4. 2 引力辐射能 ………………………………………………… 133 §4. 3 引力波的探测 ……………………………………………… 140 第五章 真空球对 称引力场和 爱因斯坦 引力理论的 经典实验 验证 ………………………………………………………………… §5. 2 Sch warzschild 外部解 145 §5. 1 球对称度规 ………………………………………………… 145 …………………………………… 148 §5. 3 广义相对论的实验验证 …………………………………… 152 第六章 Kruskal 度 规 ……………………………………………………… 167 §6. 1 Lem ait re 度规 ……………………………………………… 167 §6. 2 Kru skal 度规 ……………………………………………… 171 第七章 致密物质 和致密星 ……………………………………………… 179 §7. 1 预备知识 …………………………………………………… 179 §7. 2 费米分布和玻色分布 ……………………………………… 182 §7. 3 非相对论性简并费米气体 ………………………………… 186 §7. 4 极端相对论性费米气体 …………………………………… 188 §7. 5 简并玻色气体 ……………………………………………… 190 §7. 6 完全简并理想电子气 ……………………………………… 194 §7. 7 物质的中子化 ……………………………………………… 196 §7. 8 完全简并理想中子气 ……………………………………… 198 §7. 9 完全简并非理想气体状态方程 …………………………… 201 §7. 10 理想流体的 Sch warzschild 内解和星体结构方程 ( T olman-O ppenheime r-V olkoff 方程 ) ………………… 208 §7. 11 星体的内能 ……………………………………………… 212 §7. 12 多层球 ( polyt rop ) ………………………………………… 213 §7. 13 白矮星 …………………………………………………… 217 §7. 14 中子星 …………………………………………………… 221 第八章 黑洞物理 …………………………………………………………… 231 §8. 1 静态荷电球外部解 Reis sne r-N ordstr m 度规 ………… 231 §8. 2 Kerr-Newm an 度规 ……………………………………… 233 §8. 3 静界 事件视界和能层 …………………………………… 237 §8. 4 Kerr 度规的奇异性 ……………………………………… 249 ……………… 250 §8. 5 Kerr 度规中的类时测地线和类光测地线 目 录 ·Ⅲ· §8. 6 Penrose 图和时空流形的最大解析区与最高完备性 …… 255 §8. 7 描述黑洞的参量 …………………………………………… 267 §8. 8 H aw king 面积不减定理 ………………………………… 273 §8. 9 黑洞热力学 ………………………………………………… 279 §8. 10 Starobinsky-U nruh 过程 ………………………………… 287 §8. 11 H aw king 辐射 ( 蒸发 ) …………………………………… 303 附录 D 盒子与黑洞的结合能 …………………………………… 310 第九章 宇宙论 ……………………………………………………………… 315 §9. 1 宇宙学原理和 R-W 度规 ………………………………… 318 §9. 2 运动学宇宙论 ……………………………………………… 327 §9. 3 标准模型 …………………………………………………… 337 §9. 4 射电星系计数 ……………………………………………… 355 §9. 5 微波背景辐射 ……………………………………………… 357 §9. 6 早期宇宙热历史 …………………………………………… 365 §9. 7 早期宇宙中元素的合成 …………………………………… 371 §9. 8 极早期宇宙 ………………………………………………… 377 §9. 9 其他宇宙模型 ……………………………………………… 388 牛 顿 的 侄 子 告 诉 我 , 1666 年 的 某天 , 牛顿到乡下去 , 看到苹 果的 下 落 , 这使他陷入了深思…… 伏尔泰 (1738) 第一章 广义相对论的物理基础 §1. 1 牛顿引力理论的成就和困难 对电动力学的研究产生了狭义相对论 , 而对万有引力理论的研究则产生了 广义相对论 . 1687 年 , 牛 顿 ( I. Newt on , 1642— 1727 ) 在 哥 白 尼 ( N. Copernicu s , 1473 — 1543 ) ,第谷 ( B. Tycho, 1546—1601 ) , 开 普 勒 ( J. Kepler , 1571—1630 ) 和 伽 利 略 ( G. Galilio , 1564— 1642 ) 等人研究成果 的基 础上 , 提出了 第一 个完整 的引 力 理论— —万有引力定律 . — 1. 1 1 牛顿理 论的基本 内容 . 万有引力定律的表述如下 : 任何两个物质质点之间存在一种普适的引力 , 力的方向在两个质点的联线 上 , 力的大小与两质点的质量的乘积成正比 , 而与它们距离的平方成反比 . F12 = - G m1 m2 r12 = - F21 r12 3 ( 1. 1. 1) 其中 m1 , m2 为两质点 的 质量 , r12 为两 者 距离 , G 为 引力 常 数 , G = 6. 673 × 10 - 11 m3 · kg - 1 ·s - 2 = 6. 673× 10 - 8 cm3 · g - 1 ·s - 2 . 当一个质量 为 m, 坐 标为 x 的 质 点 受 到 N 个 质 量 为 m1 , m2 , … , m N , 坐标为 x , x , … , xN 的质点的作用时 , 引力为 1 2 N F( x) = - Gm ∑ i=1 mi ( x - xi ) , | x - xi | 3 N 相应的引力势为 ( x) = - G∑ i= 1 mi . | x - xi | · 2 · 第一章 广义相对论的物理基础 同样 , 对于连续分布的物质 ( x) = - G ∫ ρx) ( ′ d3 x′ , | x- x ′| 其中 ρ x ) 为 x 处的物质密度 . 利用高斯定 理 , 不难证 明上式的 微分形 式是 泊 ( ′ ′ 松方程 Δ = 4πG , ρ Δ 为拉普拉斯算符 . 牛顿理论是第一个成功的引力理论 . 他在地面上的苹果落地和天上的星辰 运行等这样一些似乎 迥然 不 同的 现 象中 , 找 到了 一 个普 遍 的,统 一 的因 果 解 释 , 从而揭开了天体运行之谜 , 给予了哥白尼体系以严格的科学论证 . 运用万 有引力定律 , 不仅解释了潮汐现象,地球的形状,行星和卫星的运动轨道等一 系列自然现象 , 而且成功地预言了海王星的存在 , 精确地预告了彗星出现的时 间 , 从而得到了举世的公认 . 牛顿理论是相当精确的理论 , 今天人们对人造卫星和宇宙火箭运行轨道的 计算 , 仍然完全以这个理论为基础 . 1. 1 2 牛顿引 力理论的 困难 . 牛顿引力理论虽然取得了辉煌的成就 , 但从它一诞生起就遇到一些无法克 服的困难 . 首先 , 在天文观测上 , 1859 年法国 天文学 家 L everrie r 发现 水星近 日点 有 5 600〃 ( 100 年 ) 的角位移 , 在扣除总岁差和行星 摄动后 还有 42. 6〃 0. 9〃 (100 / ± / 年 ) 的进动无法用牛顿理论解释 . 其次 , 在理论上存在两个困难 . 第一个困难 是所 谓 Neum ann-Zeeliger 疑难 . 这个 疑难 是 说 , 若 承认 宇 宙 是无限的 , 并假定宇宙物质作均匀分布 , 那么 , 牛顿引力论将导致引力场中任 一点的场强为无穷大 . 下面我们就来证明这一点 . 类似静电学 , 引进引力场强度的概念 E= 由 (1. 1. 2 ) 式有 div E = - Δ = - 4πG ρ. 利用高斯定理 div EdV = V ( 1. 1. 2) . ( 1. 1. 3) ( 1. 1. 4) E· dσ, 3 (1. 1. 5 ) 假定 ρ是均匀的 , 以 ( 1. 1. 4 ) 式 代入 , 可 知 (1. 1. 5 ) 式左 边部分 ∝ρ , 而右 边 R 部分∝ E R2 , 所以我们有 E∝ρ . R ( 1. 1. 6) §1.1 牛顿引力理论的成就和困难 · 3 · 显然 , 当 R→∞时 , E→∞ . 这意味着空 间每一点 的引 力场强 都是 无穷大 , 显 然与实际不符 . 第二个困难是 , 牛顿引力理论不符合狭义相对论 . 狭义相对论要求所有物 理学规律应具有洛伦兹协变性 , 并且一切相互作用不能是超距作用 . 容易看出 (1. 1. 1 ) 或 ( 1. 1. 2) 式是非洛 伦 兹协 变的 , 引力 的作 用是 一 种超 距作 用 ( r 系 同 时距离 ) . 牛顿本人就说过 : " ……这据我看来是一种莫大的荒谬 . 我相信 , 没 有一个对哲学事物有足够的思考力的人 , 曾经这样设想过" [1 ] . 所以 , 要使引力理论避免上述困难 , 就必须对它做一番改造 . 1. 1 3 对牛顿 引力理论 的修改 . 1905 年 以 前 , 主 要 的 引 力 理 论 有 Zeeliger 引 力 论 . 为 了 克 服 Neumann- Zeelige r 疑难 , Zeeliger 将引力场方程修改为 Δ - K0 当 ρ= 常数时 , 解 ( 1. 1. 7) 式得 = - G 即 E= 4π ρ = 常数 , K02 =0 . - Gm e r m re r3 ( 1. 1. 8) 2 [2 ] = 4πG ρ. ( 1. 1. 7) 式中引进了所谓宇宙因子项 K0 2 , 其中 K0 应是一个小量 . 这就避免了上述疑难 . 当 ρ= m ( r - r0 ) , 即为点源时 , 解 ( 1. 1. 7) 式得 δ ( r) = 或 K r 0 E≈ - G K r 0 . 这种修改虽然避免了 Zeeliger 疑难 , 却将引力改为了短程力 : F= - G m1 m2 re 3 r K r 0 . ( 1. 1. 9) 而事实上 , 万有引力是一种长程力 . 如爱因斯坦指出的 , 这种修改既没有理论 根据 , 又不能 说明 水 星 近 日 点 的 进 动 问 题 . 总 之 , Zeeliger 引 力 论 是 不 成 功 的 . 1905 年以后 , 人们企图 寻求 一个 以牛 顿 引力 论为 良好 近似 的 洛伦 兹协 变 的引力理论 . 我们知道达朗贝尔算符具有洛伦兹协变性 , 因而可用来取代泊松方程 , 场 方程就可能具有下列形式 : □2 = K T～标量理论 , □2 □ 2 μ ν μ = K Tμ ～矢量理论 , = K Tμ ～对称张量理论 . ν (1. 1. 10) · 4 · 第一章 广义相对论的物理基础 N ordst r m , Be rgm an , Bir khoff 和 Moshinsky 等人曾做过许多这方面 的尝试 , 但均未成功 [3] . 1915 年 , 爱 因斯 坦从 完全 新 的观 点出 发建 立了 新 的引 力理 论 [ 4] ( 即广义相对论 ) . 这一理论无论从它与实验的一致,从逻辑上的简单和数 学 上的严谨来说 , 所有别的引力理论都无法与之匹敌 . 自从爱因斯坦引力论问世 以来 , 又有许多人提出 过 新 的理 论 , 但 到 目 前为 止 , 经 得 起 实验 和 观测 检 验 的 , 仍然只有爱因斯坦引力 理论 . T hirring , Feynman , Weinberg 和 Deser 等 曾企图修改如 (1. 1. 10) 式中的洛伦兹协变张量理论 , 虽然克服了各种困难 , 但 最后的形式仍然与爱因斯坦引力论完全等效 [5] . §1. 2 等效原理和广义相对性原理 爱因斯坦把他的引力理论建立在 等效原 理和 广义相 对性 原理 的基础 之上 , 并把这一理论看作是狭义相对论的推广 , 因而称它为广义相对论 ( 应该说 , 广义 相对论并不等价于引力理论 , 这一点下面还要谈到 ) . 我们在讨论广义相对论之前 , 先介绍一下作为它的理论基础的等效原理和 广义相对性原理 . 1. 2 1 等效原 理 . 在介绍等效原理之前 , 我们先谈谈牛顿力学和狭义相对论所无法说明的两 个问题 , 即引力质量恒等于惯性质量的问题和惯性力的本质问题 . 1. 引力质量恒等于惯性质量 一切物体都有两种最根本的力学属性 , 即惯性和引力 . 由牛顿第二定律 F = mI a 体惯性的量度 , 反映该物体对加速度的阻抗 . 同时 , 由万有引力定律 m(g1 ) m (g2 ) F= , 2 r 引力属性的量度 , 反映该物体产生与承受引力场的本领 . 显然 , 物质的这两种属性 , 从它们的物理本质来说是完全不同的 , 我们无 法预先期望它们之间存在任何联系 . 爱因斯坦曾以地球和石子之间的吸引力为 例来说明这一点 : " 地 球以 引 力 吸引 石 头而 对 其 惯 性质 量 毫 无 所 知 , 地 球 的 ( 1. 2. 2) ( 1. 2. 1) 通过对力和加速度的测量 , 可 以定 义一个 叫做 惯性质 量的 物理 量 mI , 它是 物 通过对力和距离的测量 , 可以 定义 一个叫 做引 力质量 的物 理量 mg , 它 是物 体 §1.2 等效原理和广义相对性原理 · 5 · [ '召唤' 力与引力质量有关 , 而石头所'回答' 的运动则与惯性质量有关 ."6 ] 为了把这一点说清楚 , 我们来看一下电 磁作用 . 惯性质 量为 m I 的 荷电 质 点 , 在电磁场作用下所受的力为 F = mI a= q E+ v ×B , c ( 1. 2. 3) 显然 , "召唤" 力由物体的 电荷 q 决 定 , 而所" 回答" 的运 动则 与物体 的惯 性 质量 m I 有关 , 二者毫无关系 . 人们自然会想到 , 引力质量也应与惯性质量毫无关系 . 然而 , 多次的精确 实验表明 , mg 是一个与物质特性无关的普适常数 . 也就是 说 , 对于任 何物质 , mI 它的引力质量和惯性质量总是成正比的 . 伽利略,牛顿,Bessel 等 都曾对此 问 题进行过实验研究 , 其中最 著名的 是匈 牙利物 理学 家 E tv s 的 扭摆 实验 . 下 面我们就来介绍一下这 个 实验 . 实验 装 置 见图 1 - 1 . 在 地面 P 点 放 置 扭摆 , 在扭摆两端悬挂引力质 量 相 同而 材 料不 同 的物 体 ( 图 1 - 1 ( b ) ) , 调 整悬 臂 水 平 , 并东西取向 . 这时作用在任一球上的力 F, 显然为重力 G与惯性力 I 的合力 (见图 1 - 1( a) ) , 图 1 - 1 E tv s 实验装置 F = G + I, G = mg gng , 2 I = ( m I Rω cos ) nI , ( 1. 2. 4) 式中 ng , nI 分别为沿重力 方 向和 沿惯 性离 心力 方 向的 单位 矢量 , g 是 地球 表 面的重力加速度 . G 与 I 的比值为 g G mg = 2 I m I Rω cos =α g , Rω cos 2 · 6 · 第一章 广义相对论的物理基础 式中 , 质量比 对于地面同一点处 , g Rω cos 2 α= mg . mI ( 1. 2. 5) = 常数 . 合力 F 的方向决定于质量比α . 当两 小球 离支点 O 等 距, 且臂水平 时 ( 图 1 - 2 ) , F 的垂 直分量必相等 : 1 (2 F(⊥ ) = F⊥ ) . 若 则 结合 得 α =α , F ‖F F ( 1) ⊥ ( 1) ( 1) (2 ) ( 1) (2) . , =F (2 ) ⊥ (2 ) F‖ = F‖ . 图 1 - 2 小球受力的分解 又因 为 悬 线 是 竖 直 的 , 即 没 有 受到 水 平 方 向 的 外 力 作 用 , 所 ( (2 以 F‖1 ) = F‖ ) = 0 . 可见 F( 1 ) 与 F( 2 ) 即竖直方向 . 因之 悬臂扭矩 = 0 , 悬线扭矩 = 0 . 若 则 但 所以 α ≠α , F( 1 ) ‖ F( 2 ) . F⊥ = F⊥ , (1 ( F‖ ) ≠ F‖2 ) . (1) ( 2) (1) (2 ) 将产生扭矩 ( 悬臂扭矩 ) , 在这种情况下仍然调整悬臂为东西向 , 则必定在悬线 上有反向扭矩 ( 悬 线扭 矩 ) 出 现 . 把 仪器 转 180° , 悬臂 扭 矩 反向 与 悬线 扭 矩 后 同向 , 应使悬臂有角偏转 , 可看出 扭力矩 M = l l l × F( 1 ) - × F( 2 ) = × 2 2 2 (1 ) [(G 合力 - G (2) )+(I (1 ) - I ( 2) )], F = G( 1 ) + G( 2 ) + I( 1 ) + I( 2 ) , ( 沿悬线方向 ) F , | F| + mg ) , ( 2) 使悬臂转动的力矩为 M 在平行悬线方向的分量 M ‖ , M‖ = M· 式中 而 M· F = | F| ≈ g( mg (1 ) l ×[ ( G( 1 ) - G( 2 ) ) + ( I( 1 ) - I( 2 ) ) ]· ( G( 1 ) + G( 2 ) + 2 I( 1 ) + I( 2 ) ) = ( G1 I2 - G I1 ) l· ( ng ×nI ) . 2 以 (1. 2. 4 ) 与 ( 1. 2. 5) 式代入得 §1.2 等效原理和广义相对性原理 · 7 · Rω cos m I m I (α - α ) [ l· ( ng ×nI ) ] M‖ ≈ ( ( α1 ) m(I1 ) +α2 ) m(I 2 ) M‖ = 0 . 2 (1 ) (2 ) (1 ) ( 2) ( 1. 2. 6) E tv s[ 7 ] 先后在 1890 年,1896 年,1922 年以 10 - 8 精度对不同物质证明 Sou t herm , Zee man 利 用 放 射 性 物 质 铀 , 在 1910 年 和 1917 年 重 做 了 E tv s 实验 相同 . 1961 年 R. H. Dicke 以 10 - 10 [ 8] . 由狭义相 对论 知辐 射 能具 有惯 性 质量 , 放 射性 物 质中 , 辐 射 能对总质量应有贡献 . 实验指出这部分惯性 质量也同 样地具 有引力质 量 , 且 α 的 精度 [ 9] , 1971 年 B.Б аисКИЙ 以 10 ргн - 12 的精度 [ 10 ] , 1999 年 S. Bas seler 等以 4 ×10 - 12 的精度 [ 11 ] , 都得到 M‖ = 0 . E tv s 实验证明了两个运动状态相同,材料不同的物体的 α= 常数 , 但 并 未回答同一物体处于不同运动状态时 α是否恒 定 , 若 α= α v) , 但仍与 物质 特 ( 性无关 , 由 mg 得 如果 g 与 v 无关 , mg mg g= mI 2 U = mI g, U= mg 1 -β mI0 2 U 1 - β 必为与 v 无关的量 , 令其为 mg0 , 则 mg mI = v≠ 0 mg0 mI0 v= 0 这说明只要承认 g 与 v 无关 , 在不同运动状态下 mg 也是常数 . mI . 1976 年 , Willia ms 和 Dicke 等分 析 了 6 年的 月 地测 距 数据 得 出 : 地 球 的 引力自能对地球的惯性质量与引力质量贡献相同 总之 , 目前认为 , 对一切物质而言 , 均有 α= mg = 常数 . mI [ 12 ] 令 (1. 2. 2 ) 式中比例常数为通常的 G 值 , 即取 α= 1 , 则得出 : 引力 质量恒等 于 惯性质量 . 因而 m (g1 ) m (g2 ) m (I1 ) m (I2 ) F= G =G . r2 r2 其实这一命题与伽利略早 在 1591 年 于 比萨 ( Pisa ) 斜塔 上做 的 有名 的自 由 落体实验是完全等效的 . 伽利略实验得出 : 瞬时静止地置于重力场中同一点的一切物体 , 在重力作 用下 , 具有完全相同的重力加速度 , 与其性质无关 . 这是因为 F = mg g = mI a , · 8 · 第一章 广义相对论的物理基础 即 今有 所以 而导出 mg = m I 来 . mg a = , mI g mg = mI , a= g . 亦即 a 与物体性质无关 , 均等于 g . 反过来 , 我们也可把 a = g 作为实验结果 , 引力质量恒等于惯性质量在牛顿力学与狭义相对论力学中完全是一种巧合 , 并没有重要意义 , 但爱因斯坦却从这几百年来司空见惯的事实中 , 找到了新理论 的线索 . 以下将看到这一事实乃是与惯性力的本质密切地联系在一起的 . 2. 惯性力的本质 我们首先观察一下著名的 牛顿水桶 实验 . 一个装有 水的桶 , 最初桶 和水都 静止 , 水面是平的 (图 1 - 3( a) ) . 然后让桶以角速度 ω转动 , 刚开始时 , 水未被 桶带动, 这时桶转水不转, 水面仍是平的( 图 1 - 3( b) ) . 过一段时间后, 水渐渐 被桶带动旋转 , 最 后 与 桶一 起 以 角 速 度 ω转 动 , 这 时 , 水 面 呈 凹 形 ( 图 1 - 3 ( c) ) . 然后 , 我们让桶突然静止 , 水仍以角速度 ω转动, 水面仍是凹的 ( 图 1 - 3 ( d) ) . 图 1 - 3 牛顿水桶实验 如何来解释上述现象呢 ? 显然 , 水面的形状与水和桶的相对运动无关 . 在 情况 ( a ) 和 ( c ) 中 , 水相对 于 桶 都 静 止 , 但 水 面 在 ( a ) 时是 平 的 , 在 ( c ) 时 是 凹 的 . 在情况 ( b ) 和 ( d) 中 , 水相 对于 桶 都转 动 , 但水 面 在 ( b ) 时 是平 的 , 在 ( d) 时是凹的 . 牛顿力学和狭义相对论都认为 , 水面呈凹形是由于受到惯性离心力 的结果 . 牛顿认为 , 存在不依赖于物质的绝对空间和绝对时间 , 当系统相对于 绝对静止的绝对空间作绝对加速运动时 , 就出现惯性力 . 水面呈凹形 , 正是由 于水相对于绝对空间转动而受到惯性离 心力 的结果 . 情况 ( b ) 中 , 水虽 然相 对 于桶转动 , 但相对于绝对空 间并 未转 动 , 所以 水面仍 是平 的 . 情况 ( c ) 中 , 水 虽然相对于桶静止 , 但相对于绝对空间转动 , 所以水面呈凹形 . 狭义相对论认 为不存在绝对静止的绝对空间 , 一切运动都是相对的 , 惯性力的出现只不过是 由于系统相对于惯性系作加速运动所致 . 情况 ( c ) 和 ( d ) 中 , 水面呈凹形 , 是 由 于水相对于惯性系转动的结果 . 但是 , 无论是牛顿力学还是狭义相对论 , 都没能解决惯性力的本质问题 . 爱因斯坦以一个有名的假想实验— —爱因斯坦电梯为例 , 对惯性力的本质 — §1.2 等效原理和广义相对性原理 · 9 · 提出了新解释 : 如 ( 图 1 - 4) , S 为无 引力 场的惯 性系 , 今 有一 电梯 ( 坐标系 S′ 相对 S 以匀加速 g 上升 . 在 电梯内 ) ( S′ ) 的观测者 将发现 什么 现 象呢 ? 他将 看到 空间 系 内一切物体都以加速 度自 由下 落 . 通过 实验他 将进 一步发现 : 对 所 有物 体 而 言 , 这 一 加 速 度 都 相 等 , 并等于 g . 他 如何 来解 释 这种 奇怪 的现 象呢 ? 他可 能想到力学教科书上学 到过 的惯性 力正 好具有 这种图 1 - 4 爱因斯坦电梯 性质 , 于是恍然大悟 , 断定使物体下落的原因一定是由于他所在的系统对某一 惯性系以 g 作匀加速运动 . 也就是说使物 体下落 的原因 是一 种虚 构的惯 性力 , 产生这种力的原因就是" 因为我所在的 系 统不 是惯 性系". 但 是 , 为什 么这 种 力不是物体与物体之间的一种引力呢 ? 承认空间各处存在一个引力场不是万事 大吉了吗 ? 他想不出 , 除了哲学思辨以外还有什么别的办法来辨别这两种看法 的真伪 . 他相信只有物体之间的某种相互作用才能引起力的作用 , 而这种力的 作用应该是按近作用原理传递的一种物质过程 . 而普通的力学教科书上谈到的 惯性力真是一种莫名 其妙 的 东西 , 它和 别 的 真实 的 力一 样 , 可以 拉 长一 个 弹 簧 , 使物体发生形变 , 但它却不是起源于物体之间的相互作用 , 不是按近作用 原理传递的一种物质过程 . 不从物体 之间的 相互 作用去 寻找 自然 现象的 原因 , 这就会忽略自然现象间存在着的因果联系 . 我们这位受过良好的哲学训练的观 测者 , 最后终于不得不断言他所生存的空间内存在着一个引力场 . 正是这样的考虑 , 使我们得到了广义相对论的第一个基本原理 : 等效原理 : 惯性力场与引力场的动力学效应是局部不可分辨的 . 3. 对等效原理的几点讨论 (1 ) 等效原理的适用范围 我们必须强调两点 . 第一 , 等效性仅 在局 部时 空范围 ( 即一 个时空 点的 邻 域 ) 内成立 ; 第二 , " 等效" 仅仅是指动力学效应而言 . 首先谈谈第一点 . 我们知道 , 惯性离心力是和半径 R 成正比的 , FI ∝ R , 而引力是和半径 R 的平方成反比的 , Fg ∝ R 是显然不同的 . 再如匀加速场和引力场 , 二者在局部时空范围内是等效的 . 但就大的时空 范围而言 , 匀加速场的力线是均匀 的 , 而一 切实 际存在 的引 力场 都是有 心的 , 力线都是会聚的 . 所以 , 匀加速系中的自由落体轨道是均匀的 , 而引力场中的 - 2 . 所以 , 虽然二者在无穷小的局部空间范围内是等效的 , 但在大的空间范围内则 · 10 · 第一章 广义相对论的物理基础 自由落体轨道是会聚的 , 二者是可以区分的 . 因此 , 有限大小的升降机中的观 测者 , 是可以凭借精细的动力学效应区分匀加速场和引力场的 . 只有无穷小的 升降机中的观测者 , 才不能凭借动力学效应区别这两种场 . 再谈谈第二点 . 等效原理所说惯性场和引力场不可区分 , 只是指动力学效 应 , 更确切地说 , 就是指局域的加 速效应 . 引力 与惯性 力毕 竟有 本质的 不同 , 引力场对时空要产生一种内禀效应 , 使时空弯曲 , 而惯性力场无此效应 , 因而 没有理由认为这两 种场 的 一切 物 理效 应 都 等价 . 所以 , 甚 至有 的 学者 , 例 如 Synge, 试图根本否定这一原理 [1 3] . (2 ) 永久引力场和非永久引力场 通过一个从加速系回到惯性系的坐标变换 , 可以把整个空间的惯性力场全 部消除 , 故惯性力场又叫非永久引力场 . 一般物质所产生的引力场可否通过坐标变换全部消除呢 ? 在局部范围内 , 即在引力场中某一点的邻域内 , 总可以找到一个局部惯性 系 , 消除该点邻域内的 引 力 的动 力 学作 用 . 例如 : 在地 球 表 面的 静 态引 力 场 中 , 选取一个自由下落 的 参考 系 , 大 家 知道 这 种参 考 系中 的 物 体会 出 现" 失 重" 现象 , 就是说消除了引力作用 . 但是自由下落参考系并不是一个整体惯性 系 , 而是由许许多多局部惯性系所组成 , 所以我们仍然未能找到一个惯性系以 消除非局部时空范围内的引力场 . 这种引力场叫做永久引力场 . (3 ) 等效原理的二种表述— —强形式和弱形式 — 前面说到的" 惯性力场与引力场 的动力 学效 应是局 部不 可分 辨的" 这 是 , 等效原理的弱形式 , 它是建立在 mg = mI 的实验基础上 , 强调的仅 仅是动力 学 效应 . 如果把这个概念推广 , 用" 任何物理 效应" 代 替" 动力 学效 应" 就 得 , 到等效原理的强形式 . 强形式可表述为 : 引力场中任一时空点 , 当采用局部惯性系时 , 除引力外 的一切物理学规律应是洛伦兹协变的 . 强形式是广义 相对 论的 理论 基 础 , 是 从 弱 形式 推 广而 来 的 . 从 "力 学 现 象" 推广到" 任何物理过程" 似乎是自然的 , 因为力学现象与其他现象并不能 完全隔绝 , 比如物体的质量就同时包含着电磁作用,强相互作用,弱相互作用 的贡献 . 但是这种推广还是值得商榷的 , 因为所谓在局部惯性系内一切物理规 律是洛伦兹协变的 , 已暗含了把时空当作平直时空来处理 , 而实际上引力场要 使时空弯曲 , 时空弯曲对物理规 律的影 响 , 看 来没有 理由 断然 排除 . 事 实上 , 即使在力学范围内 , 可以证明时空的弯曲要影响有自旋的粒子的运动 , 因此即 使引入局 部 惯 性 系 , 上 述 影 响 也 并 不 能 消 除 . 这 表 示 等 效 原 理 并 不 严 格 成 立 [ 14 ] . (4 ) 如果 mg/ m I = α不 是 一 个与 物 质特 性 无 关 的常 数 , 那 会有 什 么 后 果 §1 等效原理和广义相对性原理 · 11 · .2 呢 ? 等效原理保证了一切物体在引力场中有完全相同的运动方程 , 也就是说运 动轨道仅决定于时空的几何性质 , 而与物质的属性无关 , 这表明引力理论是一 种纯度规理论 . 如果 mg ≠ mI , 则以上 理论不 完全 成立 , 引 力场 不是纯 粹的 度 规场 , 不能完全几何化 . (5 ) 惯性力场的引力场源问题 . 惯性力与引力的另一显著不同点是 , 引力起源于相互作用 , 它有场源也有 反作用力 , 而惯性力不是起源于相互作用 , 没有场源也没有反作用力 . 如果我 们承认等效原理 , 自然的想法是 , 惯性力也应起源于相互作用 , 并且也应有一 个引力场源 . 广义相对论诞生之前出现的马赫原理 , 为我们提供了一个值得考 虑的假说 . 马赫原理认为 , 惯性力来自宇宙间远方星系相对于我们作加速运动 时的引力作用 . 牛顿水桶实验中水面呈凹形的情况 , 就是水相对于遥远星系转 动而引起的引力效应 . 关于马赫原理 , 我们将在第三章中介绍 . 1. 2 2 广义相 对性原理 . 狭义相对论认为一切惯性系是平权的 , 而客观的真实的物理规律应该是洛 伦兹协变的 . 但是 , 宇宙中存在严格的惯性系吗 ? 我们希望首先弄清楚什么 是惯性系 . 通常 把惯性系 定义为 : 不受外 力作用 的物体, 在其中保持静止或匀速直线运动的状态而不变的坐标系 . 但是 , 什么是 不受外力作用呢 ? 回答只能是, 当一个物体在惯性系中保持静止或匀速直线运动 的状态不变时, 它就没有受到外力作用 . 于是我们看到 , 定义"惯性系"要先定 义"不受外力" 而定义"不受外力" 又要先定义惯性系, 我们陷入了逻辑上的 , 同义反复 . 可见 , 实际上, 在狭义相对论中 , 人们无法严格定义惯性系 . 作为狭义相对论基础的惯性系竟然无法严格定义 , 不能不说是理论的一个 严重缺陷 . 这个问题和万有引力定律不具有洛伦兹协变性的问题 , 正是当年促 使爱因斯坦发展广义相对论的原因 . 事实上 , 宇宙间并不存在严格的 惯性系, 所以 我们总是不可避 免地要在非 惯性系中研究物理规律 . 所谓惯性系只不过是一种近似而已 , 例如在弱引力场作 用下 , 空间接近欧几里得空间, 可以近似地引入惯性系 , 在一般引力场中, 对处 于自由下落的参考系中的观测者而言 , 也可近似地认为它是一个局部惯性系 . 既然如此 , 我们当然希望发展一种理论 , 它能抛弃惯性系的概念 , 而使所 有参考系都能同样平权地表述物理规律 . 等效原理把非惯性系中出现的惯性力 当作引力场考虑 , 所以这种理论应考虑到引力场对物理规律的影响 . 爱因斯坦指出可以而且有必要突破惯性系的局限 , 他将狭义相对性原理加 以推广而得到广义相对论的另一条基本原理 : 广义相对性原理 : 一切参考系都是平权的 . 或换言之 , 客观的真实的物理 · 12 · 第一章 广义相对论的物理基础 规律应该在任意坐标变换下形式不变— —广义协变性 . — 由此可以看出两点 : 第一 , 等效原理与广义相对性原理取消了惯性系的优越地位 , 使一切参考 系都平权 . 第二 , 一个正确的物理规律必须考虑引力场的影响 . 所以按照本书采 用的 爱因 斯坦 学派 的 观 点 , 广 义相 对 论 并不 等 于引 力 理 论 . 顺便指出 , 以福克为代表的学派认为物理规律的广义协变 , 并不等于广义 相对性原理 . 相对性应是时空均匀的表示 , 而一般黎曼空间并不均匀 , 所以根 本不存在广义相对性原理 . 他把广义相对论归结为时间,空间,引力的理论 . 1. 2 3 两条基 本原理的 关系 . 等效原理和广义相对性原理这两条基本原理是彼此独立而又相互联系的 . 等效原理容许我们采用非惯性系描 绘物理过程 , 把永久引力场 和非永久引 力场视为同一, 它是广义相对性原理成立的先决条件 . 但等效原理并不一定导致 广义相对性原理 , 也就是说 , 并非后者的充分条件 , 所以两者又是相互独立的 . 这两条彼此独立而又相互联系的基本原理 , 共同构成了广义相对论的基础 . §1. 3 广义相对论的空间与时间 . 1. 3 1 引力场 对时空几 何的影响 当空间无引力场时 , 4 维时空是 ( 伪 ) 欧几里得的 , 它具有最大的对称性 . 即将指出 , 一旦有了引力场 , 一般说来时空对称 性将遭到 破坏 . 这 时 , 4 维 时 空不再是欧几里得的 而 是非 欧的 或黎 曼 ( B. Riem ann , 1826 —1866 ) 的 了 . 我 们 以爱因斯坦转盘为例来说明这一点 ( 图 1 - 5) . 设有两套坐 标 系 : S ( R, Θ) 为 惯 性系 , s ( r,θ 为 随 转盘 转 动 的 非 惯性 系 . ) 令两个坐标面重合 . 当 s 与 S 相对静止时 , 调整好一系列的标准钟与标准尺 , 分配到 s 与 S 各 ① 以后我们还要讲到最大对称 性的空 间 , 是指 容许 最多 参量的 运动 群 . n 维 空间 所 n( n + 1) 个参量 . 所以 4 维 空间最多容 许有 10 个参量 的运动 群 . 对 闵 2 容许的运动群最多含 可夫斯基平直时空而言 , 因为 它处 处均 匀 , 容许 4 个 参量 的平 移运动 群 ; 空 间各向 同性 , 容许 3 个参量的转动运动群 ; 惯性系平权 , 洛伦兹协 变容许 含 3 个 v 的分 量的运 动群 , 所 以共容许含 10 个参量的运动群 , 即具有最大对称性 . §1.3 广义相对论的空间与时间 · 13 · 点上 . 当 s 系匀速转动起来以后 , 在 s 面与 S 面上划 两个完全重合的圆周 . 现在 , 我们来看看 s 系的时空 几何 . 先考虑空间 . S 系中观测者用标准尺测 量半径和 圆周得 圆周 = 2π, 半径 即欧几里得几何成立 . s 系中观 测者测量 的结 果无法 事先知道 , 但可以从 S 系来观 测 s 系中 的测 量过 程 . 无洛伦兹收缩 , 故测量结果与 S 系中完全相同 , 即 r= R . 测圆周时 , 设测量次数为 n( 这是绝对的 ) , 但从 S 系看来 , 是以 在 S 中缩短 了 的标准尺 1· 2 1 - β β= 图 1 - 5 爱因斯坦转盘 测半径时 , 由于任一瞬间 , 半径和标准尺均与运动方向垂直 , 半径和标准尺均 rω 进行的 , 其圆周为 c ∮ dl = 2 1· 1 - β ∫ 0 2π Rdθ = 2 1 -β 2πR = n . 2 1 -β 假设加速度对标准尺无影响 , 那么 s 系中测量的结果为 圆周 n 2πR = = = 2 半径 r R 1 -β 2π > 2π . 2 1 -β 这说明欧几里得几何不成立 , 而应该是罗巴切夫斯基几何成立 . s 系的观测者如何来解释这种测量结 果呢 ? 按等 效原 理 s 系 中出现 了引 力 场 . 因此他只能得出结 论 : 几 何学 对 欧几 里 得几 何 的偏 离 是 引力 场 影响 的 结 果 . 现在来考虑时间 . 狭义相对论认为 , 在惯性系中 , 一旦把静置各处的标准 钟调整同步 , 那么它们将永远保持同步而不受周围物质的存在和运动的影响 . 广义相对论则认为 , 即使设法把某一参考系中的标准钟在某一瞬间调整同 步 , 但由于引力场的出现 , 将使它们不可能永远保持同步 , 这说明周围物质的 存在与运动要影响它们的快慢 . 设转盘转动前 t = T = 0 , 转动后 , 从 S 系 看转 盘 ( r,θ 处标 准 钟有 爱因 斯 ) 坦延缓 : t= T 2 1 r2 ω 1- rωc≈T 1 / , 2 c2 2 2 只有盘心处才有 t = T . 从 s 系的 盘心 看 , 观测 结 果与 S 系 中观 测 结果 完全 相 同 , 也就是说 , 静置转盘各处的标准钟不可能保持同步 . 同样 , 这里的讨论也应假设加速度对标准钟无影响 . 这已为高能基本粒子 · 14 · 第一章 广义相对论的物理基础 实验直接证实 . 在高能加 速 器中 , 当 μ 子以 同 一速 率分 别 沿 直线 和 圆周 飞 行 时 , 比较 它 们 的 寿 命 ( 或 衰 变 率 ) , 从 而 可 以 对 此 假 设 做 出 判 断 . 1966 年 , Fa rley 等人以 2 % 的精度证实μ 子的衰变率与加速度无关[ 15 ] . 为什么会有这种延缓效应呢 ? 从 s 系的观测者看来 , 按等效原理应归因 于 s 系中出现了引力场 , 标准钟的快慢变化 , 是由于引力场影响所致 . 总之 , 由等效原理可知 , 引力 场要影 响时 空属性 . 而由 广义 相对性 原理 , S 系与 s 系是平权的 , 所以非欧几里得几何 ( 非欧 几里得 空间 ) 与欧 几里得几 何 ( 欧几里得空间 ) 是同等真实的 . 1. 3 2 非欧几 里得几何 . 几何 ( Geom etry) 一 词 , 原 意为 测地 术 , 两 千多 年前 , 埃 及亚 历 山大 利 亚 城的欧几里得的 几何学原本 《 》一书 , 总结了古希腊时代人们通过生产劳动和科 学研究所发现的全部几何学规律 . 直 到 19 世 纪初 期 . 它还 是人 们所知 道的 唯 一合理和唯一真实的几何学 . 但从 19 世纪初开始 , 人们开 始认识 到 , 非 欧几 何学与 欧几 里得几 何学 是 同样合理的 . 人们自然要问 : 真实的三维物理 空间究 竟遵从哪 种几何 ? 究 竟 ① 欧几里得几何认为三维空间是平直的 , 非欧几里得几何则认为三维空 间是弯曲的 , 而按曲率的大于,等于或 小于 0 , 分别为 黎曼 几 何,欧几 里 得几 何 与罗 巴切 夫 斯基 几何 . 1854 年 , 黎曼从更高的观点把欧几里得几何与非欧几里得几何统一为 黎曼几何 . 它们 的主 要特点见下表 : 欧几里得几何 曲率 K 圆周率 三角形三 内角之和 平行公理 二维曲面 = 0 无限的 开放空间 =π =π 过直线外一点仅 有一根平行线 平面 黎曼几何 > 0 有限的 闭合空间 π 任二直线恒相交 球面 K = 1 r2 罗巴切夫斯基几何 π 0 , g0 0 g1 0 g0 1 g1 1 g00 0, g00 g10 g20 g30 g01 g11 g21 g31 g02 g12 g22 g32 g03 g13 g23 g33 ( 1. 3. 8) 0 . 要证明另外三个不等式 , 我们先要讨论空间二邻点的纯空间距离问题 . 为 此 , 先谈谈坐标钟与标准钟的概念 . 在任意坐标系 x 内 , 我们 制造 一种 机 构 , 按 t = 标钟 . 在狭义相对论中 , 我们曾引入标准钟的概念 , 任何一个真实物体的运动或 变化 , 都可以用来作标准钟 , 静置各处的标准钟 , 一旦把它们调整同步 , 它们 将永远保持同步 . 现在 , 在引力场中任一点 , 引入局部惯性系后同样可引入标 准钟 , 而静止粒子的世界线长度 , 即与标准钟的时间成正比 : 2 2 d s2 = G ν d Xμ d Xν = c dτ , μ μ i i 0 0 x0 的 速 率运 行 , 就 叫 坐 c dτ= ds . c 0 2 由线元 d s 是不变量即可建立静止坐标钟与静止标 准钟的 关系 g 00 ( d x ) = c g0 0 ( d t) = G00 ( d X ) = c dτ , 或 dτ= g00 d t = 1 c g00 d x . 0 2 2 0 2 2 2 ( 1. 3. 9) 假定 A , B 为空 间两 邻 点 ( 图 1 - 7 ) , 光 信 号 从 B 射 向 A , 再反射回到 B, 所需要的坐标时间为 ( ( Δx0 = d x0 1 ) + d x0 2 ) , ( 没有理由认为光速 一定是 各向 同性 的 , 故 d x0 于 d x0 ) , 换成标准时间为 Δ τ= 1 c g0 0 Δx0 . (2 ) (1 ) 不 一定 等 引入 B 处的 局部 惯 性 系 . 在 局 部惯 性 系 中 , 光速 各 向 同 图 1 - 7 · 20 · 第一章 广义相对论的物理基础 性并恒为 c, 故两邻点间的纯空间距离 dl = c τ 1 Δ = 2 2 g00 Δx0 , 这就是用标准尺测得的纯空间距离 . 由 d s2 = 0 = g00 ( d x0 ) 2 + 2 g0 i d x0 d xi + g ik d x i d xk , 可解得 故 所以 得 式中 或记为 dx = 0 - g0 i d x i ± 2 ( g0 i g0 k - g0 0 g ik ) d xi d xk . g00 i k Δx = 0 ( g0 i g0 k - g00 gik ) d x d x . g00 g0 i g0 k i k - g ik d x d x . g00 dl =γ d x d x , ik γ≡ ik g0 i g0 k - gik , g0 0 - g0 i , g0 0 2 i k dl= (1. 3. 10) (1. 3. 11) γ ≡γ k - gik , ik iγ γ≡ i (1. 3. 12) γ 的物理意义见§ 1. 5 . γ 是纯空间度规 , 注 意 , 它 与四维 时空 度规的 空间 分 i ik 量 gik 不同 ! 而 d l2 ≥0 是正定的 . 根据二次型正定的充要条件— —雅可比公式 [ 16 ] , 有 — 11 γ >0, γ 11 γ 21 γ 12 γ 22 γ 11 21 >0, γ γ 12 γ 22 γ 32 γ 13 γ 23 γ 33 > 0, γ 31 以 (1. 3. 11) 式代入 , 即得 g00 g10 g01 g11 g0 0 0, g0 0 g1 0 g2 0 g3 0 g0 1 g1 1 g2 1 g3 1 g02 g12 g22 g32 g03 g13 g23 g33 0, g2 1 g3 1 g12 g22 g32 g13 g23 g33 0 叫做类时间隔 ; 对于光子而言 ds = 0 2 叫做类光间隔 . 由此可见 , 从广义 相 对 论看 来 , 引 力 场 化为 了 度规 场 , 或者 说 引力 消 失 了 , 在引力场中粒子的自由运动应该看作是一种沿测地线 (1. 4. 3 ) , ( 1. 4. 4) 式 所作的" 惯性运动" 而后者由四维时空的黎曼性决定 . , §1. 5 引力场的势 1. 5 1 标势和 矢势 . 可以仿照静电场场强的定义来定义引力场中一点的场强 g . 把质量 为 Δmg 的质点静置场中某一点 , 则 g≡Δ lim0 m → g ΔF . Δmg 而 按等效原理 所以 ΔF = a I Δm Δmg = ΔmI , g= a . 即引力场中任一点处的场强恒等于该点的引力加速度而与试验质点无关 . 我们知道电场强度可以表为标势的梯度与矢势的时间变化率之和 , 为 E= 1 c A . t 同样 , 引力场的场强也可以表示为标量引力势的梯度与矢量引力势的时间变化 率之和 , 也即引力场的势可以分为标势与矢势两部分 . d x 现在我们来求 a, a = 2 , dt i 2 i 定义 式中 d2 xk ai ≡γ ik = γ a k ( i, k = 1 , 2 , 3) , ik 2 dt γ = - gik + ik g0 i g0 k . g00 ( 1. 5. 1) g 的大小由静止引力荷 m g 所受力决定 . 由 ( 1. 4. 4) 式 , 自由质点在引力 场 中运动方程的三维分量是 d dx 1 giν = dτ dτ 2 或写为 ν gν d xν d xλ λ i x dτ dτ §1.5 引力场的势 · 25 · d dx d dx 1 gi0 + gik = dτ dτ dτ dτ 2 d xi 因为瞬时静止 , = 0, 得 dτ d x 1 gik 2 = 2 dτ 另一方面 2 k 0 k gν d xν d xλ λ . x i dτ dτ g0 0 d x0 i dτ x 2 d x0 d gi0 . dτ dτ ( 1. 5. 2) 2 2 d s2 = c dτ = g0 0 ( d x0 ) 2 + 2 g0 i d x0 d xi + gik d xi d xk , 引入 γ , 可写为 ik ( g0 i d x + g00 d x ) c dτ = - γ d x d x + ik , g0 0 2 2 i k 2 式中 γ d xi d xk 即为纯空间距离 dσ , 见 (1. 3. 10) 式 . ik i 0 2 所以 式中 - c dτ = dσ - g0 0 ( d x ) i 2 2 2 0 2 1- γ ui i g00 c 2 , ( 1. 5. 3) d xi d xi - g0 i u≡ = c 0 γ≡ i . dt dx g 00 d x0 ,得 dτ γu i 1 c g 00 u= dx gi0 = - c i γ dτ 2 0 i 2 (1. 5. 3 ) 式两边除以 ( d x0 ) 2 , 解出 0 d x = c g00 dτ 式中 故 - u 2 c 2 - 1 2 , (1. 5. 4 ) dσ . dt 2 γ uk k 1c g00 0 2 2 u - 2 c g00 2 2 - 1 2 . 对瞬时静止质点而言 , 上式两边对 τ微分 , 考虑到 ds = g00 ( d x ) = c dτ , 即 且 即得 再由于 故 d x0 d gi0 = dτ dτ d x0 = dτ c , g00 γ γ k d2 xk i iγ 0 + 2 x g00 d t ui = 0 , -1 g00 dτ= c 2 . ( 1. 5. 5) g00 d t, ( 1. 5. 6) d2 xk 1 d2 xk = . 2 dτ g00 d t2 d2 xk γ ik = 2 dt c g00 2 2 将 (1. 5. 4 ) 至 ( 1. 5. 6) 式代入 (1. 5. 2 ) 式得 x i - c g0 0 γ i t ( 1. 5. 7) · 26 · 第一章 广义相对论的物理基础 2 χ χ - c (1 - g00 ) , g00 = 1 + 22 . ≡ 2 c 令 γ≡ i - gi0 . g0 0 i 2χ γ . 2 c t ( 1. 5. 8) 由 (1. 5. 7 ) 与 ( 1. 5. 8) 式 , (1. 5. 1 ) 式可化为 ai = χ - c xi 1 + (1. 5. 9 ) (1. 5. 9 ) 式便是我们要得到 的引力 场场 强的 表 达式 , 它包 含两 部分 . χ叫 标 量 引力势 , γ 叫矢量引 力势 . 由§1. 3. 3 知 , 当采 用时 轴正 交系 时 , g0 i = 0 , 不 i 存在矢量引力势 . 例 1 爱因斯坦转盘上的引力势 由附录 A2 的计算得转盘上的矢量引力势为 ωr2 , 0 γ = 0, i 2 2 2 c - rω γ i = 0, t 2 r2 ω g00 = 1 - 2 . c 匀速转动时 又 所以 , 标量引力势为 2 χ= - 1 c2 ( 1 - g00 ) = - 1 r2 ω , 2 2 2 χ= ω r . 代入 (1. 5. 9 ) 式可求得 a = - 这是我们很熟悉的离心加速度 , 即惯性力场场强 . 由等效原理知 , 此即转盘上 的引力场场强 . 例 2 地球表面的引力势 以后我们要讲到静态球对称时空度规为 2 GM 2 2 2 GM 2 ds = 1 - 2 c dt - 1 - 2 d r2 - r2 ( dθ + sin2θ d c r c r g0 i = 0 或 γ = 0 , i 2 GM g0 0 = 1 - 2 , c r χ= - GM . r 2 - 1 2 ), 故 所以 这便是我们熟悉的牛顿引力势 . 1. 5 2 引力场 中的规范 变换 . 上面讲到引力势可分为标势与矢势 , 可否通过坐标变换不改变引力场即不 §1.5 引力场的势 · 27 · 改变参考系的空间几何性质 , 而 仅改变 引力 势 , 比如 , 恒消 去标 势或矢 势呢 ? 这是可能的 . 仅仅改变引力势而不改变参考系的变换是一种特殊的变换 , 我们 把这种变换叫做规范变换 . 规范变换定义为下述变换 : x′= x′( x ) , x′ = x′( x ) = f ( x ) . (1. 5. 10) 式有 A = ˇ = A 而 利用 (1. 5. 11) 式得 g′ = ˇ0 ˇμ gτ = ˇ0 ˇ gλ0 = ˇ0 (ˇμ g i0 + ˇ0 g00 ) , 0μ Aτ Aλ λ A0 Aλ μ A0 A i Aμ 故 g′ = (ˇ0 ) 2 · g00 = (ˇ0 ) 2 ( 1 + 2χ c ) 00 A0 A0 / 2 γi = ′ 利用 (1. 5. 13) 式可得 ik γik = - g′ + γiγk = ˇi ˇk γ ′ ′′ A A lm l m i 0 i 0 i i k 0 0 μ μ (1. 5. 10) 现在我们来 证 明 规 范 变 换 不 改 变 空 间 的 几 何 性 质 或 使 引 力 场 保 持 不 变 . 由 x′ 0 = 0, x xi 0 = 0 . x′ τ λ i g′ = g λˇμˇν . μ ν τ A A (1. 5. 11) (1. 5. 12) (1. 5. 13) - g′ 0i ˇ0 A k 0 = (ˇiγk - ˇi A A 0 A g′ | ˇ0 | 00 0 g00 ) . (1. 5. 14) 由此可得 2 k dσ =γ d xi d xk = γik d x′d x′, ik ′ i 即 dσ 在规范变换下是不变量 , 故纯空间的几何性质或引力场保持不变 . 有了规范变换 , 我们就可以在不改变引力场的情况下简化引力势 : (1 ) 消去标势 χ χ0 ′ 只要令新坐标中 t = ′ 的速率与参考 系中静 止标 准钟 τ 的速 率相同 , 就 0 c 可消去标势 . 证明 在广义相对论中 , 标准钟与坐标钟之间的关系是 2 dτ = g00 d t2 , 即 dτ = 0 0 2 1 + 2χ c2 d t . / 若令 t′= ∫ dτ = 0 ∫ 0 t g00 d t = ∫ 0 t 1 + 2χ c2 d t, / 则在新坐标中 , 由于有 d t = dτ = ′ 0 所以 由 (1. 5. 8 ) 式得 1 + 2χ/ c d t = ′2 ′ g′≡ 1 . 00 χ≡ 0 . ′ g00 d t′ , · 28 · 第一章 广义相对论的物理基础 从而消去了标势 . (2 ) 消去矢势 γ i 只要令新坐标轴为 时轴正 交即 可 . Weyssenhoff ( 1937 ) 曾证明 问题 归结 为 解下述联立方程 [ 20 ] : f ( xμ ) + xi γ i 1 + 2χ c2 / γ i 1 + 2χ c / γ k 2 1 + 2χ c / 2 f ( xμ ) =0 x0 f ( x ) 的定义见 (1. 5. 10) 式 , 此方程有解的必要条件为 ω≡ ik x i μ + x 0 γ k 2 1 + 2χ c / i γ - x k + x 0 1 + 2χ c2 / =0 ( i= 1 ,2 ,3) . 代入 (1. 5. 8 ) 式得 γi = 0 , χ = 0 . ′ ′ 引力场场强由 (1. 5. 9 ) 式 知仍 为 0 , 可 见在 规范 变换 下引 力 场不 改变 , 但引 力 势已全部化为零了 . 有下列两种特殊的引力场 .在某一参考系中 , 若标势 χ和矢势 γ 与时间无关 , i 叫稳态引力场 .这种引力场一般不具有时间反演不变性 .若除了与时间无关外 , 尚 有 γ = 0( 也即 g0 i = 0 ) , 则叫静态引力场 . 这种引力场具有时间反演不变性 . i §1. 6 引力场中的光速 由狭义相对论我们知道任一惯性系中的 真空 光速 ω是均 匀和 各向同 性的 , 并恒等于 c . 现在讨论广义相对论中的情形 . 对光线的时迹 , 即类光测地线 , 有 d s = 0 = g00 ( d x ) + 2 g0 i d x d x + g ik d x d x , 以及 g ik = γ k - γ . iγ ik 例 作匀速运动的参考系的坐标变换 . 给定一个惯性系 I( Xμ ) , 定义伽利略变换为 x = X - v T, y = Y , z = Z, t = T . 在新坐标系中 , 每一参考点均以 速 度 v 匀 速地 沿 X 轴正 向运 动 , 由 ( 1. 5. 10) 式可见这个坐标变换不是规范变换 , 先求在上述非规范变换下引力场的势 . 由 ds2 = Gμ d Xμ d Xν = gμ d xμ d xν , ν ν 2 0 2 0 i i k §1.6 引力场中的光速 · 29 · 有 d s = c d t - d x - d y - d z - 2 vd xd t, 即 g1 1 = g22 = g33 = - 1 , g1 0 = g01 = 2 2 2 2 2 2 2 2 v , c g0 0 = 1 - v / c , 其他分量为 0 . 代入 (1. 5. 8 ) 式得 γ= i 2 v χ= - v , , 0, 0 , 2 c2 - v2 以及 γ = (1 - v2 / c2 ) - 1 ; γ = γ = 1; γ = 0 ( i≠ k) . 11 22 33 ik 可见坐标系 ( x ) 不是时轴 正交系 , 具有 均匀 引 力势 . 由 (1. 5. 9 ) 式 知 , ai = 0 , 即引力场场强处处为 0 , 因而 ( x ) 仍应是惯性系 . 现在引入同一惯性参考系内的规范变换 . 令 X′ = 则 所以 +1 g′ = Gμ = μ ν ν 0 0 0 2 代入得 dσ - (γ d xi ) (γ d xk ) + 2 i k 2 μ μ x , Y′ y, Z′ z , T′ = = = 1 - v2/ c2 (1 - v / c ) t - 2 2 c 2 vx , 1 - v2/ c2 2 2 2 d s2 = c2 d T′ - d X′ - d Y′ - d Z 2 . ′ 0 -1 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 -1 , γ =δ . ik ik 2 dσ = γ d x i d xk , ik g0 0 γ d xi d x0 - g00 ( d x0 ) 2 = 0 i 2 上式除以 d t , 便得到用坐标钟测得的光速 . dσ ω ≡ 坐 dt 2 = (γ 坐 - c iω i g 00 ) , g00 ) 2 得 所以 ω = ± (γ n iω - c 坐 i 坐 ω (n ) = 坐 i c g00 i γ n ±1 i 考虑弱引力场 g00 ≈1 ,γ≈0 . i 由此可知 , 取负号不合理 , 所以 ω (n ) = 坐 利用坐标钟与标准钟的关系可得 ω ≡ 标 dσ = dτ 1 dσ = g0 0 d t 1 c ω = 坐 . i γn + 1 i g0 0 ( 1. 6. 2) i c g00 . i γn + 1 i ( 1. 6. 1) · 30 · 第一章 广义相对论的物理基础 从 (1. 6. 1 ) 与 ( 1. 6. 2) 式可看到 : 若 空间不 出现 引力场 , 空间 是欧 几里得 空间 , γ = 0 , g00 = 1 , 则光 速 ω = ω = c, 均 匀 且各 向 同 性 . 若 空 间 出 现 引力 场 , i 坐 标 空间是非欧几里得的 , 由下表表示 . ω 坐 非时轴正交 g0 i ≠0 γ≠0 i 时轴正交 g0 i = 0 γ= 0 i 光速 与 μ异号 , 这表示宇宙真空场与普通物 4πG c 2 ∧ 00 λ c 质场之间存在着斥力或反引力 . 当 λ 0 时 , 在泊松方程中 2 2 ≈ 0 应成立 : Ta b U U ≥ 0 , 且 T Ub 为非类空 . 且能流速度不能超光速 , 最后一点 , 可由 T Ub 的非类空推出 . (3 ) 强能量条件 ( S. E. C. ) 表述 : 在 时空 流形中 任一 点 P∈ M, 对任一 类时 4 矢 U a ∈ΤP , U a U a > 0 应成立 : Tab U U ≥ 由以下的讨论可知 S. E. C. 的含义 . 由爱因斯坦引力场方程 Rab 可得 故 Rab = Rab Ua Ub = = 因此 S. E. C. 等价于 Rab Ua Ub ≥0 可以证明这就是类时测地线的会聚条件 . 另一方面 , 注意到 T = T a a a b ab a b ab a b a (3. 3. 23) (3. 3. 24) 此表述的含义是对任一观测者的局 部能量 密度 非负 , 局 部能 流密 度为非 类空 , 1 a U Ua T . 2 (3. 3. 25) 1 gab R = - Tab 2 Tab 1 gab R 2 1 a U Ua R 2 1 a U Ua T 2 (3. 3. 26) Tab Ua Ub Tab U U a b = - ρ+ ∑ pi , 可证明 (3. 3. 25) 即 §3.4 马赫原理 · 93 · ρ+ ∑ pi ≥ 0 空场违反 S. E. C ) . (3. 3. 27) 式中 ρ为能量密度 , p i 为应 力 . 可 见 S. E. C. 指 出应 力不能 为负 ( 显然 宇宙 真 对于大多数物质 , 应力都是正的 , 这时强能量条件比弱能量条件还弱 . 但 若存在应力为负的物质 , 这时强能量条件的要求就高于弱能量条件了 . §3. 4 马 赫 原 理 3. 4 1 马赫原 理 . §1. 2 中曾提到过牛顿的水桶实验 . 牛顿通过 水桶实 验确认绝 对空间的 存 在 . 认为转动必须看作是绝对的 . 马赫否认有绝对空间 , 认为一切运动都是相 对的 . 他指出在水桶实验中" ……惯性离心力是水相对于地球或其他天体作相 对转动时才显示出来的". [9] 因此 , 他认为正是由于相对于宇宙中所有星系的转动 , 正是由于与这些星 系的相互作用 , 导致了 这 些 惯性 力 的出 现 . 在此 基 础上 , 爱 因斯 坦 提出 马 赫 原理 : 加速度是相对的 , 一切物体的惯性效应来自宇宙空间物质作相对加速运动 时的引力作用 . 因此 , 从马赫原理看来 , 一切惯性力都归之于引力作用 . 如果宇宙只有一 个地球 , 地球的转动就没有意义 , 地球的形状也不会扁平 . 爱因斯坦指出按马 赫原理应该期望 : ( a ) 在物体附近有物质堆积时 , 它的惯性应增加 . ( b ) 邻近物体作加速运动时 , 此物体应受到一与加速度同方向的加速力 . ( c ) 转动的中空物体 , 必在其内部产生径向离心力与科里奥利力 . 下面 , 在 弱 场 线 性 近 似 条 件 下 , 利 用 场 方 程 与 测 地 线 方 程 来 解 决 上 述 问题 . 测地线方程空间分量式为 d2 xi d xμ d xν i + Γν μ =0 . 2 dτ dτ dτ 或 d2 x i = - Γi 00 2 dτ dx dτ 0 2 d x j d x0 - 2Γ - Γi U j Uk . jk dτ dτ i j0 ( 3. 4. 1) 在弱场线性近似下有 · 94 · 第三章 爱因斯坦引力场方程和引力场的能量表述 -Γ ≈ 00 i 1 ( - h00 , i + 2 hi0 , 0 ) 2 i = i h00 2 - t - hi0 c , ( 3. 4. 2) hij t c , -Γ≈ j0 = 1 ( h j0 , i - hij , 0 - hi0 , j ) 2 -1 1 ( hj0 , i - hi0 , j ) + 2 2 i Γk ≈ j 1 ( hjk , i - hij , k - hik , j ) . 2 vi 考虑 和 h i0 均为一阶小量 , 则有 c 1 χ 1 1 1 = ( 1 + 2χ c ) - 2 ≈ / 2 1 - 2 dτ d t dt c 代入 (3. 4. 1 ) 式得 1 = - c 2 i χ d c2 d t h00 2 1- χ i v c2 2 χ 1- 2 c j - c 2 2 hi0 t c j χ 1 - 2 c 2 2 -Γ v v i jk j k c( hj0 , i χ - hi0 , j ) v 1 - 2 c + χ ( hij ) v 1 - 2 t c χ i v 2 c + ( hj0 , i + ( hj0 , i χ 1- 2 c 2 , 忽略三阶小量得 d dt ≈ - c ≈ - c 2 j 1- h00 2 h00 2 + + hi0 t c hi0 t c j χ v - hi0 , j ) × 1- 2 c c 2 i vj - hi0 , j ) c . d dt 2 2χ χ= c h00 , 则上式可化为 因 g00 = G00 + h00 = 1 + 2 , 故 2 c h00 i h00 hi0 hj0 hi0 2 j 1v ≈ - c j + + v . i j t 2 2 c x c x c ( 3. 4. 3) 引入 (3. 3. 20) 与 (3. 3. 14) 式 , V = h00 κ =+ 2 4π ∫ * T00 - 1 G00 T * 2 dv ′ r (3. 4. 4 ) ≈+ κ μ c d v′. 8π r ∫ * 2 §3.4 马赫原理 · 95 · 由 (3. 3. 13) 式 i0 * * i * 0 hi0 κ T d v′= + κ μ u u d v′ A = =+ c 2πc r 2πc r i ∫ ∫ 2 κ μ* u* iΓ =+ dv ′. 2π r ∫ (3. 4. 5 ) 2 由弱场低速条件 Γ ≈ 1 , 有 A ≈+ κ μ u d v′ 2π r i ∫ * * i 注意 : u 为场源物质运动速度 , v 为试验质点运动速度 . 将 ( 3. 4. 4) , ( 3. 4. 5) 式代入 (3. 4. 3 ) 式便得到试验质点的运动方程 : d 2 [ (1 + V) v ] ≈ c dt 式中 [( × A) × v ] = i * V+ A j x i t A+ ( j × A) × v , ( 3. 4. 6) A v j ( i≠ j ) . i x 由 (3. 4. 4 ) , ( 3. 4. 5) , (3. 4. 6 ) 式可看出 : ( a ) 试验质点的惯性质 量与 ( 1 + V ) 成 正比 例 . 因 之物 体的 惯 性质 量会 因 为周围物质的堆积而增加 . (b) A 代表周围物体作加速运动时 , 对该物体有同方 向的感应 力作用 , t × A) × v ～ω v , 其 中 ω 为 转动 角 速 × 此即加速系中的惯性力 . ( c ) 我们来考虑球 壳内 部 , 有 ( ( d) 度 , v 为试验物体运动速度 , 故此项为科里奥利力 . V 为拉普拉斯算子作用在某一点的场上 , 有 ∫ 即球壳内部的径向离心力 . μ c d v′ ～ r * 2 1 r = r, 3 r [ 10 ] 上述四点结论最先是由 H. T hirring 在研究转动的中空球壳时得到的 3. 4 2 马赫原 理的实验 验证 . (1 ) H ughes 实验 [ 11 ] . 简单原理是这样的 , 按马赫原理 , 地面物体的质量应来自两部分 , 一部分 来自宇宙的整体影响 . 一部 分来 自 银河 系 的 影响 . 宇宙 整 体 影响 是 各向 同 性 的 , 而银河系影响部分 是各 向异 性的 . 利 用核 磁 共振 仪 测量 各 向 同性 部 分 m 与各向异性部分 Δm 之比 , 得 Δm - 20 ≤10 . m · 96 · 第三章 爱因斯坦引力场方程和引力场的能量表述 因此 , 在上述精度范围内 , 并没有得到肯定的结论 . (2 ) Ivash 实验 [ 12 ] 挑选水星为实验体 , 通过对水星轨道进动的测定 , 得出 Δm - 10 ≤ 1. 57× 10 , m 也没有得到肯定的结论 . 3. 4 3 马赫原 理的几点 疑难 . 首先 , 在实验的精度范围内 , 未发现马赫原理所预言的结果 , 所以 , 实验 似乎并不支持马赫原理 . 其次 , 无论是马赫,爱因斯坦还是其他人 , 都没有能对马赫原理给出一个 统一的文字表述和严格的定量表示 . 也没有说明惯性力的瞬时出现如何与引力 的有限传播速度相容 . 另外 , 虽然爱因斯坦本人强调马赫原理与广义相对论的一致性 , 但广义相 对论与马赫原理之间存在着明显的矛盾 . 例如 , 对于除实验质点外一无所有的 ν 真空 , 场方程 Rμ = 0 显然有一个解为 gμ = Gμ . ν ν 当实验质点作加速运动时 , 加速坐标变换将给出惯性力 . 此惯性力当然不能归 因于根本不存在的远方星系 . H . Thirring 应用广义相对论来研究转动中 空球壳 内部的引 力场 , 虽然 得 出了一些似乎与马赫原理相一致的东西 , 但它同时给出了一个数量级与径向离 心力相等的轴向力 . 若把转动中空球壳当作远方星系 , 则我们除受到众所周知 的惯性效应 外 , 还 应 受到 此 轴 向力 , 这 显然 与 事 实 不 符 . 所 以 , H. T hirring 模型不能充分说明马 赫原 理 . Bran s 和 Dick 明确 指 出 : 广 义 相对 论 与马 赫 原 理不符 , 符合马赫原理的是他们的标量 - 张量理论 . 不过 , 到目前为止的一系 列实验似乎并不支持 Brans-Dick 理论 , 而是支持广义相对论 [ 13 ] . 总之 , 从实验上说 , 马赫原理并未得到验证 , 从理论上说它又存在许多问 题 , 因此 , 它的真实性是值得怀疑的 . 但是 , 爱因 斯坦 当年 创立 广 义相 对论 , 曾受到马赫思想的启发 , 所以 , 马赫原理在历史上的作用至少是不应否定的 . §3. 5 广义相对论的拉格朗日表述和哈密顿表述 爱因斯坦引力场方程已包含了广义相对论中引力场的全部经典信息 , 但由 于种种原因 , 有时我们必须把广义相对论改写成拉格朗日表述或哈密顿表述的 形式 . 例如早在 广 义 相对 论 创 始 之 初 , 大 数 学 家 Hilbe rt 就 采 用 拉 格 朗 日 表 §3.5 广义相对论的拉格朗日表述和哈密顿表述 · 97 · 述 , 从变分原理 极 简 捷 地 导 出 了 爱 因 斯 坦 引 力 场 方 程 . 20 世 纪 70 年 代 末 , H aw king 等人提出采用拉格 朗日 表 述中 的路 径积 分量 子 化 , 可能 是 引力 场 量 子化的一条捷径 . 在 20 世纪 60 年代初 , ADM 质量 的提出 已指 出广义 相对 论 的哈密顿表述的重要性 , 特别在引力场的正则量子化中 , 哈密顿表述更是必不 可少的 . 3. 5 1 广义相 对论的拉 格朗日表述 引力场 的变分原理 . 按变分原理 , 场方程和运动方程均可以表述为某一作用量取极值的必要条 件 , 而变分原理和存在对称变换群则是物质系统能量 , 动量 , 角动量等守恒律 的充分条件 . 令作用量 I = I g + Im , 则 Ig = 1 c ∫L d∑, g 4 ( 3. 5. 1) 式中 , I g , Lg 分别表示引力场的作用量和拉格朗日函数 , 令 1 R c Lg = = R, 2 κ 16πG Im = 1 c ( 3. 5. 2) ∫L μ ν m d∑, 式中 Im , L m 分别表示物质场的作用量和拉格朗日函数 , 我们假 定 Lm 中无 gμ ν 的高于一阶的导数 , 即 Lm = L m ( g , g μ ν ;ρ ) . ( 3. 5. 3) ( 3. 5. 4) 根据哈密顿变分原理对度规张量 gμ 取变分 , 则引力场场方程为 ν δI =δI g +δIm = 0 . 证明 先讨论引力场作用量的变分 : 3 c δI g = δ Rd∑ 16πG ∫ ∫ c = δ R 16πG c = 16πG 由 α 3 3 c μ ν - gd x = δ Rμ g ν 16πG 4 3 ∫ - gd x - g) ] d x, 4 4 ∫[ (δR α μ ν )g μ ν - g + Rμ δ( g ν μ ν ( 3. 5. 5) β - Rμ = Γα - Γα + ΓανΓβ - Γα Γν , ν μ ν,α μ α,ν μ α β μ β α α β α β α β α β 得 - δRμ =δ μ - δ μ +δ μ Γα + Γμ δ α - δ μ Γν - Γμ δ ν , ν Γ ν,α Γ α,ν Γ ν β ν Γβ Γβ α β Γα ( 3. 5. 6) 注意 , δ 为张量 ( 见 2. 3. 8 式 ) , 它符合张量变换规律 , 故按张量微分法则 : Γ (δ α ) ;α = (δ αν ) ,α + Γα δ τ - Γτμδ α - Γτ δ ατ , Γμ ν Γμ α τ Γν μ α Γν τ ν Γ α μ τ Γ α α Γμ ν Γτ (δ μ ) ;ν = (δ μ ) ,ν + Γν δ μ - Γν δ τ - Γμ δ α . Γα Γα α α α τ τ α τ α μ ν τ · 98 · 第三章 爱因斯坦引力场方程和引力场的能量表述 故 (3. 5. 6 ) 式可化为 - δRμ = (δ α ) ;α - (δ αα ) ;ν . ν Γμ ν Γμ 再计算δ ν - g , 按定义 gμ = ( 3. 5. 7) Aμ ν , 我们有 g δg = g ν δgμ = Aμ δgμ = g gμ δgμ , ν ν ν ν gμ ν ν ν 式中 Aμ 是 行 列 式 g 中 gμ 的 余 子 式 , 另 外 , 由 gμ gμ = 4 , 可 得 : gμ δgμ = ν ν ν ν - g δgμ , ν 所以 , δ - g= = δ( ν - g gμ ) = μ ν 1 δg 2 - g 1 2 g μ ν 1 g δgμ = ν 2 - g μ ν - g gμ δg , ν . μ ν ( 3. 5. 8) - g δg - 1 μ ν α β g gα δg β 2 以 (3. 5. 7 ) 式 , ( 3. 5. 8) 式代入 (3. 5. 5 ) 式得 c δI g = 16πG 3 ∫ ν α - [ gμ δ α - gμ δ λ ] ;α Γμ ν Γμ λ - gd4 x + ( 3. 5. 9) α ;α ∫ μ ν α μ α Rμ ν ν 1 ν gμ R δgμ ν 2 α - gd4 x , 令[ g δ μ - g δ μ ]≡ A , 显 然 这是 个矢 量 . 上 式第 一个 积 分中 , A Γν Γν 量 , 可利用高斯定理化四维 时空 域 ∑上 的 积分 为 三维 超 曲面 界 面 分, 即 为标 ∑上 的 积 ∫ ∑ A α ;α d∑= = ∫ ∑ 1 ( - g - gA ) ,α α - gd x Aα dVα . 4 ∫( ∑ ν - g Aα ) ,αd4 x = ∫ ∑ 按变 分 原 理 , 虽 然 要 求 在 积 分 域 ∑ 的 界 面 δgμ 为零 , 这 表示 在 ν,λ α ∑ 上 , δgμ 为 零 , 但 并 不 要 求 ν c4 R , 我们 推 不出 爱因 斯 16πG ∑上 δ μ , A 等均不 必为 零 , 因之 ( 3. 5. 9 ) 式 中第 一 Γλ 项并不为零 , 利用变分原理 , 由 拉格 朗日 量 Lg = 坦引力场方程 . Gibbons 和 H aw king 于 1977 年指出 , 必须在作用量 I g 中添加 一个表面项以抵消 (3. 5. 9 ) 式中第一项的贡献 [ 1 4 ] . 他们发现这个表面项为 ∫ 2 式中 , K = tr Kj , Ki j = nj 是 i i ∑ K ± hd x ∑上 的外 曲率 , 3 n j 是四 维流 形 ∑ 的 三维 边界 面 ∑上的法矢 . h = | hij | , hi j 是边界面 ∑上的诱导度规 . 最后我们得到爱因斯坦引力场方程的作用量应为 Ig = ∫ ∑ - gd4 x· R + 2 ∫ ∑ K ± hd3 x (3. 5. 10) §3.5 广义相对论的拉格朗日表述和哈密顿表述 · 99 · 式中 ± h, 当三维超曲面 ∑为类空时取正号 , 类时时取负号 . [ 14 ～ 16 ] 对 (3. 5. 10) 变分就得到 (3. 5. 10′ 式 ) δIg = c 16πG 3 . (3. 5. 10′ ) ∫ Rμ ν 1 μ ν R gμ δg d∑ . ν 2 再讨论除引力场外的物质场作用量的变分 . 由 (3. 5. 3 ) 式可以写出 : δIm = 1 c ∫ g μ ν ( Lm g μ ν - g) μ ( Lm ν δg + g μ ν ,α - g) μ d4 x , ν δg,α (3. 5. 11) 等式右边第二项采用分部积分及边界条件后 , 可把 (3. 5. 11) 式化为 δI m = = 令 1 c 1 c ∫ ∫ ( Lm 1 - g 1 Tμ = ν 2 = - g) ( Lm g 1 - g 1 μ Tν , 2 - ( Lm g - g) μ ν ,α - g) ,α δg d x - g) δg d∑, ,α μ ν μ ν 4 μ ν ( Lm g - g) μ ν μ ν ,α (3. 5. 12) ( Lm g - ( Lm g μ ν ,α - g) ,α (3. 5. 13) 1 2c 得 δIm = ∫T ∑ μ ν δg d∑ . μ ν μ ν (3. 5. 14) 以 (3. 5. 10′ 式 , (3. 5. 14) 式代入 (3. 5. 4 ) 式 , 考虑到 δg 的任意 性 , 最后即 得 ) 引力场方程为 Rμ ν 即 Rμ ν 1 8πG gμ R = - 4 Tμ . ν ν 2 c (3. 5. 15) 1 gμ R = - κTμ . 可知 (3. 5. 13) 式中的 Tμ 即不包含引力场贡献在内的 ν ν ν 2 物质总能量一动量张量 . 注意 , 按 (3. 5. 2 ) 式定义的引力场的拉格朗日量中含有 gμ 的二阶导数 , 所 ν 以我们不能把引力场场方程改写为 拉格朗 日运 动方程 的形 式 . 下 面我们 指出 , 可以找到一个新的引力场拉格朗日量 Lg , 它不再含有场量 gμ 的高 于一阶的 导 ν 数 , 这时 , L = 珚g + L m , L 由最小作用量原理 : δI = 1 δ c (3. 5. 16) ∫ L d∑= 0 , ∑ 可得引力场场方程的拉格朗日形式为 (L x α - g) g μ ν ,α - (L g - g) μ ν =0 . (3. 5. 17) · 100 · 第三章 爱因斯坦引力场方程和引力场的能量表述 证明 从 (3. 5. 2 ) 式出发 , 有 c Ig = 16πG 其中 R - g = Rμ g ν = - g 式中头两项可改写为 ν gμ (Γαν,α - Γαα,ν ) μ μ μ ν 3 ∫R α - gd4 x , (3. 5. 18) - g - g(Γμ - Γμ + Γα Γ μ - Γν Γμ ) , ν,α α,ν τ ν τ α α α τ α τ μ ν (3. 5. 19) - g μ ν α = ( g Γμ ν μ ν α - g) ,α - ( g Γμ α μ ν ,α μ α τ - g) ,ν - Γμ ( g ν τ ν α μ ν - g) ,α +Γμ ( g α α μ ν - g) ,ν , (3. 5. 20) 而 g = -Γ g - g 1 = 2 x α -Γ g , τ λ ν α τ τ μ - g gτ g ,α λ λ τ - g gτ (Γτα gγ + Γλ gγ ) λ γ α γ = = Γμ = β β 1 2 1 2 - g (Γτ + Γλ ) = α α τ λ - g Γτ , α τ 1 σ ρ g gσ . ρ,μ 2 μ ν - g Γα gτ τ μ ν - g Γν gτ ) + gμ α τ ν - g gμ Γα Γβ , μ β ν α 所以 (3. 5. 20) 式中的右边第三项可写为 ν - Γα ( gμ μ ν - g ) ,α = - Γα ( μ ν ν = - gμ Γα μ ν - g Γτ τ α - g Γτ + 2 τ α 第四项为 ν Γα ( gμ μ α - g) ,ν = μ ν α ν γ - g gμ Γα Γαγ . μ ν 故 (3. 5. 20) 式为 g (Γμ - Γμα,ν ) ν,α μ ν α α - g = ( g Γμ ν ν ( gμ Γαα μ - g) ,α ν - g) ,ν + 2 gμ β - g(ΓαβΓν - Γα Γτ ) . μ α μ ν α τ 代入 (3. 5. 19) 式后 , (3. 5. 18) 式中的积分化为 ∫ R - gd4 x = - ∫ ν β gμ (Γα Γν - Γα Γβ ) μ β α μ ν α β - g d4 x ,δ ∫ 3 β - g gα Γδ α β δ - g gα Γβ α β d x. 4 第二个积分的变分利用高斯定理后即化为 0 . 所以 , c δIg = δ R 16πG ∫ - gd x = 4 1 c ∫L d∑, g (3. 5. 21) §3.5 广义相对论的拉格朗日表述和哈密顿表述 · 101 · c4 μ ν α β α β Lg = g (Γμ Γν - Γμ Γα ) , β α ν β 16πG ν 不再含 gμ 高于一阶的导数 . 但注意 , 此时 Lg 不再是一个标量 . (3. 5. 22) 利用 (3. 5. 22) 式与 (3. 5. 13) 式代入 (3. 5. 16) 式 , 可以看出 (3. 5. 17) 式的确 是引力场场方程 . 最后我们指出 , 如果选取引力场的拉格朗日函数为 c Lg = ( R - 2λ ) 16πG (3. 1. 5 ) 式 . 3. 5 2 广义相 对论的哈 密顿表述 . 广义相对论的哈 密顿 表 述要 求 人们 首 先 把四 维 时空 流 形 M4 作 ( 3 + 1 ) 分 解 , 亦即把 M4 分解 成 R1 ×∑ , 其中 ∑ 为 M4 中 按某个单 参量分层 的三维 类 3 3 空超曲面 [ 15 ～ 17 ] 4 (3. 5. 23) 则采用上述变分原理 得到 的场 方程 , 即含 宇 宙因 子 项的 爱 因 斯坦 引 力场 方 程 . 在选定四维时空坐标系 ( t, x ) ( i = 1 , 2 , 3 ) 后 , 此单参量类空 超 X = X ( t, x ) μ μ i i 曲面可用函数 表示 , 式中 μ= 0 , 1 , 2 , 3 ; i = 1 , 2 , 3 . 超曲面上任一点 ( t, x ) 处的切矢 X ≡ (1 ) gμ Xμ nν = 0 ν i (2 ) gμ Xμ Xν = hij ν i j (3 ) gμ n n = - 1 ν μ μ μ ν i μ i X μ μ 应满足关系 : i = X , i 与法矢 n x (3. 5. 24) (3. 5. 25) μ ( 3. 5. 26 ) 关系 (1 ) 表示类 空超 曲面 上 任一 点处 的三 个切 矢 X i 与该点的法 矢 n 正 交 ; 关 系 ( 2 ) 即 类 空超 曲 面上任一点的 4 度规与曲面上该点的 3 度规或诱 导度规 hij 间的关系 ; 关系 (3 ) 表示类空 超曲 面上 任一点的法矢 n 是类 时 的 , 这 即 类空 超 曲面 的 定义 . 满足上述条件的 n , X i 组 成所讨 论的 类空 超曲面上任一点的局部 4 标架 , 如图 3 - 1 所 示 . 现引入类空超曲面的随动坐 标系 ( t, x ) . 类 空超 曲面上任一点 ( t, xi ) 在 ( t + d t) 后 移 动 至 ( t + d t, 图 3 -1 i μ μ μ ① 本节的号差为 ( + 2 ) . · 102 · 第三章 爱因斯坦引力场方程和引力场的能量表述 x i ) , 此移动将导致曲面发生形变 . 定义变形矢量为 Nμ , Nμ ≡ t Xμ ( t, xi ) ≡ Xμ · (3. 5. 27) 显然变形矢量 Nμ 或δXμ 为 类时 4 矢 , 它 代表 此类空 超曲 面在时 间 中的 演化 . 现把任一点 ( t, x ) 处的变形 4 矢在该点的局部 4 标架上作 (3 + 1) 分解 . 即 后可化为 ds = - ( N - Ni N ) d t + 2 Ni d x d t + hij d x d x 2 2 i i j 2 2 i 2 i i j i Nμ = Nnμ + N i Xμ i (3. 5. 28) 通常把分量 N 叫时移 , 分量 Ni 叫位 移 , 现证 明 4 度 规 d s 在上述 ( 3 + 1 ) 分 解 (3. 5. 29) μ 证明 : 由 d s = g t t d t + 2 g i t d x d t + gi j d x d x 注意 到类 时 4 矢δX 与时 轴 平行 , 得 gμ δX δX =δX δXμ = N Nμ d t = ( N N i - N ) d t = g t t d t ν 即 g t t = N N i - N , 其中 Ni = hi j N . 类似有 gi t = X i N gμ = gμ X i ( N n + N X j ) = 0 + N h j i = Ni , ν ν 及 (3. 5. 25) 式 . 利用 (3. 5. 29) 式和 h ν = gμ + nμ nν 可 把爱因斯 坦引力场 作用 量 μ ν (3. 5. 10) 式改写成 (3 + 1) 分解后引力场作用量的新表述 : Sg ( hik , N , Ni ) = μ ν μ ν j ν j i 2 j μ ν μ μ 2 i 2 2 2 ∫ h1/ 2 d4 x N R( 3 ) + Ki j K i j - K2 - 2∧ + 2 M ∫ h1/ 2 Kd3 x M (3. 5. 30) 式中 其中 N( i | j) = 曲率标量 . 证 (3. 5. 30) 式 : 因为 | g | = ( Ni N - N ) h - A N i N j , A h = , h ij ij i 2 ij K ij = 1 1 N 2 hi j - N( i| j ) t , K = h K ij ij (3. 5. 31) 1 (3 ) ( Ni| j + N j | i ) , i | j 是指对 h ij 的协变微分 . R 是由 hij 所决定的 2 其中 A 是 3 度规 hi j 的行列式 | hij | 中第 i 行第 j 列的代数余子式 . 所以 | g | = ( Ni N - N ) h - hh N i N j = - N h - g = N h1/ 2 又由微分几何中的 Gaus s-Codazzi 关系可得 [ 17 ] i 2 ij 2 ij (3. 5. 32) (3. 5. 33) R = R( 4 ) = R( 3 ) + Kij K ij - K2 界项时 , 即得在 (3 + 1) 分解后引力场的拉格朗日量 : 把 (3. 5. 32) 式及 (3. 5. 33) 式代入 (3. 5. 10) 式即可证 (3. 5. 30) 式 . 在暂时忽略边 §3.5 广义相对论的拉格朗日表述和哈密顿表述 · 103 · Lg = h1/ 2 N R( 3 ) + Ki j K ij - K2 - 2∧ 由于 Lg 不是 N 和 N 的泛函 , 所以恒有 δLg = H= 0 δN δLg = H= 0 δN i 其中 (3. 5. 35) 式即哈密顿约束 : H= h1/ 2 R( 3 ) - Ki j K i j + K2 - 2∧ = 0 (3. 5. 36) 式即动量约束 : ij H= ( h - 2 ∏ ) | j = 0 1 i (3. 5. 34) (3. 5. 35 ) (3. 5. 36) (3. 5. 37) (3. 5. 38) (3. 5. 37) 式与 (3. 5. 38) 式可利用 δ ij ij ( N Ki j K ) = - Kij K ( 由 (3. 5. 31) ) δN δ ( N K2 ) = - K2 δN 及 ∏ = ij δLg 1/ 2 ij ij = h ( K - Kh ) δh ij (3. 5. 39) 来证明 , 而 (3. 5. 39) 式则可由 l m δK l m δK δLg 1/ 2 - K = 2h N K δhij δhij δhij 及 μ μ Ki j = 1 1 N 2 hi j t ( 为简单计 , 取 N 与 n 平行 ) 来证明 . 利用 (3. 5. 39) 式可把 (3. 5. 37) 式改写成 H= - ∏ K + h ij 引入超度规或 DeWitt 度规 : Gi j kl ≡ 1 h 2 1 2 ij 1/ 2 R ( 3) - 2∧ = 0 (3. 5. 40) ( hik h j l + hil h jk - hi j h kl ) (3. 5. 41) 可把 (3. 5. 40) 式中等号右边第一项改写成 ∏j K i j = - Gi j kl ∏ij ∏kl i 把它代入 (3. 5. 40) 式 , 最后得到哈密顿约束的一个重要形式 : H = Gi jk l ∏ij ∏kl + h1/ 2 ( R( 3 ) - 2∧) = 0 方程 . 上 述讨 论中 所引入 的哈 密顿量 H 有 一个 重要缺 点 , 即 它似乎 表示 任何 满 (3. 5. 43) 它在正则量子化后就 是 量子 引力 中有 名的 基 本动 力 学方 程 或 W heeler-DeWit t (3. 5. 42) · 104 · 第三章 爱因斯坦引力场方程和引力场的能量表述 足真空爱因斯坦引力场方程的引力 系统 的总能 量 H = ∫Hd 3 x 恒等于 零 . 这 当 然是不 正 确 的 . 分 析 指 出 , 原 因 在 于 , 在 我 们 的 上 述 讨 论 中 , 忽 略 了 公 式 (3. 5. 30) 中等式右边最后一项 , 所谓边界项 ( 表面项 ) 的贡献 . 事实上 , 理论中 我们有拉格朗日量 ( 或作用量 ) 和哈密顿量 , 其一是不考虑边界项的 , 这对于无 边界的宇宙模型 ( 例如拓扑为 R1 × S3 ) 是 成立 的 , 因 之 H = 0 可 解 释为 宇宙 的 总能 量 为 零 . 但 对 于 一 般 引 力 系 统 , 必 须 考 虑 边 界 项 的 贡 献 , 这 时 应 从 (3. 5. 30) 式及与之相应的哈密顿量 H′ 出发 . 可以证明 , 此时 H′ H +α = 其中 α = lim r→ ∞ ∫ S hij j x h jj d Si i x (3. 5. 44) S 为矢径趋于无穷远时 ∑ 的二维边界 . 3 由 (3. 5. 44) 式及 (3. 5. 37) 式即得 H′ α. = 对于渐近平直 引 力 系统 , 例 如 Sch warzschild 时 空 , 可 以 证明 α即 Sch warzs- child 解中的质量 m . 因此一般认为 , H′ 才是真正合理的引力系统的哈密顿量 . 应指出 , 不论采用 H 或 H′ 引力场的哈密顿方程均可写为 , hμ = ν δH μ ν δ ∏ δH δhμ ν (3. 5. 45) μ ∏ν = 考虑约束 ( 3. 5. 37 ) 式 与 ( 3. 5. 38 ) 式 , 它 们 等 效 于 真 空 爱 因 斯 坦 引 力 场 方 程 Rμ = 0 . ν 可见真空爱因斯坦引力理论其实等价于一种有约束的哈密顿理论 , 它包含了全 部经典几何动力学 ( Geom etrodynamics) 的内容 [ 1 5 ～ 17 ] . 附录 C 求 Gibbons-Hawking 表面项(边界项) 以计算 Sch warzschild 黑洞表面项为例 . 由公式 (6. 2. 19′ ～ (6. 2. 21 ) , 我们已 经得 到了一 个消 除了 Sch warzschild ) 坐标奇点 r = 2 m 的 Lor en tz-K ruskal 坐 标系 , 然而 这 个坐 标 系在 r = 0 处 仍 有 一个无法通过坐标变换消除的中心 曲率奇 点 . 这 将使得 包含 r = 0 的体 积分 运 算没有意义 , Gibbon s 与 Haw king 指出 , 可 以对上 述 Loren tz-K ruskal 坐标 中 的实时 τ 进行虚时的解析延拓 , 即令 τ * * - i τ * ( C. 1) 以得到一个 Euclidean-K ruskal 坐标 , 此时 (6. 2. 19′ 式化为 ) 附录 C 求 Gibbons-Hawking 表面项 (边界项 ) · 105 · r r - 1 e2 m 2m R 由于 R *2 *2 *2 +τ = *2 ( C. 2) + τ ≥ 0 , 知 r 的定义域为 r≥ 2 m, 这就避 开了 r = 0 处 的曲率 奇点 , 而得到一个处处正规的且具有时间周期性的欧几里得 K ruskal 截 面 . 下面我 们 就在这个截面内进行计算 . 先求欧氏作用量 I = ( 16π) 式中 M 和 - 1 ∫ M R g d x + ( 8π) 4 - 1 ∫ M [ K] hd x 3 ( C. 3) M 即上述欧氏截面及其边 界 . 易知 此时 欧氏 作用量 I 的体 积分 项 的贡献为零 , 故有 I = ( 8π) - 1 - 1 ∫ = ( 8π) ∫ [ K ] hd3 x ( K - K0 ) hd x≡ (8π) 3 - 1 M M ∫ M ( K - K0 ) d∑ 1 2 ( C. 4) 若取 M 为 r = r0 的大球面 , 则式中 r = n , d∑= M 的拓扑为 S × S , 且 hdτ dφ ( dτ dθ ≡dτ ) * ∫ 在 r 方向的总改变率 . Kd∑ = ∫ n;i i d∑ = ∫d∑ r ( C. 5) 式中第二个等式表示 过表 面 ∑的法 线汇 的 散度 的总 和 , 应 等于 法线 汇总 截 面 在边界 S1 × S2 上可采用欧氏 Sch warzschil d 度规来计算 , 此时 2 m 1/ 2 3 2 Kd∑ = hd x = 4πr 1 dτ r r r 1/ 2 - 1/ 2 2m 2m = 8πr 1 + 4πm 1 dτ r r 在 r 甚大的渐近平直区 : m m K d∑≈ 8πr 1 + 4πm 1 + dτ r甚 大 r r m2 = 8πr - 8πm + 4πm + 4π dτ r ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 式中含有一 个 不 合 理 的 平 直 时 空 的 发 散 项 0 0 ∫( 8πr ) dτ, 2 应 予 消除 . 可 引 入 ∫( K - K ) d∑, 其中 K ≡8πr, 这样即得 m [ ∫ K ] d∑ = ( K - K ) d∑ = - 4πm + 4π r ∫ 0 2 β = - 4πm = - 32π m2 , β ( C. 6) 式中考虑到了真空欧氏 Sch warzschild 时空的实时周期性 ∫dτ=β= 8πm . · 106 · 第三章 爱因斯坦引力场方程和引力场的能量表述 考虑到洛氏作用量 I L = t ∫L L ( t) d td x , 作 Wick 转动延拓 , ( - i) 2 - iτ (τ为实时 ) 后 , I L ∫ L L ( - i ) dτ x = i I E . τ d 2 式中 , 欧氏作用量 I E = - ∫L L ( - i ) dτ x2 . 可见利用欧氏化度规计算欧氏作 用 τ d 量时 , 应添加一个负号 , 由此即得边界项 ( Gibbons- Haw king 表面项 ) 为 ( 8π) - 1 ∫ M = S1 × S2 [ K ] hd x = 4πm 3 2 此边界项也可 从洛氏 Sch warzschild 度规算 出 , 计算时应 注意到 个 i, - h中出现 一 ∫d t 中出现一个虚时周期性 ( i8πm) , 2 这样 公式 ( 6 ) 中 的负号仍 可消除而 得 到 4πm . §3. 6 正 交 标 架 20 世纪 50 年代以来 , 正交标架开始受到了 人们的 重视 , 在研 究引力场 与 基本粒子的相互作用 ( 旋量场 ) 和研究引力场能量时 , 利用这一工具大大地促进 了研究的进展 [ 18 ～ 20 ] . 3. 6 1 正交标 架 . 由等效原理知 , 在黎曼时空中任一点可引入局部惯性系 : α β d s2 = Gα dξ dξ β 变换到任意坐标系后 , d s = gμ d x d x , ν 其中 gμ = Gα ν β 式中 α ,β的升降由 Gα 进行 . 故 β (β ds2 = e(β)μeν ) d xμ d xν , α β ξ ξ (α (β ) ) (β ) α μ e ν = e(β) μeν , μ ν ≡ Gβ e x x 2 μ ν ( 3. 6. 1) e(β)μ = G βeμ , α ( 3. 6. 2) (α ) (3. 6. 2 ) 式称为标架表象 . 3. 6 2 e( α) μ的性 质 . (1 ) 定义标架的行列式 ∧= | e(α) μ | , 可证 ν ∧= | gμ | 1/ 2 = - g, ( 3. 6. 3) §3.6 正交标架 · 107 · (α 证明 由 (3. 6. 1 ) 式有 e(α)μ eν ) = gμ , ν 得 或 G e(β)μe(α)ν = gμ , ν | G ‖ e(α) μ ‖ e(β)ν | = g, α β α β α 2 而 | G β | = - 1 , 故 ∧ = - g . 即得 (3. 6. 3 ) 式 . (2 ) 对协变指标正交归一化 , μ eμ e(α) = δ , (α ) ν ν ( 3. 6. 4) 定义 即 μ, ν的升降由 gμ 进行 . ν 证明 (α ) e(α) = g e(α)μ , eμ g e(α)ρ = g gμ = δ . ρ μ (β (β eμ ) eμ ) = δ )) . (α (α ν ρ ν ρ ν ν μ ν (3 ) 对标架指标正交归一化 , 则有 ( 3. 6. 5) A(β) A 证明 我们首先证明 g = 2 ∧ μ ρ μ ρ ) (β (β , 式 中 Aμ ) 和 Aρ(β) 分别 是 eμ ) 和 eρ(β) (β 的代数余子式 . 因为 A(β) A 2 ∧ μ ρ ) (β A(β) A gμ = τ 2 ∧ μ ρ ) (β eμ(α) eτ = δ τ (α ) ρ (β Aμ(β) Aρ ) 所以 , 是 gμτ 的逆矩阵 . 因为一个矩阵的逆是惟一的 , 所以 ∧2 A(β) A g = 2 ∧ μ ρ μ ρ ) (β . e (α) ρ A(α) = , ∧ μ 因此 (α , 上式 = 0 ) . ≠β 由 (3. 6. 6 ) 式得 e μ (α ) = g е(α) ρ μ ρ A(β) A = 2 ∧ μ ρ ) (β ( 3. 6. 6) e e μ (α ) (β ) μ A(α) (β) (β = eμ =δ )) . (α ∧ (α ) μ ( 3. 6. 7) 由 (3. 6. 4 ) , ( 3. 6. 5) 式可知 e 无论对协变指标还 是对标架 指标 , 都是 正 μ 交归一化的 . 所以叫正交标架 . (4 ) 坐标固定 , 标架作洛伦兹变换 . 这时 e (α)μ = L(α) e(β)μ , e ν = L ′ ′ 式中 L (β ) (α ) (β ) (α ) - 1 (α ) (γ ) e ν (γ ) ( 3. 6. 8) = ξ L 1 (α)) = (γ α, ξ ′ β ξ ′ γ 是 L 的逆 . ξ α 先看看标架变换对度规张量有何影响 : (α (β (γ g′ = e (α)μe′ ) = L(β)) e(β) μ L 1 (α)) e(γ) = δ )) e(β) μeν ) μ ν ′ ν (α (γ ν (γ = e(β) μeν = gμ . ν ν 故 gμ 对标架空间的洛伦兹变换是一个不变量 . (β ) ( 3. 6. 9) · 108 · 第三章 爱因斯坦引力场方程和引力场的能量表述 标架固定 , 坐标变换时有 e = ′ (α ) μ ξ μ = x′ α ξ ν x α x ν (α α ν) . μ μ =ˇ e x′ (3. 6. 10) ν 可知 , e(α)μ 在标架空间是一个仿射矢量 , 而在坐标空间是一个协变矢量 . 故 (β d s2 = e(β)μeν ) d xμ d xν = d x(β) d x(β) , 式中 , d x(β) 在黎曼空 间为 标量 , 在标 架空 间为 矢量 . d s 在 黎 曼空 间 和标 架 空 间都是标量 . 3. 6 3 曲率张 量在标架 空间的表示 . 由 e(α)σ 的协变微分不可对易 : e(α)σ;μ - e(α)σ;ν = - e(α)ρ Rσ ν , ν μ μ 因此 进行缩并后得 由 或 得 故 ν μ ν ν μ ρ Rτ ν = e(α)τ [ e(α)σ;ν - e(α)σ;μ ] . σ μ μ ν Rσ = e(α)μ [ e(α)σ;ν - e(α)σ;μ ] . ν μ ν ν ν gμ ;ρ = 0 , ( e eμ ) ;ρ
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文档关键词
物理学
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