泊松方程 在没有电荷处, 电势不能有极大值或极小值,在电势极大处必有正电荷, 电势极小处必有负电荷

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商丘师范学院学报
咨
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第卷第期月
年
常微分方程的数学思想方法
王庆东‘ , 营典兵, , 侯海军‘
商丘师范学院数学系, 河南商丘商丘师范学院计算机科学系, 河南商丘
摘要对常徽分方程中的数学思怒进行了探讨, 认为其可归为模型化, 抽象化, 化归, 逼近, 数形结合几才面
关键词常徽分方程数学思怒
中图分类号文献标识码文章编号一一一
一‘ , 一扩, 一
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引言
数学思想是对数学知识的本质认识, 是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升的数学观点, 它在认识活
动中被反复运用, 带有普遍的指导意义, 是建立数学以及运用数学解决问题的指导思想数学方法是指提出问题、解决问题的
过程中所采用的各种方式、手段、途径等, 二者的紧密联系即数学思想方法可见, 数学思想方法是以具体的教学内容为载体,
又高于具体数学内容的一种指导思想和大范围普遍适用的方法, 是数学的灵魂学习数学思想方法, 可以使学生站在更高的
高度审视数学, 领悟和把握数学的真谛, 理解数学的价值, 学会思考、解决问题, 实现知识学习, 培养能力, 发展智力的有机统
常微分方程作为适用范围广, 生命力旺盛的技术学科, 已成为“ 大众数学观”下问题解决的重要工具和本科院校的重要基
础课, 因此, 深入挖掘常微分方程中的数学思想方法并运用于教学, 对于学生从整体上把握常微分方程的理论与方法, 及其发
生发展规律, 提高大学生的数学文化修养、审美情趣和创新能力等都具有重要的意义
常微分方程的发展概况
世纪常微分方程与微积分相伴而生, 微积分是她的母体, 生产生活实践是她生命的源泉至世纪上半叶, 人们的目
光主要放在常微分方程的“ 求解”上, 常微分方程处于实域解析理论阶段工业革命带来的数学繁荣促进了常微分方程的成
长, 先探讨解的存在与唯一性而不是一味求解奇点理论, 边值解, 形式级数解、自守函数论先后出现, 使常微分方程成长为一
个数学分支, 步入了复域解析阶段从世纪后半叶开始, 不解方程而确定解的性质的定性理论开始建立, 数学思想方法再次
实现了大的进步, 朝着解析方法、几何方法、数值方法个主要方向扩展随着伯克霍夫美提出拓扑动力系统年, 将
一般定性理论进行了抽象和升华, 逐渐发展成微分动力系统
多年来, 常微分方程诞生于数学与自然科学进行崭新结合的、世纪, 成长于生产实践和数学的发展进程, 表现出
收稿期一一
作者简介王庆东一, 男, 河南太康人, 商丘师范学院副教授, 主要从事数学教育研究
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强大的生命力和活力, 蕴涵着丰富的数学思想方法
主要数学思想方法
模型化
模型化是通过研究模型来揭示原型形态、本质、特征的科学思维方法它可以有目的地集中研究认识对象的主要结构和
关系, 抓住事物中的主要矛盾以及矛盾的主要方面, 具有科学性和极强的可重复操作性, 同时, 模型化也是实践决定认识的一
次飞跃过程常微分方程自诞生之初, 就是模型化的产物, 尤其在实域解析理论阶段表现得特别充分常微分方程早期多研究
机械、电学系统, 之后逐渐加强与其它学科的渗透支援, 理论开始丰富和深化即使是世纪年代, 蓬勃发展的无线电技术
中的孤立等幅振荡, 也极大地促进了极限环的研究, 丰富了常微分方程的理论时至今日放射性元素的衰变模型、人口乃至
生态系统的模型医学方面的传染病模型、气象学中的洛仑兹模型、军事方面的军备竟赛和作战模型等, 给我们展示了常微分
方程模型化的壮阔画卷随着常微分方程的不断发展, 常微分方程模型也逐渐现代化, 在确定连续模型的基础上, 从静态优化
的微分法模型向动态模型、平衡与稳定状态模型及动态优化模型发展
抽象化
“ 量”和“ 形”作为数学中抽象的材料, 在两个研究对象具有相同的量和形时, 便可使用相同的方法处理, 由此决定了数学
的抽象性此外, 概念和规律定理、公式等的抽象也决定了数学内容的抽象性, 数学的抽象化是从简单到复杂的逐步深化的
过程, 常微分方程的发展也是抽象化的过程, 通过抽象, 理论意义进一步增强
研究领域抽象化
常微分方程从研究突一二, , 的解开始, 研究二平面上的积分曲线但研究自治系统
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其本质是在中进行解的研究, 由于轨线与积分曲线是以一对多的关系, 柳平面抽象成了相平面, 研究借助相平面上的相
轨线来进行随着常微分的发展研究领域又从相平面推广到环面、柱面、’‘ 空间至微分流形上, 研究范围不断抽象
研究对象抽象化
常微分方程的研究对象的抽象化表现在低阶到高阶、线性到非线性、静止到运动、从一个方程到方程组或者系统等方面
以世纪年代的荷兰电气工程师研究三极管时得到的方程” 十爪一’ 的抽象过程可以充分地说
明研究对象的抽象化即
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稳定性理论的发展也有类似的现象· 研究从瓮一工零解的渐近稳定性和全局稳定性逐步抽象到研究摄动系统瓮一,
工卜。二的持续作用下瓮二二的零解的稳定性和结构稳定性
化归思想与逼近思想
从常微分发展历程可以看出, 化归是常微分方程的重要数学思想方法, 常数变易法、代换法、级数解法、逐次通近法、算子
法、相平面分析法等, 都是用联系、变化的观点, 有意识地将问题化繁为简, 化归解决的非齐次方程问题化为齐次方程间题,
一阶线性方程组化为一阶线性方程间题, 高阶方程问题化为低阶方程问题, 在常微分方程发展的各个阶段包含着这种化归范
例化归思想的教育, 是对学生进行数学能力培养的重要方面, 常微分方程课为我们准备了这方面的大量素材
常系数非齐次线性微分方程, 经采用欧拉的待定指数函数法, 将求解问题化归为代数方程根的问题, 从而省去了积分运
算, 这是十分引人入胜的皮卡逼近法, 将微分方程的解问题化归为积分方程的解问题, 进而化归为一致收敛的函数列问题,
完全符合化难为易, 化未知为已知, 化繁为简的化归原则拉普拉斯变换将常系数线性非齐次微分方程的边值问题, 化归为关
于未知函数的拉氏变换像函数的代数方程间题作为化归的一种情形, 体现了原则关系映射, 反演
原则, 充分利用了关系映射的确定性, 关于此类的例子, 比比皆是
当然, 皮卡逐步逼近法还体现了逼近思想, 巧妙构造函数列, 有利于培养学生的创造力
数形结合思想
数形结合化抽象为具体, 化深奥为浅显, 可以生动形象地揭示问题的本质常微分方程中的线素与线素场, 对于不可积方
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因此具有极值的条件、式不成立, 即在没有电荷处, 电势不能有极大值或极小值
在电势极大处必有正电荷, 电势极小处必有负电荷
设“ ‘二, , , 二, 点的电势为极大, 贝”极值条件式‘ , 在该点成立, ·方程式‘“ , 不成立, 但‘白松方程甲一爵可以在
该点成立, 因此尸点必有电荷若以尸为球心, 微小长度二为半径作一球面, 对小球面运用高斯定理可得
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因尸点的为极大,
劣
, 所以。, 必是正电荷
· 反之若尸点的电势为极小, 则尸点的电荷必是负的
·
在真空静电场区域内, 带电粒子不能处于稳定平衡
在真空静电场区域内, 假设有一带电粒子在尸点处于稳定平衡, 当带电粒子离开尸点向任一方向作一微
小位移△ 时, 该处电场将把粒子推回到尸点如果以尸点为中心, 作一些环绕尸点的小球面, 球面上各处的电场均指向尸由
于一, , , 所以点的电势应比周围相邻各点的电势都低如果带电粒子带负电, 环绕尸点的小球面上各点的场强均背离
尸向外发散, 尸点的电势应比周围相邻各点的电势都高这说明尸点的电势有极值, 在电势的极值处应有电荷这与给定的已
知条件相矛盾, 因此在真空静电场中区域内, 带电粒子不能处于稳定平衡
参考文献
〔〕郭硕鸿电动力学「」北京人民教育出版社,
〔美拍塞尔电磁学〕北京科学出版社,
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程窦一, 工, , , 可依据线素场研究解的性质, 从而构成了常微分方程近似解法和定性理论的基本思想研究
,’二二〕筑时引入的“ 平面和轨线, 又使解的研究简易于积分曲线的研究奇点、平衡位置、、图等, 、于常微分方程的研
究都是有力的工具, 数形结合思想在常微分方程中得到了充分的应用
此外, 动静结合的思想在常微分方程的发展进程中表现也很充分, 限于篇幅, 不再赘述
参考文献
〔蒋志民数学文化的社会价值〔商丘师范学院学报高教研究版,
【东北师范大学数学系微分方程教研室常微分方程【〕北京高等教育出版社, , , 一,
【袁小明, 数学思想史导论〔南宁广西教育出版社, 一
【徐利治数学方法论选讲〕武昌华中理工大学出版社, 巧