"D函数本征展开"” 论格林函数的本征函数展开 线性叠加原理 类似于量子力学能量本征方程

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作者：邵建军 - 2004 - 相关文章
由于几何形状是轴对称的，选用柱坐标后将与'P角无关，即取. m＝0。采用本征函数 展开式（23）并注意到m＝0得：. u （D（x＇y，z）＝u0）（pIz）＝ ...
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www.sciencenet.cn/m/user_content.aspx?id=292180 - 网页快照中科大《结构化学》课件_第一章量子力学基础-3 - 大学课件- 道客巴巴2010年4月7日 ... 例如，e2x 是微商算符的本征函数： e 2 x d e 2 x 2e 2 x D dx定态 ... 厄米算符本征函数构成一完备集合，任何一个品优函数可用它展开： f ∑ C ...
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首先给出了M和N类矢量波函数用于旋波媒质中电磁波场并矢格林函数的本征函数展开的新方法,然后再将这种方法用于导出手征圆波导中无散矢势并矢格林函数.
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的渐近展开，井通过按占优本征函数的展开给出解的渐近性质． .... 对于J・，利用函数 的一致连续性知对任一e＞O，存在仅与e有关的正数d，当『r。一r2I。＋ ...
gr.xjtu.edu.cn:8080/c/document_library/get_file?folderId=315...pdf第一章量子力学基础-3_百度文库2010年11月8日 ... 例如，e2x 是微商算符的本征函数： ? e 2 x = d e 2 x = 2e 2 x D dx 定态 ... 厄米算符本征函数构成一完备集合，任何一个品优函数可用它展开： f ...
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作者：秦治安 - 2004 - 相关文章
式（11）中无散矢势的并矢格林函数%%+（"，"$）本征函数展开的一般形式可写成如下简洁的形式. %%. +（"，"$）#$. 1. $. 2 " )2 !0（!，"）!0（!，"$）d$ ...
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作者：樊西汉 - 2001 - 相关文章
（ ）是否与（ ）属于同一函数空间？或者说. （ ）是否有意义？ 在无限深势阱中，能量本征函数及其本征值为. E：堡. E＝芸. 小. ＿。）用（12）式展开I其系数为 ...
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２００４年９月　第２１卷第５期　培训与研究— — 湖北教育学院学报　Ｔｒａｉｎｉｎｇ　ａｎｄ　Ｒｅｓｅａｒｃｈ　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｈｕｂｅｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　ｏｆ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｓｅｐ．２００４　Ｖｏ１．２１　Ｎｏ．５　论格林函数的本征函数展开　邵建军　（湖北教育学院　物理与电子信息系，武汉　４３０２０５）　摘要：文章讨论了特殊函数与本征函数的联系以及分离变量法与格林函数法的实质性联系，研究了格林函数的本征　函数展开，并指出格林函数的本征函数展开在物理研究中具有重要意义。　关键词：特殊函数；本征函数；分离变量法；格林函数；线性叠加原理　中图分类号：Ｏ　４１３．１　文献标识码：Ａ　文章编号：１００７—１６８７（２ｏｏ４）０５—０００７—０７　作者简介：邵建军（１９６０一），男，湖北教育学院物理与电子信息系，副教授，研究方向：理论物理。　１格林函数的本征函数展开　求解与物理问题相对应的数学问题，其最重要的方法是　分离变量法；特别是特殊函数与分离变量法熔为一体，以分离　变量法引起特殊函数，研究了特殊函数之后又回到分离变量　法。而且格林函数法实质上与分离变量法密切相关；可以说　分离变量法是寻找格林函数的重要方法。　求解拉普拉斯方程、泊松方程和亥姆霍兹方程等的关键　是确定相应的格林函数；而确定格林函数的困难程度取决于　相应的边界形状。对数学物理方程作分离变量导致本征值问　题，导致本征值的确定，导致本征函数的确定，这些本征函数　即为特殊函数，或者是三角函数。这些本征值由第一类齐次　边界条件，第二类齐次边界条件，第三类齐次边界条件，周期　性边界条件，或者是自然边界条件（即有界条件）所决定　在　量子力学中大多数情况下的能量本征值以及角动量本征值都　产生于自然边界条件。格林函数通常表述成相对应的本征函　数的叠加展开，体现了线性叠加原理。　拉普拉斯方程的Ｇｒｅｅｎ函数，泊松方程的Ｇｒｅｅｎ函数以及　Ｈｅｌｍｈｏｌｔｚ方程的Ｇｒｅｅｎ函数等都可以用相应的本征函数展开　来获得。与时间无关的格林函数一般地可以定义如下。　ｒ　Ｖ：Ｇ（ｘ，ｘ　）＋ｆＶ（ｘ）＋　］Ｇ（ｘ，ｘ　）＝一—Ｌ８（ｘ—ｘ　）　｛　…　‰　（１）　Ｉ（　＿ＯＬ，＋ｐＧ）ｌ：０　Ｏｎ　Ｉ　ｓ　与此相应的本征方程为　ｒ　Ｖ　（ｘ）＋［Ｖ（ｘ）＋　］　（ｘ）＝０　ｉ　ｃ　其中　为本征值，　．，（ｘ）为本征函数，式（２）类似于量子力学　中　的　能　量　本　征　方　程。　本　征　函　数　是　正　交　的：　，　（ｘ）　（ｘ）ｄ３ｘ＝８…　本征值　可以连续，可以分立，也可以两者都有。式（１）中的　是一个参数，　值不同对应着不同的数学物理方程，相应的　格林函数也就不同；　与本征值　是两个不同的量。由于本　征函数集　（ｘ）的完备性，所以可以将格林函数展开为本征　函数　（ｘ）的线性叠加。　Ｇ（ｘ，ｘ　）＝∑ａ　（ｘ　）　（ｘ）　将此代人格林函数的微分方程得　∑ａ　（ｘ　）（　一　）１王ｒ　．（ｘ）＝一・　８（ｘ—ｘ　）　左边乘、ｌｒ　（ｘ），并对体积Ｖ积分，利用正交条件，可把左边化　为一项：　＝　故得到格林函数　Ｇ（　，　上 ∑　（３）　此式具有非常重要的意义，它表明一般地可以把与时间无关　的格林函数展开成本征函数的线性叠加。　含时间的格林函数同样可以通过本征函数的展开方法来　获得。在量子力学中Ｓｅｈｒｓｄｉｎｇｅｒ方程的Ｇｒｅｅｎ函数，即传播子　函数可以由能量本征函数来线性叠加，只要知道能量本征函　数 ‘Ｐ　（ｘ）便能确定格林函数　Ｇ（ｘ２，ｔ２；ｘ】，ｔ】）。　设粒子于时刻ｔ　位于位置ｘ　，它在ｔ！时刻位于ｘ　的几率　幅为（ｘ２ｔ　Ｉｘ】ｔ１）；由此定义　Ｇｒｅｅｎ函数　Ｇ（ｘ２，ｔ２；ｘｌ，ｔ１）＝０（ｔ２　一ｔ　）（ｘ　ｔ　Ｉ　ｘ　ｔ。），其中　０（ｔ）是通常的阶梯函数。假设体系　Ｈａｍｉｌｔｏｎ函数不显含时间，（ｘ２ｔ２　Ｉｘｌｔ１）＝（　｝Ｕ（ｔ２，ｔ】）｝ｘ】）代　人ｕ＝ｅ一—　一；利用 ‘ｐ　（ｘ）的完备性（为简单起见，假定能级　无简并），即得：　Ｇ（ｘ２，ｔ２；ｘ】，ｔ】）＝０（ｔ２一ｔ】）（ｘ２ｔ２ｌｘ】ｔ１）　＝０（ｔ２一ｔ１）∑‘ｐ　‘（ｘＩ）‘Ｐ　（ｘ２）ｅ—ｉ－Ｅｎ（ｔ２　】　（４）　其中 ‘Ｐ　（ｘ）为能量本征函数。　收稿　日期：２００４—０６—１０　
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８　培训与研究——湖北教育学院学报　将格林函数　Ｇ（ｘ２，ｔ２；ｘｌ，ｔ１）＝０（ｔ２一ｔ１）（ｘ２　ｌ　Ｕ（ｔ２，ｔ１）ｌ　ｘ　）对ｔ　求导数，并注意到　＝８（ｔ）。把　ｏ（ｔ　，ｔ　）＝一　代人后得　ｉｈ　＝．ｈ８（Ｉ２＿【１）（ｘ２　ｌ　ｏ（Ｉ２’【１）Ｉ　Ｘ１）＋ｉｈ０（Ｉ　－【１）（ｘ２　ｌ　一　　ｌ　）　：ｉｈ（ｘ２　ｌ　Ｏ（０）ＩｘＩ）８（ｔ２一ｔ１）＋ｅ（ｔ２一ｔ１）（ｘ２　ｉ　Ｏ（ｔ２，ｔＩ）ｌ　ｘ１）　：ｉｈａ（ｘ２一ｘ１）８（ｔ２一ｔ１）＋ｅ（ｔ２一ｔＩ）ｆｉ（ｘ２，ｐ２）（ｘ２ｌ　ＣＳ（ｔ２，ｔ１）ｌ　ｘ１）　：ｉｈ８（ｘ２一ｘＩ）８（ｔ２一ｔ１）＋Ｈ（ｘ２，　）Ｇ（ｘ２，ｔ２；ｘｌ，ｔ１）　即格林函数满足微分方程　ｉｈ未Ｇ—ｆｉ（ｘ２＇　）Ｇ＝ｉｈ８（ｘ　＿ｘ１）８（Ｉ２＿【１）　三维　自由粒子　的能量本征函数为 ‘Ｐ　（　）　一，能量　Ｅ：　ｐ２，这里本征值能谱为连续谱，求和 ∑成为积　分ｆｄ３Ｐ。￣ｌ＊Ｊ－维自由粒子的传播子函数为：　Ｇ（ｘ　・ｔ　；ｘ－・ｔ－）＝ｅ（ｔ　一ｔ，）‘芝　ｉ　）　ｅｘｐ　ｒ　ｉ　ｌｘ２一ｘｌ　ｌ　２ｈ（ｔ２一ｔ１）　一般的状态波函数与　Ｇｒｅｅｎ函数的关系。设　ｔ２＞ｔ。，ｌ　（ｔ２）＝Ｕ（ｔ２，ｔＩ）ｌ　（ｔ１）），因而　（ｘ２，ｔ２）＝（ｘ２　ｌ　（ｔ２））＝ｆ　ｄ３ｘｌ（ｘ２ｌＵｌｘ１）（ｘＩ　Ｉ　（ｔ１））＝ｆｄ３ｘｌＧ（ｘ２，ｔ２；ｘｌ，ｔ１）　（ｘｌ，ｔ１）　２波函数的演变与格林函数本征函数展开　以单粒子在硬壁球形空腔中运动为例，探讨波函数随时　Ｉ＂－Ｊ的演变。　』ｉｈ　一　Ｖ　 ≤ｒｏ　㈣　【　Ｉ　：ｒ０＝０，　Ｉ　＝　。　其中　为粒子的质量。计及问题的解与 ‘ｐ无关，故取磁量子　数　ｍ＝０，解与　０无关则角动量量子数取为零　１＝０，这里取初　始的状态波函数具有球对称性，因而状态随时间演变能够保　持这种球对称性。故：　（ｘＩｙ．ｚ＇ｔ）－２ｑｔｏ．ｒｏ　￣．　ｅ一　ｓｉｎ—ｎ．ｆｉｒ（６）　用Ｅ　表示能量本征值，则ｋ，，：￣／　＝ｎ．＇ｒｒ　故　Ｅ　：　１．１２ｆ１．２］１２，　ｎ：ｌ，２，３，…．．。　归一化的能量本征函数为：　幅［　］＝志ｓｉｎ　ｒ／ｒ０）　函数由　本征函数展开获得　Ｇ（ｘ２，ｔ２；ｘｌ，ｔ１）＝ｏ（ｔ２一ｔＩ）∑、Ｉ，　（ｘＩ）　（ｘ２　ｅ－音Ｅｎ（ｔ２－ｔｌ’（７）　以单粒子在三维无限深圆柱形势阱中运动为例，探讨波　函数随时间的演变。　景　一　Ｖ　（０≤ｐ　０≤‘Ｐ＜２丌，０≤ｚ＜ｂ）　（８）　【　ｌ…＝０，　ｌ　：。＝０，　ｌ　：ｂ＝０，　１．：。＝　。　计及问题的解与 ‘ｐ无关，故取磁量子数　ｍ＝０。这里取初始状　态波函数具有轴对称，因而状态随时间演变能够保持这种对　称性。　令　ｘＩｔ（Ｐ，‘Ｐ，ｚ）＝Ｒ（Ｐ）　（‘Ｐ）ｚ（ｚ），Ｒ（ａ）＝Ｊ。（　ａ）＝０，Ｊ。　（ｘ）中　ｋ，＇ｎ－＜ｘ＜（ｋ＋１）１Ｔ，（ｋ＝０，±１，±２，…… ）各区１９内都　有零点，因而有无穷多个零点，我们把　Ｊ。（ｘ）的零点按大小次　序排列出来：　０＜　＜　：＜　；＜… ・・＜　＜… 一　＝　２．４０４８，　：＝５．５２０１，　；＝８．６５３７，　：＝１１．７９１５，　＝１４．　９３０９，　：＝１８．０７１１，　；＝２１．２１１６，　：＝２４．３５２５，　＝２７．４９３５，　＾００＝３０・６３４６，…。。　ｏ＝詈，ｊ＝ｌ，２’３＇…’　零阶贝塞耳函数序列Ｊｏ（ａｌｐ），Ｊ。（ａｌｐ），……，Ｊ。（　ｐ），……　在区间（０，ａ）上带权重Ｐ正交，￣Ｐｆ　ｏｐＪ。（ａｌｐ）Ｊ。（　ｐ）ｄｐ＝０，ｉ　≠ｊ，ｉ，Ｊ＝ｌ，２，３，……能谱为：　ａ＝ｋ　一（　）　；　Ｅ　：Ｅｊｐ＝笔［芸＋（　（９）　其中Ｐ＝１，２，３，…… ，ｊ＝１，２，３，……　对应的本征波函数为：　Ｒ（ｐ）＝Ｊ。（　），ｚ（ｚ）＝Ａｓｉｎ　ｚ，　＝　，对称性要求　ｍ＝０，而　Ｐ＝１，２，３，…… ，ｊ：１，２，３，… …。　Ｊ０（ｘ）＝　（　（　，ｚ）：Ｖｉｐ（ｐ，　）：ｊｏ（ｘａ￣ｐ）ｓｉｎ　（１０）　注意Ｅ．＝Ｅｉｐ＝　ｌ＇１２　Ｌｒ　Ｏ＋（詈）　］为粒子的动能，其中（詈）　１，１２　为　ｚ轴方向的动能；故　ｏ　必为　ｐ方向的动能，即　只能取　大于零的本征值；所以我们不能选择　＜０对应的虚宗量０１塞　尔函数作为解。故波函数随时１９的演变为　（　，ｚ＇Ｉ）＝　．三。ＡｊｐＪ０（　）ｓｉｎ　ｅ　ｐｌ　（１１）　Ａｊｐ＝币　　０Ｊ０（　）ｐｄ　ｓｉｎ迦ｂ　ｄｚ　＝　）ｐｄ　［（－　＿１］　（１２）　格林函数由本征函数展开获得　Ｇ（　２，ｔ２；ｘＩ’Ｉ１）＝ｏ（ｔ２一ｔ１）　ｊ；（ｘ１）ｘＩ＂ｉｐ（ｘ２）ｅ　’　（１３）　３泊松方程的无界空间格林函数的本征函数展开　在（１）式中取　ｖ（ｘ）＝０，　＝ｋ　得亥姆霍兹方程（Ｖ　＋　ｋ２）ｘＩｔ　（ｘ）＝０；其本征值　ｋ　为连续谱，本征函数为　（ｘ）＝　
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邵建军：论格林函数的本征函数展开　９　ｅｌｋ－￣正交归一关系式为　』、ｌｒ０（ｘ）、ｌｒｋ（ｘ）ｄ３ｘ＝８（ｋ—ｋ　）　在（２）式中取参数　入＝０得泊松方程的无界空间的格林函数定　义式　Ｖ　２Ｇ（ｘ，ｘ　ｒ）一　　８（Ｘ－Ｘｔ）　（１４）　这样，泊松方程的无界空间格林函数可以通过本征函数线性　叠加来获得。利用公式（３）可得相应的格林函数　Ｇ（ｘ，ｘ　）＝』ｄ３ｋａｋ（ｘ　）　ｋ（ｘ）　一　　：　一￡０’　ｋ　＝古南　ｋ　＝　（ａ）泊松方程的无界空间格林函数的球函数展开　由于　是　Ｐｌ（ｃ。ｓｄ）的母函数，ｄ是　ｘ与　ｘ　的夹角；　是拉普拉斯方程的基本解。单位点电荷处在　ｘ　处，我　们选择　ｘ　点位于球面上，则用分离变量法求得：　，　∞ｒＩ　予Ｐ・（ｃｏｓｄ）　（１６）　式中ｒ　（ｒ　）是Ｉｘｌ与Ｉｘ　Ｉ的较小者（较大者）；并且由于　ＰＩ（ｃｏｓｄ）＝．　．　（　 ‘Ｐ＂　　（　）　（１７）　所以．球坐标分离变量形式的无界空间格林函数为：　Ｇ（ｘ，ｘ　）＝　１　＝　。　ｉ．　１　Ｙｌ：ｌ（　４竹￡ｏＩ．；６ｍＩ　Ｉ２ｌ＋　ｒ　’‘。耵　’　‘Ｐ　）Ｙｌ　（０，‘Ｐ）　（１８）　实际上，利用球函数的完备性，我们可以直接将格林函数按球　函数展开。　Ｖ：Ｇ（ｘ，ｘ　）＝一　一８（ｘ—ｘ　）　８０　１　８（ｘ—ｘ　）＝÷６（ｒ—ｒ　）８（ｃｏｓ０一ｃｏｓ０　）８（‘Ｐ一‘Ｐ　）　Ｉ　∞　ｉ　Ｇ　．－　ａ（ｒ—ｒ“　Ｙ　（０　，‘Ｐ　）Ｙｔ　（０，‘Ｐ）　ｃ（ｘ，ｘ　）＝　Ａ—ｍ（ｒ，ｒ　，０　，‘Ｐ　）Ｙ　（０，‘Ｐ）　代入方程得：　Ａｌｎｌ（ｒ，ｒ　，０　，‘Ｐ　）＝ｇ．（ｒ，ｒ　）Ｙｌ　（０　，‘ｐ　）　一　墚（ｒｇＩ（ｒ，ｒ，））一　ｒ，ｒ　）　＝一　　１　８（ｒ—ｒ　）　（１９）　当ｒ≠ｒ　，径向格林函数满足．　ｄ２　ｇ一　ｇ：０，ｇ：唱　。故得：　ｇｌ（ｒ，ｒ＇　＝｛Ａｒ　Ｉ＋＋ＢＢｒ，－　０　￣１川），ｒ，　：　，由于是无界空间，我们　ｉＡ　＋Ｂ，　＿【ｌ＋ｌ】，　＞　，由于是无界空间，我们　取　：　ｓ　ｃ　ｒ，ｒ　＝｛　，　：　ｆ＞　，　寸　ｓ　ｃ　ｒ，ｒ　＝ｃｒｌ　ｒ：ｃｌ＋ｌ　；其　中　ｒ　（ｒ　）为ｒ和ｒ　中的较小者（较大者）；在（１９）式两　乘以　ｒ，并对　ｄｒ从　ｒ　一￡到　ｒ　＋￡积分　，取檄限 ￡—　得　：　ｒ　。一　　ｒｇ，　ｒ　一古　即　。（一１）ｒ，－ｆ… ）一ｃ（１＋１）ｒｒｌｒ　）＝一　１　ｃ（＿１）１　一ｃ（１＋１）了１＝一　１，　ｃ（２ｌ＋１）：　，故　ｇ　＝　（　ｃ（ｘ，ｘ　）＝　１　。　（≥）Ｉｙ　（０　，‘Ｐ　）ＹＩｍ（０，‘Ｐ），因此我们证明了　＝．　。　 ÷　（　）　Ｙｔ－（ｏ　，‘Ｐ　）Ｙ　（０，‘Ｐ）．无界空间格林函数的球函数展开　式（１８）是一个非常有用的公式。利用它我们可以很方便地求　出任意电荷分布　Ｐ（ｘ　）产生的电势及电场的多极子展开：‘Ｐ　㈥　＝　，　＝　。　ｉ　而４，ｆ　其中电２　极矩为：ｑＩ　＝』ＹＩ　（０　，‘Ｐ　）ｒ“ｐ（ｘ　）ｄｒ　（２１）　电２。极矩ｑ　的电势为：　）　电２　极矩　ｑ　的电场为：　一　　ｑ－　专　Ｏ　ｙ　ｍ（ｏ　匕。　一　ｑＩｍ　ａ０・ｍ（ｏ，‘Ｐ）　Ｅ　一　ｑ，ｍ专　ＹＩⅢ（　）　匕　一　丽　ｌｍ（ｏ，‘Ｐ）　【ｂ）７日忪　万崔　阳尢　界至　１日Ｊ穑　林　凼效　的枉　幽数　展　升Ｚ —　Ｖ：Ｇ（ｘ，ｘ　）＝一÷ ８（Ｐ—Ｐ　）８（‘Ｐ一‘Ｐ　）８（ｚ—ｚ　）　￡０Ｐ　８（‘Ｐ一‘Ｐ　）　１ ∑ ｅ　’　／竹 …　＝』　ｋＪ　（ｋｐ）Ｊ　（ｋｐ＇）ｄｋ　设　Ｇ（ｘ，ｘ　）＝　∑ 』　ｄｋｅ　“Ｊ　（ｋｐ）Ｊ　（ｋｐ　）Ａ．　（ｚ，ｉｖ　ｑ ￡ｎ　ｍ …　…　… 　ｚ，）＇代入方程中得：　三　』　ｄｋ｛砉＋古１嚣一　＋善７－｝　ｍ…　ｄｎ　Ｉ　Ｈｎ　ｎ　ｅ　…　Ｊ　（ｋｐ）Ｊ　（ｋｐ，）Ａ　（ｚ＇ｚ　）＝　三　ｆ￣＇ｄｋｔ—ｋ　＋ａ　ｚ２　ｔ　Ａ　（ｚ，ｚ　ｒ）ｅ　“　）Ｊ　（ｋｐ）Ｊ　（ｋｐ　一　８（ｐ　）８（‘Ｐ　）８（ｚ　—ｚ　）　则得：（一ｋ　＋　）Ａ　（ｚ，ｚ　）＝一２ｋ８（ｚ—ｚ　），当ｚ≠ｚｔ时　Ａ　ｄｚ　～　（ｚ，ｚ，）　＝ｃｅ　（ｔ，－一ｔ’满足上式，且　ｌ　一　ｌ　：一２ｋ，令￡　，即得一ｋｃ—ｋｃ：一２ｋ，表明　ａｚ　Ｉ　．　’　’　ｃ＝　ｌ　故　ｃ（ｘ，　）　ｘ－　ｆｏ　ｄｋｅ　。Ｊｍ（ｋｐ）Ｊｍ（ｋｐ　）　ｅ　“　，　因此我们证明了：　＝　
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ｌ０　培训与研究——湖北教育学院学报　ｆ　ｄｋｅ　‘　—　Ｊ　（ｋｐ）Ｊ　。（ｋｐ　）ｅ一　一　‘’　（２３）　我们以波导壁上的小孑Ｌ效应为例来说明式（２３）的应用。　一个无限大的薄的接地导电平板。在这导电平板中挖掉一个　半径为ａ的小圆孑Ｌ，在远离圆孑Ｌ处，电场方向垂直于平板，电　场量值恒定，而且在平板上下方各有不同的值。平板位于　ｚ＝　０平面上，孑Ｌ的中心在坐标原点上，非零的渐近电场分量为　当ｚ＞０时　Ｅ　＝一Ｅ０　当ｚ＜０时　Ｅ　＝一Ｅｌ　：ｆＥ。　ｕ…，（　（２４）　Ｕ＝　二叶，　【Ｅ１　ｚ＋ｕ“’，（ｚ＜０）　势　ｕ“　是小孔附近面电荷重新分布所产生的结果。因为这个　电荷密度位于　ｚ＝０平面上，势　ｕ　’可以写成　ｕ　’（ｘ，Ｙ，ｚ）＝　４—ＬＪ—　兰　，　对导电平板（ａ≤ｐ＜　）上ｒｒ　ｓｏ　、俪ｉ　了　… ……。～　各点而言，电场是未知的，但根据似设，势等于零；孑Ｌ内的势未　知，但　ｕ“　的梯度有确定的跃变：　ｆ　＝一÷ｃ　Ｅ。　ａ　【ｕ　’Ｉ　：０＝０，ａ≤Ｐ＜∞　由于几何形状是轴对称的，选用柱坐标后将与 ‘Ｐ角无关，即取　ｍ＝０。采用本征函数展开式（２３）并注意到　ｍ＝０得：　ｕ　（Ｄ（ｘ＇ｙ，ｚ）＝ｕ０）（ｐＩｚ）＝　三　Ｊ　盯“’（ｐ，）ｐ　ｄｐ　Ｊ　ｅ　”‘　一　’ｄ‘Ｐ　・』　Ｊ　，（ｋｐ）Ｊ　（ｋｐ　）ｅ一　‘　’一　ｃ’ｄｋ　ｆ　盯”　（ｐ　）ｐ～ｄｐ　２ｒｒｆｏ　Ｊ。（ｋｐ）Ｊ。（ｋｐ，）ｅ　’ｄｋ　＝Ｊ　Ａ（ｋ）ｅ…　Ｊ。（ｋｐ）ｄｋ　（２６）　其中　Ａ（ｋ）：　盯¨’（Ｐ　）ｐ＇Ｊ。（ｋｐ　）ｄｐ　，　（２７）　斗　丌 ￡ “　由（２５）、（２６）和（２７）可得积分方程　ｆ　￣ｋＡ（ｋ）Ｊｏ（ｋｐ）ｄｋ＝　１‘Ｅ。　・　，当０≤ｐ＜ａ时　（２８）　Ｌ　ｙｇ　Ａ（ｋ）Ｊ。（ｋｐ）ｄｋ－０，　当ａ≤ｐ＜∞时　其解　ｋａ）＝Ｅｏ＿丌－Ｅ１［丁ｓｉｎｋａ一　］，　当Ｐ或Ｉ　ｚＩ很大时，Ｊ。（ｋｐ）的快速振荡或　ｅ　的迅速衰减意味　着，在　ｋ＝０附近的区域内，Ｊ。（ｋｐ）或　ｅ　才对（２８）式中的积　分有重要贡献　故　Ａ（ｋ）一　［ｋａ一　一　．．．．］，这意味着与　ｊ丌　　ＩＵ　ｕ ‘　’有关的总电荷等于零，ｕ‘　’的主要项是：　ｕ（１）～　了Ｉ　ｚ［（２９）　——　：■一丁　　）　ｕ … 随距离按　ｒ。下降，且具有一个有效电偶极矩　Ｐ：千　，（　乏０）　（Ｃ）泊松方程的无界空间格林函数的柱函数展开之二　：Ｇ（ｘ，ｘ　）＝一　８（Ｐ—Ｐ　）８（‘Ｐ一‘Ｐ　）８（ｚ—ｚ　），　ＳＯＰ　。　。　８（ｚ　）　』：　ｄｋｅ　“　丌ｌ＿［ｇｄｋｃ。ｓ［ｋ（ｚ　）］，　丌　丌　　一　８（　一　）＝　２ｒｒ　ｅ　…“，　令　Ｇ（ｘＩｘ　）＝４　ｒｒｓｏ　１　２‘　三　』　ｄｋｅｉｍ（￣－￣＇）ｃｏｓ［ｋ（ｚ—ｚ，）＿　ｇ　。（Ｐ，Ｐ　），代入方程中得：　（ｐ孥）＿（　２）ｇⅢ一１　８（ｐ－ｐ＇）　当Ｐ≠ｐ　时，上式为虚宗量贝塞尔函数　Ｉ　（ｋｐ）和　ｋ　（ｋｐ）的方　程；设ｑｒ。（ｋｐ）是　１　与ｋ　的某一线性组合，它满足　Ｐ＜ｐ’时的　适当边界条件，又设　：（ｋｐ）是另一线性无关的组合，它满足Ｐ　ｐ　时的适当边界条件，那么，格林函数对　Ｐ，ｐ　的对称性要求　ｇ　（Ｐ，Ｐ　）＝　（ｋｐ　）　２（ｋｐ　），　则由８函数所体现出的斜率不连续性：　Ｉ　一　１．：一　ｄｐ　ｌ　ｐ：ｐ．＋　ｄｐ　一　ＳＯＰ　ｃ等ｌ＋一孥ｌ一　ｃ　在没有边界面情况下，应要求　ｇ　．（Ｐ，Ｐ　）在　Ｐ＝０处有限，在　Ｐ　—　时等于零。故　（ｋｐ）＝ＡＩ　（ｋｐ），　（ｋｐ）＝ｋ　（ｋｐ），并　得出Ａ：１　；故　ＳＯ　Ｇ（ｘ，ｘ　）＝　｛二 ∑ Ｊ　０　ｄｋｅ　０　ＣＯＳ［ｋ（ｚ—ｚ　Ｉ　１Ｔ￡ ｎ　１Ｔ　ｍ …　（ｋｐ　）ｋ　（ｋｐ　）｝，因此我们证明了　寺　］ｏ　ｄｋｅ　１）ｃ０Ｓ［ｋ（ｚ－ｚｔ）］Ｊ　（ｋｐ（）ｋ　（ｋｐ　）　（３０）　４汨松方程的立方体格林函数的本征　函数展开　讨论由ｘ：０，Ｙ＝０，ｚ＝０，ｘ＝ａ，ｘ：ｂ，ｚ：ｃ的六个平面所　限定的一个长方　内的狄利克莱问题的格林函数　ｆ　：Ｇ（ｘ，ｘ　）＝一　８（ｘ—ｘ　），（０＜ｘ＜ａ，０＜ｙ＜ｂ　ｌ　ＳＯ　’　｛　０＜ｚ＜ｃ）　（３　）　【Ｇ（ｘ，ｘ　：０’　我们写出相应的本征方程　（　＋　）　ｆⅢ　（ｘ，ｙ，ｚ）＝０　（３２）　满足此式并在所有边界面上等于零的本征函数为：　ｎ（ｘＩｙ，ｚ）　ｓｉｎ（　）ｓｉｎ（　）　ｓｉｎ（ｎｒ　ｒ＿＿￣ｚ）　（３３）　本征值为ｋ　＝丌　（与＋　＋　），ｌ，ｍ，ｎ＝１，２，３，……故得　１３．　１３　Ｃ　格林函数为：　Ｇ（ｘＩｘ，）：上善　ｓｉｎ　Ｉ．ｒｒｘｓ１　ｎ　ｌ＇ｒｒｘ＇．ｓｉｎ　Ｌ　ｓｉｎ　ｓｉｎ　ｎｒｒ＿＿￣ｚｓ１・ｎ　汕ａ汕ａ湖　汕　汕ｃ　‘“　丌　（　ａ＋　ｂ　＋　Ｃ）　－　－　　● 　：　　—　２＿　４ｒｒｓｎ　ｒｒａｂｃ　
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邵建军：论格林函数的本征函数展开　如果选择二维的本征值和本征函数来展开，则　Ｇ（ｘ，ｘ　）＝　ａＩｍＳｉ　ｓｉ　ｓｉ　ｓｉ　［ｓｈ（ｋ。　ｚ　）ｓｈ（ｋ　（ｃ一　Ｉｍ　“—　鲫“—　“—　“１　ｌ　ｓｎ　ｍ　ｃ　Ｊ　Ｈ　０　一　ｚ，））］，其中ｚ　（ｚ，）为　ｚ和　ｚ　的较小者（较大者），将它代人　方程，并注意ｋ。　＝　（　１２＋　ｍ２　１／２，　则得。　／Ｋ＂ｔａｉｍ［竹　（　＋　）＋　芝　ｉ　ｌ＇ｒｔｘ＇　ｉ　ｉ　．［　ｈ（’ｋｌｍ　Ｚ＜）ｓｈ（’Ｒｉｍ（ｃ一　Ｊｓｌｎ　ｉ鲫“ａ　“　 ’Ｌ蚰　ＪｓＩ１　Ｌ　Ｌ　ｚ，））］＝一＇－－８（ｘ—ｘ　）８（Ｙ—Ｙ　）８（ｚ—ｚ　），在上式两边乘　ｓｉｎ　￡０　ｌ，ｒｒｘｓｉ　，Ｙ￣ｘ，－ｊ－ｘ，ｙ积分得：　ａ　［　（　＋　）＋妥］ｓｉｎ　ｓｉｎ　 ‘　ａ　ｂａ　Ｄ　Ｏｚ　）・［ｓｈ　Ｈ　Ｕ　（ｋｌ　ｚ（）ｓｈ（ｋ　（ｃ－ｚ）））］＝一　１　ｓｉｎ　８（ｚ　）・　故　得：　ａ　［，ｉｆ２（与　ｎ１）＋　）］［ｓｈ（ｋ。　ｚ　）ｓｈ（ｋ　（ｃ—ｚ，））　．　：一　８（　一　，），对　从　：　，一　到　：　，十　积分，其中　￡＞０且￡一０，故ａｔ　孚ｋｌｍ　ｓｈ（ｋｌｍ　ｃ）：　，ａ，　＝　而４　，Ｇ（ｘ＇　＝　ａｂＥ＾　４　ｓｉｎ　ｓｉｎ　ｓｉｎ　‘［ｓｌ１（ｋｌｍｚ　）ｓｈ（ｋｔ　（ｃ　））］　（３５）　（３４）式与（３５）式相等，则（３４）式中对　ｎ求和，一定正好是　（３５）式中ｚ的一维格林函数在区间（０，Ｃ）上的傅里叶级数：　ｓｌ１（ｋ。　ｚ，）ｓｈ（ｋ。　（Ｃ—ｚ、））　∞ 　一－＝－　＼　Ｃ　ｋ２　＋（　）　球壳格林函数作为　ｘ的函数可以展开为　∞　Ｉ　Ｇ（ｘ，ｘ　）＝。　一ＩＡ　（ｒ＇ｒ　，０　，‘ｐ　）Ｙ　ｍ（ｏ，‘ｐ　把上式代人方程得：　ｒＡＩｍ（ｒ，ｒ　，Ｏ　，‘Ｐ　）　ｇｔ（　，　）Ｙｌ　（Ｏ　，‘Ｐ　）　善（　ｒｆ））一　ｇＩ（ｒ　嘉８（ｒ－ｒ　）　当ｒ≠ｒ，，径向格林函数满足　ｄ２　ｇ一　ｇ：０，ｇ：ｒｇ　，故得　ｇＩ　ｏｒ　ｒ　ｒＡ一＋Ｂｒ一（… ），ｒ＜ｒ　时　（ｒ，　ｉ　ｔ　＋Ｉ），　＞ｒ，时　系数　ＡＢＡ　Ｂ　是ｒｔ的函数，它们决定于边界条件，和ｇ，（ｒ，ｒ　）对　ｒ和ｒｔ的对称性。边界面是ｒ＝ａ和ｒ＝ｂ的同心球面，则当ｒ在　边界面上时，Ｇ（ｘ，ｘ　）等于零，即ｒ：ａ和　ｒ＝ｂ时　ｇ　（ｒ，ｒ　）＝０，　故　ｆＡ（ｒ‘一ａ＿　），ｒ＜ｒ　ｇ　一　　…，　２Ｉ＋Ｉ　一　１　即　ｇ　（ｒ，ｒ　）＝ｃ（ｒ‘　一　）（一１１　一高　），其中ｒ　（ｒ，）为ｒ和　ｒ　中的较小者（较大者）。为求出　Ｃ，考虑（４１）中　８函数的作　用，在（４１）中两边乘以ｒ，并对ｒ＝ｒ　一￡到ｒ＝ｒ　＋￡区间积分，　其中ｅ是一个很小的数，则得：　｛　ｒｇｌ（ｒ，ｒ　｛　ｒｇｌ（ｒ，ｒ，）］　一嘉　（４２）　当ｒ＝ｒ　＋ｓ时，ｒ）：ｒ，ｒ‘：ｒ　，故　｛　（强（ｒ，ｒ，））　＋。：ｃ（　一等）［　（÷一　Ｉ＊１）］ｒ　＝一　｛［１一（号）　‘］［１＋（１＋１）（；）　‘］　同样｛　［唱ｔ（ｒ，ｒ　）］　＝了Ｃ［（１＋１）＋ｌｆ　ａ　，）　 ’］［１一　（亡）　‘］　代人（４２）得：ｃ：————　卫——一　（２１＋１）［１一（　ａ）　… ］　５泊松方程的球壳格林函数的球函数展开　故得球壳格林函数　虽然由电像法得出单个球格林函数是最容易的。但用电　像法求球壳格林函数要牵涉到无穷多个电像点。因此唯一的　最佳方法是将球壳格林函数用球函数展开，假设球壳内半径　为ａ，外半径为　ｂ。　球函数的正交归一性：　ｆ　Ｙ　，（０，‘Ｐ）ＹｌⅢ（０，‘Ｐ）ｓｉｎ０ｄ０ｄｑｏ＝８　８　，　（３７）　球函数的完备性：　∞　１　．　∑ ．ｙ，－，（０’，‘Ｐ’）Ｙｌｎｌ（０，‘Ｐ）＝８（‘Ｐ一‘Ｐ’）８（ｃｏｓ０一ｃｏｓ０　）　（３８）　ｔ　Ｕｌ一一１　１　８（ｒ—ｒ　）＝一　一８（ｒ—ｒ　）８（‘Ｐ一‘Ｐ　）８（ｃｏｓ０一ｃｏｓＯ　）　１　∞　１　８（ｒ—ｒ　ｌＹ・　（０　，‘Ｐ　）Ｙｈ（ｏ，‘Ｐ）　（３９）　Ｇ（ｘ，ｘ，）：一—ｌ＿８（ｒ—ｒ，）　￡０　Ｇ（ｘ’　：挂　　ｔ（　 ’　‘ｃ一　２１．１）（专一　ｒｌ＞）　（４３）　６泊松方程的无穷长圆柱界面的格林函数　假定导体圆柱接地，半径为　ａ，圆柱内单位点电荷处在任　意位置Ｐ＝ｐ　，‘Ｐ＝‘Ｐ　，ｚ：ｚ　，此时二维　８函数定义的通量条件　为　一２　８（Ｐ—Ｐ　）８（‘Ｐ一‘ｐ　）ｐｄｐｄｑ￣＝１　故柱内格林函数是遍及　ｉ和　ｍ的双和级数　㈤　，兰　兰　墨审　煮　一　
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ｌ２　培训与研究 —— 湖北教育学院学报　８（‘Ｐ一‘Ｐ　）＝　１　ｅ　‘… 。　在　ｚ＝ｚ　处，８函数的级数形式为　墨（仑二仑：２曼（虫＝虫：）：ｒ　一旦　］　，　ｐ　ａｚ　ａｚ… 　＝２　 ∑ Ａｉ　Ｊ　（ｋｌｐ）ｋｉｅ　（４４）　对（４４）两边乘　Ｊ　（ｋ．ｐ）ｐｄｐ（ｅｉ　）‘ｃｋＰ，并遍及　ｐ和 ‘Ｐ积分；由　贝塞尔函数的正交性和（ｅ　）‘的正交性得：　… 　：２ｋ．Ａ．　Ｊ．　（ｋ．ｐ）］　ｐｄｐ　＝２ｋ…Ａ　（ｋｉａ）］　：　百　ｅ－ｉ　ｍ　可　研’　故得　Ｇ（ｐ，　，ｚ，ｐ　，　，ｚ　）＝ｕ＝．　三　三　：　・　ｅ　一　－。ｌ‘　。ｅｉｍ（ｅ一　’　（４５）　７三维无界空间　Ｈｅｌｍｈｏｈｚ方程的　Ｇｒｅｅｎ函数的本征函数展开　（８）Ｈｅｌｍｈｏｈｚ方程　Ｇｒｅｅｎ函数的获得　在（１）式中选取　Ｖ（ｘ）＝０，　＝ｋ　，则（２）式的无界空间情　形本征值为　＝ｌ（２，本征函数为　（ｘ）＝　ｅｌＫ￣￣由　（３）式可得格林函数．　Ｇ　ｃｘ，　＝　Ａ　＝　Ｉ南　Ｋ　ｋ　＝　８ｏ　ｎ　一＾　８ｏ　（ｚ订）　‘一‘　Ｊ　ｅ　Ｋ　＝ｉ‘　。　了　酉　ｅｉＫＲｃ￣Ｋ２　ｓｉｎ０ｄＫｄ０ｄ‘Ｐ　＝　』　ｄＫ　Ⅲ ｓ－ｎ０ｄ０　：　ｅｉＫＨ　ｃｄＫ　面　　。ｌ。　＝　』　［ｅｉＫＲ－ｅ－ｉＫＲ］ｄＫ　：南　互　ｅｉＫＲｄＫ，应用留数定理可算出这个积　分，计算结果为：　Ｇ（ｘ，ｘ　）　＝　　１　ｌ８。｛，ｚｒｒ州　　Ｒ＋ｅ“　］｝　：　４　（４６）　，ｒｅｎ　Ｉｘ— ｘ　Ｉ　三维无界空间Ｈｅｌｍｈｏｈｚ方程有发射波解和会聚波解，（４６）是　它们叠加解。　如果我们选取　＝（ｋ＋ｉ　）　，Ｖ（ｘ）＝０，　＝Ｋ　。最后今　一　＋０．则可得发射波解。　Ｇ（ｘ，　：　）－　８Ｏ　ｎ　＾　一　＾　：　１　Ｋ　一（２订）　ｉＲｅｏ　＊Ｋ　一（ｋ＋ｉｎ）　ｄＫ　Ｉｎ ￡　ｌｉ．＋ｏｍ　　＊　　Ｋ　１　一　ｄＫ　应用留数定理计算这个定积分，计算结果为：　Ｇ（ｘ，ｘ　）＝　１　￣１、‰．　ｌｉｍ＋　［２订ｉ丁１　ｃｉ（ｋ＋ｒｑ）Ｒ］　亥姆霍兹方程Ｖ：Ｇ（ｘ—ｘ　）＋ｋ－＂Ｇ（ｘ，ｘ　）＝一　８（ｘ—　ｘ　）的发射波解和会聚波解讨论，单位点电荷处于　ｘ　，当Ｒ＝Ｉ　ｘ—ｘ　Ｉ≠０　ａ￣，而１　ｄ［Ｒ　ｄＧ］＋　Ｇ＝ｏ，　它为零阶球　Ｂｅｓｓｅｌ方　程，其通解为　Ｇ（Ｒ）＝Ａ（ｋ）ｅ－＋Ｂ（ｋ）ｅ＿　其中Ａ（ｋ）和Ｂ（ｋ）由Ｒ＝０和无穷远处的边界条件确定，如果　无穷远处为发射波，则　Ｂ（ｋ）＝０，Ａ（ｋ）≠０，如果无穷远处为　会聚波，则　Ａ（ｋ）：Ｏ，Ｂ（ｋ）≠０．Ｒ＝０处的边界条件需要对　８　（ｘ—ｘ　）积分。　（ｂ）三维无界空间Ｈｅｌｍｈｏｈｚ方程　Ｇｒｅｅｎ函数的球函数展开　亥姆霍兹方程（Ｖ　＋ｋ　）、Ｉ，（ｘ，∞）：０　（４７）　其中　：　，、Ｉ，（ｘ，ｔ）：　、Ｉ，（ｘ，∞）　一・“ｄ∞满足波动程：　、Ｉ，（ｘ，∞）＝　（ｒ）Ｙ　．（０，‘ｐ），ｆｌ（ｒ）：Ａ　．＋｛（ｒ）＋｛Ｎ，＋÷（ｒ）＿ｊ　“ 　’　ｒ２　‘　ｒ２　‘　式（４７）的通解为：　（ｘ）＝＼二［Ａ　ｈ：　’（ｋｒ）＋Ａ．（　２　ｈｌ　（ｋｒ）］Ｙｌ＝（０，‘ｐ）　（４８）　其中球汉克尔函数为：　ｈ　（ｘ）＝（丢）　Ｊ・＋｝（ｘ）±ｉＮｔ＋｝（ｘ）］，格林函数满足（Ｖ　＋　）Ｇ（ｘ，ｘ，）：一　８（ｘ—ｘ，），设出射波形式的格林函数　８０　为：　Ｇ（ｘ，ｘ　）＝　ｇｌ（ｒ，ｒ　）ＹＩ　（０　，‘ｐ　）ＹＩ　（０，‘ｐ），　（４９）　代人方程中，并注意８（ｒ—ｒ　）＝÷８（ｒ—ｒｔ）８（‘ｐ一‘ｐ　）８（ｃｏｓＯ　—ｃｏｓＯ　），８（‘Ｐ一‘Ｐ　）８（ｃｏｓＯ—ｃｏｓＯ　）　：　羔 ∑．Ｙ二（０　，‘Ｐ　）Ｙ，　（０，‘Ｐ），得　ｍ：一Ｉ　［嘉＋÷芸＋ｋ　一　］ｇＩ：一　８（ｒ—ｒ　ｎ了１＿ｌｄ２，ｒｇ１）　］ｇＪ＝一　　８（… 　）（５ｏ）　满足在原点为有限而在无穷远处为出射波的边界条件的解为　ｇ，（ｒ，ｒ　）：Ａｊ，（ｋｒ　）　 ’（ｋｒ，），在（５ｏ）式中两边乘　ｒ，并对　ｒ：　ｒ　一ｓ到ｒ＝ｒ　＋ｓ积分，ｓ－－．０：｛苦（昭Ｊ（ｒ，ｒ　）｝…．＋。一　ｄ　（ｒｇｌ（ｒ，　））【ｒ　一　＇其中　｛　ｒｇｌ（ｒ，ｒ，））｝ｒ　－ｄｒ　ｄｒ　ｄｒ　８０　‘…‘　［ｒＡｊ，（ｋｒ　）ｈ　（ｋｒ）］　＋　｛　（ｒｇ１（ｒ，ｒ　））｝　，．。：　ｄｒ［ｒＡｊ，（ｋｒ　）　 “（ｋＯ　３…．一　一ｘ　一一　一％　● 一百　一４　＝　百　一‰　● 一百　一４　
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邵建军：论格林函数的本征函数展开　￣ ｌ。ａ－　［ｒＡｈ　’’（ｋｒ）］｝ｌ＿ｒ，ｊ。（ｋｒ　）一Ｉ。ａ－　－［ｒＡｊ。（ｋｒ）］｝Ｉ…　ｈ　）　（ｋｒ＇）：一上（５１）　８ｏｒ　用　ｒｔ—　的渐近式来确定常数　Ａ：　ｊ．（　～　１　ｔｃ。ｓ（　一丁１＋１丌）　ｌ１Ｉ（　一　１ｔｅｉｋ　ｒ＇（一ｉ）…　故得　Ａ：ｉ　Ｋ，或者利用朗斯基行列式　８０　ｗ（ｊ　１）＝＿－１　ｗ（ｊｌ，ｈｌ’　）＝一ｗ（ｎ，，ｈ　）　：｛，［ｈ　（　）　（　）一［ｊ。（　）］，ｈｌｔ’（　）：　ｉ　（５２）　其中　ｘ＝ｋｒ，将（５２）４２Ａ（５１）式得　Ａ＝ｉ　ｋ，从而　ｈ３０　Ｇ（ｘ，ｘ　）一　１￡。ｋ．　．（ｋｒ　）ｈ　（ｋｒ，）　．Ｙ・　．（０　，ｔｐ＇）Ｙ　（０，‘ｐ），即证明了　１Ｋ—ｘ　Ｊ　∞ 　ｉ４ｗｋ．　・（ｋｒ　）ｈｌ”（ｋｒ，）　∑ ＹＩ　（０　，‘ｐ　）Ｙｌ　（０，‘Ｐ）（５３）　ｍ　：　一　Ｉ　公式（５３）在电磁多极辐射理论中有重要应用。　参考文献：　［１］Ｋ．Ｆ．Ｒｉｌｅｙ，Ｍ．Ｐ．Ｈｏｂｓｏｎ，Ｓ．Ｊ．Ｂｅｎｃｅ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｅｔｈ—　ｏｄｓ　ｆｏｒ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ａｎｄ　Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ．　Ｃａｍｂｒｉｄｇｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ．　２ｏｏ２．　［２］Ｇ．Ｂ．Ａｒｆｋｅｎ，Ｈ．Ｊ．Ｗｅｂｅｒ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　Ｐｈｙｓｉｃ．　ｉｔｓ．Ａｃａｄｅｍｉｃ　Ｐｒｅｓｓ，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９９５．　［３］Ｊ．Ｒ．Ｈａｎｎａ，Ｊ．Ｈ．Ｒｏｗｌａｎｄ．Ｆｏｕｒｉｅｒ　Ｓｅｒｉｅｓ，Ｔｒａｎｓｆｏｒｍｓ，ａｎｄ　Ｂｏｕｎｄａｒｙ　Ｖａｌｕｅ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ．　Ｊｏｈｎ　Ｗｉｌｅｙ　ａｎｄ　Ｓｏｎｓ．　Ｉｎｃ．，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９９０．　［４］Ｔ．Ｃ．Ｂｒａｄｂｕｒｙ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｗｉｔｈ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｓ　ｔＯ　Ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｐｈｙｓｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ．Ｊｏｈｎ　Ｗｉｅｌｙ　ａｎｄ　Ｓｏｎｓ，Ｉｎｃ．，　Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９８４．　［５］Ｊ．Ｍａｔｈｅｗｓ，ａｎｄ　Ｒ．Ｌ．Ｗａｌｋｅｒ．Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ．Ｗ．Ａ．Ｂｅｎｊａｍｉｎ，Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ，１９７０．　Ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　Ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｏｆ　Ｇｒｅｅｎ’Ｓ　Ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ＳＨＡＯ　Ｊｉａｎ—ｊｕｎ　（Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｐｈｙｓｉｃｓ　ｏｆ　Ｈｕｂｅｉ　Ｅｄｕｃａｔｉｏｎ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｗｕｈａｎ　Ｈｕｂｅｉ　４３０２０５，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｓｐｅｃｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｅｓｓｅｎｔｉａｌ　ｒｅｌａｔｉｏｎ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ　ａｎｄ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｇｒｅｅｎ’ｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．Ｔｈｅ　ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｏｆ　Ｇｒｅｅｎ’ｓ　ｆｕｎｃ　ｔｉｏｎｓ　ｉｓ　ｓｔｕｄｉｅｄ．Ｔｈｅ　ｓｉｇｎｉｆｉｃａｎｃｅ　ｏｆ　ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｅｘｐａｎｓｉｏｎ　ｏｆ　Ｇｒｅｅｎ’ｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ　ｏｎ　ｐｈｙｓｉｃａｌ　ｒｅｓｅａｒｃｈ　ｉｓ　ｐｏｉｎｔｅｄ　ｏｕｔ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｓｐｅｃｉａｌ　ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｉｇｅｎｆｕｎｃｔｉｏｎｓ；ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｓｅｐａｒａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ；ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　Ｇｒｅｅｎ’ｓ　ｆｕｎｃｔｉｏｎｓ：ｌｉｎｅａｒ　ｓｕｐｅｒｐｏｓｉｔｉｏｎ　ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ