物理好图 Hamilton函数是坐标和动量的时间无穷小平移的生成元。

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无穷小正则变换
在3.7节，我们研究了位形空间中的无穷小变换。它们对于建立连续对称性与守恒定理之间的联系是非常有用的。现在我们将无穷小变换扩展到相空间中，考虑坐标和动量的变换。一个无穷小变换的具有如下形式()(),,,,iiiiiiiiqQqfqptpPpgqp εε→=+→=+ (1)
其中，ε是一个无穷小的参数。如果变换是正则的，它就可以由某个生成函数产生，并且该生成函数与恒等变换的生成函数的差别是一个无穷小的函数。由于恒等变换是由第二类生成函数产生的，我们就来寻找生成这个变换的生成函数2F ()2,,iiFqPGqPtε=+ (2)
这里是需要我们确定的。利用前面的关系得到G 22 and iiiiiiiFFGGpPQqqqPεε∂∂∂∂==+==+∂∂∂ (3)
与方程(1)对比我们就得到了所满足的条件G and iiiGGgqP ∂∂=−=∂∂ (4)
如果这样一个函数G存在，那么无穷小变换(1)就是正则的。我们将称为无穷小正则变换的生成元。 G
另一方面，如果（或者G）已知，相应的变换就可以由(3)得到。由于2FiP和ip仅仅相差一个无穷小量（()O 的量级），我们有()(),,,, and iiGGqPtGqptfp∂∂􀀑 (5)
因此，条件(4)变为了
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and iiiGGfgpq∂∂=∂∂ (6)
下面举几个例子。
转动
考虑将坐标轴绕着轴转动一个不依赖于时间的无穷小角度ˆnε，粒子位矢变为()ˆaaarrnrε′=+×􀁋􀁋􀁋 (7)
坐标系的改变也会影响正则动量()ˆaaappnpε′=+×􀁋􀁋􀁋 (8)
因此由(6)得到()()ˆˆaaaaaaaaGrrnrpGppnprεεεε∂′−=×=∂∂′−=×=−∂􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (9)
现在条件(6)变为()(ˆ and aaaaGGnrnppr∂∂=×=−×∂∂􀁋􀁋􀁋􀁋 (10)
它们积分给出()()ˆˆaaaaGnrpnrpn=×⋅=⋅×=⋅ 􀁋􀁋􀁋􀁋􀁋 (11)
因此，坐标系的无穷小转动是正则变换，
与转动轴平行的角动量分量是绕着该轴无穷小转动的生成元。
平移
类似的，你可以证明对于沿着方向的无穷小平移ˆnˆ and aaarrnpp ε′=+=􀁋􀁋􀁋􀁋 (12)
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存在生成元ˆGnP=⋅􀁋 (13)
因此坐标系的无穷小平移是正则变换，
与某个矢量平行的动量分量是在该矢量方向上无穷小平移的生成元。
时间平移
体系随时间的演化也可以看作是一个正则变换。为看出这一点，在方程(2)中令(),,GHqpt=以及dtε=，那么方程(1)和(6)意味着iiiiiiiiHqQqdpHpPpdq ∂→=+∂∂→=−∂ (14)
利用正则方程，我们有()()iiiiiiiiQqqdtqtdtPppdtptdt=++=++􀀅􀀑􀀅􀀑 (15)
Hamilton函数是坐标和动量的时间无穷小平移的生成元。
由于两个正则变换的乘积仍然是一个正则变换，体系随时间的演化就可以看作是无穷小正则变换的乘积，每一个变换都由Hamilton函数所生成。一系列这样的无穷小变换产生了体系的有限的时间平移。
对称性和守恒定理
下面考察if与不显含时间t的情形，此时生成元G也不显含时间t。对于任意一个力学量ig(),Oqp，它在这样一个无穷小正则变换下的改变为
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()(),,iiiOOOOqfpgOqpfgqpδεεε⎛⎞∂∂=++−=+⎜⎟∂∂⎝⎠ (16)
将方程(6)代入此表达式，由生成元所导致的的无穷小改变为GO [],OOGδε= (17)
特别是，在此方程中令OH=，我们就得到H在正则变换下的改变为： [],HHGδε= (18)
因此，如果[],HG = (19)
那么Hamilton函数H就是不变的，0Hδ=。另一方面我们有（由于G不显含时间） t [,dGGHdt= (20)
所以H的不变性是与生成元不随时间变化相联系的G 0dGdt= (21)
如果体系的Hamilton函数在无穷小正则变换下是不变的，那么该变换的生成元是一个守恒量。
这就是对称性与守恒定理之间的相互联系。它相当于Noether定理。与Lagrange理论相比，对称性（不变性）与守恒量之间的联系在Hamilton力学中表达得更加直接，也更加简单：即0Hδ=意味着const.G=。
对于封闭体系来说，由于其Hamilton函数为()(2,11,,22aabaaba HrptTUpUrm=+=+ΣΣ􀁋􀁋􀁋 (22)
它在绕着空间中任意一个轴转动任意一个角度都是不变的，而前面我们已经知道转动生成元乃是角动量沿着转动轴的分量，因此封闭体系总的角动量在任何一个
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方向上的分量都是守恒的，从而总角动量是一个守恒量；类似的，封闭体系总的动量以及能量也是守恒的。
正则变换的性质
最后介绍正则变换的几个重要性质。为此引入下面的矩阵符号： 11110, , 0ssssssqQqQJpPIpPξη××⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎛⎞===⎜⎟⎜⎟⎜−⎝⎠⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠􀀣􀀣􀀣􀀣 (23)
其中ssI×为s维方阵，你可以直接验证矩阵满足下面的性质J 2122, , det1TssJIJJJJ−×=−=−= (24)
性质一：变换
()()(), or ,,tqp ξηηξ→=→ (25)
为正则变换的充分必要条件是其Jacobi矩阵M满足辛条件：
or TTMJMJMJMJ== (26)
这样的矩阵M我们将其称为辛矩阵（证明见附录）。
性质二：变换(),tξηηξ→=为正则变换的充分必要条件是对于任何两个力学量f和， g [][],,fgfgξη= (27)
这里[],fgξ中的微商是相对于变量ξ（或者和）的，而qp[],fgη是相对于新的正则变量η（或者和QP）微分定义的Poisson括号。
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利用辛条件并注意到Poisson括号可以表示为[],TfgfgJξξξ⎛⎞∂∂=⎜⎟∂∂⎝⎠ (28)
这一点是不难证明的，因为根据关系式(A2)我们有[]()[],,TTTTTfgfgfgJMJMfgfgMJMJfgξηξξηηηηηη⎛⎞⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂==⎜⎟⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎛⎞⎛⎞∂∂∂∂==⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎝⎠ (29)
因此Poisson括号在正则变换下不变，反之如果对于任何两个力学量f和，其关系式成立，那么由上式我们就可以得到辛条件。g
性质三：变换(),tξηηξ→=为正则变换的充分必要条件是 [][][],,,0, ,0, ,ikikikikpqpqpqQQPPQP δ== (30)
这是因为对于正则变换，任意两个力学量的Poisson括号不变，因此将方程中的力学量取为正则变量，就可以得到关系；反之，如果关系成立，那么对于任何两个力学量，利用链式法则其Poisson括号可以表示为[][][],,,,,,,,iiqpqpqpiiijqpijfffgQgPgQPfgQQQQ∂∂=+∂∂∂∂⎡⎤=⎣⎦∂∂,,,,,,ijqpijijijqpqpijijfgQPQPfgfgPQPPPQPP∂∂⎡⎤+⎣⎦∂∂∂∂∂∂⎡⎤⎡⎤++⎣⎦⎣⎦∂∂∂∂[],,QPiiiifgfgfgQPPQ∂∂∂∂=−=∂∂∂∂ (31)
因此，基本Poisson括号是正则变换的充分必要条件。
通常我们都是利用性质三（也有人喜欢通过性质一）来判断所给变换是否为正则变换的。譬如对于变换
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(221arctan, 2qQPpp== (32)
由于
[]()222222221,arctan,arctan,,arctan,2arctanarctan1qqQPpqppqqppqqpqpqqppppqpq⎡⎤⎡⎤⎡=+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎦⎣∂∂=−=+=∂∂++ (33)
因此它是正则变换。[另外两个条件,,[,][,]0qpqpQQPP==由于Poisson括号的反对称性是自动满足的。]
此外你不难验证该变换的Jacobi矩阵2222pqQqQppqpqMPqPpqp−⎛⎞∂∂∂∂⎛⎞⎜⎟++==⎜⎟⎜⎟∂∂∂∂⎝⎠⎜⎟⎝⎠ (34)
是一个辛矩阵，即0110TMJMJ⎛⎞==⎜⎟−⎝⎠ (35)
由此也可断定所给变换为正则变换。
性质四：变换(),tξηηξ→=为正则变换，则必有 ()()()()1111,,,,,,det1,,,,,,ssssQPQQPPMqpqqpp∂∂==∂∂􀀢􀀢􀀢􀀢 (36)
从这个性质马上可以得到一个推论：相空间中的体积在正则变换下是不变的11detssiiiiiiidQdPMdqdpdqdp====ΠΠ∫∫∫∫∫∫􀀢􀀢􀀢 (37)
此外，由于量随时间的演化本身也可以看作一系列的正则变换。由这个观,pq
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点以及刚才的推论，我们就又一次证明了Liouville定理。
值得注意的是，如果1s=，那么[det,QPQP MQPqppq∂∂∂∂=−=∂∂∂∂ (38)
因此，我们可以利用Jacobi行列式是否等于1来判断所给变换的正则性。但是对于自由度1s>的情形，Jacobi行列式等于1并不足以说明变换的正则性，举个例子很容易明白。考察变换
(39) 11221122100010000100001QqaQqPpPp+⎛⎞⎛⎞⎛⎛⎞⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟==⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎜⎟⎝⎠⎝⎠⎝⎠⎝
显然对于任意常数该变换的Jacobi行列式都是等于1的，但是a [][][][]121221222,,,,QPqaqpqpaqpa=+=+= (40)
在时是不为零的，由性质3我们知道这个变换就不是一个正则变换。0a≠
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附录A：性质一的证明
利用矩阵，正则方程就可以写为J with iijjiiHHHJJξξ ξξξ⎛⎞ ∂∂∂=⇔==⎜⎟ ∂∂∂⎝⎠􀀅􀀅 (A1)
利用链式法则你也不难证明：对于任何一个力学量f有 TijjifffMηξξηξη∂∂∂∂=⇔= ∂∂∂∂∂ (A2)
其中ijijMηξ=∂∂为变换ξη→的Jacobi矩阵。
作为第一步，先考虑不显含时间的变换t ()ξηηξ→= (A3)
此时 or iijijjjMMηηξξηξ∂===∂􀀅􀀅􀀅 (A4)
因此HMJηξ∂=∂􀀅 (A5)
如果将关系式(26)中的力学量取为H，并将其代入上式就得到THMJMηη∂=∂􀀅 (A6)
显然，如果TMJMJ=，则新的变量η满足正则方程HJηη∂=∂􀀅 (A7)
（由于变换不显时间，因此HH∗=）。反之，如果η满足正则方程(A7)，那么由方程(A6)我们就必然有TMJMJ=。
再看显含时间的情形，即
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(),tξηηξ→= (A8)
此变换可以看作是通过如下两步变换实现的： ()()00,t ξηηξηξ→=→ (A9)
我们已经证明第一步变换（不显含时间的变换）为正则变换的充分必要条件是辛条件，而第二步可以看作是由一系列无穷小正则变换所生成的。所以为了证明辛条件对于第二步变换也同样适用，只需该条件对于无穷小变换GJξηξδξξεξ∂→=+=+∂ (A10)
成立即可，其中ξ为无穷小参数，()Gξ为无穷小变换的生成函数[参看关系式(1)和(6)]。此时 with ijijGGMIJηε ξξξξξξξ⎛⎞∂∂∂==+=⎜⎟∂∂∂∂∂∂⎝⎠ (A11)
由于偏导数的可交换性，因此方阵2Gξξ∂∂∂是一个对称矩阵，而由于的反对称性，因此JM的转置为TGMIε ξξ∂=−∂∂ (A12)
所以TGGMJMIJJIJGGJJJJJεεξξξξεεξξξξ⎛⎞⎛∂∂=+−⎜⎟⎜∂∂∂∂⎝⎠⎝∂∂=+−=∂∂∂∂ (A13)
因此辛条件对于任何无穷小正则变换成立，实际上由于上述过程也可逆向进行，你可以发现辛条件也是无穷小正则变换的充分条件。
如果将式TMJMJ=两边左乘1M−，就得到1TJMM− =，再左乘1JJ−=−，得到1TMJMJ−=−，然后分别右乘J−和M，就得到TMJMJ=。
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附录B：性质四的证明
为了证明正则变换的Jacobi行列是等于1，我们将使用Jacobi行列式的一个常用的性质，即在某种意义下，Jacobi行列式可以象分式一样运算。分子和分母同除以()11,,,,,ssQQqq∂􀀢􀀢，得到()()()()11111111,,,,,,,,,,det,,,,,,,,,,sss sssQQPPqqppMqqPPqqPP ∂∂=∂∂􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢 (B1)
此式可以这样理解，变量从到(,的变换分为两步，首先保持不变，而只是把变为Q，即(,；接着保持Q不变，将变为(,)qp)QPpq)(,)qpQp→pP，即。而总的Jacobi行列式等于这两次变换Jacobi行列式的乘积。Jacobi行列式的另一个性质也直接来源于此解释：如果在Jacobi行列式的分子和分母上出现同样的量，那么Jacobi行列式可简化为较少变量的Jacobi行列式，并且在进行微分运算时，其中被除去的相同的量可看作是常数(,)(,Q ()()()()1111const.const.,,,,det,,,,ssssPqQQppMqqPP==⎧⎫⎧⎫∂∂=⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭􀀢􀀢􀀢􀀢 (B2)
根据定义，分子是矩阵ijijAQq=∂∂的行列式，而分子则是矩阵ijijBp=∂∂ 的行列式，借助于生成函数()2,,FqPt，我们有2222jiijjijjijiijipQFFFABqqPqPPqP∂∂∂∂∂∂∂======∂∂∂∂∂∂∂∂ (B3)
因此A和互为转置矩阵，当然它们的行列式就是相等的，从而关系式成立。B
当然你也可以利用别的生成函数来证明，例如
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()()()()()()()()()()()()()()2211111111111111111111const.con,,,,,,,,,,det,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,1,,,,,,,,,,,,,,1,,,,ssssssssssss ssssssssQqQQPPqqppMQQqqQQqqQQPPqqppQQqqqqQQPPppqqQQ==∂∂=∂∂∂∂=−∂∂⎧⎫⎧⎫∂∂=−⎨⎬⎨⎬∂∂⎩⎭⎩⎭􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢􀀢 st. (B4)
此时11jiijjijjiijipPFFABqqQQqQ∂∂∂∂∂∂==−=−=−=∂∂∂∂∂∂ (B5)
这就是说，分子分母上两个行列式的差别，仅仅在于把所有元素都取负值然后把行列互换，因此它们只相差一个因子()1s−，而()()()()21111ssss+ −−=−=。于是关系式(29)成立。
顺便说一句，这个性质说明辛矩阵的行列式必然为1，因此可以想象，这个结论应该也可以由辛矩阵的定义
TMJMJ= (B6)
得到。但是，如果你将上面的关系式两边取行列式的话，就得到
()()()()detdetdetdetdetTTMJMMJMJ== (B7)
因此()2det1det1MM=⇒= (B8)
这并不是说明辛矩阵的行列式也可以取1−。问题出在什么地方呢？实际上，如果具备一些特殊的代数技巧的话，我们确实可以仅仅由(B6)导出辛矩阵行列式等于1这个结论，只不过这个结论不能由定义式(B6)两边取行列式这样简单的方法得到而已。具体数学技巧在此不再罗嗦了，但是，Hamilton力学无疑为我们提供了一种非常简单的途径。
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附录C：关于判断正则变换的另一种普遍方法
除了辛条件和基本Poisson括号之外，我们也可以利用正则变换的定义来判断变换的正则性，大家还记得变换()(),qpQP→ (C1)
为正则变换的充分必要条件乃是(),,,,iikkpqPQFqpQPtδδδ−= (C2)
如果我们将新变量都利用所给变换用旧变量表示出来，就得到kkikkkiiiQQpPqPpFqpδδδ⎛⎞∂∂−−⎜⎟∂∂⎝⎠ (C3)
这个式子的含义是2s维空间(),qp中的矢量场A (, 1,2,,kkiiksikiiQQ ApPAPisqp+∂∂=−=−=∂∂􀀢 (C4)
是无旋的，即, , jsjsjiisijijij AAAAAAqqpqpp+++∂∂∂∂∂==−=∂∂∂∂∂∂ (C5)
由此可得到{}{}{},0,,0kkkkijijjikkkkijiijjikkkkijijjiQPQPqqqqqqQPQPqpqppqQPQPpppppp δ∂∂∂∂=−∂∂∂∂∂∂∂∂=−∂∂∂∂∂∂∂∂=−∂∂∂∂ (C8)
这样的括号运算通常称为Lagrange括号，你也可以将上面三组基本Largange括号作为判断正则变换的条件。
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