一维哈密顿系统总是可以通过正则变换变换到作用@ 角变量（ ,，#）坐标的" 作用量,为位置! 或动量" 的时间系列包含所有! 及
，一维哈密顿系统总是可以通过正则
变换变换到作用@ 角变量（ ,，#）坐标的" 作用量, 为
守恒量能量+$
的函数，轨道的频率为! ##+$ -#,，
2期李伟等：一个一维周期驱动哈密顿系统的实例及混沌控制!105
位置! 或动量" 的时间系列包含所有! 及其谐波的
贡献，对于一个给定的轨道，# 是恒定的，" !!$ "
"#
，"#
为初始角度$ 如将!（ $）展开为%&’()*( 级数，
!（ $）+ !（#）! %# （ #）"! ,
& ! -%& （ #）.&/ （ &!$），当加入外
力场时，它与谐波&! 产生共振$ 因为! 是能量’#
的函数，当能量变化时共振频率随之改变，因此产生
非线形共振$
一个一维周期驱动哈密顿系统的实例及混沌控制!
李伟!） 陈式刚"）
!）（中国工程物理研究院北京研究生部，北京"!#! 信箱，北京!###$$）
"）（北京应用物理和计算数学研究所，北京!###$$）
（"##! 年! 月!% 日收到；"##! 年% 月& 日收到修改稿）
提出一种新的周期驱动非线性不可积哈密顿系统模型，并对其特性进行了讨论’ 通过简单的非反馈控制装置
对这一系统进行混沌控制，将其混沌轨道分别控制在周期，准周期及指定混沌轨道上’ 与以往的控制方法不同的
是，控制项仅是一结构简单、可调节的限位装置’ 为保守系统混沌控制的实际应用提供可供选择的途径’
!国家攀登计划非线性科学基金、国家自然科学基金（批准号：!&&"###%）及中国工程物理研究院基金（批准号：#""""((#）资助的课题’
关键词：哈密顿系统，混沌控制
!"##：#)()
! 引言
自从*++，,-./012，和30-4.（*,3）［!］的开拓性
工作，提出的闭环控制技术控制系统的混沌，有关非
线性系统的混沌控制的研究引起人们的普遍关
注［"—$］’近来的一些工作涉及对保守系统混沌的研
究及保守系统的混沌控制［&，!#］，特别是周期驱动保
守系统的混沌控制［!!］’ 在这些工作中，一般都选择
一些经典的周期驱动保守系统，例如50-6. 振子，
7088291 振子等作为受控保守系统模型，但是目前可
供选择的这类模型却并不太多，或选择其他的保守
系统，如:;-0++［!"，!%］通过扫描参数空间得到的三维保
守系统，然而这类模型没有明确的物理背景，控制其
混沌仅停留在理论探讨上’ 因此寻找适当的周期驱
动非线性保守系统模型并进行混沌控制是一项有实
际意义的工作’
如果说耗散系统中的混沌研究有重要的实际意
义的话，那么保守系统混沌运动的研究还具有基本
的理论意义’ 对保守系统的混沌控制一般采取反馈
（闭环）控制或非反馈（开环）控制，前者一般使系统
成为耗散的，而后者可以是耗散的（如本文将要讨论
的情形），也可以仍然是保守的，比如周期脉冲控
制［!(］’ 具有周期性时间依赖关系的哈密顿系统特别
适合于研究系统从规则到混沌区的转变，因为系统
的动力学行为由哈密顿方程决定，它的相空间流型
是保体积的’ 特别是，如果哈密顿系统时间依赖项能
被孤立出来（例如50-6. 振子或标准映象），它的周
期和振幅都容易得到控制，由此可以方便的控制非
线性共振区的结构’ 而非时间依赖性的哈密顿系统
（例如<.909>.6 模型）却没有这种简单的特性’
一个依赖于时间，具有! 自由度的哈密顿系统，通
过正则变换等价于! ? ! 自由度的系统，如果原系
统哈密顿量是时间的周期函数，在新的哈密顿系统
中，时间扮演着类似于角变量的角色’
对于单自由度的时间周期哈密顿系统，"（ #，
$，%）@ "（ #，$，% ?!），这里! 是系统周期，情况更
加简单一些，其A029BC-. 截面就是系统的一个闪频
图象’ 具有形式
"（ #，$，%）@ "# （ #，$）?""! （ #，$，%） （!）
的非线性哈密顿系统一般适合D0>E010-0F=G-90>’H=
50-6.（DG5）理论的条件，这里"# （ #，$）表示一个可
积系统，而""! （ #，$，%）是可由"控制的微扰项，当
"很小时，这一项是微小的，因此，这种系统非常适
合于用来研究从规则的可积系统到不可积混沌系统
的转变以及对不可积混沌系统的混沌控制’
" 模型的建立及数值计算
本文提出一种新的一维周期驱动非线性哈密顿
振子简单模型，考虑一个被约束于垂直平面内一维
第)# 卷第$ 期"##! 年$ 月
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物理学报
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单位圆环上非阻尼受迫振动振子，如图! 所示!）" 由
于重力项是非线性的，它是一个非线性哈密顿振子"
在周期外力场的作用下，由于非线性共振，将产生混
沌轨道" 取质量! # !，势函数为"$ # % #&’($ )
!*
%（ $ % $!
）*，这里# 表示重力场，% 表示弹性系
数，$!
表示弹簧的自然长度，$，& 分别表示振子的
位置（用弧度表示）和动量，哈密顿函数可以写为
!）不包括由细线、轻质滑轮及附加质量!! 组成的混沌控制部分，见后文。
图! 非线性振子及控制装置（+）为自由状态；（,）为控制状态
’ # &*
* % #&’($ ) !*
%（ $ % $! % (&’( （!$ )））*，
（*）
(，!$
分别表示周期强迫外力的振幅和频率" 重新
标度后，%! %
#
，)!"#)，&!&-"#，!$!!$ -"#，运
动方程可以写为
*$
# &，
*&
# % (./$ % %（ $ % $! % ((./!$ )）" （0）
设% # $"*$12，$! #"3 0，当振幅( # $ 时，系统是可
积的，但是当( 4 $ 时，它是不可积的，强迫振动外
力引起相空间的非线性共振，在相空间共振重叠区，
相空间流型包含混沌轨道" 共振区的大小尺寸及分
布由未受扰动的哈密顿系统’$ # &*
* ) "$ # +$
的结
构来决定" 未受扰动的哈密顿系统’$
的相空间闪
频轨道图象如图*（+）所示（每隔时间!) # 5" !1 取
样一次，除图1（+）外，本文中其他图形都如此）" 可
以看出它具有类似6788./9 振子双井势的结构（与
6788./9 振子不同的是它不具有左右对称的结构），相
空间具有两个椭圆不动点，分别对应势能的两个最
小值+!
，+0
，双曲不动点对应中间极大值+* （不稳
定平衡点）" 如果能量+ : +*
，左右两个包含椭圆不
动点的区域由分界线分隔开"
图* （+）为未受扰动的哈密顿系统’$
的相空间轨道闪频图
象，参数为% # $"*$12，$! #"-0，每隔时间!) # 5;!1 取样一次，右
上方小图表明$ 与势能"$
的关系，分界线对应能量+*
；（,）为
当( # $"!$ 时，在分界线邻域存在混沌轨道，其余大部分相空间
保持为 曲面，类似于未扰动的情况，系统参数同（+），外力
强迫振动频率!$ # !;!?；（&）为( # !;*5 时的情形，以椭圆不动
点为中心形成规则轨道区，在其边缘可以看到由5 个岛和? 个
岛构成的链，在他们之间由 曲面所隔开" 在这之外，轨道是
完全混沌的，系统其他参数同（+）
原则上讲，一维哈密顿系统总是可以通过正则
变换变换到作用@ 角变量（ ,，#）坐标的" 作用量, 为
守恒量能量+$
的函数，轨道的频率为! ##+$ -#,，
2期李伟等：一个一维周期驱动哈密顿系统的实例及混沌控制!105
位置! 或动量" 的时间系列包含所有! 及其谐波的
贡献，对于一个给定的轨道，# 是恒定的，" !!$ "
"#
，"#
为初始角度$ 如将!（ $）展开为%&’()*( 级数，
!（ $）+ !（#）! %# （ #）"! ,
& ! -%& （ #）.&/ （ &!$），当加入外
力场时，它与谐波&! 产生共振$ 因为! 是能量’#
的函数，当能量变化时共振频率随之改变，因此产生
非线形共振$
与0’11)23 振子的情况类似，在分界线的邻域
内，由于自然频率! 趋于零，其谐波&! 密度较大，
在这一区域内可以聚集大量的共振带，因此只要(
4 #，这一邻域内总是存在混沌轨道，如图5（6）所
示$ 直观看来，在分界线的邻域内，由于存在不稳定
平衡点’5
，轨道是不稳定的，因此特别容易受到外
力的扰动$ 当( ! #$ -# 时，除分界线的邻域外，大部
分相空间保持为789 曲面，类似于未扰动的情况$
因为共振条件是! !!# : &，当( 逐渐增加，从
分界线的邻域开始，由于相邻主共振带相互重叠，
789 曲面相继破裂，以左边椭圆不动点为中心，由
外向内，相空间中越来越多的区域成为混沌的，但
是，对应最小能量’-
附近的区域内，满足共振条件
的主共振带间隔较大，不容易发生相互重叠，因此相
空间结构基本保持不变，靠近中心的转数为无理数
（789 环）的不变圆在受扰时仍保持其拓扑结构，只
是相对于原相空间其形状及位置偏离了未受扰的
圆$值得注意的是，这是一维驱动保守系统（具有势
能平方项）混沌轨道的一个共同的特点，例如描述交
叉储存环中质子运动的;*2&2 映象［-
线性项强度的参量增加时，混沌轨道的区域也是以
稳定椭圆不动点为中心，逐渐由外向内扩展的$ 在中
心规则区与混沌海交界的区域，相邻主共振带相距
较近（但可能还未发生相互重叠），容易观察到由非
线性共振引起的复杂的相空间结构$ 根据>&)2.?(*@
A)(BC&11 定理，在有理转数及其邻域处，受扰后形成
以椭圆不动点为中心的周期岛的链，在椭圆点相间
地存在同数目的双曲点，在双曲点的邻域存在同宿
点，异宿点，及被789 曲面所限制的浑沌区，在无理
转数（789 环）及其邻域处，保持拓扑结构不变$ 图5
（.）可以清楚地看到
们之间由789 曲面（或是相应的D?2E&( 环面）所
隔开$
F 混沌控制
下面我们讨论对这一系统的混沌进行控制$ 在
保守系统的混沌控制中，选择合适的控制项是一个
关键的问题$ 控制项的加入使整个系统复杂化，为了
控制住系统的混沌轨道，往往控制项的复杂性就超
过了被控制系统本身［-G］，虽然有些控制项采取比较
简单的形式，例如延时控制，但是导致系统总的维数
增加［G］$ 自然，在实际应用中，总是希望控制项可以
尽可能的简单，例如对原系统增加简单的非反馈控
制装置［-H］，在实际控制过程中被证明是有效的$ 我
们的计算中，控制混沌的装置是一个简单的限位装
置，见图-，它比被控制系统更加简单一些$ 通过一
根连线连接一附加质量!) 到这一振子上，当$ ! $.
时，I ! I ! !.
，连线被拉紧，直到条件I ! I 4 !.
不被满
足$即当满足I ! I 4 !.
时，将振子质量改变为- "
!)，但是在$ ! $.
时，振子动量的改变量为!" !
+ !)
- "!)" $ 控制强度通过!) 及!.
调节，当!) 比
较小而!.
有较大值时，控制强度较小$ 因为只有当
I !（ $）I 4 !.
时，控制项才起作用，而且只能控制
I !J?K I 4 !.
的轨道$ 在受控情况下，运动方程为
*!
! " "!"#（ $ + $.
），
*"
! + /)2! + +
- "!)$（ !）
（ ! + !- + (/)2!# $），（L）
其中!" ! + "!)
- "!)
，$（ !）!
- I ! I"!.
# I ! I M ! { .
$ 控制
项可以起到耗散能量的作用，它使整个系统成为耗
散的$ 控制的目的实际上是利用它的耗散性质在哈
密顿系统中选出低周期（或低动能）的椭圆形周期轨
道$耗散系统在动力学方面与保守系统具有不同的
特征，由于耗散作用，相空间体积在演化过程中会逐
渐缩小，因此处于不同初始条件的系统在经历一段
时间的暂态过程后，会收敛进入同一个或不同的吸
引子中$ 我们用数值模拟的方法对参数为+ !
#N5#LH，!. !":F，!# ! -N-=，( ! -N5
系统的数值计算，当控制参数5N-= M !. M 5$
周期、准周期、以及混沌吸引子轨道，当!. M 5$-=
时，存在更加靠近中心不动点的准周期轨道，但由于
控制强度较大（对系统的影响也较大），在此不加讨
论$ 受控系统表现出耗散系统的一般特征$ 通过调整
开始控制点的位置!.
及附加质量!) 的大小，对于
一般的初始状态，系统会经过几十到几百个驱动周
期时间的暂态过程后，分别收敛于这些轨道上$
-LF= 物理学报
图! 对图"（#）所示混沌轨道的控制（$）为轨道初始条件!% & "’(，"% & ) *’%，控制参数为!# & "’!((，!# & %’+，相当于在+!(,的位置加入
控制，结果将混沌轨道控制在( 个规则岛构成的链上；（-）为轨道初始条件!% & "’(，"% & ) *’"，控制参数为!# & "’"./，!# & %0 %.，即在+!%,
位置加入控制，可以将混沌轨道控制在如图所示的准周期轨道上；（#）为轨道初始条件!% & "’(，"% & ) *’%，控制参数为!# & "’+/（+"(, ），!#
& %’+，轨道被控制在由. 个规则岛构成的链上；（1）为当初始条件取为!% & +’%，"% & !’%，控制参数为!# & "’+2（+"*’(, ），!# & %’%. 时，则将
其控制在( 周期轨道上，计算中取步长为%0%"，并舍弃前(%%% 步的暂态过程
很明显，控制系统的吸引子不是原来系统的周
期轨道0 问题是控制系统的稳定轨道与原系统轨道
有什么联系0 对受控过程进行数值模拟，首先通过控
制让系统进入稳定轨道，然后撤去控制0 我们发现在
撤去控制后，系统仍然在原轨道附近运动，例如图!
（1）及图*（$）分别表示受控后的( 周期轨道（实际
是转数为*3( 的轨道）闪频及轨迹图象，将撤去控制
后"%%% 个周期内的轨道闪频图象图*（-）与图!（1）
比较，可以看出，控制实际上是将系统引导到它本身
的周期（准周期）轨道附近0 在图*（$）中标明了受控
区域，控制仅作用在图中!#
位置竖线右边的范围
内，可见耗散是很小的，当周期驱动泵入的能量刚好
与控制消耗的能量相当，达到动态平衡时，系统进入
稳定的状态0 这说明控制的作用只是将系统引导到
45$6789: 指数等于零的原哈密顿系统的椭圆形轨道
附近，而小的耗散很容易就将椭圆形轨道附近的
45$6789: 指数改变为负数，形成稳定轨道0
* 结论
本文引入的控制项（ !#
，!#）是非反馈、耗散性
的，在控制过程中，!#
具有较大值，而!# 不到振子
质量的百分之十，这表明控制作用相对较弱，对原系
统的影响不大0 在数值模拟实验中，我们发现在相同
控制参数的情况下，如果具有不同的初值，可以将其
控制在不同的稳定轨道上0 同样，我们用不同控制参
数将不同初值的混沌轨道控制到图! 中* 条稳定轨
道的一个上0
一般，在!# 一定的情况下，!#
取较小值，则能
将轨道控制在图! 中比较靠内更加稳定的轨道上，
当!# ; "0(!（+*(, ），如果!#
任意取初值的轨道将无法有效控制0 控制参数的选
取关系到保守系统到耗散系统转化的动力学性质，
耗散系统吸引域结构及吸引子之间转化等几个重要
而艰深课题，本文没有涉及0 另外，在讨论中，没有考
虑到系统本身受耗散力（例如摩擦力）的影响，也没
有考虑到系统受噪声的影响，在实际控制过程中，必
须对这些因素进行考虑，因为前者使系统的长时间
行为必定成为耗散的，而后者影响到控制的鲁棒性0
虽然如此，并不影响本文结果定性的意义0
/期李伟等：一个一维周期驱动哈密顿系统的实例及混沌控制+*!2
图! （"）表示图#（$）的受控后% 周期轨道（实际是转数为!&% 的
轨道）的轨迹图象，右边竖线表示每次控制起始的位置，控制仅作
用在图中!’
右边的范围内；（(）为撤去控制后，经过)*** 个周期
时间的轨道闪频图象
［+］ ,- .//，0- 123(456，7-8- 942:3，"#$% - &’( - )’** - ，!"（+;;*），
++;
［)］ =- >- ?6//4，@- A- B"CD34，E- >- @F"G4，"#$% - &’( - )’** - ，!#
（+;;*），#)++-
［#］ ,-B- HCG/，"#$% - &’( - )’** - ，!$（+;;+），+;%#-
［!］ B- B4I，J-=- EC2FKI，72- ，J-?- E"632，L- 16MMD，"#$% - &’( -
)’** - ，!%（+;;)），+)%;-
［%］ N- O3/24P，N- 1"DF"2，7- E"D323，Q- @K4R"M/32，+,*-.’（>4GS
$4G）&!’（+;;#），)!*-
［- @F"G4，=- >- ?6//4，7- =36DD，/01’20’，
(#$（+;;#），+)#*-
［U］ Q- OI2"5"D，"#$% - )’** - ，)’$*（+;;)），!)+-
［V］ 7- ,- @- @4’4M"2，?- =- @C:4R，?- 7- 1"C/K632，"#$% - &’( - ，
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［;］ 9- 0- >"6，E- ?6G5，0- 123(456，"#$% - &’( - ，+"$（+;;#），V
［+*］ 8- .M4CW6，?- J3I’K3GG3，"#$% - &’( - ，+!*（+;;;），
［++］ L- =C，L- LKC，0- LK"G5，"#$% - &’( - ，+#$（+;;;），#
［+)］ 7- 0- @F24//，"#$% - )’** - ，)((%（+;;U），)U+-
［+#］ 7- 0- @F24//，"#$% - )’** - ，)(!!（)***），+;-
［+!］ =- >6，30*, "#$% - /12 - ，"%（+;;;），%V+（6G 0K6G3D3）［李伟，
物理学报，"%（+;;;），%V+］-
［+%］ @- 1- 0K3G，E"F "G$ 0K"4D（A"/64G"M ?3T3G’3 XG$CD/2I O23DD，Y36S
Z6G5，+;;)）（6G 0K6G3D3）［陈式刚，映象与混沌（国防工业出版
社，北京，+;;)）］-
［+
［+U］ B- >"G5，Q- Q4("I"DK6，5666 7 - 8-,2* - 69’0*.:2 - ，’!（+;V*），
#!U-
［+V］ A- 7- 04224G，@- ?- O3/K3M，Y- 8- H4FF32，"#$% - &’( - )’** - ，
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+!#V 物理学报%*卷
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