李-杨证明：热力学极限是相变的必要条件,粒子数(或体积）趋于无穷, 但是密度有限，称为热力学极限

配分函數
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配分函數是一個統計物理學中經常應用到的概念，統計物理學通過對大量微觀粒子統計行為的計算，將微觀物理狀態與宏觀物理量相互聯繫起來，而配分函數就是聯繫微觀物理狀態和宏觀物理量的橋樑。

正則系綜的（固定溫度體系的）配分函數的定義是：


其中

為能級的簡併度。求和對系統所有能級進行；

kB為玻爾茲曼常數； T為體系的絕對溫度。

不難看出配分函數實際是體系所有粒子在各個能級依最可幾分布排布時候對體系狀態的一個描述。由配分函數可以方便地求出體系的內能、熵、自由能等等熱力學量。

內能的表達式：


自由能的表達式：


熵可以從以上線性組合得到：



如果體系的能量中包含類似 的一項，其中廣義力，，是微觀態的一個函數；則是一個參數。那麼廣義力的平均值為


作為一種特別情況，壓強的表達式是：

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相变与临界现象郭文安北京师范大学物理系2009 年 4 月
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相（Phase）：热力学系统（或它的一部分）如果具有均匀的物理性质，称为处于某相。比如水可以处于固相，液相，气相。相变(Phase Transition)：从一种相转变成令一种相。比如冰融化就是水的固液相变。
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丰富多彩的相变与临界现象► 水的三态之间的转变► 铁磁，顺磁，反铁磁之间的转变► 超导体与正常导体的转变► 超流与正常流体的转变► 几何相变：渗流► 量子相变：光晶格BEC的超流-绝缘转变等等
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相变与临界现象总伴随着热力学量的奇异性：不连续或发散！
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现代物理学把相变分成两类一级相变(First Order Phase Transition)：内能不连续（潜热），两相（或多相）共存。
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连续相变(continuous phase transition), 或二级相变(Second orderphase transition)：内能连续（没有潜热），两相（或两相以上的相）区别消失成为新的相。比热，磁化率等自由能二级导数发散。二级相变点称为临界点(Critical Point)。在这点附近系统表现出非常特殊的性质称为临界现象(Critical Phenomena)。
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临界现象更有兴趣！单轴各向异性铁磁体m ∝ tβ,t = (Tc − T)/Tc, Tc: 居里点，临界点2D : β = 1/8; 3D : β = 1/3: 临界指数
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靠近Tc,χ =∂m∂h∝ t−γ,2D : γ = 7/4; 3D : 4/3在Tc,h ∝ mδ,2D : δ = 15; 3D : 5
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比热：3D,c ∝ |t|α,α ≈ 0.1096 ± 0.00052D特殊, 对数发散c ∝ −ln(t).可以认为α = 0.
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上面的现象在所有临界点都类似，但临界指数可以不同。
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怎么描述这些现象？统计物理
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具体步骤：1. 写出系统Hamiltonian(能量与微观状态的关系）:H = H(Γ),2. 计算配分函数（自由能）：Z =∑Γe− H(Γ)kB T其中e− H(Γ)kB T 叫Boltzmann权重，反映一个微观状态出现的几率，或权重。3. 对自由能微分：内能，压强，磁化强度....再微分：比热，磁化率.....
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例子描写单轴铁磁体的Ising模型:H =∑−Jsi sj − h∑ksk = E − hM,sk = ±1,J > 0,
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如果没有外磁场，Z =∑Se−βH=∑EΩ(E)yE ,y = e−β,β = 1/kBT 能量与熵的竞争EWOmega−E/kTe
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如果存在外磁场，Z =∑Se−βH=∑M∑EΩ(M,E)xMyE ,x = eβh.对Z微分求出比热，磁化率，磁化强度，临界点....
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等一下，这样行吗？Z是x,y的多项式: 非常光滑，对大量微观状态求和或积分只会使函数更光滑。可是：相变的时候热力学量有跳跃或发散！（对ln Z的微分）历史上这是个大问题：1937荷兰会议，不得不表决, 一半对一半！
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等一下，这样行吗？Z是x,y的多项式: 非常光滑，对大量微观状态求和或积分只会使函数更光滑。可是：相变的时候热力学量有跳跃或发散！（对ln Z的微分）
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李-杨理论Z =∑M∑EΩ(M,E)xMyE = 0,把x = eβh先看成复数，在复平面上求Z的零点！(没有实解）他们证明：如果Z在热力学极限下有逼近正实轴的根，那么热力学函数就会奇异。粒子数(或体积）趋于无穷, 但是密度有限，称为热力学极限
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李-杨证明Ising模型根在复平面的单位圆上。如果系统低于临界温度Tc, 热力学极限下，零点逼近正实轴！也就是在eβh = 1,(h = 0)处, Z就会奇异。热力学极限是相变的必要条件。在此条件下，请大家放心：统计物理可以描述相变。
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Onsager 的里程碑看似简单的Ising模型，求解异常困难。对二维Ising模型的求解是统计物理理解相变问题的里程碑！2.533.544.555.566.570.440.44020.44040.44060.44080.4410.4412cTc ∝ kB ln|(T − Tc)/Tc|
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杨振宁的磁化强度00.20.40.60.811.21.21.41.61.822.22.4mTm ∝ (|(T − Tc)/Tc|)1/8,
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三维Ising模型解？2046？
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为描述丰富多彩的相变与临界现象，我们有丰富多彩的模型:1.Potts,2.O(n),3.vertex models:4.AT model,....我们还有伟大的求解家：Onsager, 杨振宁, Lieb, Baxter, 伍法岳，...
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这模型一个一个地解下去了...有一点我们不能满意：一个模型一个解法，有没有通用的近似方案？好象量子力学里面的微扰论？有人说，我们还是不能很好地理解临界现象，因为我们无法作出很好的近似计算
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伟大的Landau，从另一个角度出发了
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在相变点附近，考虑序参量φ(r)：密度差，磁化强度，宏观波函数...φ(r)不是原子尺度的物理量，而是宏观小微观大的物理量。高温时序参量为零，对称性高，有序度低。低温是序参量不为零，对称性降低，但有序度高。序参量在临界点自发地变成不为零，叫对称的自发破缺。伟大的概念！
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Landau-Ginzburg HamiltonianH =∫dr(|∇φ(r)|2 +12aφ(r)2 +14bφ(r)4 + ···),配分函数：Z =∑{φ(r)}e−βH,Z中哪一项贡献最大？或者最可几位形是什么样的？φ(r)均匀，a/2φ2 + b/4φ4 + ···最小。
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平均场: 忽略其他可能的位形, 只看最可几位形F = −kBTlnZ ∝ a/2φ2 + bφ4/4 + ···Landau假设：a = a0(T − Tc),b > 0, 求使F极小的φ. 1. T ≤ Tc,φ = 0 2. T --------------------------------------------------------------------------------
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还可以计算临界指数: 比热不连续，但是不发散，α = 0磁化强度：m ∝ (T − Tc)1/2, β = 1/2磁化率：χ ∝ t−1, γ = 1状态方程：h ∝ m3, δ = 3致命的弱点：1. 与空间维数无关。2.所有问题临界指数一样。
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沿这条路走下去...高斯近似：考虑空间不均匀，计算所有可能的φ(r)，也就是包含φ的涨落.但是假设涨落不太剧烈，所以在临界点附近，(≈ 0), 可以忽略φ(r)4以上的项。也只能忽略，因为不会作临界指数：β = 1/2,γ = 1,δ = 3有点进步：α = 2 − d/2
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此路不通临界点附近涨落是巨大的，不能忽略的！关联函数：G(r) =∝e−r/ξrd−2+η,ξ称为关联长度，在临界点附近：ξ ∝ t−ν,在临界点发散，无穷大所以, 在临界点上G(r) ∝1rd−2+η,代数衰减。ν, η是两个新的临界指数。
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可以证明：磁化率χ ∝ − 2∝∫G(r)dr,G(r)的代数衰减, 或者说，ξ的发散，是导致χ发散的原因！
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有没有别的方法来理解临界现象？重整化变换理论K.G. Wilson
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有没有别的方法来理解临界现象？
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Wilson的研究生课题：三维Ising模型。Wilson计算机很好，数学天分差点，怎么办？Wilson想：能不能不直接求配分函数，而找到奇异性？
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实验物理的发现气液临界点：β = 1/3,δ ≈ 4.5铁，镍，三溴化铬等的临界点：β = 1/3,δ ≈ 4.5
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吸附在石墨表面的氦单原子层的比热，跟二维单轴铁磁(2DIsing)临界发散一样！
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普适性：临界指数有空间维数和序参量维数（或相互作用对称性）决定，与具体的物质，相互作用形式（只要是短程的）无关。人们可以据此划分普适类！
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标度律对所有的临界现象或模型：α + 2β + γ = 2α + β(δ + 1) = 2γ = ν(2 − η)α = 2 − dν只有两个指数是独立的，怎么解释？
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重要信息：临界系统是自相似的!用多大的放大镜看都是一样的！关联长度无限大，所以用多大尺子（单位可以是：10−9m,10−8m,10−7m, , ...）量都一样（无限大）。
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RG 变换示意：
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变换前后：Z(K1,K2, ...) = Z(K1,K2, ...),f (K1,K2, ...) = b−df (K1,K2, ...),自由能不变！但是：ξ =ξb, 临界点特殊：关联长度还是无穷大！无限小标度变换b =1+ dl下，很像个参数空间的运动方程：dKi /dl = fi (K1,K2, ..)临界点是这个运动的不动点，但是不稳定
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山坡上滚小球：奇异性的起源-1-0.500.51-4-2024x(t,x0)x0小球的运动方程：dxdt= −V(x)dx无限长的时间之后看小球，它的位置是初始位置的不连续函数（奇异！）
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真实的系统情况要复杂些：不同的模型流向同一个鞍点，它的不稳定方向决定临界指数（一般有两个）。同一个鞍点决定一个普适类！
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重正化理论的进一步发展：共形场论假设临界系统不仅标度不变，而且旋转不变。标度因子可以随地点不同而不同。
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研究临界现象的另一条途径数值方法: Monte Carlo, Numerical Transfer Matrix借助于重整化理论，我们可以把在有限尺寸上作的计算外推到热力学极限去！有限尺寸标度作数值工作需要什么才能？
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研究临界现象的另一条途径数值方法: Monte Carlo, Numerical Transfer Matrix借助于重整化理论，我们可以把在有限尺寸上作的计算外推到热力学极限去！有限尺寸标度
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O(n) 自旋模型O(n) 自旋模型(自旋位于晶格格点上)H = −JkBT∑〈i,j〉Si · SjSi 为n维矢量, 相互作用满足 O(n) 对称性，故称 O(n) 模型n = 1,Ising模型n = 2,经典XY模型n = 3,经典Heisenberg模型
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O(n) 模型的圈表示配分函数(自旋形式)Zspin =∫∏w(Si · Sj )∏kdSk1. 展开成多项式2. 积分掉自旋变量只有形成圈(Loop)的项不为零=⇒ O(n) 模型的圈表示Zloop =∑GxNb nNl每个图形G代表一项(不为零的), x = J/kBT ”棒”权重, Nb棒数,Nl 圈数
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O(n) 圈模型一个典型位形, 在配分函数中的贡献为x16n2在圈表示中n可以是连续的实数,甚至是零!例如: n = 0, 可以描述聚合物(Polymer)
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圈模型相变物理特性的Monte Carlo演示n=1.5x=0.58(高温相)x=0.61(低温相)在临界点, 无限长的圈开始出现序参量可定义为发现无限长圈的概率
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临界指数n = −2cos(πg), 1 ≤ g ≤ 2 是库仑气体作用常数yt =1ν= 4(1 −1g)=2 − Xtyh = 2 − η/2=1+3g8+12g= 2 − Xh每个不同的n给出一个不同的普适类注意: n是连续的实数
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n > 2时是否存在相变或临界现象?1.随着n的增大, 到n = 2时, 相变是非常弱的KT相变:比热不发散,低温相没有长程序2.Kuntz和伍法岳(JPA, 1988): 在n > 2的区域, 解析证明配分函数没有奇异性
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n > 2时是否存在相变或临界现象?1.随着n的增大, 到n = 2时, 相变是非常弱的KT相变:比热不发散,低温相没有长程序
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Monte Carlo 模拟n=10左图:高温右图:低温最大圈的长度没有随系统尺寸发散: 找不到无穷大的圈! 没有原来意义的相变当权重x足够大时, 圈在蜂巢晶格的三套子晶格中选择一套占据,从而导致对称破缺!
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Monte Carlo 模拟n=10左图:高温右图:低温最大圈的长度没有随系统尺寸发散: 找不到无穷大的圈! 没有原来意义的相变
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我们的结果: 新相图详情见: 郭文安, Blöte, 伍法岳, PRL, 85, 2000
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近来的工作：1. 寻找新的相变
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2. 寻找新的普适类
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3. 发展新的算法
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4. 几何性质：分形维数
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探索量子相变：量子Monte Carlo,
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谢谢