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§第三章 一维问题

§3.1 一维定态的一些特例

1, 一维方势阱问题，Landau 与Pauli的矛盾

《无限深方势阱》

这是本章第一个例题，也是最简单的对一类物理问题的数学近似模型。但有关它的动量波函数及其衍生问题却引起过争论，甚至导致严重误解：“量子力学的数学是错的”。

研究一维方程，其中位势为

(3.1a)

于是定义在整个轴上的方程现在分为三个区域：第I区，第II区，第III区。由于I区和III区中（无穷位势问题见讨论i,），为使方程成立，这两个区域中的波函数必须为零 —— 即有边界条件。说明微观粒子即便具有波动性，也难以渗透进非常高的势垒区里。于是坐标波函数求解只须对第II区进行，

(3.1b)

有时，这里的边界条件被简单地写作[1]。但由于对阱外情况未作规定，这种提法是含混的。参见下面有关讨论。

显然，在第II区内方程通解为



这里出现两个待定系数、和一个待定参数（它的数值将决定阱中粒子的能量）。为了确定它们，利用两个边界条件（加上总几率归一条件，一共也是三个），即



由此得，。最后，阱中粒子的能级和波函数分别为

(3.2a)

(3.2b)

这虽然是一个最简单的例子，鉴于存在不少观点分歧，需要作一些讨论说明：

i, 无限深方阱的势函数是对实际物理情况作出的近似的数学模写。因为

第一，介质中势能不可能真是无限大；

第二，势函数也不可能是严格的阶跃。

容易给出能够近似认定某一势函数为无限深方阱的条件。设实际阱壁高为，可将近似认作无限高的条件是：，是问题中涉及的最大能量。同时，设势函数两端显著上升的尺度为，波函数有显著变化的尺度为，可认作阶跃变化的条件为。因此，对很大的高激发态情况，势函数将难以被模型化为无限深方阱。此外，更不应当由这种人为的近似模型导出Hamilton量不厄密等等损及量子力学理论体系的结论。

ii, 当为奇数时，波函数是对称的



当为偶数时，波函数是反对称的



（这里已略去无关紧要的波函数整体相因子）。各个能级上波函数的节点（零点，不计两个端点）个数为：基态（）无节点，第一激发态（）有一个节点等等。而且可以看出，阱中各能级的波函数按的奇偶性区分为奇函数和偶函数，也就是说有

(3.3)

iii, 求解结果表明，若用势阱（或势垒）从空间上限制微观粒子的活动，也即，将它们内禀波动性——de Broglie波局域化，则由于波自身干涉结果必定导致波频率的分立化（注意，经典物理学中所有波也均如此），但由de Broglie波的特性，频率分立化就意味着能量量子化。即使对基态，粒子的动能也不为零，说明阱中粒子从不静止。这里，故，，代入不确定性关系，给出。由此可知，若将一个粒子禁闭在宽度的局部区域中，相应的动能便有



参考基态能级表达式，再次可知§1.3的排除粒子静止概念是正确的。另外注意，由于边界条件的存在，总能量（3.2a）虽然也是阱中粒子的动能值，但却不是动能算符的任何本征值。(3.2b)式也不是动能算符的本征函数。其实，阱内任何定态都是各种动量（及动能）本征态的叠加态（见v, ），它们由势阱约束着不色散而成为定态（否则将呈自由波包色散，见§3.3）。

iv, 将波函数用复指数来表示，并近似地配上因子，可得



因此若仅就阱内而言，可以形象但却近似地说：阱中粒子波函数是两个反向传播的de Broglie行波叠加而成的驻波，是阱中de Broglie波在边界处多次反射相干叠加的结果，类似于两端固定的一段弦振动。这里强调指出，这两个行波并不严格单色，因为它们仅仅存在于有限区间内。如同光学中有限长度的光波波列不会是严格单色波一样，也见下。

v, 基态动量波函数问题。上面说过，此问题边界条件有两种不同提法。它们对求解阱内的坐标波函数没甚么影响，由此分歧，Landau 和Pauli给出了不同结果，引发了一些混乱，甚至导致有人对量子力学的严重否定。

一方面，Landau 等人做法是[3]，将上面定义在全实轴上的基态波函数作富里叶积分变换，便得到无限深方阱中粒子的动量波函数：



代入表达式，注意阱外为零，即得阱中粒子动量几率分布

(3.4a)

注意，（3.4a）式为连续分布。

另一方面，Pauli求解时，直接采用第iii条两个“单色波”中所含的基态的两个“动量”。由此，Pauli认为[1、2]，

（3.4b）

（3.4b）式表明阱中的动量谱是两个在全实轴上反向运动的单色de Broglie波叠加而成的驻波。

显然，两种结果很不相同。究竟谁正确？或是两者都对？两者都错？实际的文献讨论中，几种观点全有表述。事实上，波函数、动量算符及方程都应当定义在整个轴上，而不只是定义在势阱内，正确边界条件应当是，而不是。

这里问题的关键在于：阱内坐标波函数是定域解，边界条件的选取对求解阱内的坐标波函数没有影响。但是，动量波函数是非定域的，边界条件的选取对求解阱内的动量波函数有影响。就是说，阱内的动量波函数分布不仅取决于阱内坐标波函数的形状，而且还取决于阱外坐标波函数的形状。又可以说，如果对阱外坐标波函数作不同的处理，就可以得到阱内动量分布的不同答案。(3.4b)式正是错误处理阱外坐标波函数的结果：在完全不影响阱内坐标波函数求解的情况下，将含混提法“两端点为零的边界条件”不自觉地再推广为“等间距为零的周期边界条件”，从而求得坐标波函数的周期解——这等于将阱内坐标波函数向全实轴作了周期性的延拓。 (3.4b)式正是这个坐标波函数的周期解的动量分布。大家知道，坐标波函数周期解的阱外部分并不符合现在问题，当然它的动量分布也就不符合阱内的现在问题。

可以验证（见习题5），仅当向经典趋近，比值很大（或很大）时，正确解（3. 4a）式才逐渐过渡为（3. 4b）式。就是说，（3. 4b）式才逐渐正确起来。由这些分析可知，第iv条中两个指数上的参量并不是严格的物理的动量（特别是当或较小时）。

这还可以从下面装置的分析中得到佐证。有一块无穷大并足够厚的平板，取厚度方向为轴，板上沿方向开一条无限长的缝，沿轴的缝宽为。电子束由板的下方入射。分离掉电子在和方向的自由运动，单就电子在方向运动而言，便是一个（沿方向）无限深方阱问题。设在板的上方正轴某处放一接收电子的探测屏，便可以观察狭缝出来的电子在此探测屏上沿方向的偏转，偏转大小与电子在方向动量的大小有关。由此并结合分析（3.4a）式可知，如值较小，必定是一个单缝衍射分布；只当值较大或向宏观过渡时，屏上电子分布才逐渐过渡到两条（沿轴的）细线分布，也即，(3.4b)式逐渐准确起来。

其实，无限深阱问题只是个模型而已。此模型中用到位势的突变和无穷高势垒假设。其实，物理学中许多常用的数学和物理概念，如：质点、无头无尾巴的平面波、其小无内的点、其大无外的∞，等等，都只是一些人为抽象出来的、理想化的、绝对化的概念。虽然用起来时常是简便的，但其实它们在自然界中并不真实存在，有时甚至还会惹出麻烦。

Henri Poincare 说：几何点其实是人的幻想。甚至说：“几何学不是真实的，但是有用的。”[5]

按照他对几何学的深刻认识，我们也可以说：

V = ∞ 不是真实的，但是有用的。

从思想方法来说，全部困惑的根源正在此处：将势垒V = ∞这件事看成是物理真实的了。对它过度的执着干扰了我们对真实物理世界的认识，并且带来许多不必要的困惑和烦恼。

文小刚也说[6]：

理论物理中的很多概念并不代表真实。

所以，每当遇到由数学简单化、绝对化带来问题的时候，注重物理、返回自然界的物理真实，再行考察。记住这点有时是很重要的。

参考文献

[1] 泡利物理学讲义，第5卷：波动力学，第二章，§7。 洪铭熙等译，人民教育出版社， 1982年。W. Pauli ，《Handbuch der Physik》, eds. by H. Geiger and K. Scheel, Vol. 24/1, Springer, Berlin, 1933。 他于1956-1958年在苏黎世联邦工业大学物理学位课程两次授课中，依然如此讲法。

[2] L.N.Cooper,《物理世界（上、下）》，杨基方等译，海洋出版社，1984。第184页。

[3] 朗道和栗弗席茨，量子力学（非相对论理论），上册，§22， 高等教育出版社，1980年。Fermi,《量子力学手稿》，罗吉庭译，西安交通大学出版社，1984年，第60-61页。

[4] 国内自1983.6起，见大学物理、光子学报等杂志：

《一维无限深势阱内粒子的动量分布》，两篇文章，

1994，7；

《关于同一问题的不同解法》；

《编者的话》；

《谈谈量子力学中的动量算符》；

《也谈正则动量算符之争》；

《编者的话》；

《也谈一维无限深势阱内粒子（基态）的动量概率分布》

，1998，7；

《关于量子力学基础的一个质疑》，光子学报，1997，9；

《也谈量子力学的基础》，光子学报，1998，4；

……。

[5] Poincare: 《科学与假设》，叶蕴理译，商务印书馆，1989年，第63、65页。

[6] 文小刚，《量子多体理论》，高教出版社，2005。第19页









《有限深方势阱》

这时位势为

(3.5a)

这里讨论束缚态情况——阱中粒子能量。显然，前面无限深阱问题是这里>>的极限情况。

这时方程按势阱分区而分解为三个区域性方程。分别设三个分区波函数为，则三个分区方程为

(3.5b)

或写成



三个分区波函数解分别为



由于现在的定态是个束缚定态，粒子在处波函数为零。所以这里已分别略去了和中正指数项，因为它们当时发散。这里波函数解中有一个待定参数（它决定和），和四个待定的系数，，和，共五个。另一方面，在处波函数及其一阶导数连续，计有四个方程，再加上一个全轴波函数归一条件，一共也是五个方程，可供决定这五个未知数。

由于，在边界上函数和其一阶导数连续，必定也有函数对数的导数连续。如果只对问题的本征值感兴趣，不想求出波函数，就可以使用在边界上波函数对数的导数连续，即

(3.6a)

这样做的好处是在边界条件等式中预先消去了待定系数、、，从而绕过对它们的计算而直接去决定本征值。于是在处的两组边界条件就成为

(3.6b)

也即



由此得知：若要等式成立，必须或。

先讨论情况，这时。边界条件为



令，，上面条件成为

(3.7)

另一方面，由和的表达式可知

(3.8)

联立方程(3.7)和（3.8）即可得出此问题的能谱。一般可用图解法求解，即在平面上，以坐标原点为圆心，半径为做圆周，此圆周与曲线的交点即为所求的值，再由它们中任一个定出相应的能量本征值。由于曲线是多分支曲线（例如，对应，有等无穷多个值），因此交点可能不止一个，也就是能级可能不止一个，具体多少个要看半径大小，也就是大小而定。但无论多小，由于曲线有一个分支经过坐标原点，所以它与圆周至少有一个交点(即一个能级)存在。就是说，无论方势阱多浅多窄，至少有一个形如的束缚定态存在。具体见图三.4.a。

再讨论情况。这时，边界条件为

(3.9)

此条件与相结合，用图解法即可定出相应能谱。由于方程（3.9）各分支曲线都不经过原点，这两个条件方程有无交点要看的数值而定。在第一象限内（，），当时，并且当从趋向时从趋向。因此若要有交点，圆周半径不应小于，也即



这就是阱中能够存在形式为解的条件。

显然，当，这里的结果将趋向前面无限深方阱的结果。作为习题，读者可自行验证。

2, 一维势垒散射问题

与前面问题不同，这是一个非束缚态问题，即在无穷远处有粒子存在，所以波函数不能归一化。它是一类包括隧道贯穿和势垒散射等问题的概括。例如，核中粒子衰变、金属中电子的光电效应、自由中子穿过板状磁场等等。

为简化计算，假定势垒为矩形，粒子自左向右朝向势垒运动并经受势垒散射和透射。

这时，能量为的定态方程按势垒分区而分解为三个区域性方程

(3.10)

区分两种情况求解这个方程组：

《第一种情况》——入射粒子总能量高于势垒。（3.10）解为

(3.11)

这里， 。结合时间因子考虑即知：是向右运动的平面波，为向左运动的平面波。在I、II两个区域内存在向左运动的反射波。而在III区中只存在向右运动的透射波，不存在向左运动的反射波。

考虑到势垒本身并不吸收或产生粒子，势垒两侧的几率流密度应当相等。这导致在处波函数及其一阶导数连续的边界条件，于是可得



为便于计算，将这些方程改写成矩阵的形式，





利用任意满秩二阶矩阵和其逆矩阵的关系



可得





消去、两个系数，由这两组方程可得势垒两边波函数振幅之间的关系，





由此得到透射系数和反射系数为



(3.12)



(3.13)

注意，由于所用的边界条件已经保证了边界两侧的几率流密度相等，上面、的表达式自动满足几率守恒条件

(3.14)

另外，应当指出的是，如果入射粒子的能量满足下面条件

(3.15)

则反射系数为0，透射系数为1，即入射波将全部透过势垒，这种现象称为共振透射。出现这种现象的原因是，这时在势垒第一个界面反射的波和在势垒第二个界面上反射波（包括在势垒中往返多次反射）在第一区内相消干涉，从而使第一区中的反射波消失。光学中已经知道，在一个介质层两侧的两个反射波之间有附加位相差存在。现在，

在势垒两个界面上的反射情况类似于一个介质层两侧的反射情况，从而知道这两个反射波之间已有位相差存在。因此，只要在势垒中往返的附加程差为波长的整数倍，即便导致两束反射波的相消干涉。

这种共振透射现象在波动现象里普遍存在。比如，光学薄膜的无反射透射、波导中的阻抗匹配以及低能电子从惰性气体上散射的Ramsauer-Townsend效应[2]等等。

《第二种情况》——入射粒子总能量低于势垒。这时由左入射粒子的波函数在I、III区中形式不变，只有第II区它改变为

(3.16)

这里指数为



此时求解可利用前面的结果，只要在前面公式中将，并利用下面公式



就能得到此时结果为

(3.17)

(3.18)

同样，依然有



理由当然还是和前种情况一样。当，即势垒较高、透射不容易的情况下，

(3.19)

这时和的关系呈负指数衰减的形式。这里的分析对许多势垒隧穿现象（隧道效应）——如粒子衰变等，有重要应用。

3, 一维谐振子问题

在经典力学中，一维谐振子问题是一个基本问题，它是物体位置或其它物理量在平衡值附近作小振动、小摆动、小涨落等问题的理想化的概括。在量子力学中，不但情况类似。甚至一维量子谐振子问题更为基本。因为它不仅仅是微观粒子在势场稳定平衡位置附近作小振动等一类常见问题的理想概括，而且还是将来的场量子化的基础。

众所周知，处在势场中的粒子在其平衡位置附近作小振动时，可对势场V(x) 作Taylor展开并只保留到最低阶不为零的项。设平衡位置，选取能量标度的零点使V（0）=0，在平衡位置处一次项应当消失，即，于是



如果平衡是稳定的，则有＞。除非振动的幅度比较大，否则不必进一步考虑展开式中非简谐的高阶项。这类物理问题的例子很多，比如，原子核内核子（质子或中子）的简谐振动、原子和分子内部的简谐振动、固体晶格上原子的简谐振动、甚至一个多自由度系统在其平衡态附近的小涨落、小振动、小摆动等等，在引入简正坐标之后也可以约化为一系列退耦的一维谐振子运动的叠加。

总上所述，一维量子谐振子的位势可表示为

（3.20a）

相应的方程是

(3.20b)

显然，由于时，所以，即在这种平方增长势阱的囚禁作用下，粒子运动将是局域化的。为方便计算，将方程自变数无量纲化，引入自变数变换



并令，可得



这里，为节约符号仍然记。下面求解这个方程。当时，这个方程趋于方程，可知在大数值下，解的渐近行为中起主要作用的因子为。略去含的一个，因为它会导致波函数不能平方可积。于是引入函数变换



这样，这个未知函数方程就转化为下面方程，



此方程在有限值处无奇点，可以设定解的形式是个待定的幂级数，



其中为一系列待定系数。将这个待定解代入的方程，逐项决定其系数，



此方程要求左边相同幂次各项的系数之和为零。由此就得到系数之间有如下递推关系



注意，这里奇次幂各项之间的递推（由出发）和偶次幂各项之间的递推（由出发）分别独立进行。于是可以分开奇、偶项的求和。如果参数数值不等于某个正奇数，就总不会等于零，这个递推公式将一直工作下去直到无穷，解就成为一个无穷级数，



当时，的渐进性质主要取决于较大的项。现在当很大时，由递推关系可知，这两个无穷级数各自相邻项的比值都趋于

，（不论的奇偶，只需很大）

这正是函数展开式当幂次很大时相邻两项的比值。于是，中这两个无穷级数都是发散的，发散速度都接近函数的发散速度。并且，由于奇次幂无穷级数为奇函数，偶次幂无穷级数为偶函数，奇偶性状不同，两个发散还无法相互抵消。总而言之，时发散。这不符合对的物理要求。由此可知，的幂级数应当截断，即参数必须是某个正奇数，记为。这时系数递推将终止在有限的第项，方程就成为阶厄米方程，



其解为阶的厄米多项式，



它们前几个是：

（3.21）

这些具有以下正交归一性质

（3.22）

并且满足递推关系：

（3.23）

而波函数解也将满足波函数的各项条件。于是，一维量子谐振子的能谱和波函数的表达式为

(3.24)

这里已经归一化了。前三个能级的几率分布见图[3]。

由于量子谐振子问题十分重要，下面简要讨论并小结一下量子谐振子的有关结果：

首先，计算任一能量本征态的平均动能和平均势能。

第二章中已用Virial定理证明过，量子谐振子的平均动能等于平均势能。 下面换一种办法计算。前面叙述过，不显含时间的算符在任一定态中的平均值不随时间改变。现将此结论用到算符上，有（下面略去算符记号“”）



∴ (3.25)

这说明在谐振子的任一定态下，动能与势能的平均值相等。即，平均值情况符合经典图象。

其次，强调指出，在能量本征值问题上量子谐振子与经典振子有两个显著不同的特点：第一，能量本征值随量子数n的变化不但是断续的，而且是等间距的，间距只和振子的固有频率有关。这正阐明了Planck能量子假设的物理根据。因为，任何量子系统，如果可以认为它在做简谐振动，那么它的能谱特征都是如此（绝对黑体空腔内的电磁场也不例外）。能谱的这种均匀间距特征和势场为形式密切相关。第二，最低能态（通常称为“基态”）的总能量并不为零，而是大于零：

（3.26）

这个称为零点能。就是说，当温度趋于绝对零度时，无论是电磁场的简谐振动还是晶体点阵上的原子振动均已处在基态。但按照量子力学观点，作为量子谐振子，它们却依然在振动着。因为，这时平均动能大于零，并且平均平方位移也不等于零：

（3.27）

第二个方程推导见下。这两个物理量不为零的确表明量子谐振子仍然在振动着。这种振动常被称为零点振动。事实上，低温下射线Bragg弹性散射强度分布依然和刚性点阵结果不符，说明这时点阵的零点振动依然存在。同样，后面第八、第九章中将讨论电磁场这种零点振动能造成可观测的物理效应——Casimir 效应和 Lamb移动。“能量量子化”和“零点能存在”是量子振子能谱不同于经典振子能谱的两大特点。而且，“存在零点能”的现象即使在Planck假设中也是没有表现出来的。这两个特点都是粒子波动性的体现：前者由于粒子de Broglie波的自身干涉；后者来源于粒子de Broglie波所固有的不确定性关系，说明动能为零值的de Broglie波没有什么意义[4]。实际上对谐振子基态有



这里，由于，，所以，也类似。若令



则有

(3.28)

所以，量子谐振子的基态是具有“最小不确定度”的状态（这是研究的最早的相干态，详见第五章有关叙述）。

第三，研究量子谐振子向经典谐振子过渡的问题。图三，7是n较大时的情况。图中虚线代表按经典观点，在谐振子势阱中找到质点的几率密度分布（单位长度内发现粒子的几率）。由图可以看到，就平均的观点而言，当量子数n越大，量子结果和经典结果越接近。其中，经典按下面方法计算出：当质点能量为时，它被绝对地限制在由下式决定的区间之内：



在处间隔内的粒子出现的几率正比于它在该处间隔内停留的时间，即



这就是上面两个图中虚线的来由。

第四，注意在第个能级上有个能量子。与此同时，当为偶数时，波函数为偶函数；当为奇数时，为奇函数。这暗示谐振子的单个量子的内禀宇称是负的。

第五，谐振子在Fock空间中的表示很常用，见后面§5.6节。

第六，研究与温度为的热库相接并达到热平衡的大量一维谐振子。将这个谐振子集合折算成一个谐振子。按照Maxwell-Boltzmann分布律，这个谐振子处于能量为态的概率为



这里，为Boltzmann常数。显然，折算而成的这个态并不是一个由单一波函数描述的纯态，而是一些纯态按不同概率权重实行非相干混合的混态(混态概念见§12.3)。即，这个谐振子处在态的概率为处在态的概率为，等等。这是一个纯态系综。由此可知，谐振子处于温度为的混态时，对应频率的平均能量为

除零点能的第一项外，这正是前面的Planck公式。可将其中因子看做声子（或光子）在能量为态上的平均占有数，这是Bose-Einstein分布（参见附录3）。

至于自由度数目随频率的变化，应随系统不同而不同。比如，由于黑体腔内边界条件不规则，腔中热辐射电磁场所含频率将是连续的，在区间内的自由度数可按经典理论计算（见§9.7）。

4, 一维均匀势场问题

这是如下一些问题的概括：重力场中的粒子[5]和均匀电场中带电q

的粒子。当重力方向或电场强度的方向指向负轴时，势能（不计任意常数）均可表示为

（3.29a）

这里或。这两个势能里的零点（也即x坐标的零点选择）可按情况选定。所选V的零点不同仅相当于系统总能量E的零点的定义不同，并不给问题带来实质性的变化。

考虑如图的问题。在处，有一刚性墙壁（在此处势突变升至）[6]。此时的方程为

(3.29b)

引入无量纲参数



当时，，从经典观点来看，这是能量为E（现假定>0）的粒子所能达到的最大高度。就是说，以此点为分界线，为经典不容许区域；为经典容许区域。在这样的自变数替换下，方程变为Airy方程

(3.30)

它的两个线性无关解和均称为Airy函数[7]。其中，不符合物理边条件，应当捨去（这是因为，当时，必有），所以在区域内有限且平方可积的解为



这里为区间上的归一化系数。为运算方便，按大于或小于0的情况分别将写为

(3.31)

应用的边界条件，得到决定能量本征值的方程为

(3.32)

上式中的。满足这个方程的所有值的集合即为此问题的能谱。注意，由于处的边界条件已将粒子局域化，所以能谱呈现出分立的情况。

※讨论：

i, 如上所述，区域是经典容许区域。现计算向经典趋近时，此区域中粒子在不同位置出现的几率分布P（x）。这时可假设，也即. 利用贝塞尔函数的渐近表达式[8]，



代入上面在区域中的表达式，得



由于势场V(x)随x变化，这相当于折射率n为非均匀的介质中光波波包的运动[9]，这时等效波长是位置x的函数，由于



得



当时,, 发生快速振荡。将此快速振荡抹平，也即在宏观尺度下讨论位置分布概率时，实际上已就很多个的空间范围取了平均。这样一来，在内找到粒子的概率便成为





另一方面，按经典观点有



得



并且在内找到此经典粒子的几率正比于它在此处的速率，



可知当时，量子力学分布趋于经典分布。

ii, 对的区域，按经典观点是禁止区域。但按量子力学，仍能有一定的几率在此区域内发现粒子。这显然又是物质粒子de Broglie波波动性的表现，是纯粹的量子效应。当（即）时，由于



由在区域的表达式可得



表明在此区域内的概率分布随增加而迅速衰减，这显然是由于外场的势能呈线性增长并最终变得很大的缘故。而当（）时，，此区域就逐渐变成经典运动的禁区。

※ iii, 现在来研究取消处刚性墙的约束而出现的现象。这时可认为，利用的渐进表达式，将前面的能量本征值方程简化为



即



也即



于是



这里n的选取要足够大，以保证在足够大的时，仍然有。由于是待定的参数，和都是独立变数（n的变化只限于整数范围），鉴于这时，所以连续变化，从而过渡到连续谱情况。详细可参见文献[10]。

※5, Kronig-Penney问题

序 言

Kronig-penney势是从晶体周期势抽象出来的无穷长的矩性周期势模型。当两个独立的单个方势阱彼此靠近时，两者产生相互影响，使每个方势阱中原先各个能级的空间波函数，以对称或者反对称方式连接而成为两体纠缠波函数（按全同性原理的Fermion情况，此时两个阱中两个电子的自旋波函数也可能纠缠起来，以使得这个两体波函数总体为反对称的）。于是，原先单个方阱中的每个能级（不但有移动，更重要的是）将劈裂成两个能级。如此继续，当许多方势阱彼此靠近，形成Kronig-penney势时，在此周期势中运动的电子，原先单阱能谱不但有所移动和变形，更重要是它的每个能级都将劈裂、拓宽成为一个能带。这是晶体内电子运动的最重要特征。

由此模型出发可以半定量或定量地解释固体中的许多现象。下面处理这一重要问题。

求 解

设电子总能量，作为一般考虑，假定第n谷中的波函数为[11]

(3.33a)

于是第0至第1谷情况区段中波函数解为

(3.33b)

这里。注意，系数、中分别含有相因子、（为方便起见，这里、的定义和本书前面一维势垒例子采用的不同）。把处的四个边界条件写成矩阵形式，





于是



按逆矩阵的一般公式求出两个逆矩阵，即得



这里。

令，于是



，

这里，，均为实数。最后得系数递推公式

(3.34a)

(3.34b)

称为波函数递推矩阵，体现周期势的全部特性。可取任意整数。

能谱讨论

下面讨论Kronig-penney势的能谱问题。为此预先考查这个系数递推矩阵的本征值。设的两个本征值为，即



由上面叙述已知，于是得到

(3.35)

根据所有阱中波函数都必须有限的物理要求，即得如下限制条件

(3.36)

这是因为，如果，由表达式可知两个中必有一个模值大于1。不失一般性取，于是，而同时，又有，这将导致处的阱中波函数发散，这是违背物理要求的。当，。当时，均为复数，且，但又由于，因此的模均为1，从而可将它们记为

(3.37a)

实参数K和能量E有关，并且由下面条件决定



即



将前面、表达式及代入此式，得到

(3.37b)

这是情况下决定电子能谱的公式。

若，只须作替换，并注意双曲函数与三角函数的关系（），就得到另一公式

(3.37c)



下面讨论公式(3.37b、c)。它们是此系统的能谱公式，决定电子在Kronig- penney势中运动时，容许具有的能量E。

，(3.37b)式。因（设），当E取值满足

整数 （3.38a）

时，(3.37b)式右边第一项为，第二项为零，等号不成立。显然这些E（及其附近区域）是被禁止的。于是电子能谱便被分割成一系列的能量带，中间所夹的被禁止的能量间隙称为禁带，它们包含着方程所决定的点。

，(3.37c)式。由下式决定的能量及其邻域是被禁止的

整数 （3.38b）

从而构成了在这些点附近的一个个禁带。此条件可用如下考虑得到：将它们代入公式(3.37c)得

(3.39)

由于，大括号中量大于1，无解，即由该式所决定的能量（及其邻值）属于禁带。说明当时，电子能谱也具有带状结构。

这里电子能谱呈现带状结构的结论是在矩形周期势阱这一特殊情况下得出的。但实际上，对任何形状的周期势阱，电子能谱均呈带状结构，只是间隙的位置和宽度等细节不同。这个来源于电子波动性质的结论对了解固体物质许多基本性质十分重要，并且是固体电子论中不可缺少的基本内容。

以上是就两个方程成立与否谈起的，说明当E取某些区间内的值时，等式不成立，即无K值对应。就每个单个能隙（禁带）来说，能隙的上、下限能量值必定总是使得；



也就是说，能隙的上下限必满足

整数

于是若作的图，则为

特例: Dirac梳

Kronig-penney势的一个特例是Dirac梳。这是令每个势垒区域在保持面积（）的前提下无限减薄（）的结果（见书中习题20）。这时(4.5a)简化为



由于势垒宽度，两个相邻函数间距也就是此时谷宽。

Kronig-penney势的本征函数问题

分别记本征值和的两组本征矢量为和。比如，从的本征方程



可得



所以



上式的第二步等号用到了下面等式



于是，可取

(3.40)

由此处本征方程和递推(3.34a)式，得知和。从而，第n个谷中电子的波函数为：



这里是周期函数，其周期和Kronig-penney势的周期相同，即



由此，电子波函数具有（情况类似）

， (3.41)

这里K称为Bloch波矢，这种波函数（Bloch平面波乘以适当的和势同周期的周期函数）称为Bloch波函数。

最后还应当指出，这两个波是线性无关的，除非。 当时，这两个解相同，都代表着驻波。这是因为由



代入,对第一个方程平方，将第二个方程代入后再开方，即得



于是



这是驻波解。由于解对应于，故

(3.42)

这两个驻波解相应于能隙上下限的带边情况。

Floquet定理与晶体能带论近似

上面针对Kronig-penney势求得了(3.41)式形式的Bloch波函数。Bloch波函数的特征对周期势具有普遍性，这便是下面Floquet定理：

电子在一类周期势中运动时，其定态波函数总可以表示成一个平面波（其波矢称为Bloch波矢），乘以适当的与势同周期的周期函数。

证明：周期势具体形式不同将导致具体形式不同（以及矩阵不同），但因为方程是二阶的，在每个谷中都有两个待定的系数。鉴于势的周期性质，各个谷中波函数之间应当满足(3.34a)，即



现在的递推矩阵当然不再是原先形式。根据任意两个谷中电子概率密度应当相等，即



取为的一个本征矢量即知，这导致



即



说明这个矩阵是一个幺正矩阵，本征值在单位圆上。就是说，本征值是两个相因子。于是可以记成类似于(3.37a)的形式，



此处再次称为Bloch波矢。一般地，将第个谷中对应的正本征值的波函数记作



这里，是和周期势形状有关的某个函数，具体形状由求解此周期势方程而定。函数中的自变数已标明为，n为任意整数。于是



显然，是某个和周期势有相同周期的周期函数。于是属于(3.41)式定义的Bloch波函数。 证毕。

仔细分析可知，上述晶体能带论的这种做法是建立在三个近似假设的基础上。其一，单电子近似——将某一电子之外的其他所有电子对此电子的作用看作平均场，这样就把晶体中多电子问题简化为单电子在平均场中运动问题；其二，原子核运动的绝热近似——原子核质量远大于电子质量，在同样物质温度下，原子核运动速度远小于电子运动速度。所以研究电子运动时，可以认为原子核是静止的；其三，晶格势的Kronig-penney势近似。



※§3.2 一维定态的一般讨论

有了上面这些一维事例的具体认识，现在可以进一步叙述一维定态的某些普遍特征。除第二章所讲方程的普遍特征之外，一维方程还有如下几个一般性结论。

1, 本征函数族完备性定理

[定理1] 如果一维分立谱Hamilton量中的在任意态中的平均值有下界，即对任给的一个单值、连续、可微（除有限个孤立点外）、平方可积函数，若存在一个不依赖于的常数 c，使得

(3.43)

则此Hamilton量的本征函数族是完备的。

证：依据§8.3的Courant-Hilbert完备性定理(分立谱H有下界、无上界，H本征函数族完备)，只须证明此系统Hamilton量H有下界、无上界即可。事实上，H是有下界的。因为，按定理条件，有



此式对任意态均成立。同时，H又是无上界的。因为，取（未归一化）波函数，显然它满足定理中所设的条件，即得



当时，，于是不论有无上界，将随而无上界。

讨论：

i，这相当于证明了这一类量子系统的能量是可观察量。

ii, 此处所述定理，第一，比柯朗. 希伯尔特《数学物理方法 (I)》中Sturm-Liouville方程的本征函数完备性定理宽松得多。因为那里要求势函数在定义域内为连续函数。第二，这就是李政道《粒子物理学和场论》（山东科学技术出版社，1996年，第9页）中的论断。

iii，此定理有一个特例：即势作为x的函数有下限。显然这能够确保H有下界无上界。此特例李政道已在《场论与粒子物理学》叙述，见李政道早先所著《场论与粒子物理学》，上册，北京：科学出版社，1996年第13页例1 。特例显然包括了谐振子情况。

iv, 初看起来，库伦势情况并不包容在定理1内。因为，库伦势中运动粒子的能谱，其上限虽然为正无穷，但不全是分立的，在正能区为连续谱。而且(3.43)式积分是否收敛也不明显。但中心场处存在自然边条件，因此对任何物理波函数，(3.43)积分总是收敛的（详见§4.3.2）。只要对正能区采用足够大体积的箱归一，以满足要求的精度将能谱（波矢）分立化，就可以包容在定理1中。于是，从箱归一到全空间归一的渐进角度看，库伦势场中的波函数族（包括负能量的束缚态和正能量的散射态）也是完备族。

2, 束缚态存在定理

[定理2] 在一维Hamilton量中，如果非常数势V(x)满足： i, , ii, , iii, 对任意波函数，有常数c存在，使得. 则此系统至少存在一个束缚定态。

证：设势阱V(x)如图。在此势阱内，总可以选取一方势阱



使得对所有x值均成立。众所周知，在此方势阱中，至少有一个束缚定态存在，它对应的本征能量为负值。若令， 有



于是在态下，



同时，按前面定理1，H的本征函数族是完备的（这里为方便，只写断续情况。若谱是连续或包含连续部分，则下面推导只需将相应的部分由单纯求和转为求和加积分即可）。于是可写



所以



可见至少有一个态，满足



这个定态对应负能量，当时，，是个束缚态。证毕。

讨论：此定理意味着，在这种一维势场中运动的粒子，其能谱一定包含分立的负值部分[12]。

3, 无简并定理

[定理3] 若一维势V（x）在有限x处无奇点，则对应全部束缚定态波函数都是不简并的。就是说，这类一维问题的分立能级无简并。

证：假定两个束缚态波函数、对应同一分立能级E，则有



由此得



将此式作不定积分，得



由束缚态在无穷远处，定出此常数为零。得到

,

二阶线性齐次微分方程两个解的Wronski行列式在全定义域上恒为零



表明、线性相关，相差常数倍[13]。即有



按波函数的含义，和代表同一个状态。证毕。

讨论：

i, 显然，这里结论对正能量非束缚态并不成立[14]。比如周期势情况，在节点处两侧波函数的对称连接或反对称连接就会产生状态的简并。

ii, 这个一维束缚态无简并定理有一个简单的推论：一维束缚态的波函数总可以取成实函数。这是因为，H是实的，若是解，则也必定是同一能级的解。又由于非简并，要求两态相同



考虑到、均是归一的，c只能是个相因子。于是可得



可见，只要取新的波函数



即得归一化的实数值的波函数。由此可知，以前的一维束缚态问题中，上的复数共轭记号其实是多余的。

4, 零点定理

[定理4] 如将一维问题的分立谱波函数按其本征值递增顺序编号，则属于第个能级的本征函数，在其定义域内有限值处共有个零点。其中，基态的无零点。

证明参见文献[15]，因为一维方程即是该处所研究的Sturm-Liouville型方程的特例。

讨论：i, 应当指出，在二维、三维、甚至任意维情况下，分立谱（）基态都无零点。详见上面文献第346页。

ii, 从分立谱基态无零点这一结论出发，可以证明任意维问题的分立谱基态都是不简并的。因为，如果简并，便至少有两个不相关的本征函数、对应同一个基态能级，它们任意线性组合也属于这个能级。但选择组合系数、，总可以使任一给定点成为零点。这和i, 中结论相矛盾。这一推论也可以表述为：一维方程分立谱问题不存在自发破缺。



§3.3, 一维高斯型波包的自由演化

这里以Gauss型波包的自由运动为例，说明时间演化计算。

设初始时刻波包的概率分布为gauss型分布，于是初始时刻波函数即为

（3.44）

现在来研究它在自由运动情况下随时间的演化。注意，此时Hamilton量并不含时，之所以是含时问题，纯粹由于初条件（不是单色de Broglie波）的原因（参见第十一章）。

按第二章所述，第一步是将此展开为平面波的叠加，



其中



第二步是将展开式中的每一个平面波组份（它们都是自由粒子方程的定态解）乘以时间因子，即可得到

（3.45）

代入表达式，并利用广义Gauss积分（或广义Fresnel积分）

（3.46）

这里可为任意复数，只要它的虚部不小于零（显然，当即为Fresnel积分，而当即为Gauss积分）。完成对的积分，



接着再用该积分公式完成对积分，最后得到



即 (3.47)

这里。与（3．44）式相比，（3.47）式表明：t=0时刻峰高为，峰宽为的高斯波包，自由演化到时刻，成为峰高，峰宽的高斯波包。说明在自由演化中，高斯波包高度逐渐变矮，宽度逐渐加大。这就是常说的“波包弥散”。这一现象的物理根源是：即便在真空中自由传播时，de Broglie波的传播速度也与频率有关，即根源于de Broglie波固有的色散性质。这和光波在真空中传播时无色散呈鲜明对照。由于自由传播中的de Broglie波也存在着色散，因此否定了把粒子看成纯粹是个波包的偏颇观念，因为人们从未看见一个稳定的微观粒子逐渐变“胖”的现象。即便探测从宇宙深处来的经历长期飞行的粒子也未发现此种现象。说明了不能用波动学说片面地取代波粒二象性；正如同不能按经典观念用粒子学说片面取代波粒二象性一样。

如果计算（3.47）式位置和动量的不确定性，可以发现，

(3.48)

不确定性逐渐增加。这是由于自由演化中，因色散不断增加，而动量则是此时守恒量，其概率分布保持为初始分布不变，或者说，与内积积分中的时间演化算符对易，所以的平均积分等于初始时刻数值（习题21）。和谐振子的对比可见p.164。

80




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[1] 这种用法见泡利《物理学讲义》第五卷，详见下面讨论v的脚注。

[2] Ramsauer-Townsend效应更容易在小原子的散射中观察到。详见 H。A。Bethe，R。W。Jackiw，Intermediate Quantum mechanics，third edition， The Benjamin/Cummings Publishing Company， 1986， p。259。

[3] L. 泡令，E. B. 威尔迪，“量子力学导论”，第69-70页，科学出版社，1964年。

[4] 一个态不可能平均动能为零。证明：（用坐标表象表示也可，因为可转到动量表象）



[5] 关于量子力学和重力、非惯性参照系及等效原理的讨论可见 张永德、裴寿镛，大学物理，第11卷，第4期，第1页，1992年。

[6] 为防止此量子系统塌缩(至势能为处)，这个假定是必要的。实际上，前面哈密顿量本征函数族完备性的叙述以及后面的一维完备性定理均假定有下界。

[7] 关于Airy函数可参见M.Abramowitz, I.A.Stegum, “Handbook of Mathematical Functions”, P.446, Dover Publications, Inc., New York; Л.Д.朗道等，“量子力学（非相对论理论）“，上册，附录b； J.Phys.A.:Math.Gen.15(1982)L463-L465; J.Phys.A.:Math.Gen.16(1983)L451-L453等； 泡利物理学讲义，5。波动力学，第110页，人民教育出版社，1983。

[8] M.Abramoutitz and I.A.Stegun, Handbook of Mathematical Functions, P.364。

[9] E. 费米，量子力学，第1、2章，西安交通大学出版社，1984年。

[10] 朗道，非相对论量子力学，上册，第92页，高等教育出版社，1983年。

[11] 参见E. Merzbacher, Quantum Mechanics, P.100, John Wiley & Sons, Inc., 1961。

[12] 可用微扰论方法定出一维浅势阱中的能级。参见朗道，“量子力学（非相对论理论）”上册，第197页。高教出版社，1983年。

[13] 数学百科全书，第五卷，第526页。北京：科学出版社，2000年。

[14] 柯朗。希伯尔特，数学物理方法（I），第227页，科学出版社，1958年。

[15] 同上。第348页。