康普顿散射：由 X 射线的光量子与静止的 电子之间的弹性碰撞产生

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下载文档收藏第四章-从经典物理学到量子力学 大学物理讲义 大学物理讲义

第四章 从经典物理学到量子力学 §4 - 1 从经典物理学到前期量子论 到 19 世纪末,经典物理学已经建立了比 较完整的理论体系. 力学 预言及其被证实 电磁学 麦克氢原子光谱斯韦方程 分析力学,存在海王星的 分析力学 组,预言了电磁波的存在 热力学+统计物理学 量子力学的研究对象:微观粒子. 量子理论的发展轨迹: 能量子:黑体辐射 光量子: 光量子:光电效应 固体比热 氢原子光谱 一 黑体辐射 普朗克的能量子假说 ( 1 ) 热辐射的基本概念 热辐射: 一切物体的分子热运动将导致物 热辐射: 体向外不断地发射电磁波.这种辐射与温度 有关.温度越高,发射的能量越大,发射的 电磁波的波长越短. 平衡热辐射或平衡辐射: 平衡热辐射 平衡辐射:如果物体辐射出 平衡辐射 去的能量恰好等于在同一时间内所吸收的 能量,则辐射过程达到了平衡. 平衡. 平衡 单色辐射出射度(简称单色辐出度 单色辐出度,用 单色辐射出射度 单色辐出度 M λ (T ) 表示):在单位时间内从物体表面单位 面积上所辐射出来的,单位波长范围内的电 磁波能量,即 M λ (T ) = dM (T ) , dλ 614 (4. 1) where dM ( T ):在单位时间内从物体表 面单位面积上所辐射出来的,波长在 λ 到 λ+dλ 范围内的电磁波能量. 辐射出射度(简称辐出度,在单位时间内 辐出度, 辐射出射度 辐出度 从物体表面单位面积上辐射出来的各种波 长电磁波能量的总和) M (T ) = ∫ dM (T ) = ∫ M λ (T ) dλ . 0 ∞ (4. 2) 单色吸收比α (λ , T ) 和单色反射比 ρ (λ , T ) :在 吸收比 反射比 温度为 T 时,物体吸收和反射波长在λ 到λ + dλ 范围内的电磁波能量,与相应波长的入 射电磁波能量之比,分别称为该物体的单色 反射比 吸收比α (λ , T ) 和单色反射比 ρ (λ , T ) .对于不透 615 明的物体,有 α (λ , T ) + ρ (λ , T ) = 1 . (4. 3) ( 2 ) 基尔霍夫定律和黑体 基尔霍夫辐射定律: 基尔霍夫辐射定律: 对每一个物体来说, 单色辐出度与单色吸收比的比值 M λ (T ) /α (λ , T ) , 是一个与物体性质无关(而只与 温度和辐射波长有关)的普适函数.即 M1λ (T ) M 2λ (T ) = = = I (λ , T ) , α1 (λ , T ) α 2 (λ , T ) (4. 4) I (λ , T ) = ? 引出黑体的概念 推论: 如果一个物体是良好的吸收体, 必 定也是一个良好的辐射体. 绝对黑体(简称黑体):如果物体在任何 黑体): 绝对黑体 黑体): 616 温度下,对于任何波长的入射辐射能的吸收 比都等于 1,即α 0 (λ , T ) = 1.黑体既是最好的吸收体,又是最好的辐射体. 对黑体,基尔霍夫辐射定律(用 M 0λ (T ) 是黑体的单色辐出度 ) (4. M λ (T ) = M 0λ (T ) . α (λ , T ) 5) 与 M1λ (T ) M 2λ (T ) = = = I (λ , T ) α1 (λ , T ) α 2 (λ , T ) 比较可见 M 0λ (T ) = I (λ , T ) , 黑体单色辐出度 M 0λ (T ) 是研究热辐射的一个 中心问题. 617 自然界中的物体都 不是绝对黑体. 即使物 体表面熏了煤烟, 最多 也只能吸收 98 %左右 的入射电磁波能量. 图4 - 1 带有小孔的空腔 绝对黑体的模型:用不透明材料(例如金属)制成一个空心容器, 器壁上开一个很小的孔 O.如果小孔 O 的面积远小于容器内表面的面积,那么反射次数 N 就会很大,这意味着射入空腔小孔 O 的电磁波能量几乎全部被吸收,吸收比近似为 1. 空腔中的电磁辐射常称为黑体辐射 黑体辐射. 黑体辐射 在常温下所有物体的辐射都很弱,由于黑色物体或空腔小孔的反射又极少,故看 起来它们很暗;然而在高温下,由于黑体的辐射最强,故看起来它们最明亮. ( 3 ) 黑体辐射的基本规律 斯特藩玻耳兹曼定律:黑体的辐射出射 斯特藩玻耳兹曼定律: 度与黑体绝对温度的四次方成正比(来自实验和理论) M 0 (T ) = σ T 4 , (4. 6) 斯特藩常量 618 σ = 5. 670 51 × 108 W m2 K4. 维恩位移律(从热力学理论导出,黑体辐射光谱中辐射最强的波长λ 与黑体温度 T 之间满足关系) m λmT = b , (4. 7) 常量为 b = 2. 897 756 × 103 m K . 619 图4- 2 黑体单色辐出度 M 0λ (T ) 的实验曲线图 19 – 2 表示在一定的温度下,黑体的单色辐出度 M 0λ (T ) 按波长分布的实验曲 线: 黑体的辐出度 M0( T )表示每一条曲线下的总面积; 随着温度的升高,曲线下面积则以 T 的四次方在增大; 随着温度的升高,每条曲线的峰值波长λm 随 T1 成比例地减小,即温度越高,单色 辐出度的最大值越向短波方向移动. 620 ( 4 ) 经典物理学所遇到的困难 如何从理论上导出黑体单色辐出度 M 的可与实验曲线相符的数学表达式? 1 ) 维恩公式: 维恩公式: 维恩从热力学普遍理论的考虑以及实验 数据的分析,由经典统计物理学导出的半经 验公式: M 0λ (T ) = c1 0λ (T ) λ 5 e c 2 λT . (4. 8) 其中 c1 和 c2 是两个需要用实验来确定的经验 621 参量. 在长波波段维恩公式与实验曲线有明显 的偏离(如图 4- 3 所示). 图 4 - 3 黑体辐射公式与实验曲线 622 2 ) 瑞利金斯公式: 瑞利金斯公式: 瑞利和金斯根据经典电动力学和统计物 理学理论,得出了一个黑体辐射公式 M 0λ (T ) = 2π ckT λ 4 , (4. 9) 其中常量 k = 1.380 658×1023 J/K 称为玻 玻 耳兹曼常量. 耳兹曼常量 瑞利金斯公式(4. 9)只适用于长波波段;而在紫外区与实验曲线明显不符,其短波极限 M0λ( T ) → ∞,这就是物理学历史上所谓的"紫外灾难". ( 5 ) 普朗克的能量子假说 普朗克把代表短波方向的维恩公式和代 表长波方向的实验结果综合在一起,得到了 一个经验公式 M 0λ (T ) = c1 1 c2 / λ T λ e 5 1 , (4. 10) 称为普朗克黑体辐射公式 普朗克黑体辐射公式. 普朗克黑体辐射公式 623 一方面由于普朗克公式与实验的惊人符合,另一方面由于公式十分简单,人们相 信这里必定蕴藏着一个非常重要但尚未被人们揭示出来的科学原理. 普朗克假定: 对于一定频率ν 的电磁辐射, 物体只能以 hν 为单位发射或吸收它,其中 h 是一个普适常量 普适常量.换言之,物体发射或吸收 普适常量 电磁辐射只能以"量子 量子"方式进行,每个能 量子 能 量子的能量为 量子 ε = hν , (4. 11) 其中 h 称为普朗克常量 普朗克常量,1986 年推荐值 普朗克常量 h = 6. 626 075 5 × 1034 J s 普朗克公式(4. 10)中的第一辐射常量 c1 和 第二辐射常量 c2 为: c1 = 2π h c 2 = 3.741 774 9×1016 W m 2 , (4. 12) c2 = h c / k = 0. 014 387 69 m K . 624 (4. 13) 经典物理学完全不容许这种能量不连续 的概念. 二 光电效应 爱因斯坦的光量子论 ( 1 ) 光电效应的实验规律 金属及其化合物在电磁 辐射照射下发射电子的现象 研究光电效应的一种实验装 置:.在光电管 光电管的阳极 A 和阴极 K 之 光电管 间加上直流电压 U, 当用单色光照射阴 极 K 时,阴极上就会有光电子逸出, 它们将在加速电场的作用下飞向阳极 A 而形成电流 I,称为光电流 光电流.(图中 光电流 A,K 应调换) 图4 - 4 光电效应的实验装置 625 实验规律: 实验规律 与入射光强成正比. 1 ) 饱和光电流 Is 与入射光强成正比. 图 4 - 5 ( a )所示的伏安特性曲线表明, 光电流 I 随正向电压 U 的增大而增大,并逐 渐趋于其饱和值 Is;而且,饱和电流 Is 值的 饱和电流 大小与入射光强成正比. 即:单位时间内从金属表面逸出的光电子数目与入射光强成正比. 626 图 4 - 5 光电效应的实验结果( 1 ) 2 ) 光电子的最大初动能随入射光频率 的增加而增加,与入射光强无关. 的增加而增加,与入射光强无关. 光电子的最大初动能随入射光频率 的增加而线性地增加. 627 对于每一种金属, 3 ) 对于每一种金属 , 只有当入射光频 率ν 大于一定的红限频率ν 0 时 , 才会产生光 电效应. 电效应. 图4 - 6 光电效应的实验结果( 2 ) 表 4 - 1 金属的逸出 功和红限 金属 铯 铷 钾 钠 钙 铍 汞 金 Cs Rb K Na Ca Be Hg Au 逸出功 截止频率和波长 A / eV 1. 94 2. 13 2. 25 2. 29 3. 20 3. 90 4. 53 4. 80 ν 0/ (1014 Hz) λ0 / nm 639 582 551 541 387 319 273 258 波段 红 黄 绿 绿 近紫外 近紫外 远紫外 远紫外 4. 69 5. 15 5. 44 5. 53 7. 73 9. 40 10. 95 11. 60 628 光电效应是瞬时发生的. 4 ) 光电效应是瞬时发生的. 实验发现,只要入射光频率ν >ν 0 ,无论光 多微弱,从光照射阴极到光电子逸出这段时 间不超过 109 s. ( 2 ) 经典物理学所遇到的困难 根据经典电磁理论 经典电磁理论 1) 光波的能量只与光的强度或振幅有 关,一定强度的光经一定时间的照 射之后,电子都可以具有足够的能 量而逸出金属,与频率无关,更不 存在截止频率. 2) 光波的能量是分布在波面上的,电 子积累能量需要一段时间,光电效 应不可能瞬时发生. 629 ( 3 ) 爱因斯坦的光量子论 辐射场由光量子组成. 每一个光量子的能量 E 与辐射频率ν 的关 系 E = hν , (4. 14) 其中 h 是普朗克常量. 光量子的动量 p 与辐射波长λ ( = c / ν ) 的关系 p = E/c = (4. 15) h λ. 解释光电效应: 当光照射到金属表面时, 一个光子的能 量可以立即(瞬时性)被金属中的自由电子吸收. 630 只有当入射光的频率足够高,以致每个光量 子的能量足够大时,电子才有可能克服逸出 逸出 功 A 而逸出金属表面.所逸出的电子的最大 初动能 1 2 m umax = hν A . 2 (4 . 16) 由此可见,当ν Em )之间跃迁时, 发射或吸收 的电磁辐射的频率ν ,由如下的频 率条件给出: hν = En Em . (4. 23) ● 两个假定的核心思想 两个假定的核心思想: 原子具有离散能量的定态 两个 定态, 定态 639 定态之间的量子跃迁 量子跃迁的概念以及频 量子跃迁 频 率条件. 率条件 对应原理: ● 对应原理: 在大量子数的极限情况下, 量子 在大量子数的极限情况下, 体系的行为将趋于与经典体系相同. 体系的行为将趋于与经典体系相同. 玻尔根据对应原理的精神导出了一 个角动量量子化条件: 作圆轨道运动 的电子的角动量 L 只能是 (等于 h/2π)的整数倍 L = n. (n = 1, 2, 3,) (4. 24) 玻尔求出了氢原子的能级公式 En = me e 4 1 2 8ε 0 h 2 n 2 . (n = 1, 2, 3,) (4. 25) 640 从 En 到 Em(En > Em)的跃迁所发出的 光谱线的波数为 σ mn = En Em 1 1 = R∞ ( 2 2 ) , hc m n (4. 26) R∞ = me e 4 2 8ε 0 h3 c = 1.097 373 153 4×107 m 1 . (4. 27) 式中的 R∞ 就是里德伯常量,下标∞ 表示在原子核质量为无穷大时的 值,否则在上式中应以约化质量 mr 来代替电子质量 me . 玻尔量子论成功地解释了氢 原子的实验光谱. 原子具有离散能级的实验证 明:弗兰克和赫兹利用电子和汞原 641 子间的非弹性碰撞,使汞原子从低 能级激发到高能级. 成功: ● 成功 1 ) 它首次打开了人们认识原子结 构的大门. 2 ) 玻尔所提出的一些最基本的概 念, 如原子能量的量子化和量子 跃迁的概念以及频率条件等仍 然正确. 问题和局限性: ● 问题和局限性 1 ) 不连续性的本质?多少带有人 为的性质! 2 ) 对于复杂原子的光谱无法定量 处理. 3 )不能提供处理光谱线相对强度 642 的系统方法, 不能处理非束缚态 问题,例如散射问题等. [例题 19. 1 ] 电子对湮没 例题 湮没. 湮没 [解] 1928 年,狄拉克在关于电子的相对论 解 性量子力学理论中,预言了正电子 正电子的存在. 正电子 1932 年, 安德森在宇宙射线中观测到了正电 子,其质量与电子相同,电荷则与电子等值 异号.一个正电子(e )在经过物质时将与原 子碰撞而失去大部分能量,逐渐减速,然后 可能被某原子捕获,最后与一个电子(e)一 道湮没.在适当条件下,一个正电子也可能 与一个电子形成和氢原子类似的电子偶素 电子偶素, 电子偶素 然后才湮没.电子偶素的寿命相当短,而氢 643 + 原子的寿命却非常长.这种湮没也发生在其 他的粒子和反粒子之间.例如,反质子与质 子湮没将放出电子,正电子和中微子,同时 还将放出大量的电磁辐射(光子). 在电子对湮没时, 考虑到动量守恒, 至少 要产生两个 γ 光子,即 e+ + e → n γ . (n = 2 , 3, ) 在 n = 2 的情况下,两个光子的动量数值相 同,方向相反.设所产生的光子的频率为ν , 波长为 λ ,则按能量守恒定律有 2 hν = 2 m0 c 2 , 可得 λ= c ν = h = λC , m0 c 其中λC 为电子的康普顿波长. 上述分析与实验结果一致, 再一次证实了 644 在微观单个事件中能量和动量守恒定律仍 然成立.此外,电子对湮没是爱因斯坦关于 静质量直接转化为能量这一理论的令人信 服的例证之一. [例题 19. 2 ] 试论证在光电效应过程中必 例题 须有第三者原子核参加. [证明 先假定没有第三者原子核参加,只 证明] 证明 有光子与静止的自由电子作用,作用后光子 消失,产生光电子;作用前后能量守恒,有 hν = (m m0 ) c 2 = ( 1 1 u 2 /c 2 1) m0 c 2 . 利用上式可得,光子和光电子的动量分别 为: pγ = hν 1 =( 1) m0 c , 2 2 c 1 u /c 645 pe = m u = 1 1 u /c 2 2 m0 u . 比较以上两式,可得 pγ = (1 1 u 2 c 2 ) c pe u 1 u2 c 1 u = (1 1 + ) pe ≈ pe > h/a0 的 动量转移; 对电子的运动将产生一个不小的 扰动; 要求位置测得越精确, X 射线的 波长就要求越短,这时给电子的扰 动也就越大,电子就越不可能维持 在原来运动状态上; 无限精确地跟踪一个电子是不可 能的; 抛弃电子有绝对精确轨道的概 念!!! 矩阵力学成功地解决了谐振子, 转子和氢 原子的离散能级,光谱线频率和强度等问 题. 652 三 德布罗意波 薛定谔波动力学的提出 ( 1 ) 物质粒子的波动性 德布罗意波 德布罗意的波粒二象性 波粒二象性的假设:实物(静 波粒二象性 质量 m0 ≠ 0)粒子也可能具有波动性,即具 有波动粒子两重性; 与一定能量 E 和动量 p 的物质粒子相联系的波的频率和波长: de Broglie relation ν = E h (4. 28) λ = h p (4. 29) 与光子的相应关系式相同.这种与物质粒子 相联系的波称为德布罗意波 物质波 德布罗意波-物质波 德布罗意波 物质波. 653 从宏观的尺度来看德布罗意波或物质波, 由于 h 是一个极小量, 物质粒子波长一般是 非常短的(见例题 19. 3), 波动性并未显现出 来. 图 4 - 9 电子驻波 原子世界中必须考虑物质粒子的波动性 就会表现出来. 德布罗意: 原子的定态 联系 驻波, 粒子能量量子化 联系有限空间中驻 波的波长或频率的离散性 654 驻波条件得出角动量量子化条件, 例 驻波条件得出角动量量子化条件,可说 明能量的离散性. 明能量的离散性. 在氢原子中,作稳定的圆周运动的电子相应 驻波形状(如图 4-9 所示).绕原子核传播一周后, 驻波应光滑地衔接起来,则要求圆周是波长 的整数倍 2 π r = nλ , (n = 1, 2 , 3, ) (4. 30) 其中 r 是轨道半径.将上式 λ = 2π r /n 代入德布罗意关系式 λ 量 p= nh . 2πr = h p , 可求出粒子的动 (n = 1, 2 , 3, ) (4. 31) 655 粒子的角动量 L = r p = n, (n = 1, 2 , 3, ) (4. 32) 这正是玻尔的角动量量子化条件(4. 24). 从量子力学来看这种联系还有不确切之处,能处理的问题也很有限,但它的物理 图象是很有启发性的. 实验表明,物质粒子波动性是普遍的 不 物质粒子波动性是普遍的. 物质粒子波动性是普遍的仅是电子,而且质子,中子和原子等都具有波动性. 物质波可见吗? 物质波可见吗? 1993 年,克罗米等人用扫描隧道显微镜 技术,把蒸发到铜(111)表面上的铁原子排 列成了半径为 7.13 nm 的圆环形量子围栏 量子围栏. 量子围栏 在量子围栏内, 受到铁原子强散射的电子 波与入射的电子波发生干涉,从而形成了驻 波.如图 4–10 所示的是他们用实验观测到 656 的在量子围栏内所形成的同心圆驻波,它直 观地证实了电子的波动性. 657 658 图 19 - 10 量子围栏 659 ( 2 ) 薛定谔波动力学的提出 波动力学: 波动力学: ● 建立了一个量子体系的物质波的运动 方程(二阶偏微分方程) ● 离散能级问题 为 在一定的边条件下 解微分方程的本征值问题 ● 解决了氢原子光谱等一系列重大问题 ● 波动力学与矩阵力学是完全等价的(同一种力学规律的两种不同的表述) 自修) 四 量子理论的发展(自修) ( 1 ) 量子力学中关于波函数的统计诠 660 释 ( 2 ) 电子的相对论运动方程 ( 3 ) 量子场论 ( 4 ) 量子场论所给出的新的基本物理 图象: 图象: ( 5 ) 规范场论和量子统计物理学的发 展 [例题 19. 3 ] 自由粒子的德布罗意波长. 例题 [解] 对于动量 p = m u 已知的自由粒子,可利 解 用 λ = h/ p 直接求 λ;对于质量 m 和动能 Ek 已 知的自由粒子,在非相对论情况下,可利用 λ = h = p h 2 m Ek 求λ;若已知温度 T,则粒子的热运动动能为 661 Ek = 3 kT , 2 23 其中玻耳兹曼常量 k = 1.38 × 10 J / K . 表 19-2 中给出了一些自由粒子的德布罗 意波长.由此可见,由于宏观物体(即使是 微尘)的动量与普朗克常量 h 相比总是十分 巨大的,因此与之联系的德布罗意波长极 小,以致于波的性质完全不能觉察,而电子 波长则是易于探测的. 表4 - 2 自由粒子的德布罗意波长粒子 飞行的子弹 小球 尘埃 布朗运动花粉 微尘 质量/ kg 1. 0 × 102 1. 0 × 103 1. 0 × 10 9 速度/ (m s1) 5. 0 × 102 1. 0 1. 0 × 10 1. 0 1. 0 × 102 1 德布罗意波长 1. 3 × 1 6. 6 × 1 6. 6 × 1 1. 0 × 1013 1. 0 × 1015 662 6. 6 × 1 6. 6 × 1 显象管中的电子 9. 1 × 1031 5. 0 × 107 1. 4 × 1 本章习题( 10,11, 本章习题(共 9 题):2,4,6,7,10,11, 13,16,19. 13,16,19. 663
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贡献者： 紫色鱼尾 五级
文档关键词
物理学
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