物理好图 hilbert空间中的基底，之所以可以那样搞是因为有泛函分析中的谱定理：一个离散维度的hilbert空间怎么能用一个连

量子力学的疑问（初学）
初学量子力学，有不少疑问。主要是基于那几条公理的数学考虑 1。关于hilbert空间量子态是可分hilbert空间中的元，位置函数在坐标表象下的算子对应于f->xf，问题是如果我们取R上平方可积函数空间的话（很多情况都是那么取的），那么xf就不一定平方可积了！ 同样对于动量算子，L^2中的可微又是如何理解，作为distribution,还是sobolev空间中的弱导数理解还是其他？如果是前者将没有内积结构。我觉得比较合理的空间是S空间配上L^2的内积结构。 2。关于其上的算子 由于一般的算子都不是连续的（即有界），如位置对应的算子，这样的话Riesz表示定理不成立，)=(！ 3。对于各种算子是怎么取得，量子力学的公理里都没说，那一般是怎么取得？ 由于我不是学物理的，很多术语，说法都不正确，不知道有没有把想说的说清楚，望见谅！一把剑一壶酒，我将何去何从？
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2# 大 中 小 发表于 2008-1-31 11:51 只看该作者 Re: 量子力学的疑问（初学）
引用:
初学量子力学，有不少疑问。主要是基于那几条公理的数学考虑 1。关于hilbert空间量子态是可分hilbert空间中的元，位置函数在坐标表象下的算子对应于f->xf，问题是如果我们取R上平方可积函数空间的话（很多情况都是那么取的），那么xf就不一定平方可积了！ 同样对于动量算子，L^2中的可微又是如何理解，作为distribution,还是sobolev空间中的弱导数理解还是其他？如果是前者将没有内积结构。我觉得比较合理的空间是S空间配上L^2的内积结构。这两个算子可以定义在稠集上，至于一个好的公共定义域，是一个很复杂的问题，Reed & Simon 的书上讨论过。
引用:
2。关于其上的算子 由于一般的算子都不是连续的（即有界），如位置对应的算子，这样的话Riesz表示定理不成立，)=(！ 这种“左作用” 实际上是对偶作用，或者用反线性同构共轭以后的对偶作用，依赖于你把左矢视为泛函还是矢量。对稠定算子，对偶算子或者伴随算子都 可以定义，只不过这些算子一般也都是稠定的，所以定义域要非常小心。
引用:
3。对于各种算子是怎么取得，量子力学的公理里都没说，那一般是怎么取得？ 由于我不是学物理的，很多术语，说法都不正确，不知道有没有把想说的说清楚，望见谅！这个问题不知道你是什么意思。
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3# 大 中 小 发表于 2008-1-31 12:24 只看该作者 Re: 量子力学的疑问（初学）
下面我就你的问题，从一般的角度简单说一点，看对你能否有帮助。量子态可以描述成Hilbert空间中的波矢，记做|ψ>，假设|x>和|p>分别对应位置算符X和动量算符P的本征态，则波矢|ψ>在位置空间中的具体表示 （记做ψ(x)，可以看作矢量|ψ>在|x>上的投影，或者说是|ψ>和|x>之间的内积），称作位置波函数，它对应位置的概率幅，即它的模的平方，对应粒子处于位置x附近的概率密度；同理，波矢|ψ>在动量空间中的具体表示ψ(p)=，对应动量空间中的波函数，它对应动量的概率幅，即它的模的平方，对应粒子处于动量p附近的概率密度. 你问量子力学中的算符是怎么来的，可以启发性地回答如下：经典力学中，任一个力学量F，可以写成广义坐标和广义动量的函数，我们就以位置坐标x和动量p为例，则有F=F(x,p)，量子化时，要把坐标x和动量p换成对应的算符X和P（后面算符是大写字母表示的），如果F(x,p)中存在x和p之间的乘积项，还要该项中的把X和P之间的排序对称化。在位置空间中，有（其中为了方便把Planck常数被取做1） X=x（即表现为一个乘性因子），P=-id/dx 其中i是虚数单位，d在这里表示偏微分符号。同理，在动量空间中，有 X=id/dp，P=P （即表现为一个乘性因子）这样，在量子力学中，经典力学量F(x,p)就变成了算符F(X,P)。那么，你会问为什么X=x，P=-id/dx，这只能启发性地说一下。量子力学方程，常常可以这样得到：对于经典力学中的能量的表达式（称作色散关系），例如E=p^2/2m+kx^2/2（m是粒子的质量，k是一个系数），把其中的力学量换成算符，再两边同时作用于位置波函数，就得到量子力学方程： (id/dt)ψ(x)=[(-id/dx )^2/2m+kx^2/2]ψ(x) 位置波函数常常含有相位因子如exp[-i(Et-px)]，其中t是时间，因此当位置波函数作为算符的表示空间（或算符所作用的作用空间）时，只有E=id/dt，X=x，P=-id/dx，才能由量子力学方程(id/dt)ψ(x)=[(-id/dx )^2/2m]ψ(x)得到E=p^2/2m，或者说，才能把二者对应起来。但是要注意的是，id/dt不被看作是能量算符，在这个例子中，(-id/dx )^2/2m+kx^2/2才是能量算符。 量子力学中，)=(的确不总是成立的，但是量子力学中这种例外比较少。我忘了泛函分析中算子有界的具体定义，但位置算子的本征值在正负无穷大的范围中，即位置的取值是无界的。 看来你多半是学数学出身的。你的问题，学物理的人未必熟悉泛函分析；懂泛函的未必懂量子力学，因此恐怕不容易回答。如果你能用Latex编写公式，你的问题就容易被看懂。你说“位置函数在坐标表象下的算子对应于f->xf”，这句话恐怕没有人能看懂。建议你先仅仅从物理的角度学习一下量子力学，然后再考虑它的泛函分析的数学背景，这样你将来还可以反过来，给我们大家科普一下从严格的泛函分析的角度来阐述量子力学（我本人以前学过一点泛函分析，现在基本上忘光了）。
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4# 大 中 小 发表于 2008-1-31 20:11 只看该作者 Re: 量子力学的疑问（初学）
楼上两位的回答可谓一针见血。
十分感谢一把剑一壶酒，我将何去何从？
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5# 大 中 小 发表于 2008-1-31 20:52 只看该作者 Re: 量子力学的疑问（初学）
看来lz是学数学出身的
不过可以暂时不管数学上的严格性，或者说这些数学的讨论基本上对理解物理没有太大影响
说实在的，我都不知道很多算符的函数数学上该怎么定义，比如级数之类，不过教我量子的老师说，用了再说，对不对，有实验来检验，不行再找数学家，呵呵
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6# 大 中 小 发表于 2008-2-1 01:41 只看该作者 Re: 量子力学的疑问（初学）
呵呵，我的确是学数学的，做分析的。可能是职业病吧，对算子比较敏感，看来我以前对物理的理解是完全错误的！要多向大家学习一把剑一壶酒，我将何去何从？
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hilbertan 新手上路



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7# 大 中 小 发表于 2008-3-16 16:15 只看该作者 我记得当时初学量子力学的时候的一个最高不懂的地方就是完备性和hilbert空间的维数问题。

一个离散维度的hilbert空间怎么能用一个连续的基来展开呢？那这个空间的维数究竟是可数无穷还是不可数无穷？

而且从[x,p]=ih_bar，这件事情出发，可以严格证明x和p的谱一定是连续的（其实只要线性算子A,B满足[A,B]=C都有这个结论），这和角动量的情形完全不同。

另外我们考虑两个无穷维矩阵A,B，如果[A,B]=C=Const，两边求trace，会得到左边=0，而右边=无穷*C，所以量子力学的数学基础其实我们很不清楚。

不过有时候对物理学家而言用不着管那么多，先拿过来搞，搞不对再说。就算对不上实验，无非说明理论的数学工具不太好，换一个就是了，实在不行，自己发明一个。我是类空的。
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8# 大 中 小 发表于 2008-3-16 21:59 只看该作者 引用:
原帖由 hilbertan 于 2008-3-16 16:15 发表
一个离散维度的hilbert空间怎么能用一个连续的基来展开呢？那这个空间的维数究竟是可数无穷还是不可数无穷？实际上这种所谓的连续基中的每一个在严格意义上都不是Hilbert空间的矢量，或者说，不应该有这种连续基。因为它们的模都是无穷大。但这种基又可以视为某种极限情况而给物理理解上带来便利。而且在物理中常常是不顾数学严格性的，所以干脆也把它们叫做基。所以连续基只是在物理上认可的，是方便的。所谓傅立叶变换和傅立叶级数的区别就是连续基和离散基的不同。但在物理上我们都把它们当成一回事。都是求和而已。
使用连续基的后果是不能写出=infinity之类的式子，只能写出=delta(x-x')，也就是说必须使用delta函数。而本身delta函数在数学上就不是一个真正的函数。但物理上不管。
引用:
另外我们考虑两个无穷维矩阵A,B，如果[A,B]=C=Const，两边求trace，会得到左边=0，而右边=无穷*C，所以量子力学的数学基础其实我们很不清楚。这个问题在以前的繁星客栈有过讨论，可以找找。这直接跟前面所说的“必须使用delta函数”有关。
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9# 大 中 小 发表于 2008-3-17 01:23 只看该作者 我觉得这些东西不是搞物理的不管数学上是否严密，而是搞物理的一般认为这些东西即便是不严密，也一般不会带来什么本质的问题。物理学家倾向于认为，如果有人有精力的话，把这些东西严密化不会有多大的难度。但物理学家肯定不可能等所有他们用到的数学方法都严密化了才向前走。如果这些尚未严密化的方法在现实问题中能够工作，那么往往也说明这些方法的严密性问题几乎肯定可以被解决。

如此的冒险态度当然可能会出错，不过没关系，出错的时候再回头检查看看那里错了，大不了找数学家帮帮忙就是了。

实际上不但物理学如此，就连数学都是这样，只不过没有物理学家冒险冒得那么利害。数学家一般来说都不会每时每刻都一丝不苟地注意形式上的严密性，许多时候都需要跳过一些步骤得出结果，直觉始终都扮演这重要的角色。例如数学上出现的几次所谓的危机，有人说威胁到了整个数学大厦，实际上远远没有那么严重。例如极限理论创立之前，并不妨碍牛顿和莱布尼兹创立微积分。即便朴素的集合论被发现了困难，也照样不会真的威胁到微积分，因为微积分已经被实际应用得很好了，这就说明即便数学基础存在问题，对基础的修补也不会在多大程度上影响这些已经得以成功应用的数学。在没有遇到真正的困难之前，数学家也并不是时刻把严密性作为至高无上的追求的。即便遇到了困难，哪里有困难，就在哪里局部地解决，通常根本不必担心牵一发而动全身。

[ 本帖最后由 fantadox 于 2008-3-17 01:28 编辑 ]
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10# 大 中 小 发表于 2008-3-17 06:27 只看该作者 这些问题都早有定论，为什么不看看书呢？泛函分析很难懂吗？
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hilbertan 新手上路



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11# 大 中 小 发表于 2008-3-17 22:23 只看该作者 不是，我是说当时学的时候的问题...那个基什么的问题，后来是才知道不能严格叫做hilbert空间中的基底，之所以可以那样搞是因为有泛函分析中的谱定理。只是感慨一下物理上很多其实不太严格的说法而已：）我是类空的。
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12# 大 中 小 发表于 2008-3-17 23:49 只看该作者 引用:
原帖由 hilbertan 于 2008-3-17 22:23 发表
不是，我是说当时学的时候的问题...那个基什么的问题，后来是才知道不能严格叫做hilbert空间中的基底，之所以可以那样搞是因为有泛函分析中的谱定理。只是感慨一下物理上很多其实不太严格的说法而已：） ... 我对事不对人。各种论坛上讨论这个问题的次数太多了。