质心系中的基本形式的拉格朗：质心是一个非常特殊的点,以质心为参考点研究问题很方便. 一些物理量(如动能) 均能表示成“质心的”与

only when volatility is low or stable

　收稿日期:2004 - 08 - 30 ;修回日期:2005 - 09 - 19
　作者简介:楼智美(1965 —) ,女,浙江诸暨人,绍兴文理学院物理系副教授,主要从事力学研究.
教学讨论
质心系中的基本形式的拉格朗日方程及其应用
楼智美
(绍兴文理学院物理系,浙江绍兴　312000)
　　摘要: 推导了质心系中的基本形式的拉格朗日方程,并举例说明联合惯性系中的基本形式的拉格朗日方程可求解约束反
力.


关键词: 质心系;基本形式的拉格朗日方程;约束反力
中图分类号:O 313. 1 　　　文献标识码:A 　　　文章编号:100020712 (2006) 0120028202
　　众所周知,质心是一个非常特殊的点,以质心为
参考点研究问题很方便. 一些物理量(如动能) 均能
表示成“质心的”与“相对质心的”两部分之和,一些
定理(如角动量定理) 在质心系中的表达式与惯性系
中的表达式相同. 但质心系中的基本形式的拉格朗
日方程一直没有得到重视,惯性系中的基本形式的
拉格朗日方程中不出现约束反力,虽然对处理完整
的理想的约束系统很方便, 但它不能求约束反
力[1～4 ] . 本文推导了质心系中的基本形式的拉格朗
日方程,由于惯性系中的理想约束条件在质心系中
发生了破损,因而方程中出现了由约束反力产生的
广义力,联合惯性系中的基本形式的拉格朗日方程,
可以求得约束反力,并举例说明其应用.
1 　质心系中的基本形式的拉格朗日方程
设完整的理想的力学系统由n 个质点组成,自
由度为s ,系统的质心相对于惯性系以aC作加速平
动,则
mi r¨′i = Fi + FRi - miaC (1)
其中r¨′i 为第i 个质点相对于质心的位置矢量, Fi ,
FRi分别为第i 个质点所受的主动力和约束反力,式
(1) 可写成
Fi + FRi - miaC - mi r¨′i = 0 (2)
即主动力、约束反力和质点因有相对加速度和牵连
加速度而产生的惯性力平衡. 用虚位移δr′i 点乘式
(2) 并对i 求和得
6n
i = 1
Fi·δr′i + 6n
i = 1
FRi·δr′i -
aC 6n
i =1
mi·δr′i - 6n
i = 1
mi r¨′i ·δr′i = 0 (3)
利用质心的性质
6n
i =1
mi r′i = 0 (4)
及
δr′i = 6s
α= 1
5 r′i
5 q′ α
δq′ α (5)
式(3) 可以写成
6s
α=1
Q′ αδq′ α + 6s α=1
Q″ αδq′ α = 6s
α=1
6n
i =1
mir¨′·
5 r′i
5 q′ α
δq′ α
(6)
其中Q′ α = 6n
i =1
Fi·
5 r′i
5 q′ α
, Q″ α = 6n
i = 1
FRi·
5 r′i
5 q′ α
, 分别为
主动力和约束反力产生的广义力. 由于在非惯性系
中必须满足6n
i = 1
mi r′i = 0 的条件, 因此惯性系中的
理想约束的条件在非惯性系中发生了破损. 利用
5r · ′i
5 q·′ α
=
5 r′i
5 q′ α
, 　
d
d t
5 r′i
5 q′ α
=
5r · ′i
5 q′ α
(7)
可得6n
i = 1
mi r¨′·
5 r′i
5 q′ α
=
d
d t
5 T′
5 q·′ α
-
5 T′
5 q′ α
,即
d
d t
5 T′
5 q·′ α
-
5 T′
5 q′ α
= Q′ α + Q″ α (8)
其中T′= 6n
i = 1
1
2 mi r·′i
2为系统的相对动能. 式(8) 为
质心系中的基本形式的拉格朗日方程,由于Q″ α中包
含约束反力,故可用来求约束反力,但必须联合惯性
系中的基本形式的拉格朗日方程.
第25 卷第1 期　大　学　物　理　Vol. 25 No. 1
2006 年1 月COLL EGE 　PHYSICS Jan. 2006
2 　应用举例
一根细绳跨过定滑轮,在细绳两侧各悬挂质量
分别为m1 和m2 的物体,且m2 > m1 ,设滑轮的质
量与绳的质量均略去不计, 忽略滑轮与细绳的摩擦
力及轮轴的摩擦力. 用质心系中的基本形式的拉格
朗日方程求细绳的张力.
解　受力分析如图1 所示,在惯性参考系和质
心系中分别取固定坐标系Ox 与质心坐标系Cx′,
则在固定坐标系中动能为
图1
T =
1
2
( m1 + m2) x·22
广义力为
Q1 = ( m2 - m1) g
由惯性系中的基本形式的拉格朗日方程
d
d t
5 T
5 q·α
-
5 T
5 qα
= Qα
得
x¨
2 =
m2 - m1
m1 + m2
g (9)
则质心的加速度为
x¨
C =
m2 - m1
m1 + m2
2
g (10)
在质心系中, m2 x′2 + m1 x′1 = 0 ,相对动能为
T′=
m2
2 m1
( m1 + m2) x·′2
2 (11)
由主动力产生的广义力为
Q′= 0 (12)
由约束反力产生的广义力为
Q″= FR
m2 - m1
m1
将式(11) ～ (13) 代入式(8) 得
m2
m1
( m1 + m2) x¨′2 = FR
m2 - m1
m1
(14)
由式(9) 、(10) 得
x¨′2 =
2 m1 ( m2 - m1)
( m1 + m2) 2 g (15)
将式(15) 代入式(14) 得约束反力为
FR =
2 m1 m2
m1 + m2
g (16)
3 　结论
质心系中的基本形式的拉格朗日方程中的动能
以相对动能的形式出现, 但由于惯性系中的理想约
束条件在质心系中发生破损, 从而出现了由约束反
力产生的广义力,给一般求解问题带来困难,但是如
果联合惯性系中的拉格朗日方程, 则为用分析力学
的方法求约束反力提供了一个有效的途径.
参考文献:
[1 ] 　周衍柏. 理论力学教程[M]. 北京:高等教育出版社,
1986. 281～288.
[2 ] 　戈德斯坦H. 经典力学[M] . 陈为恂译. 北京:科学出
版社,1986. 19～22.
[3 ] 　郭士　. 理论力学(下) [M]. 北京:人民教育出版社,
1983. 32～38.
[4 ] 　王振发. 分析力学[M]. 北京:科学出版社,2002. 46～
47.
The Lagrange equation and its appl ication in center2of2mass
frame of reference
LOU Zhi2mei
(Department of Physics , Shaoxing College of Arts and Sciences , Shaoxing , Zhejiang 312000 , China)
Abstract : The Lagrange equation in center2of2mass f rame of reference is derived. The const rain force can be
obtained by using the Lagrange equation in center2of2mass f rame of reference and the Lagrange equation in iner2
tial reference f rame , and an example is given to illust rate the application of the result .
Key words : center2of2mass f rame of reference ; Lagrange equation ; const rain force
第1 期　　　　　　楼智美:质心系中的基本形式的拉格朗日方程及其应用　29