物理好图 系统风险 动力学 质点状态的描述：力学（动量、角动量）、分析力学（拉格朗日量，标量）. 微观粒子：波粒二像性（波函数，

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质点状态的描述：力学（动量、角动量）、分析力学（拉格朗日量，标量）. 微观粒子：波粒二像性（波函数，测不准原理，几率解释）. 目的：寻找对称性与守恒律 ...
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动力学


第二 至 五 章






第二章 动量 动量守恒定律


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律


一、牛顿第一定律（惯性定律）


任何物体都保持自己的静止或匀速运动状态， 直到作用在物体上的外力迫使它改变这种状态为止。


伽利略的理想实验：


若将后一斜面放平,球会滚多远？


1）理想实验（从伽利略比萨斜塔实验--爱因斯坦理想电梯实验--等效原理--广义相对论）

2）物体具有惯性。


3） 力与运动关系，物体受力改变运动状态。


4）适用条件：惯性系。


显然，球会永远滚下去……


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 1






二、动量


定义：质点的动量


瞬时性， 矢量性， 相对性


1、质点的动量：


在直角坐标系中：


质点的状态可由速度和动量描述；动量引入的必然性。


2、质点系的动量：


具有相互作用的若干个质点构成的体系称为质点系。


质点系的动量∶


（注意：矢量和）


速度分别为


设：


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 2


质点状态的描述：力学（动量、角动量）、分析力学（拉格朗日量，标量）

微观粒子：波粒二像性（波函数，测不准原理，几率解释）

目的：寻找对称性与守恒律






3、力学中常见的几种力


1）重力： 由于地球的吸引而使物体所受的万有引力。


3）摩擦力：两个物体作相对运动或有相对运动 趋势时，由于

接触面粗糙所产生的与运动或运动 趋势相反的力。


2）弹力：发生形变的物体有恢复原状的趋势，对与它接触

的物体产生的作用力。如压力、张力、拉力、支持

力弹簧的弹力。


① 静摩擦力：


大小：


方向：总是与该物体相对运动趋势的方向相反。


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 5


地球表面附近：


在弹性限度内：






② 滑动摩擦力：


大小：


方向：总是与受力物体的相对运动的方向相反。


三、牛顿第二定律、牛顿第三定律：


物体在外力作用下，其运动状态的变化满足牛顿第二定律。


当m视为恒量时：

（v

注意：1）瞬时性。


2）矢量性。


表达式：


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 6






m为恒量时：


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 7


在直角坐标系中：


或：


圆周运动时∶






5）适用条件：宏观、质点、惯性系。


3） 为合外力。


4）质量是物体惯性大小的量度。


3、牛顿第三定律：


实验表明∶


——牛顿第三定律


即作用力与反作用力沿同一直线，且大小相等、方向相反。


注意: 1）瞬时性。 2）矢量性。 3）性质相同。


由牛顿定律原则上可以解决所有经典力学问题。


常见的力学问题分为两类：


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 8






三、力：


1、力的概念：


（1）万有引力：任何有质量的两个物体之间的吸引力。


2、四种基本自然力：


力的大小、方向和作用点称为力的三要素。


力是物体间的相互作用，是物体运动状态变化的原因。


力有许多种表现形式，但可归纳为四种基本力：


（2）电磁力：


除重力外，其他各种力，如弹力，摩擦力，空气阻力等，从微观上看，都是原子、分子间相互作用的宏观表现。因而，从根本上讲，它们都是电磁力。


此外，还有弱相互作用力、强相互作用力






[例1] 竖直上抛物体初速 v0 至少为多大时才不会返回地球?(p58)


解∶地球半径为R，地面引力 = 重力= mg，则有：mg=GMm/R ,G=gR /M,物体距地心 r 处引力为F，则有：


由牛顿第二定律得：


当r0 = R 时，v = v0，作定积分，得：


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 9






由上可知,不管r多大,只要


物体就不会返回地面。


所以物体不返回地面的最小速度


——第二宇宙速度(逃逸速度)


的条件为：


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 10


只要发射速度等于或大于此值，物体就会脱离地球进入太阳系。以上计算是理想情况，没有考虑空气阻力（如与速度成正比，如何求？）。


亚里斯多德：地球是圆形的，首次提出空间的相对性概念

牛顿：理想实验（“卫星”）






[例2]光滑桌面上放置一固定圆环，半径为R，一物体贴着环带

内侧运动，物体与环带间的滑动磨擦系数为μ。

设t=0时，质点经A 点时的速度为v0 。求t时刻物体

的速率及从A 点开始所经过的路程。（p60)


解：1)物体受力如图：


竖直方向：重力与桌面的支持力

相互平衡，与运动无关。


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 11


设物体的质量为m


切向：


法向：


联立（1）-（3）得:


A






所以：


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 12


2）又


杂技运动员：高空骑摩托车飞速表演问题


(含时)






[例3]一根均匀链条质量为m 总长为l ，一部分放在光滑的桌面

上，另一部分从桌面边缘垂下，长为b。 假定开始时

链条全部静止，求链条全部离开桌面时的速度。（记录）


解：


设任意时刻下垂部分长为 x,受力

如图所示，由牛顿第二定律得：


（1）如何判断结果的合理性？（2）若桌面有摩擦力呢？（3）将链条全部拉到桌面上速度（外力已知）？（4）学了功能原理或机械能守恒定律后如何求解本题？（5）如何求链条全部离开桌面时用的时间？（提示：寻找新的微分方程）。






1、受力分析：隔离物体；画示力图。

2、分析状态，建立坐标系。

3、由牛顿第二定律列方程。

4、求解方程。

5、讨论。


§2-1 质量、动量、力和牛顿运动定律 - 14


解题步骤：


思考：本类型题的解法与高中阶段题目相比，有何异同？






§2-2 质点系的动量原理 动量守恒定律


一、质点系的动力学方程：


N 个质点的质点系m1、m2、..... mN ，第 i 个质点

的位矢为 ；


则：动力学方程为


受力为 ；


动量为 ；


即：


对N 个质点的动力学方程求和，得：


令


§2-2 质点系的动量原理 动量守恒定理 - 1






— 质点系的动力学方程


则：


即：


上式表明∶质点系所受合外力等于系统总动量的变化率。

内力可以改变一个质点的动量，但对系统动量

的改变无贡献。


二、质点系的冲量 动量定理


1、冲量


：力的时间累积，在dt 时间间隔合外力 的冲量。



1）微分形式：






2）积分形式：


若为恒力：


2、动量原理：


1）微分形式：


— 动量原理的微分式


它表明∶在一个过程中，系统所受合外力的冲量等于

系统动量的增量。


2）积分形式：


由 得：


对上式积分，


— 动量原理的积分式


即：


§2-2 质点系的动量原理 动量守恒定理 - 3






3、动量定理分量形式


动量原理的分量式为∶


即系统所受合外力的冲量在某一方向上的分量等于系统动量

在该方向上分量的增量。


在直角坐标系中，


§2-2 质点系的动量原理 动量守恒定理 - 4






1)冲力 -- 碰撞过程中物体间相互作用时间极短，相互作用力

很大，而且往往随时间变化，这种力通常称为冲力。


若冲力很大,其它外力可忽略时,则：


若其它外力不可忽略时,则 是合外力的平均。


2)平均冲力 -- 冲力对碰撞时间的平均值。


§2-2 质点系的动量原理 动量守恒定理 - 5


4、碰撞：


即：


作业：2-1、2-4、2-5、2-11选2-12






[例1] m = 0.2kg 的皮球，向地板落下，以8m/s 的速率与地板相

碰，并以近似相同的速率弹回，接触时间为10 -3s。


解∶1)取地板为参考系，向上为正，由 得：


中的F 实为合外力，除冲力外

还有重力。由于接触时间极短，

计算中忽略了重力。


若考虑重力∶


求∶1)地板对球的平均冲力 2)冲力的冲量和重力的冲量。（p66）


2)冲力的冲量：


重力的冲量：






解：选取车厢和车厢里的煤 m 和即将落

入车厢的煤 dm 为研究的系统。

取水平向右为正。


t 时刻系统的水平总动量：


t + dt 时刻系统的水平总动量:


dt 时间内水平总动量的增量：


由动量定理得：


§2-2 质点系的动量原理 动量守恒定理 - 7


[例2]一辆装煤车以v = 3m/s 的速率从煤斗下面通过，每秒落入车厢的煤为 dm = 500kg。如果使车厢的速率保持不变，应用多大的牵引力拉车厢？ （摩擦忽略不计)（记录）


运煤车漏煤问题如何求解？






四、动量守恒定律:


由 知，当 时


— 动量守恒定律


应用动量守恒定律时应注意∶


1、选择合理的系统与过程。


2、 有以下几种情况：


①不受外力。 ② 外力矢量和为零。③内力远大于外力。


即


即：


内力使系统内质点交换动量，但不影响系统总动量。






3、若 质点系动量不守恒，但分动量可以交换。


6、各速度应是相对同一惯性参考系


4、动量和力是矢量，可沿坐标轴分解：


5、动量守恒定律比牛顿定律更基本，应用更广泛。

宏观、微观、量子力学、相对论等研究中仍然成立。


§2-2 质点系的动量原理 动量守恒定理 - 9






[例1] 质量为M 的木块在光滑的固定斜面上由A 点静止下滑，

经路程 l 到B 点时，木块被水平射来的子弹击中， 子弹（m,v）射入木块中，求射中后二者的共同速度。（记录）


解：


第一阶段：从A 运动到B，匀加速运动：


第二阶段：碰撞阶段


取木块与子弹组成的系统为研究对象，沿斜面方向，内力〉〉外力，

可用动量守恒定律求近似解，取沿斜面向上为正方向


可解得：


（1）如何判断结果的合理性？（ =0）（2）如果固定的斜面有摩擦力？（3）若斜面对地、木块对斜面均有相对运动？






[例2]质量为M ，仰角为α 的炮车发射了一枚质量为m 的炮弹，炮弹出膛时相对炮身的速率为u ，不计地面摩擦，求∶1）炮弹出膛时炮车的速率v1 。2）发射炮弹过程中，炮车移动的距离(炮身长为L )。（p71)


解：1）选炮车和炮弹为系统，地面为参考系，水平方向

合外力为零，系统总动量x 分量守恒。设炮弹相对

于地面的速度为v2 。


由X 方向的动量守恒可得


由相对速度的概念可得：


得：


思考：炮车后退距离与炮弹出膛速度是否有关？






解得：


“—”号表示炮车反冲速度与X轴正向相反。


２）若以u(t) 表示炮弹在发射过程中任一时刻炮弹相对炮

车的速率，则此时炮车相对地面的速率


设炮弹经 t 秒 出膛，在 t 秒 内炮车沿水平方向移动了






[例3]质量分别为m1 和m2 的两人A、B 在光滑的水平冰面上用绳

子彼此拉对方。开始时两人静止对立，相距为L ，它们

在何处相遇?（p73)


解：选两人为系统，水平方向动量守恒。


A 所在处为坐标原点，向右为正，B坐标为L.任一时刻速度分别为v1 和 v2 ，任一时刻的坐标为x1 和 x2 ，则：


相遇时 ：


由动量守恒定律


得：






即：


相遇时


§2-2 质点系的动量原理 动量守恒定理 - 14


解题步骤：


2、对不同阶段，利用不同规律，求解。

①选系统 ②明过程 ③分析力

④审条件 ⑤列、解方程,判断合理性


1、分清过程，分为不同阶段。


合理性分析：


(2)二者质量相等（与谁的力气大小有无关系？）

（3）冰上拔河如何选队员？






§2-3 质心运动定理


一、质心


质点系运动时，各质点的运动情况可能是各不相同的，

且很复杂。为了简洁描述质点系的运动状态，引入

质量中心(简称质心)的概念 。


N个质点组成的系统∶


位矢分别为∶


§2-3 质心运动定理 - 1


定义质点系质心的位矢为：


即：






对质量连续分布的质点系∶


§2-3 质心运动定理 - 2


在直角坐标系中：


1)几何形状对称的均质物体，质心就是几何对称中心。

2)有些物体的质心可能不在所求的物体上。（何种情形？）

3)重心是重力合力的作用点，尺寸不大的物体，质心

与重心重合。

机械零件质心 位置 的设计。

（1）查资料（2）思考之（3）改进之 ？






二、质心运动定理：


由质心位矢


对t求导，得：


为质心运动的加速度。由于


— 质心运动定理


§2-3 质心运动定理 - 3






1 )质点系各质点由于内力和外力的作用，运动情况可能很

复杂，但对于质心的运动，只取决于合外力，内力对质

心的运动不产生影响。

若质点系所受外力矢量和为零，则质心静止或作匀速直线运动。（人站在静止于水面上的小船的一端，向另一端走去；空间飞行器靠惯性做直线飞行时，宇航员突然向后舱移动，飞行器速度必有所增加）


4 ）把实际物体抽象为质点，正是只考虑了质心而忽略了

物体中各质点相对质心的运动。


3 )质心运动定理不能描述各质点的运动情况，每个质点的实际运动应是质心运动与质点相对质心运动的叠加（质心的运动是牵连运动）。


2 )当


时，


质心加速度与把全部质量集中在质心的质点的加速度相同。

用线连结两个小球并抛出去，不管小球运动的情况多么复杂，它们的质心总是沿着抛物线运动的


§2-3 质心运动定理 - 4






[例1]一长为L ，密度分布不均匀的细杆，其质量线密度

。 为常量，x 从轻端算起，求其质心。(p79）


解∶取质元


质点与质点系运动规律的比较：


质点 质点系


动量


合外力与动量变化率


运动方程


问题：在质心处将细杆其吊起，是否处于平衡状态？






§2-5 非惯性参考系 惯性力


先从两个实验事实出发，看所研究的问题

与参考系的关系，及牛顿定律是否成立。






举例1：如图1所示，小车静止，小球静止于小车内光滑的

水平桌面上．当小车相对于地面以加速度做直线运动时，

从地面上观察，小球如何运动？从小车上观察，小球如何运动？




　　分析：从地面上观察，小球相对于地面保持静止（托盘上乒乓球）．

从小车上观察，小球将逆着小车的运动方向运动，最后从桌子

上掉下来．因为小球在水平方向上不受外力作用，所以小球相对于

小车的运动不符合牛顿第一定律．






　举例2：如图2所示，用弹簧将小球固定于小车内的光滑水平桌面上，当

小车以恒定加速度做直线运动时，从地面上观察，小球如何运动？

从小车上观察，小球如何运动？弹簧处于什么状态？





　　分析：从地面上观察，小球将做与小车同向的加速运动．

小车上观察，小球将相对于小车静止．弹簧处于伸长状态．

因为小球在水平方向上受弹力作用，所以小球相对于小车的静止

不符合牛顿第二定律．（为什么出现上述情况？问题出在哪里？）







当实验和理论发生矛盾时，可能是实验现象观察

有误；可能是理论错误或理论存在一定的适用条件．


分析：实验现象观察正确．且理论在很多的实际应用

中被证明是正确的．因而可能是理论存在一定的适用条件．

　　矛盾的症结：相对于谁来观察现象，即参考系是谁．


一、引入惯性系和非惯性系的必然性

　　（1）惯性系：牛顿运动定律成立的参考系．

　　研究地面上物体运动，地面通常可认为是惯性系，

相对于地面作匀速直线运动的参考系也是惯性系．

研究行星公转时，太阳可认为是惯性系．

　　 （2）非惯性系：牛顿运动定律不成立的参考系．

　　 例如：前面例子中提到的小车，它相对于地面存在

加速度，是非惯性系．






二、非惯性系和惯性力

　　解决方案：在直线加速的非惯性系中引入一个力，使物体的

受力满足牛顿运动定律，这个力就是惯性力．例如在上述例1中，

若设想由一个力 作用在小球上，其方向与小车相对于地面的加速度


。


是小车质量。则小球相对于小车的运动与其受力情况相符．

同理可以分析例题2，不再赘述．

　　1、惯性力：在做直线加速运动的非惯性系中，质点受到的

与非惯性系的加速度


方向相反，且大小等于质点质量


与非惯性系加速度大小


．

　　注意：惯性力不是物体间的相互作用力，不存在施力物体，

也不存在反作用力．而且只有在非惯性系中才有惯性力．


的方向相反，其大小等于



的乘积的力，称为惯性力






[例1] 升降机以加速度 上升，质量

为m1 = 2m2 的物体用滑轮联系起来。

求∶1)机内观察者看到的m1、m2 的加速度；

2)机外地面上的人，观察到的两物

体的加速度(无摩擦)。（p91)


解∶1)若以升降机为参考系，则为作加速运动的非惯性系。

在此非惯性系中讨论问题必须考虑惯性力。设绳中张

力为T，m1 、m2 受力如图所示。


§2-5 非惯性参考系 惯性力 - 1


对m1 ：


对m2 ：


（1（2）



（3）


解得：






2)在升降机外的观察者(在地面的惯性系观察)，


m1 的加速度：


m2 的加速度：


§2-5 非惯性参考系 惯性力 - 1


（相对升降机）


超重与失重现象及其包含的物理含义。






爱因斯坦理想电梯实验的物理含义

伽利略在比萨斜塔上做的落球实验否定了亚里斯多德的引力


理论。伽利略开创了实验物理的先河。牛顿的引力理论尽管


很成功，但是该理论不能回答引力的本质是什么。




爱因斯坦理想电梯实验：同伽利略一样，爱因斯坦也设计


了一个理想实验来分析问题。在爱因斯坦的理想电梯中装


着各种实验用具，还可以有一位实验物理学家在里面安心


地进行各种测量。










　　当电梯相对于地球静止的时候，实验家将看到，电梯里的东西都会受到一种力。 如果没有其它的力与这种力相平衡，这种力就会使物体落向电梯的地板。而且，所有物体在落向地板时，加速度都是一样的。根据这些现象，实验家立即可以作出结论：他这个电梯受到了外界的引力作用。







现在让电梯本身也做自由下落的运动。这时，实验家将发现，

他的电梯里的一切东西都不再受原来那种力的作用，所有物

体都没有原来的那种加速度了。即达到了我们通常所说的

“失重”状态。这时电梯里的物体不再表现出任何受引力作用

的迹象。无论苹果或羽毛，都可以自由地停留在空间，而不

“下落”。实验家既可以在电梯的底部行走，也可以在顶部行

走，两种行走所用的力气完全一样。实验家观测任何物体的

任何力学现象，都不能看到任何引力的迹象。
　　爱因斯坦又作了更进一步的引伸，他认为，在上述电梯

里的实验家不仅通过任何力学现象看不到引力的迹象，而且

通过其它任何物理实验也都看不到引力的迹象。即是说，

在这种电梯的参考系中，引力全部消除了。

电梯实验家不能通过自己电梯中的物理现象来判断他的

电梯之外是不是有一个地球这样的引力作用源，他也测量不

出自己的电梯是否有加速运动。






“在电梯参考系中引力全部消除”的事实可以看成物理上的某种变换，

通过这种变换，可以将引力消除，这说明引力在物理上并不是一定

必须出现的概念。
　　

简言之，我们可以在任何一个局部范围找到一个参考系 (即爱

因斯坦的电梯)，在其中引力的作用全被消除了。这就是引力的最重

要特性。引力的本性就在于引力能在某种参考系(爱因斯坦电梯)中

局部地消除。这就是爱因斯坦提出的“等效原理”。

引力的本质就是没有引力。

在广义相对论中没有引力的概念，地球绕太阳公转是空间弯曲

的结果（星光通过太阳表面的弯曲实验证实了这一结论）。

在物理学中其它的力都没有这种属性。例如宏观的电磁力或原

子核、粒子范围的强作用和弱作用，都不可能通过选择适当的

参考系而完全加以消除。








2、转动参考系：


1）定义：相对于惯性系转动的参考系，叫转动参考系。

转动参考系为非惯性系。


由于问题的复杂性，仅考虑匀角速转动参考系，且物体相对转动参考系静止。


2）匀角速转动参考系


　　在地面观察：转动平台以ω转动，弹簧被拉长。


弹簧对小球施力 牛顿定律成立。


§2-5 非惯性参考系 惯性力 - 1


在转动参考系中观察，小球静止，为了用牛顿第二定律

解释这一现象，必须引入惯性力，

方向与 的方向相反，叫惯性离心力。






4）地球自转对物体的影响


一般认为地面为较好的惯性参考系。但由于地球的公转与

自转，严格地说，地球是一个非惯性系。精确地研究地面

上物体运动时，应考虑惯性力。（发射卫星，充分利用自转速度）


如图，设地面上一质量为m的物体静止于纬度为q 的地方，设地球半径为R，地球受万有引力 FG和惯性力 Fi。 重力G 是两者的合力


T 为地球自转周期。


§2-5 非惯性参考系 惯性力 - 1


惯性力






万有引力：


重 力：


重力不指向地心。


§2-5 非惯性参考系 惯性力 - 1


可计算得：


∴重力加速度随纬度 而增大，北极


达最大值。


作业：2-19、2-20、2-26 选 2-24、2-28


石油出口贸易：称重量？






四、科里奥利力：


若物体相对于匀速转动的参考系运动，则物体除受惯性离心力作用外，还受科里奥利力的作用。


北半球(1)河水冲刷右岸;(2)火车右轨受挤压；(3)远程火炮向左修正.

问题（１）观察浴缸、水池放水时水的转向（２）石油机械是否也应考虑其修正（数量级多大？）

阅读：利用付克摆证明地球的自转，利用了科里奥利力


我们走路时是否受到该力？

方向如何？地球自转角速度

为0.73 弧度/秒







经典物理学是从否定亚里士多德的时空观开始的。 当时曾有一场激烈的争论。如果地球是在高速地运动，为什么在地面上的人一点也感觉不出来呢？
1632年，伽利略出版了《关于托勒密和哥白尼两大世界体系的对话》。 “把你和一些朋友关在一条大船甲板下的主舱里，让你们带着几只苍蝇、蝴蝶和其他小飞虫，舱内放一只大水碗，其中有几条鱼。然后，挂上一个水瓶，让水一滴一滴地滴到下面的一个宽口罐里。鱼向各个方向随便游动，水滴滴进下面的罐口，你把任何东西扔给你的朋友时，只要距离相等，向这一方向不必比另一方向用更多的力。你双脚齐跳，无论向哪个方向跳 过的距离都相等。当你仔细地观察这些事情之后，再使船以任何速度前进，只要运动是匀速，也不忽左忽右地摆动，你将发现，所有上述现象丝毫没有变化。你也无法从其中任何一个现象来确定，船是在运动还是停着不动。”
萨尔维阿蒂的大船现象说明：从船中发生的任何一种现象，你是无法判断船究竟是在运动还是停着不动。现在称这个论断为伽利略相对性原理。





用现代的语言来说，萨尔维阿蒂的大船就是一种所谓惯性参考系。就是说，以不同的匀速运动着而又不忽左忽右摆动的船都是惯性参考系。在一个惯性系中能看到的种种现象，在另一个惯性参考系中必定也能无任何差别地看到。亦即，所有惯性参考系都是平权的、等价的。我们不可能判断哪个惯性参考系是处于绝对静止状态，哪一个又是绝对运动的。

伽利略相对性原理不仅从根本上否定了地静派对地动说的非难，而且也否定了绝对空间观念（至少在惯性运动范围内）。

所以，在从经典力学到相对论的过渡中，许多经典力学的观念都要加以改变，唯独伽利略相对性原理却不仅不需要加以任何修正，而且成了狭义相对论的两条基本原理之一。







真理就是具备这样的力量，你越是想要攻击它，
你的攻击就愈加充实了和证明了它。
—— 伽利略






（1）“理想实验”的重要性


（2）基本概念的突破是开创新理论的的关键


北宋文学家王安石：



看似寻常最奇崛，



成如容易却艰辛。