http://blog.sina.com.cn/s/blog_3fd642cf0100m*****h.html impot_新浪博客2010年11月24日 ... 国内曾经和不断继续涌现的反相对论者, 往往不断地卡在相对论的”前三关”过 ... 算符是对矢量的一种变换操作。线性操作包括：把矢量长度改变，把矢量 ... blog.sina.com.cn/abada01 - 网页快照 欧拉恒等式的几何直观理解 abada(张宏兵） 欧拉恒等式 e^(iπ) + 1 = 0 被认为是数学上最优美的公式之一。如果几何直观地理解了它，那么就再也不会将之遗忘或写错。 先说一个实数可以在实数轴上用一个向量表示，向量长度表示其绝对值，而向量方向可表示其是正数还是负数。 一个实数乘以一个实数向量，还是一个实数向量，这个向量仍然在实数轴上。 要使向量脱离实数轴，向另一个维度旋转，那么，就可以乘以一个虚数i. 一个向量乘i这个代数运算，几何意义就是把向量旋转到另一个正交维度上去。 i^0, i^1,i^2,i^3,i^4, 等等，就表示原代表实数1的实单位向量，依次地每次逆时针旋转π/2, 所以结果就是1,i,-1,-i,1. 即转4次以后就回到了原位。（就像时针从3点逆转到12点，再逆转到9点，再逆转到6点，最后转回到3点。） 实单位向量保持长度不变旋转θ角度，得到一个向量，表示就是：cosθ+isinθ；再根据欧拉公式 e^(iθ) = cosθ + isinθ， 于是e^(iθ) 就代表实单位向量1旋转θ角后而得到的向量。 e^(iπ)意味着把1向量旋转π角，显然这得到的是-1，然后与1合并可抵消得到0 ，这样即可几何直观地理解欧拉恒等式。 最后要说，若想把向量旋转到其他更多的维度，一个i操作已经不够用了，需要用到多元数，如j,k等等，而且虚数已经不能表示任意的旋转，只有多阶矩阵才可以表示。 补充： 圆偏振光 设光波前进方向z轴（下图指向右侧的轴）。 再需要一个x空间实数轴（下图垂直向上的轴），以及时间参数t, 就可以完整地表示光振动矢量，但需要用复数：虚数i所代表的基轴y轴（下图向左侧的轴）是垂直于前进方向z轴和实数空间轴x的. 光矢一边前进一边旋转，转角就可用虚指数exp[i(kz-ωt)]上的指数来表示. (-ω表示右旋。) 这可以作为一种量子力学的虚数来源的直观图像。
