物理数学好图 关于量子力学中算符的几点注记 正则对易关系 相于态 厄密算符 非厄密算符

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作者：潘留仙 - 1999
的正则对易关系的形式（2）会保持不变？是. 否非厄密算符也存在有意义的本征值和本征 ... 应的量子力学算符可由算符的厄密性. 唯一确定．即将它们对称组合成算符 ...
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7
第16巷第6期
1999年l1月
盏阳师专学报
JOURNAL OF YIYANG TEACHERS COLLEGE
Vol 16 No．6
NOV．1999
关于量子力学中算符的几点注记
潘留仙
(盏阳师范高等专科学校物理系，湖南益阳413049)
[=)
摘要：给出了构成量子力学中厄密算符的一般规则以及广义坐标及其共轭动量下的对易
关系，同时，对非厄密算符也作了说明
关t词：量子力学i厄密算符；正刚对易关系
中圈分类号：0413 I 文献标识码：A
， 糯， 轻驴至
文章编号：1001- 876X(1999)06
Several Notes to Operation in Qmanttun Mechanics
PAN Liu 一,rian
[ )am Ient of physics-Yiyang Teachers CoL Lege-Yiyang 413049)
右}正傲
0037—03
Abstract：In this paper，Geraral rules of constructing Herm itian operotor in quantum me·
chanics and comm utator relation of generalized coordinate with generalized momentum are given l
At the same time。use．s of some non—Hermitian operator are pointed out also ．
Key words：Quan tum mecha~ales Hermitian operotor；Canonical oomnlutator relation
我们知道，力学量用厄密算符表示是从
经典力学到量子力学所引进的一个基本假设
之一。如何保证使经典力学中的力学量成为
量子力学中的厄密算符以及满足相应的正则
对易关系．通常我们就是直接利用对应原理
由经典力学中力学量的表达式得到与其对应
的量子力学中的算符。如在坐标表象中，坐
标和动量算符的形式及对易关系分别为
J== ， ==一一 。矗 去 ( 1)，
[ ．， ]=ih8 (2)
究竟对于由经典力学向量子力学过渡的
力学量是否都可直接利用对应原理变为量子
力学中的算符?是否在其它坐标系下，算符
的正则对易关系的形式(2)会保持不变?是
否非厄密算符也存在有意义的本征值和本征
函数?本文对此作一说明．
1 厄密算符的构成
1 1 当经典力学■ 中不出现lql坐标)、P(动
量】的乘积项时，可直接利用式l1)得到
例：一维谐振子的经典哈密顿量为
H=车 +． 叫 (3)
则量子力学中哈密顿算符的形式为
卉一 喜+号 z (4)
1．2 当经典力学■ 中出现q、P交叉时。对
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益阳师专学报 1999年第6期
应的量子力学算符可由算符的厄密性
唯一确定．即将它们对称组合成算符
的形式【1】
= ( +≥ ) (5)
例：经典量z 转变为量子力学的算符
形式为
= 寻( + )=一 号(z丢+
挚) (6)
1．3 当经典力学量中出现q 和P 的交叉
项时．对应于q、P的不同组合及排列
按对应原理代换后得到不止一个厄密
算符
例 经典量Q=2p (7)
则相对应的量子力学中的厄密算符有
6 =≥ +≥ ；6 =2 ； (8)
对于此种情况只能由其计算结果是否与
实验相符才确定．
2 广义坐标系下算符的正则对
易关系【 ]
大家知道，经典力学中的广义坐标(一般
为曲线坐标)及其共轭动量总可以表为直角
坐标与动量的函数，因此一旦给出直角坐标
系下 、 的具体形式及对易关系后，则任
何广义坐标与广义动量算符的具体形式及对
易关系就完全由对应原理所确定，且广义坐
标系下算符的正则对易关系不变。现耐此进
行证明。
现设广义坐标和与其相对应的广义动量
为 、
．
， 相应的算符为； ； ，广义坐标与
直角坐标柏关系为
= ^(q，) (9)
qj=口 ( ) k J：1．2．3 (10)
由式(9)可得
“主 =Σ予孥瓦 ， (il)
= 鬻
同理可得
= a (13)
z I d z 。
又由经典拉格朗日量L可得
面aL 手差骞 手a X kp c14)
差 平嚣 手 ，
由式(5)知，
= 1 E静 套)={莩
{鬻以} (16)
= { +瑶 i1莩
I ． ，t (17)
d
所以[ 吉等[ 象， ]=
号手 杂 ] =乎莩；囊，袭
囊锄 ㈤
显然式(18)-~ (2)形式相同，即广义坐
标系下算符的正则对易关系不变。
例：经典力学中的径向动量为P，，其定
义动量在矢径上的投影，数值为
： (p．，) (19)
显然对应的厄密算符为
，
= 声，= 号( p·‘ ：+ 。rp)
= 吉(； }+ +；：z +
+ + ) (2o)
因 ( x
， +手 ) =一 h[2 t ax +
({一 ) ]
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潘留仙：关于量子力学中算符的儿点注记
(j Y +T”P，) = [2 +({
一 ) J (21)
(； + Zp,5 ) = z [2手 +(÷
三) ]
又因z
,
业Ix +
j，业ay+。
=(，·△
)
=
r
3，： ( t ) (22)
[ ih (23)
3 非厄密算符的本征值与本征
函数
量子力学中表示力学量的算符必须是厄
密算符；这是由量子力学的基本很设所决定
的。因精确测定厄米算符n所代表的力学
量的结果只可能是诸本征值 中的某一个。
这个假定暗示着，所有代表物理上可测量的
量的算符的本征值都是实数。事实上，本征
值 可以看作是率征态中的平均值，而厄密
算符所表示的平均值是实数。由此可知量
力学量必须是厄密算符的原因。尽管量子力
学中力学量必须用厄密算符表示，但我们决
不能说在量子力学中遇到的一些非厄密算符
就没有意义，甚至说无本征值和本征函数等。
现对此简要说明
在用二次量子化方法处理全同粒子体系
时， i进了粒子占有数表象，这表象中，基本
算符是粒子的产生算符a 与湮灭算符a。对
于非厄密算符a就存在本征态和本征值 它
的本征态j a>就是相干态 ”。
a> =e—I。I～ e～ j 0>
=e— Σ n> (24)
n刈 n!
不难证明，若用非厄密算符a作用于a>就
可得到本征方程
a > 二e—I I ／2Σ 一 二a n>
n “~，n!
= fie _faf‘ Σ —=竺==_ 1>
一。 (n 1)!
=Ⅱ a> (25)
其本征值为
a： (26)
在非线性同题中，相于态将作为一种表
象被应用，这时可利用式(26)把算符a的非
线性方程表示为未知量的a的方程。文献
[4]应用相干态方法讨论了一维铁磁链中的
孤子运动。
又如在利用反散射方法求解非线性薛定
谔方程(NLS方程)
_u『+u +2 uI u=0 (27)
时，首先是找出与NLS方程所对应的拉克斯
方程，然后通过先求解拉克斯方程达到求解
NLS方程的目的 拉克斯方程的形式为
LF(z．t )=kF(z， ^) (28)
3tF( t )=MF(z． ^) (297
其中f_= ia33 +iU(a f)
M =i2o3 ：+i2U(3-．t)∞a． i
{U ( t) U ( ，f)}
( )是一个2×2的矩阵， 为泡
列矩阵
f【 0 “( 0)1j '∞
rJ )
这里，【 是非厄密算符，它的本征值和本
征函数详见[6]
参考文献：
l s 福里话 ．一i 实用量子力学[M]
：京：^ 比段- ’j ·． -1982
[2] 家壬湘潭师专 }：撤，1982．2：7
[3 徐右新高等量子力学[M]．上海：华东师大出
版社，1994
[4] R．J Gla：tber，Rhy．Rev 131 2766(1963)
[5] D+】Pu~hkarov eta]phy．Lett 61A，339(1077)
[6] 黄念宁孤子理论和微扰方法[M ]上海：上海
科学教育出版社，1996 36
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