重力位函数的提出: 位函数性质:在一个参考坐标系中, 位函数性质:在一个参考坐标系中,引力位对被吸引点三个坐标方 向的一阶导数等

重力位函数的提出: 位函数性质:在一个参考坐标系中, 位函数性质:在一个参考坐标系中,引力位对被吸引点三个坐标方 向的一阶导数等于引力在该方向上的分力. 向的一阶导数等于引力在该方向上的分力. 意义:可借助等位面研究地球形状, 意义:可借助等位面研究地球形状,可借助重力位的一阶导数研究重 力场

2阶导数,加速度

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下载文档收藏大地测量学基础课件 大地测量学 大地测量学

大地测量学基础 范志勇 长沙理工大学测绘教研室 第一章 绪 论 一,大地测量学的定义定义:大地测量学是为人类活动提供空间信息的科学,着重研 定义:大地测量学是为人类活动提供空间信息的科学, 究地球的几何特征(形状和大小)和基本物理特性 究地球的几何特征(形状和大小) (重力场)及其变化. 重力场)及其变化. 性质:地球科学的一个分支,是一门地球信息科学, 性质:地球科学的一个分支,是一门地球信息科学,既是基础 科学, 科学,又是应用科学 任务:测量和描绘地球并监测其变化, 任务:测量和描绘地球并监测其变化,为人类活动提供关于地 球的空间信息;研究宇宙空间其它星球的状态. 球的空间信息;研究宇宙空间其它星球的状态. 经典大地测量学:视地球为不变刚体, 经典大地测量学:视地球为不变刚体,均匀旋转球体或椭球 在一定范围内测绘地球和研究其形状, 体,在一定范围内测绘地球和研究其形状,大小及外 部重力场. 部重力场. 现代大地测量学:以空间大地测量学为主要标志,研究地球 现代大地测量学:以空间大地测量学为主要标志, 及外部宇宙空间. 及外部宇宙空间. 与经典大地测量学相比,在研究方法, 与经典大地测量学相比,在研究方法,手段方面有显 著不同.主要表现在人造卫星,空间探测器,计算机, 著不同.主要表现在人造卫星,空间探测器,计算机,通讯 技术等先进技术的应用. 技术等先进技术的应用. 二,大地测量学的地位和作用 1,是国民经济建设和社会发展基础先行性的重要保证. 是国民经济建设和社会发展基础先行性的重要保证. 确定地球的形状,大小重力场参数;统一全国坐标框架, 确定地球的形状,大小重力场参数;统一全国坐标框架, 建立国家和精密城市控制网,精确测定控制点的坐标, 建立国家和精密城市控制网,精确测定控制点的坐标,为 经济建设服务 国民经济建设需要地形图及相关资料,测绘地形图需要 国民经济建设需要地形图及相关资料, 建立控制网,建立控制网需要建立坐标框架, 建立控制网,建立控制网需要建立坐标框架,建立坐标框 架须知道地球的形状,大小及重力参数. 架须知道地球的形状,大小及重力参数.而这些方面正是 大地测量学所研究的内容. 大地测量学所研究的内容. 2,在防灾,减灾,救灾及环境保护,监测,评价中的作用 在防灾,减灾,救灾及环境保护,监测, 1). 建立大地形变监测系统,为地震预报提供有关资料; 建立大地形变监测系统,为地震预报提供有关资料; 2). 监测泥石流,山体滑坡,雪崩,森林火灾,洪水等灾害, 监测泥石流,山体滑坡,雪崩,森林火灾,洪水等灾害, 并为灾后评估提供资料; 并为灾后评估提供资料; 3). 监测海水面的变化; 监测海水面的变化; 4). 为灾难事件救援提供快速定位;如空难,海难,交通事故; 为灾难事件救援提供快速定位;如空难,海难,交通事故; 5). 环境监测,如沙漠,森林,土地利用情况等; 环境监测,如沙漠,森林,土地利用情况等; 这些监测一般是利用GPS,遥感卫星,VLBI, 这些监测一般是利用GPS,遥感卫星,VLBI,激光测 SLR)等技术, 必须要知道地球的形状大小, 卫(SLR)等技术, 必须要知道地球的形状大小,重力场模 地心坐标等. 型,地心坐标等. 3,是发展空间技术和国防建设的重要保障 1). 为卫星,导弹,航天飞机及其它宇宙探测器提供精确的 为卫星,导弹, 地球参考框架和全球重力场模型; 地球参考框架和全球重力场模型; 2). 为战争提供军事测绘保障,超前储备保障,动态实时保 为战争提供军事测绘保障,超前储备保障, 如提供战区电子地图,数字影像图, 障.如提供战区电子地图,数字影像图,打击目标的精确 三维坐标. 三维坐标. 4, 在当代地球科学研究中有重要地位 1). 建立与维持高精度的坐标框架和区域性与全球的三维大 地网,长期监测网点随时间的变化; 地网,长期监测网点随时间的变化; 2). 监测和分析各种地球动力学现象;提供有关地球动力 监测和分析各种地球动力学现象; (地壳板块运动)过 程中时空度量上的定量定性信息; 地壳板块运动) 程中时空度量上的定量定性信息; 3). 测定地球形状和外部重力场的精细结构及其随时间的变 化,进一步精化地球重力场模型; 进一步精化地球重力场模型; 4). 是测绘科学的各分支学科的基础科学,极大地影响着测 是测绘科学的各分支学科的基础科学, 绘科学的发展. 绘科学的发展. 三,大地测量学的基本体系 1, 测量学的两个分支 普通测量学:研究小范围的地球表面, 普通测量学:研究小范围的地球表面,认为该范围的地 球表面是平面,且铅垂线彼此平行. 球表面是平面,且铅垂线彼此平行. 大地测量学:研究全球或大范围的地球,认为铅垂线彼 大地测量学:研究全球或大范围的地球, 此不平行,研究地球的形状,大小及重力场. 此不平行,研究地球的形状,大小及重力场. 2,大地测量学的基本体系几何大地测量 现代大地测量 物理 (理论 )大地测量 三个基本分支) (三个基本分支) 空间大地测量 GPS 1),几何大地测量学:即天文大地测量学 ,几何大地测量学: 确定地球形状,大小, 基本任务 确定地球形状,大小,地面点的几何位置 主要内容 国家大地测量控制网建立的理论,方法,精 国家大地测量控制网建立的理论,方法, 密测角,测距,测水准;地球椭球数学性质, 密测角,测距,测水准;地球椭球数学性质,椭球面上 的测量计算,椭球数学投影, 的测量计算,椭球数学投影,地球椭球几何参数的数学 模型等 2),物理大地测量学(理论大地测量学) 2),物理大地测量学(理论大地测量学) 基本任务:用物理方法(重力测量) 基本任务:用物理方法(重力测量)确定地球形状及其 外部重力场. 外部重力场. 主要内容:位理论,地球重和场,重力测量及其归算, 主要内容:位理论,地球重和场,重力测量及其归算, 推球地球形状及外部重力场的理论与方法. 推球地球形状及外部重力场的理论与方法. 3),空间大地测量学 3), 以人造地球卫星及其它空间探测器为代表的空间大地测量的理论, 以人造地球卫星及其它空间探测器为代表的空间大地测量的理论, 技术与方法. 技术与方法. 大地测量学还可进一步 应用大地测量学: 应用大地测量学:以建立国家大地测量控制网为中心内容 椭球大地测量学:坐标系建立,地球椭球性质, 椭球大地测量学:坐标系建立,地球椭球性质,投影数学变 换 大地天文测量学:测量天文经度, 大地天文测量学:测量天文经度,纬度及天文方位角 大地重力测量学:重力场, 大地重力测量学:重力场,重力测量方法 海洋大地测量学: 海洋大地测量学: 地球动力学: 地球动力学: 卫星大地测量学: 卫星大地测量学: 大地测量数据处理学: 大地测量数据处理学: 3,现代在地测量的特征 1),测量范围大,范围从地区,全球乃至宇宙空间; 1),测量范围大,范围从地区,全球乃至宇宙空间; 2),研究对象和范围不断深入,全面和精细,从静态测量 2),研究对象和范围不断深入,全面和精细, 发展到动态测量, 发展到动态测量,从地球表面测绘发展到地球内部构造 及动力过程的研究; 及动力过程的研究; 3),观测精度高; 3),观测精度高; 4),观测周期短. 4),观测周期短. 4,大地测量的基本内容 1),确定地球形状,外部重力场及其变化;建立大地测量 1),确定地球形状,外部重力场及其变化; 坐标系;研究地壳形变, 坐标系;研究地壳形变,极移和海洋水面地形用其变化 2),研究月球及太阳系行星的形状及重力场 2), 3),建立和维护国家和全球天文大地水平控制网,精密水 3),建立和维护国家和全球天文大地水平控制网, 准网及海洋大地控制网 4),研究为获得高精度测量成果的仪器和方法 4), 5),研究地球表面向椭球面或平面的投影数学变换及有关 5), 的大地测量计算 6),研究大规模,高精度和多类别的地面网,空间网及其 6),研究大规模,高精度和多类别的地面网, 联合网的数学处理理论方法,测量数据库的建立及应用. 联合网的数学处理理论方法,测量数据库的建立及应用. 四,大地测量学的发展简史 1,第一阶段:地球圆球阶段: 第一阶段:地球圆球阶段: 将地球看成是圆球进行测量其大小(半径) 将地球看成是圆球进行测量其大小(半径) 公元前六世纪,毕达哥拉斯最先提出地球圆球说 最先提出地球圆球说. 公元前六世纪,毕达哥拉斯最先提出地球圆球说. 首次地球半径测量:公元前三世纪, 首次地球半径测量:公元前三世纪,亚历山大学者埃拉托 色尼用子午圈弧长测量法来估算地球半径 与现代数据相比, 用子午圈弧长测量法来估算地球半径, 色尼用子午圈弧长测量法来估算地球半径,与现代数据相比, 误差约 100Km. 亚历山大城 φ S φ 赛尼城 R 最早一次对地球大小的实测: 最早一次对地球大小的实测: 我国唐代张遂指导进行. 我国唐代张遂指导进行.得出子午线上 纬度差一度,地面相距约132Km,与现 纬度差一度,地面相距约 , 代值110.95Km相比,误差约 相比, 代值 相比 误差约21Km. . 公元827年,阿拉伯人阿尔曼孟通过弧长 年 阿拉伯人阿尔曼孟通过弧长 公元 测量,推算出纬度 推算出纬度35°处的1° 测量 推算出纬度 °处的 °子午线弧 比正确值110.95Km只 长等于111.8Km,比正确值 长等于111.8Km,比正确值110.95Km只 大1% 2,第二阶段:地球椭球阶段:最先由牛顿提出 第二阶段:地球椭球阶段: 在此阶段, 在此阶段,理论方面 英国的牛顿:万有引力定律,地球椭球学说. 英国的牛顿:万有引力定律,地球椭球学说. 荷兰的斯涅耳: 荷兰的斯涅耳:三角测量法 德国的开普勒: 德国的开普勒:行星运动三大定律 荷兰的惠更斯: 荷兰的惠更斯:摆测重力原理 法国的勒让德:最小二乘法, 法国的勒让德:最小二乘法,重力位函数 法国的克莱罗: 法国的克莱罗:克莱罗定律 英国的普拉特和艾黎: 英国的普拉特和艾黎:地壳均衡学说 另外此阶段还进行了大量的实测工作. 另外此阶段还进行了大量的实测工作. 从理论和实际上推算地球椭球参数,确定地球形状大小. 从理论和实际上推算地球椭球参数,确定地球形状大小. 此阶段在几何大地测量方面取得的成果 1),长度单位的建立:法国利用弧度测量的结果, 1),长度单位的建立:法国利用弧度测量的结果,取其子午圈弧长的四 千万分之一为长度单位,称为1 千万分之一为长度单位,称为1米. 2),最小二乘法的提出:法国勒让德于1806年发表,其实 岁的高斯 ,最小二乘法的提出:法国勒让德于 年发表, 年发表 其实17岁的高斯 1794已应用了该理论. 已应用了该理论. 已应用了该理论 3),椭球大地测量学的形成:解决了椭球数学性质,椭球面上测量计算 ,椭球大地测量学的形成:解决了椭球数学性质, 及正形投影方法 4),弧度测量大规模展开:以英,法,西班牙,德,俄,美为代表. 西班牙, 美为代表. ,弧度测量大规模展开:以英, 5),推算了不同的地球椭球参数: ,推算了不同的地球椭球参数: 贝赛尔椭球参数: 贝赛尔椭球参数: 克拉克椭球参数: 克拉克椭球参数: a = 6377397 ± 210 m , α = 1 : 299 .1 ± 4 .7 a = 6378249 m , α = 1 : 293 . 5 此阶段物理大地测量取得的成就 1),克莱罗定理的提出:假设地球是由许多密度不同的均匀物质层圈 1),克莱罗定理的提出: 组成的椭球体,且层密度按一定法则由地心向外逐层减少.得出: 组成的椭球体,且层密度按一定法则由地心向外逐层减少.得出: 5 γ = γ e (1 + β sin ) , β = q α 2 ω 2a 1 赤道离心力 , α地球扁率 q= = = γe 288 赤道重力 2 当 = 90 ,极点 γ 0 p = γ e (1 + β ) , β = γ p γe γe 2),重力位函数的提出: 2),重力位函数的提出: 位函数性质:在一个参考坐标系中, 位函数性质:在一个参考坐标系中,引力位对被吸引点三个坐标方 向的一阶导数等于引力在该方向上的分力. 向的一阶导数等于引力在该方向上的分力. 意义:可借助等位面研究地球形状, 意义:可借助等位面研究地球形状,可借助重力位的一阶导数研究重 力场. 力场. 3),地壳均衡学说的提出: 3),地壳均衡学说的提出: 根据地壳均衡学说导出均衡重力异常以用于重力归算. 根据地壳均衡学说导出均衡重力异常以用于重力归算. 4),重力测量有了进展. 4),重力测量有了进展. 3,第三阶段 :大地水准面阶段 此阶段几何大地测量取得的成就: 此阶段几何大地测量取得的成就: 1,天文大地网的布设有了重大发展 三大网:印度,美国, 三大网:印度,美国,苏联 2,较高精度仪器的使用,如因瓦基线尺,因瓦水准尺,带测微器的水准仪; 较高精度仪器的使用,如因瓦基线尺,因瓦水准尺,带测微器的水准仪; 天文大地测量与重力大地测量的结合. 天文大地测量与重力大地测量的结合. 此阶段物理大地测量取得的成就 1,大地测量边值问题理论的提出. 大地测量边值问题理论的提出. 用已知的重力和重力位求边界面和外部重力场的问题 克莱罗: 克莱罗:以椭球面为边界解决边值问题 斯托克司: 斯托克司:以大地水准面为边界面解决边值问题 莫洛金斯基:以地球表面为边界, 莫洛金斯基:以地球表面为边界,直接用地面重力值确定地球形状与外部重 力场 2,新的椭球参数的提出. ,新的椭球参数的提出. 赫尔默特椭球,海福特椭球, 赫尔默特椭球,海福特椭球,克拉索夫斯基椭球 3,测量数据处理与测量平差理论与实践也取得重大进展 , 4,第四阶段:现代大地测量新时期 第四阶段: 1),以空间测量技术为代表:电磁波测距,人造地球卫星定位系统,甚长 1),以空间测量技术为代表:电磁波测距,人造地球卫星定位系统, 基线干涉测量等技术的应用. 基线干涉测量等技术的应用. 2),月球和行星大地测量学的形成:空间探测器,卫星,空间飞行器等技 2),月球和行星大地测量学的形成:空间探测器,卫星, 术的应用. 术的应用. 3),高精度的天文大地网,重力网的建立. 3),高精度的天文大地网,重力网的建立. 4),大地控制网优化设计理论和最小二乘配置法的提出与应用. 4),大地控制网优化设计理论和最小二乘配置法的提出与应用. 地控制网优化标准:精度, 大 地控制网优化标准:精度,可靠性与经费 广义测量平差理论的形成. 广义测量平差理论的形成. 五,大地测量的展望 1, 全球定位系统,激光测卫(SLR),甚长基线干涉测量(VLBI)是 全球定位系统,激光测卫(SLR),甚长基线干涉测量(VLBI) ),甚长基线干涉测量 主导本学科发展的主要空间大地测量技术. 主导本学科发展的主要空间大地测量技术. 1),全球定位系统: ),全球定位系统 全球定位系统: 美国的GPS: 24颗卫星 有限制使用, 颗卫星, 美国的GPS: 24颗卫星,有限制使用,三个民用载波 俄国的GLONASS:24颗卫星 精码P 颗卫星, 俄国的GLONASS:24颗卫星,精码P码不保密 欧洲在建的伽俐略系统:不保密. 欧洲在建的伽俐略系统:不保密. 中国的北斗星系统 s1 s2 s3 s4 T1 T2 2),激光测卫SLR(Satellite Laser Ranging) ),激光测卫 激光测卫SLR( 测定激光由地面站发射经卫星反射到地面站接收的时间间隔 τ , 计算观测时刻地面到卫星的距离. 计算观测时刻地面到卫星的距离. ρ = 1 Cτ 2 人卫激光仪 精度最高的绝对定位技术. 精度最高的绝对定位技术. 全球地心参考框架,地球自转参数,全球重力场低阶模型, 全球地心参考框架,地球自转参数,全球重力场低阶模型,精密定轨等 方面有重要作用. 方面有重要作用. 地基:在卫星上安置反光镜,地面上安激光测距仪,对卫星测距. 地基:在卫星上安置反光镜,地面上安激光测距仪,对卫星测距. 天基:在卫星上安置激光测距仪,地面上安反光镜, 天基:在卫星上安置激光测距仪,地面上安反光镜,对地测距 3),惯性测量系统 ),惯性测量系统 ), 利用惯性力学原理,测定地面点三维坐标,重力异常和垂线偏差. 利用惯性力学原理,测定地面点三维坐标,重力异常和垂线偏差. 4),甚长基线干涉测量VLBI(Very Long Baseline ),甚长基线干涉测量 甚长基线干涉测量VLBI( Interferometry) 在相距几千公里甚长基线两端, 在相距几千公里甚长基线两端,用射电望远镜同时接收来自宇宙外射电 源的射电信号,根据干涉原理, 源的射电信号,根据干涉原理,直接测定基线长和方向的一种空间测量 技术. 技术. 观测对象:河外类星体 观测对象: 观测仪器:射电望远镜 观测仪器: 观测量:射电源到同步观测 观测量: 的射电望远镜的时间差 解算量:同步观测的射电望 解算量: 远镜之间的坐标差等 射电望远镜 射电源电磁波 射电望远镜 2,空间大地网是实现本学科科学技术任务的技术方案 1),用卫星测量,激光测卫和甚长基线干涉测量等空间大 ),用卫星测量 用卫星测量, 地测量技术建立空间大地控制网, 地测量技术建立空间大地控制网,是确定地球基本参数 及重力场,建立大地基准参考框架,监测地壳形变, 及重力场,建立大地基准参考框架,监测地壳形变,保 证空间技术及战略武器的发展的地面基准等科技任务的 基本技术方案. 基本技术方案. 2),我国及许多国家正在建立或已建立GPS大地控制网 ),我国及许多国家正在建立或已建立 我国及许多国家正在建立或已建立GPS大地控制网 3),国际地球参考框架IFRF(International ),国际地球参考框架IFRF( 国际地球参考框架IFRF Terrestrial Referrence Frame)是基于VLBI, Frame)是基于VLBI, 是基于VLBI SLR,GPS等空间技术建立的 SLR,GPS等空间技术建立的. 等空间技术建立的. 3,精化地球重力场模型是大地测量滨重要发展目标 两种手段: 两种手段: 1),利用重力测量技术 ),利用重力测量技术 2),利用卫星大地测量技术,如卫星测高,低轨卫星 ),利用卫星大地测量技术 如卫星测高, 利用卫星大地测量技术, 地球重力场低阶模型已有很高精度 建立高阶地球重力场模型,精化现有360阶模型 阶模型, 建立高阶地球重力场模型,精化现有360阶模型,使全球 大地水准面精度达5 大地水准面精度达5～10cm 美国:360阶 美国:360阶 中国:180阶. 中国:180阶 卫星测高 装有激光发射棱镜的低轨卫星 第二章 坐标系统和时间系统 一,地球的运转与银河系一起在宇宙中运动;与太阳一起在银河系中旋转;地球公转; 与银河系一起在宇宙中运动;与太阳一起在银河系中旋转;地球公转; 地球自转 1,地球公转:围绕太阳的旋转 地球公转: 公转一周的周期为一恒星年, 365.256354个太阳日 公转一周的周期为一恒星年,为365.256354个太阳日 地球连续两次经过春分点所需的时间为一回归年,长度为365.24219个 地球连续两次经过春分点所需的时间为一回归年,长度为365.24219个 太阳日. 太阳日. 1),黄道:太阳公转的轨道,是一椭圆.但由于其它星球的影 ),黄道 太阳公转的轨道,是一椭圆. 黄道: 使轨道产生摄动,并不严格的椭圆. 响,使轨道产生摄动,并不严格的椭圆. 2),满足开普勒三大行星定律 ),满足开普勒三大行星定律 行星运行的轨道是一个椭圆, ①,行星运行的轨道是一个椭圆,而 该椭圆的一个焦点与太阳的质心相重合 ②,行星质心与太阳质心间的距离向 量,在相同的时间内所扫过的面积相等 ③,行星运动周期的平方与轨道椭圆 长半径的立方之比为一常量春分点 远日 点 近日点 地球 秋分点 黄赤交角23° 黄赤交角 °27′ 黄道与赤道 2,地球自转:绕其自身旋转轴的转动.周其为24小时. 小时. 地球自转:绕其自身旋转轴的转动.周其为24小时 由于日月等天体的影响及地 球自身的不规则, 球自身的不规则,地球自转轴 方向是不断变化的. 方向是不断变化的. 1),岁差:在日月引力和其它天体 ),岁差: 岁差引力对地球隆起部分的作用下, 引力对地球隆起部分的作用下,地球在 绕太阳运行时, 绕太阳运行时,自转轴的方向不再保持 不变, 不变,从而使春分点在黄道上产生缓慢 的西移,这种现象在天文学中称为岁差. 的西移,这种现象在天文学中称为岁差. 在岁差的影响下,地球自转轴在空间 在岁差的影响下, 绕北黄极产生缓慢的旋转(从北天极上 绕北黄极产生缓慢的旋转 从北天极上 方观察为顺时针方向),形成一个倒圆 方观察为顺时针方向 , 锥体, 锥体,其锥角等于黄赤交角23°27′. °27′. 岁差的周期约为25800 25800年 岁差的周期约为25800年.岁差使春 分点每年西移50.3〃. 分点每年西移50.3〃. 50.3〃 2),章动:在日月引力等因素的影响下,瞬时北天极将绕 ),章动:在日月引力等因素的影响下, 章动 瞬时平北天极产生旋转,大致成椭圆形轨迹, 瞬时平北天极产生旋转,大致成椭圆形轨迹,其长半径约 9.2〃 周期约为18.6年 这种现象称为章动 章动. 为9.2〃,周期约为18.6年.这种现象称为章动. 真赤道: 某一时刻的赤道. 由于岁差和章动的影响,每一时刻赤道的位置不同) 真赤道: 某一时刻的赤道.(由于岁差和章动的影响,每一时刻赤道的位置不同) 平赤道:只有岁差影响时的赤道. 平赤道:只有岁差影响时的赤道. 黄经章动:章动引起的黄经变化.即平春分点与真春点的角距. 黄经章动:章动引起的黄经变化.即平春分点与真春点的角距. 交角章动:章动引起的黄赤交角的变化. 交角章动:章动引起的黄赤交角的变化. 3),极移:地球瞬时自转轴在地球上随时间而变,称为地极移动, ),极移:地球瞬时自转轴在地球上随时间而变,称为地极移动, ),极移 简称极移. 简称极移. 瞬时极:与观测瞬间相对应的自转轴所处的位置, 瞬时极:与观测瞬间相对应的自转轴所处的位置,称为该瞬时的 地 球极轴,相应的极点称为瞬时极. 球极轴,相应的极点称为瞬时极. 某段时间内地极的平均位置. 平 极:某段时间内地极的平均位置. 国际协定原点CIO:国际天文联合会 国际协定原点 :国际天文联合会IAU和国际大地测量与物理联合 和国际大地测量与物理联合 采用国际上5个纬度服务站的资料 会IUGG采用国际上 个纬度服务站的资料,以1900.00至1905.05 采用国际上 个纬度服务站的资料, 至 年地球自转轴瞬时位置的平均位置作为地球的固定极称为国际 协定原点CIO.也称协议地球极 也称协议地球极CTP. 协定原点 也称协议地球极 . 国际时间局BIH的CIO有:BIH1968.0,BIH1979.0,BIH1984.0 国际时间局 的 有 地极坐标系:以CIO为原点,零子 地极坐标系: 为原点, 为原点 午线方向为X轴,以零子午线以西 午线方向为 轴 为了描述90°子午线为y轴. 为了描述 °子午线为y 用来描述极移规律. 用来描述极移规律. 平春分点:相应于平极的春分点. 平春分点:相应于平极的春分点. 二,时间系统时刻:某一时间点,也就是发生某一现象的瞬间,也称历元. 时刻:某一时间点,也就是发生某一现象的瞬间,也称历元. 时间间隔:两个时刻之间的时间差. 时间间隔:两个时刻之间的时间差. 时间系统的要素:时间原点,度量单位(时间尺度). 时间系统的要素:时间原点,度量单位(时间尺度). 任何一个周期运动满足如下要求方可作为计量时间的方法: 任何一个周期运动满足如下要求方可作为计量时间的方法: a.运动是连续的; a.运动是连续的; 运动是连续的 b.周期有足够的稳定性; b.周期有足够的稳定性 周期有足够的稳定性; c.运动是可观测的. c.运动是可观测的 运动是可观测的. 在实际中有多种时间系统. 在实际中有多种时间系统. 1,恒星时ST ,恒星时 定义: 以春分点为参考点, 定义: 以春分点为参考点,由它的周日视运动所确定的时间 恒星时. 称为 恒星时. 计量时间单位:恒星日,恒星小时,恒星分,恒星秒; 计量时间单位:恒星日,恒星小时,恒星分,恒星秒; 恒星日:春分点连续两次经过同一子午圈上中天的时间间隔. 恒星日:春分点连续两次经过同一子午圈上中天的时间间隔. 一恒星日=24恒星时 恒星时=1440恒星分 恒星分=86400恒星秒 一恒星日 恒星时 恒星分 恒星秒 分类:真恒星时和平恒星时. 分类:真恒星时和平恒星时. LAST LMST = GAST GMST = Ψ cos ε GMST LMST = GAST LAST =λ GMST = 1.0027379093s × UT 1 + 24110.54841S + 8640184.812866 S T + 0.093104 s T 2 6.2 × 10 6 T 3 其中, 为黄经章动, 黄赤交角, 为标准历元J2000.0 其中,Δψ为黄经章动,ε黄赤交角,T为标准历元J2000.0 到计算历元之间的儒略世纪数儒略历:是公元前罗马皇帝儒略 凯撤所实行的一种历法 凯撤所实行的一种历法. 儒略历:是公元前罗马皇帝儒略凯撤所实行的一种历法.儒略日(JD) ) 是从公元前4713年儒略历 月1日格林尼治平正午起算的连续天数.一 是从公元前 年儒略历1月 日格林尼治平正午起算的连续天数. 年儒略历 日格林尼治平正午起算的连续天数 个儒略世纪有36525个儒略日.标准历元J2000.0为2451545.0儒略日 个儒略日. 儒略日. 个儒略世纪有 个儒略日 儒略日 简化儒略日( 简化儒略日(MJD)等于儒略日减去 )等于儒略日减去2400000.5日. 日 1900年3月到 月到2100年2月儒略日计算公式 月儒略日计算公式: 年 月到 年 月儒略日计算公式 JD=367×Y-7×[Y+(M+9)/12]/4+275×M/9+D+1721014 × × ( ) × 其中Y,M,D表示年月日 表示整除 表示年月日,/表示整除 其中 表示年月日 表示整除. 2 .平太阳时 平太阳时MT 平太阳时真太阳时:以真太阳作为参考点, 真太阳时 以真太阳作为参考点,由它的周日视运动所确定的时间 以真太阳作为参考点 平太阳时:以平太阳作为参考点 由它的周日视运动所确定的时间. 以平太阳作为参考点, 平太阳时 以平太阳作为参考点,由它的周日视运动所确定的时间. 计量时间单位:平太阳日,平太阳小时,平太阳分,平太阳秒; 计量时间单位:平太阳日,平太阳小时,平太阳分,平太阳秒; 平太阳日:平太阳连续两次经过同一子午圈的时间间隔 平太阳连续两次经过同一子午圈的时间间隔. 平太阳日 平太阳连续两次经过同一子午圈的时间间隔 一回归年=365.24219879平太阳日 一回归年 平太阳日 一平太阳日=24平太阳小时 平太阳小时=1440平太阳分 平太阳分=86400平太阳秒. 平太阳秒. 一平太阳日 平太阳小时 平太阳分 平太阳秒 平太阳时与日常生活中使用的时间系统是一致的, 平太阳时与日常生活中使用的时间系统是一致的,通常钟表所指示 的 时刻正是平太阳时. 时刻正是平太阳时. 3 .世界时 世界时UT 世界时 定义: 定义:以平子午夜为零时起算的格林尼治平太阳时定义为 世界时UT. 世界时 . UT = GAMT + 12小时 UT0:未经任何改正的世界时 未经任何改正的世界时 UT1:经过极移改正的世界时 经过极移改正的世界时 UT2:在UT1的基础上经过地球自转速度的季节性改正的世界时 在 的基础上经过地球自转速度的季节性改正的世界时 UT 1 = UT 0 + λ UT 2 = UT 1 + T λ = 1 x p sin λ y p cos λ tan 15 ( ) T = 0.022 sin 2πt 0.012 cos 2πt 0.006 sin 4πt + 0.007 cos 4πt 4.原子时 原子时AT 原子时原子时:是以物质内部原子运动的特征为基础建立的时间系统. 原子时:是以物质内部原子运动的特征为基础建立的时间系统. 原子时的尺度标准: 在海平面实现的原子秒 国际制秒( ). 在海平面实现的原子秒)国际制秒 原子时的尺度标准:(在海平面实现的原子秒 国际制秒(SI). 原子秒:在零磁场下, 原子秒:在零磁场下,铯-133原子基态两个超精细能级间跃迁 原子基态两个超精细能级间跃迁 辐射9192631770周所持续的时间. 周所持续的时间. 辐射 周所持续的时间 国际原子时(TAI)的原点由下式确定:AT=UT2-0.0039(s) 的原点由下式确定: 国际原子时 的原点由下式确定 5 .协调世界时 协调世界时UTC 协调世界时协调世界时UTC:由于地球自转速度有变慢的趋势,为了避免世界时和原 由于地球自转速度有变慢的趋势, 协调世界时 由于地球自转速度有变慢的趋势 子时产生过大偏差而采用的一种以原子时秒长为基础, 子时产生过大偏差而采用的一种以原子时秒长为基础,在时刻上尽量接近 世界时的一种折衷的时间系统. 世界时的一种折衷的时间系统. 当二者之差超过±0.9秒时 便在协调世界时 秒时, 协调世界时UTC加入一闰秒.闰秒一 加入一闰秒. 当二者之差超过±0.9秒时,便在协调世界时 加入一闰秒 般在12月 日或 日或6月 日加入 日加入. 般在 月31日或 月30日加入. 协调世界时UTC的秒长与原子时秒长一致. 的秒长与原子时秒长一致. 协调世界时 的秒长与原子时秒长一致 协调时与国际原子时之间的关系,如下式所示: 协调时与国际原子时之间的关系,如下式所示: IAT=UTC+1s×n 式中n为调整参数 × 式中 为调整参数 UT 1 = UTC + UT 1 = UTC + (UT 1 UTC ) .GPS时间系统 时间系统GPST 6 .GPS时间系统GPST 基于美国海军观测实验室维持的原子时的时间系统. 基于美国海军观测实验室维持的原子时的时间系统. GPST属于原子时系统 它的秒长即为原子时秒长,GPST的 属于原子时系统, GPST属于原子时系统,它的秒长即为原子时秒长,GPST的 原点与国际原子时IAT相差19s 有关系式: IAT相差19s. 原点与国际原子时IAT相差19s.有关系式: IAT-GPST=19( IAT-GPST=19(s) 1980年 GPST与UTC相等 它们的关系为: 相等, 在1980年1月6日,GPST与UTC相等,它们的关系为: GPST = UTC + n GPS时间系统与各种时间系统的关系见图所示: 时间系统与各种时间系统的关系见图所示: 时间系统与各种时间系统的关系见图所示 7,历书时(ET)与力学时 ,历书时 与力学时(DT) 与力学时历书时(ET):以地球公转运动为基准的时间系统 以地球公转运动为基准的时间系统. 历书时 以地球公转运动为基准的时间系统 起始历元为1900年1月12时. 起始历元为 年 月 时 秒长为1900年1月12时整回归年长度的 时整回归年长度的1/31556925.9747. 秒长为 年 月 时整回归年长度的 力学时(DT):天体运动力学理论建立的运动方程所采用的时间参数 天体运动力学理论建立的运动方程所采用的时间参数. 力学时 天体运动力学理论建立的运动方程所采用的时间参数 太阳系质心力学时(TDB):相对于太阳系质心的运动方程所采用的时间参数 相对于太阳系质心的运动方程所采用的时间参数. 太阳系质心力学时 相对于太阳系质心的运动方程所采用的时间参数 地球质心力学时(TDT):相对于太阳系质心的运动方程所采用的时间参数 相对于太阳系质心的运动方程所采用的时间参数. 地球质心力学时 相对于太阳系质心的运动方程所采用的时间参数 力学时(DT)所采用的基本单位是国际制秒 所采用的基本单位是国际制秒(SI),与原子时的尺度一致 与原子时的尺度一致. 力学时 所采用的基本单位是国际制秒 与原子时的尺度一致 TDB = TDT + 0.001658 sin( g + 0.0167 sin g ) g = ( 357.258 0 + 35999.050 0 T )( 2π / 360) TDT = TAI + 32.184 三,坐标系统 1,基本概念 1).大地基准(Geodetic Datum): 大地基准(Geodetic a).椭球参数 a).椭球参数: 椭球参数: 长半径和扁率 地球椭球 b).椭球定向 椭球旋转轴平行于地球旋转轴, b).椭球定向:椭球旋转轴平行于地球旋转轴,椭球起始 椭球定向: 子午面平行于地球起始子午面. 子午面平行于地球起始子午面. c).椭球定位 确定椭球中心与地球中心的相对位置. c).椭球定位:确定椭球中心与地球中心的相对位置. 椭球定位: 2),天球:以地球质心为中心以无穷大为半径的假想球体. 2),天球:以地球质心为中心以无穷大为半径的假想球体. 天轴,天极,天球赤道,天球赤道面,天球子午面,天球子 天轴,天极,天球赤道,天球赤道面,天球子午面, 午圈,时圈,黄道,黄极,春分点. 午圈,时圈,黄道,黄极,春分点. 黄赤交角23° 黄赤交角 °27′ 3),大地测量参考系(Geodetic Reference System) System) ),大地测量参考系( 大地测量参考系 ①,坐标参考系统:天球坐标系 地球坐标系 坐标参考系统: 点的坐标可用( 点的坐标可用(x,y,z)表示,也可用(L,B,H)表示. )表示,也可用( )表示. Z Z 首 子 午 线 X L o B B 地球 赤道 P Y P o X 春 分 点 天球 赤道 黄道 Y 天球坐标系 地球坐标系 ②,高程参考系统: 高程参考系统 正高: 正高 以大地水准面为参考面 正常高: 正常高 以似大地水准为参考面 H = H正 + N H = H 正常 + ζ P H H正 N ③,重力参考系统:重力观测的参考系统. 重力参考系统:重力观测的参考系统. 4),大地测量的参考框架(Geodetic Reference Frame) 大地测量的参考框架( ),大地测量的参考框架 ①,坐标参考框架: 坐标参考框架: 具体实现:国家平面控制网,GPS网 具体实现:国家平面控制网,GPS网 ②,高程参考框架: 高程参考框架 具体实现:国家高程控制网(水准网) 具体实现:国家高程控制网(水准网) ③,重力参考框架: 重力参考框架: 具体实现:国家重力基本(控制) 具体实现:国家重力基本(控制)网 5),椭球的定位和定向 ),椭球的定位和定向 椭球定位:确定椭球中心的位置. ①,椭球定位:确定椭球中心的位置. 地心定位:椭球面与大地水准面全球最佳符合. 地心定位:椭球面与大地水准面全球最佳符合.椭球中 心与地球质心一致或最为接近. 心与地球质心一致或最为接近. 局部定位:椭球面与大地水准面局部最佳符合. 局部定位:椭球面与大地水准面局部最佳符合. 椭球定向:确定旋转轴和起始子午面的方向. ②,椭球定向:确定旋转轴和起始子午面的方向. a.椭球短轴平行于地球旋转轴; a.椭球短轴平行于地球旋转轴 椭球短轴平行于地球旋转轴; b.大地起始子午面平行于天文起始子午面. b.大地起始子午面平行于天文起始子午面 大地起始子午面平行于天文起始子午面. 参考椭球:具有确定参数(a,α),经过局部定位和定向的 ③,参考椭球:具有确定参数(a,α),经过局部定位和定向的 地球椭球. 地球椭球. 总地球椭球:具有确定参数(a,α),经过地心定位和定向 经过地心定位和定向, ④,总地球椭球:具有确定参数(a,α),经过地心定位和定向, 与全球大地水准面最为密合的地球椭球. 与全球大地水准面最为密合的地球椭球. 2,惯性坐标系(CIS)与协议天球坐标系 惯性坐标系(CIS) 1),惯性坐标系(CIS)与协议天球坐标系 1),惯性坐标系(CIS) ① 惯性坐标系(CIS):在空间不动或做匀速直线运动的坐标系. 惯性坐标系(CIS) 在空间不动或做匀速直线运动的坐标系. ② 协议天球坐标系:以某一约定时刻t0作为参考历元,把该时刻对应 协议天球坐标系:以某一约定时刻t 作为参考历元, 的瞬时自转轴经岁差和章动改正后作为Z 以对应的春分点为X 的瞬时自转轴经岁差和章动改正后作为Z轴,以对应的春分点为X 轴的指向点, XOZ的垂直方向为 轴方向建立的天球坐标系. 的垂直方向为Y 轴的指向点,以XOZ的垂直方向为Y轴方向建立的天球坐标系. 是一种近似的惯性坐标系. 是一种近似的惯性坐标系. 目前采用的协议天球坐标系是以标准历元 J2000.0(2000年 J2000.0(2000年1月1.5日)的平赤 1.5日 道和平春分点为依据的. 道和平春分点为依据的. ③ 瞬时平天球坐标系:以某一瞬时平 瞬时平天球坐标系: 天球赤道和对应的春分点为依据. 天球赤道和对应的春分点为依据. 瞬时真天球坐标系: ④ 瞬时真天球坐标系:以某一瞬时北 天极和对应的真春分点为依据. 天极和对应的真春分点为依据. X Z P 黄道 o 天球赤 道 Y 春分 点 2),协议天球坐标系转换到瞬时平天球坐标系 2), 二者的差异是由于岁差引起的,可经坐标系的旋转来进行转换. 二者的差异是由于岁差引起的,可经坐标系的旋转来进行转换. x x y = P y z z Mt CIS P = R Z ( Z A )R Y (θ A )R Z ( ζ A ) Z ζA Z P0 cos Z A sin Z A 0 R Z ( Z A ) = sin Z A cos Z A 0 0 0 1 cos θ A 0 sin θ A 1 0 R Z (θ A ) = 0 sin θ A 0 cos θ A cos ζ A R Z ( ζ A ) = sin ζ A 0 sin ζ A cos ζ A 0 0 0 1 X ri Pi zA Y Y r0 标准历元平赤道 X θA 瞬时平赤道 其中ZA,θA,ζA为岁差参数 3),瞬时平天球坐标系转换到瞬时天球坐标系 ),瞬时平天球坐标系转换到瞬时天球坐标系二者的差异是由于岁差引起的,可经坐标系的旋转来进行转换. 二者的差异是由于岁差引起的,可经坐标系的旋转来进行转换. x x y = N y z z t Mt N = R x ( ε ε )R Z ( Ψ )R x (ε ) Z Z 0 0 1 0 cos (ε ε ) R x ( ε ε ) = + sin (ε + ε ) 0 sin (ε + ε ) cos (ε + ε ) sin Ψ 0 cos Ψ R Z ( Ψ ) = sin Ψ cos Ψ 0 0 0 1 0 0 1 0 R x (ε ) = cos ε sin ε 0 sin ε cos ε Y 黄道 平赤道 真赤道 真春分点 平春分点 Ψ ε X Y ε + ε 其中ε Δε,Ψ为黄赤交角 交章动, 其中ε,Δε,Ψ为黄赤交角,交章动,黄经章动 为黄赤交角, 进而有: 进而有: X x x y = NP y z z t CIS 3,地固坐标系 地固坐标系:原点O与地心 参心)重合, 轴指向地球北极 轴指向 与地心( 轴指向地球北极, 地固坐标系:原点 与地心(参心)重合,Z轴指向地球北极,X轴指向地球赤道面与格林尼治子午圈的交点, 轴在赤道平面里与 轴在赤道平面里与XOZ构成右手 地球赤道面与格林尼治子午圈的交点,Y轴在赤道平面里与 构成右手 坐标系. 坐标系. Z 地心坐标系:以总椭球基准为 地心坐标系: 参心坐标系:以参考椭球基准为 参心坐标系: 协议地球坐标系(CTS):以 ):以 协议地球坐标系(CTS): 协议地极CTP为 轴方向. 协议地极CTP为Z轴方向.大多 采用CIO为 轴指向点. 采用CIO为Z轴指向点.以对应 赤道面与起始子午圈的交点为X 赤道面与起始子午圈的交点为 轴指向. 轴指向 瞬时地球坐标系:以瞬时极为 轴方向 轴方向. 瞬时地球坐标系:以瞬时极为Z轴方向. 首 子 午 线 X L o B B 地球 赤道 P Y 1),协议地球坐标系与瞬时地球坐标系之间的转换 ),协议地球坐标系与瞬时地球坐标系之间的转换 X Y Z X = M Y Z CTS t ZCTS Zt yp x p M = RY x ( p )R X ( yp ) CTP 格林尼治 平子午线 0 仅取至一次项有 1 M= 0 x p 0 1 yp xp yp 1 XCTS Xt 协议赤道 YCTS Yt 瞬时赤道 2),协议地球坐标系与协议天球坐标系之间的转换 2), ① 瞬时地球坐标系与瞬时天球坐标系之间的转换 X x Y = E y Z z t t cos (GAST ) sin (GAST E = R z (GAST ) = sin (GAST ) cos (GAST 0 0 ) ) 0 1 ② 协议地球坐标系与协议天球坐标系之间的转换 X X X x Y = M Y Y = ME y Z Z Z z CTS t CTS t z Z 起始子午线 Y x x X x y = NP y Y = MENP y z z Z z CTS t CIS CIS 春分点 x GAST 赤道 y 3),参心坐标系 ),参心坐标系 ①,建立参心坐标系的工作 a. 确定椭球的几何参数(长半径a和扁率α) 确定椭球的几何参数(长半径a和扁率α 一般采用国际椭球参数. 一般采用国际椭球参数. b.椭球定位 b.椭球定位 c.椐球定向 平行条件 c.椐球定向 d.建立大地原点 d.建立大地原点 如图建立两个坐标系 二者的关系可用下面参数表示: 二者的关系可用下面参数表示: 三个平移参数(X 三个平移参数(X0,Y0,Z0) 三个旋转参数ε 三个旋转参数εX ,εy ,εZ 根据椭球定向平行条件有: 根据椭球定向平行条件有: εX=0 εy=0 εZ=0 (X0,Y0,Z0) ②,大地原点和大地起算数据 在地面上选定某一适宜的点K 在地面上选定某一适宜的点K作为 大地原点,观测其天文经度λK, 大地原点,观测其天文经度λ 天文纬度φ 正高H 天文纬度φK,正高H正K,至某相邻 点的天文方位角α 点的天文方位角αK,然后再换算 成大地经度L 大地纬度B 成大地经度LK,大地纬度BK,大地 方位角A 大地高H 方位角AK,大地高HK. LK,BK,AK称为大地起算数据, 称为大地起算数据, 大地原点又称大地起算点. 大地原点又称大地起算点. 根据广义垂线偏差公式和广义拉普拉斯方程有: 根据广义垂线偏差公式和广义拉普拉斯方程有: 其中:ξK-大地原点垂线偏差子午分量 其中: ηK-大地原点垂线偏差子午分量 NK-大地水准面差距 顾及 εX=0,εy=0 ,εZ=0,有: =0, =0, ③,参考椭球的定位和定向 a.单点定位:令大地原点的椭球法线与铅垂线重合,椭球面和大地水 令大地原点的椭球法线与铅垂线重合, 准面相切. 准面相切. 则: b.多点定位:在全国范围内观测许多点的天文经度λ,天文纬 多点定位:在全国范围内观测许多点的天文经度λ 度φ,天文方位角α(这样的点称为拉普拉斯点).利用这 天文方位角α 这样的点称为拉普拉斯点). ).利用这 些观测成果和已有的椭球参数,根据最佳拟合条件∑ 些观测成果和已有的椭球参数,根据最佳拟合条件∑N2=min =min),采用最小二乘原理, ),采用最小二乘原理 (或∑ζ2=min),采用最小二乘原理,求出椭球定位参数 旋转参数ε ΔX0,ΔY0,ΔZ0,旋转参数εX,εy,εZ,椭球几何参数的改 正数Δ Δα( α. 以及η 正数Δa,Δα(a新=a旧+ a,α新=α旧+α.)以及η 新,ξ新,N新. sin L η新 N + H sin B cos L ξ新 = M + H N 新 cos B cos L cos L 0 N+H sin B ε x sin B cos L sin B sin L X 0 sin B sin L cos B Y0 + sin L 0 ε y cos L M+H M+H 2 2 2 0 旧 ε z cos B sin L sin B Z 0 Ne sin cos B sin L Ne sin B cos B cos L 旧 0 0 0 a (λ L )cos B N 2 N M 2 e 2 sin 2 B e 2 sin B cos B sin B cos B + B + e sin B cos B m + ( M + N )a (M + N )(1 α ) α M N 旧 N M N 1 e 2 sin B 旧 2 2 2 2 2 1 e sin B 1 e sin B sin B a 1α 旧 ( ) ( ) ( ) ( ) 再根据: 再根据: 求出大地原点新的大地起算数据. 求出大地原点新的大地起算数据. 参考椭球参数和大地起算数据是一个参心坐标系建成的标志, 参考椭球参数和大地起算数据是一个参心坐标系建成的标志,一定的 参考椭球和一定的大地起算数据确定了一定的坐标系. 参考椭球和一定的大地起算数据确定了一定的坐标系. ④,1954年北京坐标系(BJ54旧) 1954年北京坐标系 BJ54旧 年北京坐标系( 1,采用克拉索夫斯基椭球参数,通过与前苏联1942年坐标系 采用克拉索夫斯基椭球参数,通过与前苏联1942年坐标系 联测而建立的坐标系.大地原点在前苏联的普尔科沃. 联测而建立的坐标系.大地原点在前苏联的普尔科沃. 2,存在的主要缺陷: 存在的主要缺陷: ),椭球参数有较大误差 椭球参数有较大误差. (1),椭球参数有较大误差. ),参考椭球面与我国的大地水准面有明显自西向东的系统 (2),参考椭球面与我国的大地水准面有明显自西向东的系统 性倾斜. 性倾斜. ),几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一 几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一. (3),几何大地测量和物理大地测量应用的参考面不统一. 几何: 物理: 几何:克拉索夫斯基椭球 物理: 赫尔默特扁球 ),定向不明确 短轴指向不是CIO, 定向不明确. (4),定向不明确.短轴指向不是CIO,也不是我国的地极原 点JYD1968.0 ⑤,1980年国家大地坐标系(GDZ80)-西安坐标系 1980年国家大地坐标系 GDZ80)- 年国家大地坐标系( )-西安坐标系 1,采用1975年国际大地测量与地球物理联合会(IUGG)推 采用1975年国际大地测量与地球物理联合会 IUGG) 年国际大地测量与地球物理联合会( 荐的4个地球椭球参数:长半径a 地心引力常数GM, 荐的4个地球椭球参数:长半径a,地心引力常数GM,地球 二阶带球谐系数J2,地球自转速度ω 二阶带球谐系数J2,地球自转速度ω. 2,定位定向:椭球短轴平行于地球质心指向我国地极原点, 定位定向:椭球短轴平行于地球质心指向我国地极原点, 大地起始子午面平行于格林尼治天文台的平均子午面 3,大地原点在我国陕西省泾阳县永乐镇 4,采用多点定位,椭球面同我国大地水准面最为密合 采用多点定位, 5,根据∑ζ2GDZ80=min求出参数X0,Y0,Z0,( a,α) 根据∑ =min求出参数 X0,Y0, Z0,( α) 6,在1954年北京坐标系基础上建立的,通过全国天文大地网 1954年北京坐标系基础上建立的 年北京坐标系基础上建立的, 整体平差. 整体平差. 7,大地高程基准采用1956年黄海高程系. 大地高程基准采用1956年黄海高程系 年黄海高程系. 四个基本参数为: 四个基本参数为: a=6378140m; GM=3.986005× GM=3.986005×1014m3/s2; J2=1.08263× J2=1.08263×10-3; ω=7.292115×10-5rad/s =7.292115× ⑥,新1954年北京坐标系(BJ54新) 1954年北京坐标系 BJ54新 年北京坐标系( BJ54新是在GDZ80的基础上,改变GDZ80的IUGG椭球几何参 的基础上, 数为克拉索夫斯基椭球参数,并将坐标原点(椭球中心) 数为克拉索夫斯基椭球参数,并将坐标原点(椭球中心)平移 而建立起来的.二者有严密的数学转换模型. 而建立起来的.二者有严密的数学转换模型. 1,是BJ54旧与GDZ80之间的过渡坐标系. 之间的过渡坐标系. 2,采用克拉索夫斯基椭球参数,坐标轴与GDZ80坐标轴平行. 采用克拉索夫斯基椭球参数, 坐标轴平行. 3,大地原点与GDZ80相同,但起算数据不同. 大地原点与GDZ80相同 但起算数据不同. 相同, 4,采用多点定位,椭球面与大地水准面在我国不是最佳拟合 采用多点定位, 两者坐标关系是: 两者坐标关系是: 4),地心坐标系 ),地心坐标系 ①,地心地固空间直角坐标系 原点与地球质心重合, 原点与地球质心重合,Z轴指向地球北 极,X轴指向格林尼治平均子午面与 赤道交点, 轴垂直于XOZ平面 平面. 赤道交点,Y轴垂直于XOZ平面. 地心地固大地坐标系: ②,地心地固大地坐标系:椭球中心与 地球质心重合, 地球质心重合,椭球面与大地水准面 最为密合,短轴与地球自转轴重合. 最为密合,短轴与地球自转轴重合. 点的坐标为大地经度L 大地纬度B 点的坐标为大地经度L,大地纬度B, 大地高H. 大地高H. ③空间直角坐标与大地坐标的关系 X = ( N + H ) cos B cos L Y = ( N + H ) cos B sin L Z = [ N (1 e ) + H ] sin B 2 Z P H Z M 0 X L n Q B Y P ′ X Y ③,WGS-84世界大地坐标系 WGS-84世界大地坐标系 原点与地球质心重合, 轴指向BIH1984.0定义的协 原点与地球质心重合,Z轴指向BIH1984.0定义的协 议地极CIP方向 方向, 轴指向BIH1984. 0零度子午面和 零度子午面和CTP 议地极CIP方向,X轴指向BIH1984. 0零度子午面和CTP 赤道的交点, 轴和Z 轴构成右手坐标系. 赤道的交点,Y轴和Z,X轴构成右手坐标系. 是GPS卫星广播星历的坐标参考基准 GPS卫星广播星历的坐标参考基准 四个基本参数为: 四个基本参数为: a=6378137m; GM=3986005× GM=3986005×108m3/s2; C2.0=1.08263×10-3; =1.08263× ω=7.292115×10-5rad/s =7.292115× ④,国际地球参考系统(ITRS)与国际地球参考框架(ITRF) 国际地球参考系统(ITRS)与国际地球参考框架(ITRF) 1,国际地球参考系统(ITRS) 国际地球参考系统(ITRS) 原点为地心, 原点为地心,是包括海洋和大气在内的地球质心 长度单位为米m 长度单位为米m,在广义相对论框架下定义 Z轴从地心指向BIH1984.0定义的协议地极CTP 轴从地心指向BIH1984.0定义的协议地极 定义的协议地极CTP X轴从地心指向格林尼治平均子午面与CTP赤道的交点 轴从地心指向格林尼治平均子午面与CTP赤道的交点 Y轴与XOZ平面垂直,构成右手坐标系 轴与XOZ平面垂直 平面垂直, 2,国际地球参考框架(ITRF) 国际地球参考框架(ITRF) 是国际地球参考系统(ITRS)的具体实现.是通过ITRS分布 是国际地球参考系统(ITRS)的具体实现.是通过ITRS分布 全球的跟踪站的坐标和速度场来维持的. 全球的跟踪站的坐标和速度场来维持的. 5),站心坐标系:以测站为原点,测站上的法线(或垂线) ),站心坐标系:以测站为原点,测站上的法线(或垂线) 站心坐标系 轴方向, 轴方向指向子午线的北方向, 轴垂直平面XOZ 为Z轴方向,X轴方向指向子午线的北方向,Y轴垂直平面XOZ 并指向东. 并指向东. ①, 垂线站心直角坐标系: 垂线站心直角坐标系: 以测站P为原点 为原点, 点的垂线为 以测站 为原点,P点的垂线为 z轴(指向天顶为正 子午线方向 为 指向天顶为正),子午线方向 轴 指向天顶为正 x轴(向北为正 ,y轴与 ,z轴垂直 向北为正), 轴与 轴与x, 轴垂直 轴 向北为正 (向东为正 构成左手坐标系.这种 向东为正)构成左手坐标系 向东为正 构成左手坐标系. 垂线站心直角坐标系, 坐标系称为 垂线站心直角坐标系, 或称为站心天文坐标系. 或称为站心天文坐标系. λ φ Z(天顶 天顶) 天顶 Z d P Y(东) 东 α Q′ Q X(北) 北 ②法线站心直角坐标系: 法线站心直角坐标系: 以测站P点为原点 点为原点, 点的法线方向为 点的法线方向为z轴 指向天顶为正 指向天顶为正), 以测站 点为原点, P点的法线方向为 轴(指向天顶为正 ,子 线北方向为x抽 轴与x,z轴垂直 午 线北方向为 抽,y轴与 轴垂直,构成左手坐标系.这种 轴与 轴垂直,构成左手坐标系. 坐标系就称为法线站心直角坐标系, 坐标系就称为法线站心直角坐标系,或站心椭球坐标系 4,坐标系换算 1),欧勒角: ),欧勒角: 欧勒角 两个三维空间直角坐 标系进行相互转换的 旋转角: 旋转角:εx,εy,εz 2),旋转矩阵 ),旋转矩阵 ①,二维直角坐标转换 x 2 = x1 cos θ + y1 sin θ y 2 = x1 sin θ + y1 cos θ y1 y2 θ y1cosθ θ x2 x1 x1sinθ θ 旋转矩阵为: 旋转矩阵为: cos θ sin θ sin θ cos θ x1cosθ θ y1sinθ θ ②,三维直角坐标转换 a.绕z轴旋转εz a.绕 轴旋转ε Z1(z1) y0 εz εz x1 x0 y1 b.绕y轴旋转εy b.绕 轴旋转ε z0 εy z1 Y0(y0) εy x0 x2 c.绕x轴旋转εx c.绕 轴旋转ε z2 z0 εx εx y2 y0 X2(x2) 则三次旋转矩阵为: 则三次旋转矩阵为: Z2 Z1 Y2 Y1 X1 X2 cos ε Y cos ε Z R0 = cos ε X sin ε Z + sin ε X sin ε Y cos ε Z sin ε X sin ε Z + cos ε X sin ε Y cos ε Z cos ε Y sin ε Z cos ε X cos ε Z + sin ε X sin ε Y sin ε Z sin ε X cos ε Z + cos ε X sin ε Y sin ε Z sin ε Y sin ε X cos ε Y cos ε X cos ε Y 坐标转换公式为: 坐标转换公式为: 一般ε 一般εx ,εy ,εz为微小量,可取 为微小量, 则有: 则有: 坐标转换公式可化为: 坐标转换公式可化为: X2 1 Y ε 2 = z Z2 ε y εz 1 εx ε y X1 ε x Y1 1 Z1 3),站心直角坐标系与空间大地直角坐标系的转换关系 ),站心直角坐标系与空间大地直角坐标系的转换关系 将站心坐标轴 xyz 变换成与 空间坐标系的指向一致, 空间坐标系的指向一致,需要 如下几步: 如下几步: (1). y 坐标轴反向; 坐标轴反向; (2). 绕y轴900-B; 轴 ; (3). 绕z轴旋转 轴旋转180-L. 轴旋转 即: λ φ 变换成空间坐标系转换矩阵为: 将站心坐标 xyz 变换成空间坐标系转换矩阵为: 1 T = R z 180 0 λ R y 90 0 0 0 cos sin λ sin cos λ cos λ cos = sin sin λ cos 0 sin ( ) ( ) 0 0 0 1 cos λ sin λ 0 1 坐标转换式为: 坐标转换式为: 即: 转换矩阵为: 将空间坐标系变换成站心坐标 xyz 转换矩阵为: 同理法线站心坐标系与空间直角坐标系之间的转换式为: 同理法线站心坐标系与空间直角坐标系之间的转换式为: 4),不同空间直角坐标系转换 ),不同空间直角坐标系转换 ①,只考虑旋转的情况 Z2 Z1 X2 1 Y2 = ε z Z2 ε y εz 1 εx ε y X1 ε x Y1 1 Z1 X1 Y2 Y1 X2 ②,考虑平移,旋转,尺度变化的情况 考虑平移,旋转, 上式又可表示为: 上式又可表示为: X 2 X1 X1 0 Y2 = Y1 + m Y1 + (1 + m ) Z 1 Z 2 Z1 Z1 Y1 Z1 0 X1 Y1 ε X X 0 X 1 ε Y + Y0 0 ε Z Z 0 忽略上式中尺度比m与旋转参数的乘积项又可表示为: 忽略上式中尺度比m与旋转参数的乘积项又可表示为: Z1 0 X1 Y1 ε X X 0 X 1 ε Y + Y0 0 ε Z Z 0 X 2 X1 X1 0 Y Y mY Z 2 = 1+ 1+ 1 Z 2 Z1 Z 1 Y1 ③,转换参数x0,y0, z0,εx, εy, εz,m的计算: 转换参数 的计算: 为了求得这七个参数,至少要有3个的公共点,当多于3 为了求得这七个参数,至少要有3个的公共点,当多于3个公 共点时可按最小二乘法求解. 共点时可按最小二乘法求解. 则: 令 a1 = m + 1, a 2 = a1ε x , a 3 = a1ε y , a4 = a1ε z X 0 Y 0 Y1 Z 0 X 1 a1 0 a2 a3 a4 1 X2 Y = (1 + m ) ε z 2 εy Z2 转换值 εz 1 εx ε y X 1 X 0 1 0 0 ε x Y1 + Y0 = 0 1 0 Z 1 Z 0 0 0 1 1 X1 Y1 Z1 0 Z1 Y1 Z1 0 X1 设: 则: 令 则有 根据V PV=min可求得 根据VTPV=min可求得δX: 可求得δ 进而可求得X0, Y0, Z0, 进而可求得X0,Y0, Z0,εx, εy, εz,m. 5),不同大地坐标系转换 ),不同大地坐标系转换 转换参数: 个平移参数: X0, Y0, 转换参数:3个平移参数: X0,Y0, Z0 3个旋转参数: εx, εy, εz 个旋转参数: 1个尺度参数:m 个尺度参数: 2个椭球元素变化参数:a,α 个椭球元素变化参数: 大地坐标与空间直角坐标的关系为: 大地坐标与空间直角坐标的关系为: X = ( N + H ) cos B cos L Y = ( N + H ) cos B sin L Z = [ N (1 e 2 ) + H ] sin B 对上式全微分得: 对上式全微分得: 对上式两端乘上J 并整理可得: 对上式两端乘上J-1并整理可得: 其中: 其中: sin L sin B cos L cos B cos L ( N + H ) cos B 0 J = cos L sin B sin L cos B sin L 0 cos B sin B 0 0 M+H 0 0 0 = CH 1 1 0 0 ( N + H )cos B sin L 1 1 1 T J 0 0 sin B cos L = H C = M + H 0 0 1 cos B cos L cos L sin L 0 ( N + H ) cos B ( N + H )cos B sin B cos L sin B sin L cos B = M + H M + H M + H cos B cos L cos B sin L sin B cos L sin B sin L cos B sin L 0 cos B sin B X 2 X1 X1 0 Y Y 2 1 = m Y1 + Z Z2 Z1 Z 1 Y Z 0 X ε X X εY 0 ε Z Y X 0 Y + 0 Z 0 X = ( N + H ) cos B cos L Y = ( N + H ) cos B sin L Z = [ N ( 1 e 2 ) + H ] sin B 将以上式诸式代入 可得: 可得: 上式称为广义大地坐标微分公式. 上式称为广义大地坐标微分公式. 根据3个以上的公共点,按最小二乘法求解X0, Y0, 根据3个以上的公共点,按最小二乘法求解X0,Y0, Z0,εx, εy, εz,m,a,α. Z0, α. 若已知某点在坐标系1的大地坐标L1,B1,H1, 若已知某点在坐标系1的大地坐标L1,B1,H1,欲求坐 标系2中的大地坐标L2,B2,H2, 标系2中的大地坐标L2,B2,H2,则可用以上转换参数及大地 微分公式求得dL,dB,dH, 则有: 微分公式求得dL,dB,dH, 则有: L2 L1 dL B B dB 2 = 1+ H 2 H 1 dH 第三章 地球重力场 及地球形状的基本理论 一,地球及其运动的基本概念 1,地球概说 1),地球的基本形状 ),地球的基本形状 地球表面积:5.1亿 海洋占70.8%, 地球表面积:5.1亿Km2,海洋占70.8%,陆地占 29.2%. 29.2%. 地球体积为10830亿 地球体积为10830亿Km3. 地球的实际形状很不规则.从 地球的实际形状很不规则. 总体情况看, 总体情况看,地球的形状可用大 地体来描述:是一个两极略扁, 地体来描述:是一个两极略扁, 赤道突出,略显"梨形" 赤道突出,略显"梨形"的球体 . 为计算和研究的方便, 为计算和研究的方便,通常 用旋转椭球来表达地球形状. 用旋转椭球来表达地球形状. 2),地球大气 ),地球大气 大气厚度:2000～3000km; 大气厚度:2000～3000km; 大气质量:3.9× 大气质量:3.9×1021克 从地面由低到高可分为:对流层,平流层,中层, 从地面由低到高可分为:对流层,平流层,中层,电离层 (热层),外层(散逸层) 热层) 外层(散逸层) 对流层:海平面以上40～50km;气温随高度增加而降低; 对流层:海平面以上40～50km;气温随高度增加而降低; 空气对流,运动显著;湿度大;天气多变. 空气对流,运动显著;湿度大;天气多变. 平流层:对流层以上50～55km,气温不受地面影响; 平流层:对流层以上50～55km,气温不受地面影响;空气 水平运动;水汽含量极少. 水平运动;水汽含量极少. 平流层以上80～85km, 中 层:平流层以上80～85km,气温随高度增加而迅速下 空气对流. 降,空气对流. 电离层:中层顶部到800km的高空 的高空; 电离层:中层顶部到800km的高空;温度随高度增加而急剧 上升,大部分空气被电离,对电磁波的传播影响较大. 上升,大部分空气被电离,对电磁波的传播影响较大. 电离层一上;空气十分稀薄;受地球引力小. 外 层:电离层一上;空气十分稀薄;受地球引力小. z 2,地球运动概说 1),地球自转: ),地球自转: 地球自转 2π ( R cos + h) V= 地球自转的线速度: 地球自转的线速度: T 2),地球公转: ),地球公转: 地球公转 地球公转遵循开普勒三定律 和万有引力定律. 和万有引力定律. ①,开普勒三大行星定律 行星运行的轨道是一个椭圆, a,行星运行的轨道是一个椭圆,而该椭 圆的一个焦点与太阳的质心相重合 a 1 e r= 1 + e cos f 2 o ω V R φ λ y x ( ) 远日点 f 近日点 b,行星质心与太阳质心间的距离向量,在相同的时间内所 行星质心与太阳质心间的距离向量, 扫过的面积相等,即面积速度(s/t )=常数 扫过的面积相等,即面积速度 常数 s π ab πa 2 1 e 2 = = t T T c,行星运动周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为常量. ,行星运动周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为常量. T2 4π 2 = 3 GM a ②,牛顿万有引力定律:宇宙中任意两个质点都彼此互相 牛顿万有引力定律: 吸引,引力的大小与它们的质量的乘积成正比, 吸引,引力的大小与它们的质量的乘积成正比,与它们的 距离平方成反比. 距离平方成反比. 是在开普勒三定律基础上推导来的, 是在开普勒三定律基础上推导来的,其包含了开普勒 三定律. 三定律. 2 F= k Mm r2 3,地球基本参数 1),几何参数 ),几何参数 长半径:a=6378.164km 长半径: 扁 率:α=1/298.257 2),物理参数 ),物理参数 自转速度:ω=7.29211515×10-5rad/s 自转速度: =7.29211515× 二阶带球谐系数: =1082.64× 二阶带球谐系数:J2=1082.64×10-6 地心引力常数: 地心引力常数:GM=398603km3/s2 二,地球重力场的基本理论一),引力与离心力 ),引力与离心力 1,引力F 引力F z ω Mm F= f 2 r o ρ F r g P M为地球质量, 为地球质量, 为地球质量 m为质点质量, 为质点质量, 为质点质量 f为万有引力常数, 为万有引力常数, 为万有引力常数 r为质点到地心的距离 为质点到地心的距离. 为质点到地心的距离 λ x y 2,离心力 P = mω 2ρ ω 为地球自转速度 ω = 2π ÷ 86164 . 095 = 7 . 292115 × 10 5 rad s 1 ρ 为质点所在平行圈半径 3,地球重力 , 为F与P的和向量 与 的和向量 g=F+P 二),引力位和离心力位 ),引力位和离心力位 1,引力位 ),位函数的定义 (1),位函数的定义 位函数:在一个参考坐标系中, 位函数:在一个参考坐标系中,引力位对被吸引点三 个坐标方向的一阶导数等于引力在该方向上的分力. 个坐标方向的一阶导数等于引力在该方向上的分力. 借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的. 借助于位理论来研究地球重力场是非常方便的. 空间任意两质点m 空间任意两质点m和M相互吸引的引力公式是 : F= f Mm r2 假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr, 假如两质点间的距离沿力的方向有一个微分变量dr,则 必做功: 必做功: dA = f Mm r 2 dr 用V表示位能,此功必等于位能的减少: 表示位能,此功必等于位能的减少: dV = f Mm r 2 dr 对上式积分,则得位能: 对上式积分,则得位能: V = ∫ dV = ∫ f Mm r2 dr = f Mm r 取质点m的质量为单位质量则有 的质量为单位质量则有: 引力位或位函数 : 取质点 的质量为单位质量则有: V= f M r 此函数则为质点M的引力位或位函数 此函数则为质点 的引力位或位函数 根据牛顿力学第二定律 F = ma = f Mm r2 a= f M r2 dV = = gradV dr 上式表明: 上式表明: 引力位梯度的负值在数值上等于单位质点受r处质体 处质体M吸引而形成的 引力位梯度的负值在数值上等于单位质点受 处质体 吸引而形成的 加速度值,单位质点所受引力在数值上就等于加速度. 加速度值,单位质点所受引力在数值上就等于加速度. (2),位函数的性质 ),位函数的性质 位函是标量函数,可对各分量求和,也可对某个质体进行积分. ① 位函是标量函数,可对各分量求和,也可对某个质体进行积分. V=V1+V2++Vn + 所以, 所以,地球总体的位函数应等于组成其质量的各基元分体位函数 dVi之和,对整个地球而言,则有 之和,对整个地球而言, V = dm dV = f ρ (M ) (M ) ∫ z ∫ (X,y,z) , S ρ (Xm,ym,zm) dm R o λm λ x φm ψ φ Se y S0 r ②空间直角坐标系中,引力位对被吸引点各坐标轴的偏导数等于 空间直角坐标系中, 相应坐标轴上的加速度(或引力 向量的负值: 或引力)向量的负值 相应坐标轴上的加速度 或引力 向量的负值: a r x 2 V ,a = x = y V V ,az = = y z + (x xm )2 (y ym )2 + (z z m ; )2 式中 x , y , z 为被吸引点坐标 x m , y m , z m 为吸引点坐标 若设: a = a 2 x + a 2 y + a 2 z (a,x),(a,y),(a,z)为 与各坐标轴之间的夹角, (a,x),(a,y),(a,z)为a与各坐标轴之间的夹角,则 ax =acos(a,x), a y=acos(a,y), a z=acos(a,z) (3)引力位的物理意义 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差. 引力所做功等于位函数在终点和起点的函数值之差. 在某一位置处质体的引力位就是将单位质点从无穷远处移动到该 点所做功. 点所做功. Q A= ∫ dV Q0 = V (Q ) V (Q0 ) Q0 m Q F M 2,离心力位 x = r cos cos λ , y = r cos sin λ , z = r sin 对时间求导数 : x = r cos sin λω = r cos cos λω , y z=0 = ω 2 x x = ω 2 y y = 0 z z ω (X,y,z) , S S r y z x 上式表明: 上式表明: 坐标对时间的二阶 导数就是单位质点 的离心加速度. 的离心加速度. o λ φ S e x y 1),离心力位: ),离心力位: 离心力位 将Q对各坐标轴求偏导数有: 对各坐标轴求偏导数有: Q= Q x Q y ω2 2 (x 2 + y 2 ) 2 = ω = ω Q z x = x 2 y = y = 0 可见, 对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向 可见,Q对各坐标轴的偏导数等于相应坐标轴上的加速度向 量的负值.因而Q是位函数 称离心力位. 是位函数, 量的负值.因而 是位函数,称离心力位. 2),离心力位函数的特性: ),离心力位函数的特性: 离心力位函数的特性 ),其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量 (1),其对各坐标轴的一阶偏导数为离心力加速度分量 的负值. 的负值. (2),其二阶导数为布阿桑算子 ),其二阶导数为布阿桑算子 2Q = ω 2 x 2 Q 2 = ω , 2 y 2Q = 0 2 z 2 算子 Q = 2Q x 2 + 2Q y 2 + 2Q z 2 = 2ω 2 ≠ 0 三),重力位 ),重力位 1,重力位 位函数是标函数,重力是引力和离心力的合力, 位函数是标函数,重力是引力和离心力的合力,则 重力位就是引力位和离心力位之和: 重力位就是引力位和离心力位之和: W = V+ Q W = f ∫ dm ω 2 2 x + y2 + r 2 ( ) 2,重力位的特性 ),重力位对三坐标标求偏导则得重力分量或重力加速度分量 重力位对三坐标标求偏导则得重力分量或重力加速度分量: (1),重力位对三坐标标求偏导则得重力分量或重力加速度分量: W x W = y W = z = = = = V Q + x x V Q + y y V Q + z z g g g x y g= 2 g 2 + g 2 + gz x y z 对任意方向 偏导数等于重力g在该方向的分力: 偏导数等于重力g在该方向的分力: W = g l = g cos( g , l ) l (g,l)为重力g与lr的夹角. g,l)为重力g lr的夹角 的夹角. ①.当g与l相垂直时,即(g,l)=900 dw=0,有W=常 相垂直时, dw= 当取不同常数时,就得到一簇曲面,称重力等位面, 数,当取不同常数时,就得到一簇曲面,称重力等位面, 也就是水准面.有无数个. 也就是水准面.有无数个. 其中,完全静止的海水面所形成的重力等位面, 其中,完全静止的海水面所形成的重力等位面,称大地水 准面. 准面. ②.当g与l夹角为0 时,即(g,l)=00,则有-dw=gdl 夹角为0 则有a.若dW≠0,必有dl ≠0,说明水准面之间不相交和相切 dW≠0,必有dl ≠0,说明水准面之间不相交和相切 b.若dW=C,由于各处重力g 不同,因而各处的dl也不同 dW= 由于各处重力g 不同,因而各处的dl也不同 说明水准面之间不平行 (2).重力位是标函数 ).重力位是标函数 2,调和函数(谐函数):二阶偏导数之和为零,满足拉普拉 调和函数(谐函数):二阶偏导数之和为零, ):二阶偏导数之和为零 斯方程的函数. 斯方程的函数. 二阶导数算子 V = 2V x 2 + 2V y 2 + 2V z 2 =0 上式又称拉普拉斯方程, 又称拉普拉斯算子. 上式又称拉普拉斯方程,⊿V又称拉普拉斯算子. 3,引力位函数是调和函数,因为 引力位函数是调和函数, 二阶导数算子 2V x 2 V = + 2V y 2 + 2V z 2 =0 V= f ∫ dm r V = f x V = f y V = f z ∫ ∫ ∫ 1 r dm , x 1 r dm , y 1 r dm z 1 ( x xm )2 dm = f 2 3 2 5 r x r 1 ( y ym )2 dm 2V = f 2 3 2 5 r y r 1 (z zm )2 dm 2V = f 2 3 2 5 r z r 2V ∫ ∫ ∫ r 2 = ( x x m )2 + ( y y m )2 + (z z m )2 (2),重力位函数不是调和函数(谐函数),因其二阶导数 ),重力位函数不是调和函数 谐函数), 重力位函数不是调和函数( ),因其二阶导数 不为零,不满足拉普拉斯方程. 不为零,不满足拉普拉斯方程. 对地球外部点有: 对地球外部点有: 对地球内部点有: 对地球内部点有: W = V + Q = 2ω 2 W = V + Q = 4πfδ + 2ω Q = V = W = 2Q x x 2 2 其中算子 + + 2Q y y 2 + + 2Q z 2 2V z 2 + 2W z 2 2V 2 2V 2 2W x 2 + 2W y 2 = V + Q 对式子 W = V + Q = 4π f δ + 2ω 2 两端积分有: 两端积分有: ∫∫∫ M Wdv = ∫∫ S gds = 4π fM + 2ω 2 v 可见,只要在地面上进行重力测量就可得到地球质量. 可见,只要在地面上进行重力测量就可得到地球质量. 四,地球的正常重力位和正常重力 1,地球重力位计算的复杂性 形状不规则,质量密度分极其不均匀, 形状不规则,质量密度分极其不均匀,因而无 法用以下重力位公式精确求得其重力. 法用以下重力位公式精确求得其重力. W = f ∫ dm ω 2 2 x + y2 + r 2 ( ) 2,正常椭球: 正常椭球: 一个形状和质量分布规则,接近于实际地球的旋转椭球. 一个形状和质量分布规则,接近于实际地球的旋转椭球.它产生的重力 场称为正常重力场.正常重力场的等位面称为正常水准面. 场称为正常重力场.正常重力场的等位面称为正常水准面.因为正常椭 球面是一个正常水准面,所以正常椭球又称水准椭球. 球面是一个正常水准面,所以正常椭球又称水准椭球. 正常(地球)椭球是一个假想的球体.是一个理想化的椭球体. 正常(地球)椭球是一个假想的球体.是一个理想化的椭球体. 正常重力位U 近似的地球重力位.是一个函数简单, 正常重力位U:近似的地球重力位.是一个函数简单,不涉及地球形状 和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位. 和密度便可直接得到的地球重力位近似值的辅助重力位. 扰动位T 地球实际重力位W与正常重力位U之差. 扰动位T:地球实际重力位W与正常重力位U之差. T=W-U 根据扰动位T可求出大地水准面与正常水准面之差, 根据扰动位T可求出大地水准面与正常水准面之差,便可最终解决地球 重力位和形状的问题. 重力位和形状的问题. 3,勒让德多项式: 勒让德多项式: 1),勒让德多项式: ),勒让德多项式: 勒让德多项式 递推公式: 递推公式: Pn (x ) = Pn + 1 ( x ) = 1 2 n n! d n (x 2 1)n n dx n 2n + 1 xP n ( x ) Pn 1 ( x ) n+1 n+1 将(x2-1)n按二项式定理展开有: 按二项式定理展开有: 令x=cosψ,则有: x=cosψ 则有: P n (cos ψ P 0 (cos ψ P 1 (cos ψ )= )= )= 1 2 1; cos ψ ; n d n! n (cos ψ 1)n d (cos ψ )n 2 3 P 2 (cos ψ ) = cos 2 5 P 3 (cos ψ ) = cos 2 2 3 1 ; ψ 2 3 ψ cos ψ 2 2),缔合勒让德多项式: ),缔合勒让德多项式: 缔合勒让德多项式 PnK ( x ) = (1 x 2 K 2 ) d K Pn ( x ) dx K 其中,n表示阶,K表示次,当K=0时即为勒让德多项式 其中, 表示阶, 表示次, K=0时即为勒让德多项式 令x=cosψ,则有: x=cosψ 则有: 3,地球引力位的数学表达式 , ),用地球惯性矩表达引力位的数学表达式 (1),用地球惯性矩表达引力位的数学表达式 ), 空间点S的坐标 的坐标( 的坐标(x 空间点 的坐标(x,y,z),地面质点 的坐标 m,ym,zm) ,地面质点M的坐标则有 z ρ (X,y,z) , S (Xm,ym,zm) dm R o λm λ x φm ψ φ Se y S0 r V= f ∫ dm ρ 将 引力位函数 用级数展开,再代入 用级数展开, 有: 再将 代入,按(R/r)合并集项得: R/r)合并集项得: 代入, 讨论前三项: 讨论前三项: ①,先看v0 先看v 可见, 就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位. 可见,V0就是把地球质量集中到地球质心处时的点的引力位. ②,再讨论v1,ψ为R,r之间的夹角 再讨论v R,r之间的夹角 r = xi + yj + zk R = xm i + ym j + zm k 上式两边同除以地球质量M 上式两边同除以地球质量M,又因为 为地球质心坐标. 为地球质心坐标. 以地球质心为坐标系的原点,故有: 以地球质心为坐标系的原点,故有: x0=0 y0=0 z0=0 因而 v1=0 ③,最后看v2 最后看v 将 代入下式 有: 用A,B,C表示质点M对x,y,z轴的转动惯量,用D,E,F 表示质点M 轴的转动惯量, 表示惯性(离心力矩) 表示惯性(离心力矩)即: 那么: 那么: 若用球面坐标表示, 若用球面坐标表示,作如下变换 则: 仿此推求V 代入下式,便可得地球引力位的计算式: 仿此推求Vi,代入下式,便可得地球引力位的计算式: V = V0 + V1 + V2 + f 1 2C ( A + B ) 1 3 2 ( sin ) + = M + 2 r 2 2 2 r 3( E cos λ + D sin λ ) cos sin + 3 B A 2 ( cos 2λ + F sin 2λ ) cos + 2 2 (2),用球谐函数表达地球引力位 ),用球谐函数表达地球引力位 ① Pn (cos ψ ) = 1 2 n n! d n (cos 2 ψ 1 ) n d (cos ψ P0 (cos ψ ) = 1; P2 (cos ψ ) = )n P1 (cos ψ ) = cos ψ ; 3 1 cos 2 ψ ; 2 2 5 3 P3 (cos ψ ) = cos 3 ψ cos ψ 2 2 则第n阶地球引力位公式为: 则第n阶地球引力位公式为: ② 球谐函数 a. 主球函数: 主球函数: 勒让德多项式P (cosθ 称为n阶主球函数(或带球函数); 勒让德多项式Pn(cosθ)称为n阶主球函数(或带球函数); Pn (cos θ ) = 1 2 n n! d n (cos 2 θ 1) n d (cos θ )n b. 缔合球函数: 缔合球函数: cosKλ cosKλP Kn(cosθ)及cosKλP Kn(cosθ)称为缔合球函 (cosθ cosKλ (cosθ K=n时称扇球函数 时称扇球函数, 数,当K=n时称扇球函数,K≠n时称田球函数 其中 ③用球谐函数表达地球引力位 x = R cos m cos λ m y = R cos sin λ m z = R sin m z (Xm,ym,zm) (X,y,z) , ρ r S0 S θ θm R o λm λ x dm ψ φ Se φm y cosψ = xxm + yym + zz m Rr r cos cos λ R cos m cos λm + r cos sin λ R cos m sin λm + r sin R sin m = Rr = cos cos λ cos m cos λm + cos sin λ cos m sin λm + sin sin m 其中Θ 其中Θ+φ =900. 将cos Ψ代入下列各式: 代入下列各式: 并顾及 P n (cos ψ P 0 (cos ψ P 1 (cos ψ P 2 (cos ψ )= )= )= )= 1 2 1; cos ψ ; n d n! n (cos ψ 1)n d (cos ψ )n 2 3 cos 2 5 P 3 (cos ψ ) = cos 2 1 ; 2 3 3 cos ψ ψ 2 2 ψ 那么: 那么: f Vn = r = ∫∫∫ M R Pn (cosψ )dm r n f P (cosθ ) n+1 n r ∫∫∫ M R n Pn (cosθ m )dm + ∑ 2(n k )! k P (cosθ )cos Kλ (n + k )! n k =1 n ∫∫∫ M R n PnK (cos θ m )cos Kλ m dm + Pnk (cosθ ) sin Kλ ∫∫∫ M R n PnK (cos θ m )sin Kλ m dm 令: An = f K Bn = f ∫∫∫ M R n Pn (cos θ m )dm K An = f 2(n k )! (n + k )! ∫∫∫ R M n PnK (cos θ m )cos Kλ m dm 2(n k )! (n + k )! ∫∫∫ M R n PnK (cos θ m )sin Kλ m dm 则用球谐函数表示的第n阶地球引力位公式为: 则用球谐函数表示的第n阶地球引力位公式为: 由上述可得用球谐函数表示的地球引力位公式: 由上述可得用球谐函数表示的地球引力位公式: 其中球谐系数A 其中球谐系数An,AnK,BnK称为斯托克司常数,当n=2时, 称为斯托克司常数, n=2时 是二阶矩A 的函数. 是二阶矩A,B,C,D,E的函数. 将地球视为旋转椭球,质心为坐标原点,坐标轴为主惯性 将地球视为旋转椭球,质心为坐标原点, 轴,则: An = f A0 = f A1 = f ∫∫∫ M M R n Pn (cos θ m )dm 0 m ∫∫∫ P (cosθ 1 M )dm = m f ∫∫∫ dm = fM M ∫∫∫ RP (cosθ )dm = f ∫∫∫ R cosθ M m dm = f ∫∫∫ zdm = 0 M z (Xm,ym,zm) x = R sin θ m cos λ m y = R sin θ m sin λ m z = R cos θ m x A A n θm o λm R φm y = = = = = = f f f f f ∫∫∫ M R R ( R n P P 2 n (cos (cos 3 2 y 2 θ θ R 2 2 m )dm )dm 2 2 ∫∫∫ M 2 2 m = f ∫∫∫ M 2 R ( 3 cos 2 2 θ m 1 ) dm 2 ∫∫∫ M + sin z 2 2 θ m ) dm 2 ∫∫∫ M [( x [( 2 + z ) 3 ( x 2 2 + z 2 y 2 )] dm 2 ∫∫∫ M 1 ( y 2 + ) + 1 ( x 2 + ) ( x + y 2 )] dm f A + B 2 C = f ( A C ) 其中, 为质点dm对x,y,z轴的转动惯量 轴的转动惯量. 其中,A,B,C为质点dm对x,y,z轴的转动惯量. P11 (cosθ ) = sin θ K An 2 (n k )! = f (n + k )! ∫∫∫ M R n PnK (cos θ m )cos K λ m dm K Bn = f 2(n k )! (n + k )! ∫∫∫ M R n PnK (cos θ m )sin Kλ m dm 1 A1 = f 2 0! 2! ∫∫∫ RP M 1 1 (cosθ m )cos λ m dm = f ∫∫∫ R sin θ M m cos λ m dm = f ∫∫∫ xdm = 0 M 1 B1 = f 2 0! 2! ∫∫∫ M RP11 (cos θ m )sin λ m dm = f ∫∫∫ R sinθ M m sin λ m dm = f ∫∫∫ ydm = 0 M 同理: 同理: 1 1 2 A2 = B 2 = B 2 = 0 通常还有下列球谐系数J 通常还有下列球谐系数Jn,JnK,KnK: Vn = n fM ae 1 Pn (cosθ ) r r M ∫∫∫ M n R 2(n k )! ae Pn (cosθm )dm + a M(n + k )! r e k =1 n ∑ n k Pn (cosθ )cos Kλ ∫∫∫ M R K k Pn (cosθm )cos Kλmdm + Pn (cosθ )sin Kλ a e n ∫∫∫ M n R K Pn (cosθ m )sin Kλmdm a e 1 Cn = M K Sn ∫∫∫ M R Pn (cos θ m )dm a n K Cn 2(n k )! = M (n + k )! ∫∫∫ M R K Pn (cos θ m ) cos Kλ m dm a n 2(n k )! = M (n + k )! ∫∫∫ M R K Pn (cos θ m ) sin Kλ m dm a 2 fM V= r ∑ n= 0 ∞ a K K (C n cos Kλ + S n sin Kλ ) Pnk (cos θ )} {C n Pn (cos θ ) + r k =1 n ∑ n J n = C n , K J nK = C n K K nK = S n 其中: 其中: J 2 = C 2 = 1 A+ B C= 2 2 2 ae M ae M 1 (A C ) 2 A 2 = f ( A C ) = fMa e J 2 4.地球正常重力位 x 2 + y 2 = r 2 sin 2 θ 则重力位公式为: 则重力位公式为: 取前三项,可得: 取前三项,可得: 又已知: 又已知: 1 1 A1 = A1 = B 1 = 0 1 1 2 A2 = B 2 = B 2 = 0 A2 = f ( A+ B C ) = f (A C ) 2 令: 则有: 则有: C A = KM 设赤道半径为a 赤道上重力为g 设赤道半径为ae,赤道上重力为ge,一般被吸引点离地面很 可认为r=a 将赤道上重力g 用引力fM/a 代替, 近,可认为r=ae ,将赤道上重力ge用引力fM/ae2代替,令: q = ω 2 a e e g = ω 2 a e fM a e2 = ω a fM 2 3 e = 3 K 2 a 2 e 那么正常重力位公式可写成如下形式: 那么正常重力位公式可写成如下形式: U = fM r 1 3 cos 1 + 3 ( 2 θ + ) q sin 2 2 θ 根据: 根据: 可得: 可得: ω = 0 . 7292115 10 4 s 1 , a = 6378 . 14 Km , fM = 389600 . 5 Km 3 s2 1 q = 1 : 288.9008 ≈ 288 5.正常位水准面方程式: 正常位水准面方程式: 由正常重力位公式 U= fM r q 1 + 1 3 cos 2 θ + sin 2 θ 3 2 ( ) 知: 当U=常数时,便确定了一个水准面.我们将赤道上一点 U=常数时 便确定了一个水准面. 常数时, 的重力作为常数,此时: 的重力作为常数,此时: θ = 90 0 , U0 = r = ae fM q 1 + + = 常数 ae 3 2 fM q 2 fM q 2 U0即 令U=U0即: U = r 1 + 3 1 3 cos θ + 2 sin θ = a 1 + 3 + 2 = U0 ( ) 因而可得: 因而可得: 又: q = 1 + + q 3 2 1+ + 3 2 1 则可得正常位水准面方程式: 则可得正常位水准面方程式: 这是一个旋转椭球的方程式,其表面是一个水准面,所以又 这是一个旋转椭球的方程式,其表面是一个水准面, 称水准椭球,也称正常椭球. 称水准椭球,也称正常椭球. 到此,我们可知,通过研究地球的重力,便可确定地球的形 到此,我们可知,通过研究地球的重力, 状与大小. 状与大小. 6.正常重力公式: 正常重力公式: 我们知道,位函在某方向的导数就是该方向力(加速度) 我们知道,位函在某方向的导数就是该方向力(加速度) 的分量.那么重力位函数在铅垂方向的导数就是重力加速度. 的分量.那么重力位函数在铅垂方向的导数就是重力加速度. (1),正常重力公式 ),正常重力公式 类似重力位W 正常重力位U也有下式: 类似重力位W,正常重力位U也有下式: γ = dU dn γ 表示正常重力 n为正常水准面法线,若忽略n与r的方向差异,则有: 为正常水准面法线,若忽略n 的方向差异,则有: dU γ = dr = fM 3K 1+ 1 cos 2 2 r 2r ( 2 θ ) ω 2r fM 3 sin 2 θ (2),赤道上的正常重力与两极的重力公式 ),赤道上的正常重力与两极的重力公式 ①, 当 θ = 90 , r=a 时,可得赤道上的正常重力: 可得赤道上的正常重力: fM 3K ω 2a 3 2 0 2 0 sin 90 γ e = 2 1 + 2 1 3 cos 90 fM a 2a fM 3 K ω 2 a 3 fM {1 + q} = 2 1 + 2 = fM a 2 a 2a ( ) 当θ=0时,根据 =0时 r p 可求得极点的r 可求得极点的rp: = a (1 a b a q ) = b 2 又根据地球扁率 所以有: 所以有: α = 可知 b = a (1 α ) q 2 α = + 那么赤道上的正常重力又可表示为: 那么赤道上的正常重力又可表示为: γ e = fM a 2 3q 1 + α 2 当 θ = 0 , q rp = a1 ② 2 时,可得两极上的正常重力: 可得两极上的正常重力: , γ p = = fM r r 2 fM 2 = fM a 2 = = fM a a 2 3K ω 2r 3 2 0 1 + 1 3 cos 0 sin 2 0 0 fM 2r 2 3 fMK fM 3 fMK = 2 4 r4 q q 2 4 a 1 a 1 2 2 1 2 2 4 q q 1 1 2 2 1 + 2 + q 2 1 + 4 + q 2 2 ( ) fM 2 (1 + q ) ③克莱罗定律 : a.重力扁率 a.重力扁率 重力扁率为 γ γe γe = fM 3q 1 + α 2 a2 β = p γe = (1 + q ) 1 + α 3q 3q 2 5q = α 1 α + 3q 2 2 1 + α 2 略去二次项可得 β = γ p γ e = 5q α γe 2 b.顾及扁率的正常重力公式: b.顾及扁率的正常重力公式: 顾及扁率的正常重力公式 将 代入 ω 2r 3 fM 3K 2 γ = 2 1 + 1 cos θ sin 2 θ fM r 2r 2 ( ) 经整理得: γ 0 = γ e (1 + β sin 2 ) 经整理得: 其中 = 90 0 θ C,顾及扁率平方的正常重力公式 D,闭合形式的正常重力公式(索密里安公式:) 闭合形式的正常重力公式 索密里安公式:) 正常重力公式( γ = aγ e cos 2 B + bγ p sin 2 B a 2 cos 2 B + b 2 sin 2 B = γ e 1 + K sin 2 B (1 e ( 2 sin B 2 ) ) 1 2 (3),几种常用的正常重力公式: (3),几种常用的正常重力公式: (4),高出椭球面H米的正常重力公式: ),高出椭球面 米的正常重力公式: 高出椭球面H 设水准椭球为均质圆球, 其半径,则地心对地面高H 设水准椭球为均质圆球, R其半径,则地心对地面高H的质点 的引力为: 的引力为: 地心对大地水准面上的点的引力为: 地心对大地水准面上的点的引力为: 两式相咸得: 两式相咸得: 设地球平均正常重力为: 设地球平均正常重力为: γ 0 = fM R 2 由于Hu>φ B>u>φ 三者之间的差异很小. 三者之间的差异很小. 四,椭球面上的几种曲率半径 1,椭球面上的法截面与法截线 法截面:过椭球面任意点的法线的平面. 法截面:过椭球面任意点的法线的平面. 法截线:法截面与椭球面的交线. 法截线:法截面与椭球面的交线. ),过一点有无数个法截线 (1),过一点有无数个法截线 ),过一点的不同方向的法截线的曲率半径不同 过一点的不同方向的法截线的曲率半径不同. (2),过一点的不同方向的法截线的曲率半径不同. 卯酉圈: 卯酉圈:过某点的法线且与该点的子午面垂直的法截面与椭 球的交线. 球的交线. 子午圈与卯酉圈是两条相互垂直的法截线. 子午圈与卯酉圈是两条相互垂直的法截线. 2,子午圈曲率半径 dS是子午圈上的一段微分弧长 dS是子午圈上的一段微分弧长 ,M为子午圈上K点处的曲率半 为子午圈上K 由曲率半径的定义有: 径,由曲率半径的定义有: 如图 由上两式可得 根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有: 根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有: 因而 又 则 W = 1 e 2 sin 2 B 进而可得: 进而可得: 而 因而有 即 dx 1 a sin B 1 a(1 e 2 ) a (1 e 2 ) 2 M= (1 e ) = = = 3 3 dB sin B sin B W W ( 1 e 2 sin 2 B ) 3 那么 又因为 W =V 1 e 2 b = V, a W V 2 2 = 1 e , 2 W b = , V a a2 c= , b N = a W 则 即 M= a(1 e 2 ) W3 c V3 = = aW 2 V 2W 3 c = a V 2W = a2 V 3b = c V3 M= ( 1 + e ′ 2 cos 2 B ) 3 或 M= N V2 = N 1 + e ′ 2 cos 2 B 3,卯酉圈曲率半径如图,Pn为过P点的法线, PT为平行圈PHK的切线,平行圈PHK⊥子午 如图,Pn为过 点的法线, PT为平行圈 为过P 为平行圈PHK的切线,平行圈PHK⊥ 的切线 圈PKS, PT在平行圈PHK的平面内,PT ⊥子午平面PKS,卯酉圈PEE′⊥子 PKS, PT在平行圈 在平行圈PHK的平面内, 的平面内 子午平面PKS,卯酉圈PEE′ 午圈PKS, 因而PT为卯酉圈 午圈PKS, 因而PT为卯酉圈PEE′的切线,所以PT是子午圈和卯酉圈的公切 为卯酉圈PEE′的切线,所以PT是子午圈和卯酉圈的公切 线. 麦尼尔定理:通过曲面上一点引两条截弧,一为法截弧,另一条为斜截弧 麦尼尔定理:通过曲面上一点引两条截弧,一为法截弧, 且在该点上两截弧有公共切线, ,且在该点上两截弧有公共切线,则斜截弧在该点的曲率半径为法截弧在该 点的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦. 点的曲率半径乘以两截弧平面夹角的余弦. 根据以上定理有: 根据以上定理有: PO ′ = Pn cos B r = N cos B 可知,N为P点处卯酉曲率半径.其长度等於椭球面到短轴的距离Pn,由 点处卯酉曲率半径.其长度等於椭球面到短轴的距离Pn,由 可知, 此可见,卯酉圈曲率部心位于椭球的旋转轴上. 此可见,卯酉圈曲率部心位于椭球的旋转轴上. 根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有: 根据子午平面直角坐标与大地坐标的关系有: r=x= a cos B W a N= W 比较以上两式可知卯酉曲率半径为: 比较以上两式可知卯酉曲率半径为: S 又因为 W = 1 e 2 sin 2 B b ab a W = V 1 e = V = 2 V = V a a c 2 a2 (c = ) b c 1 + e′2 cos 2 B 则 a a N= = W 1 e 2 sin 2 B 或 a c 1 e2 c N= = = W V 1 e2 V 或 N= 4,主曲率半径的计算:子午圈曲率半径M与卯酉圈曲率半径N 主曲率半径的计算:子午圈曲率半径M与卯酉圈曲率半径N 1),子午圈曲率半径M 1),子午圈曲率半径M 3 a (1 e 2 ) a (1 e 2 ) 2 2 2 M = = = a (1 e )(1 e sin B ) 2 3 2 2 3 W ( 1 e sin B ) 用级数展开,取至8次项有: 用级数展开,取至8次项有: 其中 将相应的椭球参数代入便可求得各系数. 将相应的椭球参数代入便可求得各系数. 2),卯酉圈曲率半径N ),卯酉圈曲率半径 卯酉圈曲率半径N 1 a a 2 2 N= = = a (1 e sin B ) 2 W 1 e 2 sin 2 B 用级数展开,取至8次项有: 用级数展开,取至8次项有: 其中 将相应的椭球参数代入便可求得各系数. 将相应的椭球参数代入便可求得各系数. 或者 M = c V 3 = ( c 1 + e′ 2 cos 2 B ) 3 = c (1 + e ′ 2 cos 2 B ) 3 2 N c = V = c 1 + e′ 2 cos 2 B = c (1 + e ′ 2 cos 2 B ) 1 2 用级数展开,取到8次项有 用级数展开,取到8 其中 5,任意法截弧的曲率半径根据微分几何中的尤拉公式,任意方向法截线的曲率与子午, 根据微分几何中的尤拉公式,任意方向法截线的曲率与子午,卯酉曲率 半径的关系为: 半径的关系为: 1 cos 2 A sin 2 A = + RA M N 因此,任意方向的曲率半径为: 因此,任意方向的曲率半径为: 将上式分子分母同除以M, 将上式分子分母同除以 ,并顾及 N = c V RA = MN N cos2 A + M sin2 A M = c V3 则有 RA = N N = 1 + η 2 cos 2 A 1 + e′2 cos 2 B cos 2 A 1 将 1 展开为级数得: 展开为级数得: 用R表示平均曲率半径,根据平均曲率公式有 表示平均曲率半径, 因而有 1 N = R 1 + η 2 ≈ R 1 + η 2 2 可见, 与方位角A和纬度 有关. 和纬度B有关 可见,RA与方位角 和纬度 有关. 取极小值M, 当A为0,π时,RA取极小值 , π/2, 3π/2时, 为 , , π 时 RA取得极大值 . 取得极大值N. 当A由00→900时,RA由M→N,当A由900→1800 由 , 由 时,RA由N→M.其变化周期为 .其变化周期为1800,并关于子 午圈和卯酉圈对称. 午圈和卯酉圈对称. 由此可知: 由此可知:N>RA>M 6,平均曲率半径:过曲面上任意一点的所有方向的法截弧曲率半径RA的算 平均曲率半径:过曲面上任意一点的所有方向的法截弧曲率半径R 术平均值, 表示.我们知道, 术平均值,用R表示.我们知道,当A由00→900时,RA由M→N,所以只 由 , 要计算该区间的平均值则可. 要计算该区间的平均值则可. R= = 2 π 0 ∫ 2 1 π 2 0 RA dA = MN π 0 ∫0 2 1 π 2 MN dA N cos 2 A + M sin 2 A 令t = M tan A N π 2 ∫ ∫ π 2 0 M 1 dA 2 N cos 2 A M 1+ tan A N π dt 2 MN = MN [arctan t ]02 2 1+ t π = ∞ π 0 = MN 因而有: 因而有: 可见,R为主曲率半径的几何平均值 可见,R为主曲率半径的几何平均值. 为主曲率半径的几何平均值. 由于 W = 1 e 2 sin 2 B b ab a W = V 1 e = V = 2 V = V a a c 2 a2 (c = ) b 可知 M,N,R的关系: 的关系: M,N,R计算公式对照: 计算公式对照: 五,椭球面上的弧长计算 1,子午弧长的计算:从赤道E开始到纬度为B的 子午弧长的计算:从赤道E开始到纬度为B P点之间的子午弧长. 点之间的子午弧长. 如图可知 a (1 e 2 ) W3 a(1 e 2 ) ( 1 e sin B ) 2 2 3 则 E = = a (1 e )(1 e sin B ) 2 2 2 3 2 M= 则有: 则有: 将上式代入 积分后整理得: 积分后整理得: 由于最后一项很小,通常忽略不计. 由于最后一项很小,通常忽略不计. 根据克拉索夫斯基椭球元素,子午弧长计算公式为: 根据克拉索夫斯基椭球元素,子午弧长计算公式为: 根据1975年国际椭球元素 子午弧长公式为: 根据1975年国际椭球元素,子午弧长公式为: 年国际椭球元素, (1).将B=900代入便可得到子午椭圆在一个象限内的弧长约为10002137m, 代入便可得到子午椭圆在一个象限内的弧长约为10002137m, 整个子午圈长约为40008549. 整个子午圈长约为40008549.995m. (2).同一子午圈上两个纬度为B1,B2的点之间的弧长计算: 同一子午圈上两个纬度为B1,B2的点之间的弧长计算 的点之间的弧长计算: ①,⊿X=X2-X1,其中X1为赤道至纬度为B1的点之间的弧长; X2为赤 X=X2-X1,其中X1为赤道至纬度为 的点之间的弧长 X2为赤 为赤道至纬度为B1的点之间的弧长; 道至纬度为B2的点之间的弧长 的点之间的弧长. 道至纬度为B2的点之间的弧长. ②,也可用右计算式: 也可用右计算式: X = X 12 = ∫ MdB = a (1 e )∫ (1 e B2 2 B2 B1 B1 2 sin 2 B ) 3 2 dB 将用级数展开,并逐项积分可得用级数表示的计算式 将用级数展开,并逐项积分可得用级数表示的计算式. ③,也可直接将△X展开为△B=B2-B1的级数: 的级数: 由式 X= ∫ MdB 0 B 在P1点处展开,得: P1点处展开 点处展开, 2 2 d 3 X B 3 dX B d X B X 2 = X1 + + + + dB 2 2! dB 3 3! dB 1 1! 1 1 X = X (B ) 2 2 d 3 X B 3 dX B d X B + + + X = X 2 X 1 = dB 2 2! dB 3 3! dB 1 1! 1 1 1 其中 dX = M, dB d3X dB 3 d2X dB 2 2 = dM = m 2 sin 2 B + 2m 4 sin 2 B sin 2 B + dB = d 2M dB = 2m 2 cos 2 B + 3 X = M 1 B + ae 2 1 e 2 2 代入 1 式有: 式有: ( ) 5 2 B 2 B 3 2 + cos 2 B1 + 1 + e sin B1 sin 2 B1 2 2 3 对于小于400km的弧长 可采用以下简化式: 对于小于400km的弧长,可采用以下简化式: 的弧长, 1 d3X dX X = X 2 X 1 = B + dB m 24 dB 3 B 3 m 其中 Bm = 1 (B1 + B2 ) 2 B = B2 B1 代入相关数值得: 代入相关数值得: e′ 2 2 1 + X = M m B cos 2 Bm B 8 对于小于40km的弧长,可进一步简化为: 的弧长, 对于小于 的弧长 X = M m B (3),由△X计算△B的反算公式: ),由 的反算公式: B = B( X ) dB X d 2 B X 2 d 3 B X 3 B2 = B1 + + + + dX 2 2! dX 3 3! dX 1 1! 1 1 2 2 d 3 B X 3 dB X d B X B = B2 B1 = + + dX 3 3! + dX 1 1! dX 2 2! 1 1 进而可得: 进而可得: 3 2 β 2 β 3 2 2 B = β e 1 + e sin B1 sin 2 B1 + cos 2 B1 2 2 3 X β = M1 ( ) 对于小段弧,则可用下式求△B : 对于小段弧, B = X Mm 2,由子午线长度球大地纬度: 由子午线长度球大地纬度: (1),迭代法:(采用克拉索夫斯基椭球参数计算) ),迭代法:(采用克拉索夫斯基椭球参数计算) 迭代法:(采用克拉索夫斯基椭球参数计算 计算步骤: 计算步骤: 根据子午弧长计算公式 第一步:计算Bf的初始值: 第一步:计算B 的初始值: 以后每步按下式反复迭代计算: 以后每步按下式反复迭代计算: 重复迭代直到 为止. 为止. (2),直接法:(采用1975年椭球参数计算) ),直接法:(采用 直接法:(采用1975年椭球参数计算 年椭球参数计算) 根据弧长计算公式 令 则 β = B f 2.518829807 × 10 3 × sin 2 B + 2.643546 × 10 6 sin 4 B 3.452 × 10 9 sin 6 B + 5 × 10 12 sin 8 B 利用三角级数回代公式: 利用三角级数回代公式: 可得: 可得: 3,平行圈的半径与弧长由子午平面直角坐标与大地坐标的关系可知平行圈半径: 由子午平面直角坐标与大地坐标的关系可知平行圈半径: r = x = N cos B = a cos B 1 e 2 sin 2 B 那么,平行圈上两点之间的弧长为: 那么,平行圈上两点之间的弧长为: S1~ 2 = N cos B ( L2 L1 ) = a cos B 1 e 2 sin 2 B (L2 L1 ) 可见,相同经差在不同纬度的平行圈上的弧长是不同的,在赤道最长, 可见,相同经差在不同纬度的平行圈上的弧长是不同的,在赤道最长, 越靠近两极越小. 越靠近两极越小. 显然 S S dS = dB+ dL B L 变化的影响则有: ,只考虑纬度B变化的影响则有: dS = S dB 只考虑纬度 变化的影响则有 B 将相应的偏导数代入有: 将相应的偏导数代入有: S = M sin B ( L2 L1 )B 令 Bm = B1 + B2 2 ,由于 MB = X ,则 4,子午线弧长和平行圈弧长变化的比较 单位纬度差的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长, 单位纬度差的子午线弧长随纬度升高而缓慢地增长,而单 位经度差的平行圈弧长则随纬度升高而急剧缩短. 位经度差的平行圈弧长则随纬度升高而急剧缩短. 5,利用经纬格网计算椭球面的面积 如图可知,椭球面梯形面积微分可用下列式子表示: 如图可知,椭球面梯形面积微分可用下列式子表示: dσ = MdB × N cos BdL = a 1 e 2 cos BdBdL ( (1 e ) 2 sin 2 B ) 2 那么,椭球面梯形面积为: 那么,椭球面梯形面积为: A= ∫∫ dσ = ∫ ∫ (1 e = a (1 e )(L L )∫ D B1 L1 2 2 1 B2 L2 a 1 e 2 cos BdBdL 2 ( ) B+dB MdB sin B 2 ) 2 dσ NcosBdL B B2 B1 (1 e cos BdB 2 sin B 2 ) 2 L L+dL 将(1-e2sin2B)-2展开为级数,则: 展开为级数, A = a 1 e = a 1 e ( ( 2 ∫ (1 e sin B ) )(L L )∫ (cos B + 2e sin B cos B + 3e 2 B1 2 2 2 B2 2 2 2 1 B1 )(L 2 L1 ) B2 cos BdB 4 sin 4 B cos B + 4e 6 sin 6 B cos B + dB B ) 2 2 2 3 4 4 6 3 5 7 = a 1 e ( L2 L1 ) sin B + e sin B + e sin B + e sin B + 3 5 7 B1 ( 2 ) 将L2-L1=2π,B1=0,B2= π/2代入上式,并将其值乘以2,则可得 =2π /2代入上式 并将其值乘以2,则可得 代入上式, 地球椭球的全面积A 地球椭球的全面积AE. 据此可以计算整个地球椭球面积约为5.1亿 据此可以计算整个地球椭球面积约为5.1亿km2. 六,大地线 1,大地线的定义与性质 ),法截弧与相对法截弧 (1),法截弧与相对法截弧 ①,定义 法截弧:由椭球面上A点的法线与B 法截弧:由椭球面上A点的法线与B点所确定的法截面与椭球面 相割得到的曲线称为A到B的法截弧. 相割得到的曲线称为A 的法截弧. 相对法截弧: A到B的法截弧与B到A的 的法截弧与B 相对法截弧: 法截弧称为相对法截弧. 法截弧称为相对法截弧. 如图, 点安置仪器观测B 如图,在A点安置仪器观测B点,照准 面与椭球面的交线AaB称 点的正法截线, 面与椭球面的交线AaB称A点的正法截线, 点的反法截线; 点安置仪器观测A 或B点的反法截线;在B点安置仪器观测A 照准面与椭球面的交线BbA称 点,照准面与椭球面的交线BbA称B点的 正法截线, 点的反法截线.AaB与 正法截线,或A点的反法截线.AaB与 BbA称 BbA称A,B两点的相对法截线. 两点的相对法截线. ②,过A,B两点的法线交短轴于na ,n b ,B1≠B2时,Ona≠Onb, na与nb 两点的法线交短轴于n B1≠B2时 不重合.当两点不再同一子午圈上也不在同一平行圈上时, 不重合.当两点不再同一子午圈上也不在同一平行圈上时,两点间有两条 法截弧.当两点在同一子午圈上或同一平行圈上,两点间只有一条法截弧, 法截弧.当两点在同一子午圈上或同一平行圈上,两点间只有一条法截弧, 即正反法截线重合. 即正反法截线重合. 如图可知: 如图可知: 而 所以 可见,当B1≠B2时,Ona≠Onb, na与nb na与 可见, B1≠B2时 不重合. 不重合. ③,某点的纬度愈高,其法线与短 某点的纬度愈高, 轴的交点愈低,即当B2>B1时 轴的交点愈低,即当B2>B1时, Onb> Ona,则法截线BbA偏上, Ona,则法截线 则法截线BbA偏上 偏上, AaB偏下 偏下. 而 AaB偏下. ④,由于当纬度不同时正反法 截线不重合, 截线不重合,故在椭球面上 A,B,C三点所测角度不能 构成闭合三角形. 构成闭合三角形. 2,大地线(测地线): 大地线(测地线): ),定义 椭球面上两点间最短程曲线. 定义: (1),定义:椭球面上两点间最短程曲线. (2),大地线的性质 ),大地线的性质 大地线上每点的密切面( ①,大地线上每点的密切面(无 限接近的三个点构成的平面) 限接近的三个点构成的平面)都 包含该点的法线. 包含该点的法线.即大地线上各 点的主法线与曲面法线重合. 点的主法线与曲面法线重合.各 点的主法线不相交,大地线是空 点的主法线不相交, 间曲线. 间曲线. ②,大地线上任何点的密切面就 是该点的法截面; 是该点的法截面; 曲面上连接任何两点的最短曲线必为大地线. ③,曲面上连接任何两点的最短曲线必为大地线. 显然,子午圈和赤道及其上的弧段都是大地线. 显然,子午圈和赤道及其上的弧段都是大地线. ④,大地线的曲率 cos 2 A sin 2 A 1 kg = + = 1 + η 2 cos 2 A M N N ( ) (3),正反法截线之间的夹角 ),正反法截线之间的夹角 = ρ ′′ e2s2 2 2N1 sin A1 , 2 cos 2 B 1 (cos A1 , 2 s tan B 1 ) 2N1 (4),大地线与正法截弧之间的夹角为: ),大地线与正法截弧之间的夹角为 大地线与正法截弧之间的夹角为: 在一等三角测量中,可达千分之一二秒, 在一等三角测量中,可达千分之一二秒, 不容忽视. 不容忽视. (5),大地线与法截线长度只差只 ),大地线与法截线长度只差只 有百万分之一毫米,可以忽略. 有百万分之一毫米,可以忽略. 在椭球面上进行测量计算时,应当以两点间的大地线为依 在椭球面上进行测量计算时, 在地面上测得的方向,距离,角度等, 据,在地面上测得的方向,距离,角度等,应当归算到相 应大地线的方向,距离,角度. 应大地线的方向,距离,角度. 3,大地线的微分方程和克莱劳方程 (1)大地线的微分方程:即dL,dB,dA,dS 之间的关系式 大地线的微分方程: dL,dB,dA, 如图,P为大地线上任意一点,其经度为L,纬度为B,该点 如图, 为大地线上任意一点,其经度为L 纬度为B 处大地线方位角训A 当大地线增加dS到P1点时 点时, 处大地线方位角训A,当大地线增加dS到P1点时,L,B,A 的变化相应为dL,dB,dA, 的变化相应为dL,dB,dA,dS . dS在子午圈上分量 dS在子午圈上分量P1P2=MdB, 在子午圈上分量P dS在平行圈上分量 dS在平行圈上分量PP2=rdL=NcosBdL, 在平行圈上分量PP 又⊿PP2P1为一微分直角三角形,则有: 为一微分直角三角形,则有: 由此可得 1 2 dA 由球面直角三角形p 由球面直角三角形p1p3N ,根据角的余 根据角的余 弦定理有: 弦定理有: cos A = cos B cos C + sin B sin C cos a cos B = cos A cos C + sin A sin C cos b cos C = cos A cos B + sin A sin B cos c 即: 又近似地认为: 又近似地认为: 因而有: 因而有: 又因 故有: 故有: 3 三个微分关系式可整理为: 三个微分关系式可整理为: dB cos A = dS M dL sin A = dS N cos B dA tan B = sin A dS N (2),克莱劳方程 ),克莱劳方程 由 代入 得 ds = M dB cos A 有: 又因 r = N cos B = a cos B 1 e sin B 2 2 dr = M sin BdB 得微分方程 解微分方程得克莱劳方程: 解微分方程得克莱劳方程: 式中常数C 式中常数C亦称大地线常数 ①,克莱劳定理表明:在旋转椭球面上,大地线各点的平行圈 克莱劳定理表明:在旋转椭球面上, 半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数. 半径与大地线在该点的大地方位角的正弦的乘积等于常数. ②,称大地线常数C的意义 称大地线常数C 当大地线穿越赤道时,B=0, 当大地线穿越赤道时,B=0,A=A0,赤 道半径为a 道半径为a,则: 当大地线穿越最小平行圈时, 当大地线穿越最小平行圈时,B=B0, A=900,r=r0,则: A0 可见,某一大地线常数等于椭球半径与该大地线穿越赤道时 可见, 的大地方位角的正弦乘积, 的大地方位角的正弦乘积,或等于该大地线上具有最大纬度 的那点的平行圈半径. 的那点的平行圈半径. ③,由克莱劳方程可知: 由克莱劳方程可知: 则有: 则有: ④,由于r=NcosB,克莱劳方程又可写成: 由于r=NcosB,克莱劳方程又可写成 克莱劳方程又可写成: rsinA=NcosBsinA=C 为归化纬度, 为长半径, 设u为归化纬度,a为长半径,根据归化纬度与子午平面直 角坐标的关系有r=x=acosu,克莱劳方程还可表示为: 角坐标的关系有r=x=acosu,克莱劳方程还可表示为: r1 sin A1 = r2 sin A2 = C 克莱劳方程的意义:是经典的大地主题解算的基础. 克莱劳方程的意义:是经典的大地主题解算的基础. 七,将地面观测值归算至椭球面一),归算原因与归算要求 ),归算原因与归算要求 1,原因:测量计算是以参考椭球面和法为基准的,而野外地 原因:测量计算是以参考椭球面和法为基准的, 面观测的基准线是铅垂线,不是法线, 面观测的基准线是铅垂线,不是法线,而垂线与法线存在着 垂线偏差,不能直接在地面上处理观测成果, 垂线偏差,不能直接在地面上处理观测成果,应将地面元素 归算到椭球面. 归算到椭球面. 2,归算的基本要求: 归算的基本要求: ),以椭球面的法线为基准 以椭球面的法线为基准; (1),以椭球面的法线为基准; ),将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素 将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素. (2),将地面观测元素化为椭球面上大地线的相应元素. 将地面观测的水平方向 二),将地面观测的水平方向归算至椭球面 ),将地面观测的水平方向归算至椭球面 将地面观测的水平方向归算至椭球面上的三差改正:垂线偏差 将地面观测的水平方向归算至椭球面上的三差改正: 改正δ 标高差改正δ 改正δu,标高差改正δh ,截面差改正δg. 截面差改正δ 1,垂线偏差改正δu:如图A为测站,M为观测目标,若M在ZZ1O垂直面内, 垂线偏差改正δ 如图A为测站, 为观测目标, 垂直面内, 无论以垂线为基准还是以法线为准,照准面均为ZZ 不在ZZ 无论以垂线为基准还是以法线为准,照准面均为ZZ1O,若M不在ZZ1O垂直 面内,以垂线为基准的照准面为Z 以法线为基准的照准面为ZMR, 面内,以垂线为基准的照准面为Z1MR1,以法线为基准的照准面为ZMR, AO方向为参考方向 方向为参考方向, OAR相差 相差δ 以AO方向为参考方向,∠OAR1与∠OAR相差δu= ∠RAR1. 在⊿R1RM中,由球面正弦定理得: RM中 由球面正弦定理得: sin(90 0 Z 1 ) = sin δ u 即 sin q sin δ u = sin q cos Z 1 很小, δ u与q很小,则有 δ u = q cos Z 1 P′ 在球面⊿ 在球面⊿ZZ1M中,根据正弦定理有: 根据正弦定理有: sin q sin( Am A′ ) = sin u sin Z 1 sin q = sin u (sin Am cos A′ cos Am sin A′ ) sin Z 1 (ξ sin Am η cos Am ) u ′ cos Am sin A′ ) = (sin Am cos A q= sin Z 1 sin Z 1 则垂线偏差改正为: 则垂线偏差改正为: ( δ u 〃 = q cos Z 1 = ξ ′′ sin Am η ′′ cos Am ) cot Z 1 = ξ ′′ sin Am η ′′ cos Am ) tan α 1 ( 由上式可见, 由上式可见,垂线偏差 改正主要与测站点的 垂线偏差和观测方向 的天顶距(或竖直角) 的天顶距(或竖直角) 有关. 有关. P′ 2,标高差改正δh:由照准点高度引起的改正 标高差改正δ 由于不在同一子午面或同一平行圈上的两点的法线是不共 面的,当照准点高出椭球面某一高度时, 面的,当照准点高出椭球面某一高度时,照准面就不能通过 照准点的法线与椭球面的交点,由此引起方向偏差δ 照准点的法线与椭球面的交点,由此引起方向偏差δh. 经过垂线偏差改正后,测站点的观测值已加垂线垂线偏差 经过垂线偏差改正后, 改正,其法线便与垂线一致,测站高度对水平方向无影响. 改正,其法线便与垂线一致,测站高度对水平方向无影响. 则通过某一照准点只能有一个法截面. 则通过某一照准点只能有一个法截面. 设测站A在椭球面上, 设测站A在椭球面上,在⊿Abb中 Abb bb ′ sin( AbA 180 ) δ h = ρ ′′ s 在 Bb b ′中 b b ′ = H 2 sin v 由正弦定理有: 在Bna nb中,由正弦定理有: sin( 90 0 B2 ) cos B2 sin v = na nb = na nb Bna Bna na nb = On b Ona = N b e 2 sin B2 N a e 2 sin B1 令Bna ≈ N a ≈ N b 则 cos B2 sin v = na nb Bna cos B2 =(N b e sin B2 N a e sin B1 ) Bna 2 2 = e 2 (sin B2 sin B1 ) cos B2 B2 B1 B2 + B1 = e 2 sin cos cos B2 2 2 2 = e 2 (B2 B1 )cos Bm cos B2 B 2 B1 = Bm ≈ B2 s cos A Ab M s cos A Ab cos 2 B 2 M s cos A Ab b b ′ = H 2 sin v = e 2 cos 2 B 2 M AbA 180 0 ≈ A Ab = A bb ′ δ h = ρ ′′ sin( AbA 180 0 ) s 1 s cos A cos 2 B 2 sin A = ρ ′′ e 2 s M H = ρ ′′ 2 e 2 cos 2 B sin 2 A 2M e2 ρ ′′ H2 cos 2 B 2 sin 2 A = 2 M sin v = e 2 (1).标高改正主要与照准点的高程有关. 标高改正主要与照准点的高程有关. 经此改正后,地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应法截弧方向. (2).经此改正后,地面观测的水平方向值归化为椭球面上相应法截弧方向. 3,截面差改正δ:将法截弧方向化为大地线方向应加的改正. 截面差改正δ 将法截弧方向化为大地线方向应加的改正. = ρ ′′ δ g e2s2 2 2N1 sin A 1 , 2 cos 2 B 1 (cos A 1 , 2 s tan B 1 ) 2N1 = 1 3 略去第二项,则有: 略去第二项,则有: 1 e2S 2 sin A1, 2 cos A1, 2 cos 2 B1 ) δ ′′ = ( ρ ′′ 2 3 2N1 e2 2 S 2 (2 )1 cos1 B1 sin 2 A1, 2 = 12 ρ ′′ 2 (2 )1 式中 = ρ ′′ N 1 N1为测站处的卯酉曲率半径.该项改正很小,100公里约 为测站处的卯酉曲率半径.该项改正很小, 公里约0.03",只有一等 公里约 , 控制网才估计此项改正. 控制网才估计此项改正. 经过以上三项改正, 经过以上三项改正,则将地面方向观测值归算到椭球面上大地 线的相应方向元素. 线的相应方向元素. 三),将地面观测的长度归算至椭球面根据测距方法不同,有两种情形: 根据测距方法不同,有两种情形:基线尺量距的归算与电磁 波测距归算. 波测距归算. 1,基线尺量距的归算(学生自学): 基线尺量距的归算(学生自学): 将基线尺量取的距离经倾斜改正后, 将基线尺量取的距离经倾斜改正后,可认为是基线平均高程 面上的长度S 平均高程面上的长度S (Hm)面上的长度S0,平均高程面上的长度S0归算至椭球面 上的大地线长 s. B 2 h2 h1 S1 S2 L1 L1 A 1 (1),垂线偏差对长度的影响 ),垂线偏差对长度的影响 ①,垂线偏差在任方向(方位角为A)的分量: 垂线偏差在任方向(方位角为A 的分量: u A = ξ cos A + η sin A B ②,垂线偏差对长度的影响即水准面不平行于椭球面对长度的影响. 即水准面不平行于椭球面对长度的影响. 设u1与u2是A,B两点在基线方向的垂 u1与u2是 线偏差分量, 线偏差分量,又设垂线偏差沿基线方向 是线性变化的,则有: 是线性变化的,则有: u + u2 um = 1 2 过A点的 点的 水准面 h L D um B" B"' Δζ B' H b B"" A S0 H a 参考椭球面 S 过A点的 点的 椭球面 如图h 如图h为A,B两点的高差,可用水准测量得到, 两点的高差,可用水准测量得到, D为A,B两点在水准面上的距,S0为在平均高 两点在水准面上的距, 的椭球面距离,由于垂线偏差的存在, 的椭球面距离,由于垂线偏差的存在,水准面 不平行椭球面, 不相等. 不平行椭球面,D与S0不相等. 由图可知: 由图可知: 2 s 0 = L2 H 2 , D 2 = L2 h 2 〃 um D H = h + ζ = h ′′ ρ B 那么有: 那么有: um 〃 D)2 = D + h H = D + h ( h ρ ′′ um 〃 um 〃 2 2 hD = D (1 + 2 h) = D +2 ρ ′′ ρ ′′D 2 S0 2 2 2 2 2 过A点的 点的 水准面 h L D um B" B"' Δζ B' H b B"" A S0 即: 1 um 〃 2 um 〃 S 0 = D(1 + 2 h) = D + h ρ ′′D ρ ′′ H a 参考椭球面 S 过A点的 点的 椭球面 进而可得: 进而可得: 〃 um u′′ + u′′ 2 h= 1 S u = S 0 D = ρ ′′ 2 ρ ′′ ∑ h = ′ u1′ + u′′ 2 ( H 2 H1 ) 2 ρ ′′ 该项改正主要与垂线偏差分量u及基线端点的大地高差∑ 该项改正主要与垂线偏差分量u及基线端点的大地高差∑⊿h 有关,数值较小,根据具体情况决定是否改正. 有关,数值较小,根据具体情况决定是否改正. 经过垂线偏差改正,基线平均水准面则平行于椭球面. 经过垂线偏差改正,基线平均水准面则平行于椭球面. ③,高程对长度归算的影响 如图可知: 如图可知: 其中 H m = 1 (H1 + H 2 ) 2 将上式展开高极数,取至二次项有: 将上式展开高极数,取至二次项有: 可得: 可得: S H 2 Hm Hm = S S0 = S0 + S0 R R2 顾及以上两项改正,地面基线归算到椭球面上的长度公式: 顾及以上两项改正,地面基线归算到椭球面上的长度公式: 至此,便将地面基线长度归算到椭球面上的长度. 至此,便将地面基线长度归算到椭球面上的长度. 2,电磁波测距的归算 1),电磁波测距的归算公式 ),电磁波测距的归算公式 由于法截线长度与大地线长度相差很小,法截线长度与 由于法截线长度与大地线长度相差很小, 以起点A曲率半径为半径的圆弧长相差也很小, 以起点A曲率半径为半径的圆弧长相差也很小,则可认为大地 线长是半径为R 的圆弧长. 线长是半径为RA的圆弧长. D B 测线端点A, 的大地高为 的大地高为: 测线端点 ,B的大地高为: H 1 = h1 + ζ 1 + i H 2 = h2 + ζ 2 + v A H2 H1 i为仪高,v为觇标高,ζ为高程异常. 为仪高, 为觇标高 为高程异常 为觇标高, 为高程异常. 为仪高 在⊿Q1Q2O中,由余弦定理有: 由余弦定理有: 根据三角函数半角公式有: 根据三角函数半角公式有: 则 D 2 ( H 2 H 1 )2 s 1 sin = (1 cos σ ) = 2RA 2 4( R A + H 1 )( R A + H 2 ) 2 按反正弦函数 arcsin x = x + 1 3 3 5 x + x + 6 40 展开级数,舍去五次项则,得: 展开级数,舍去五次项则, 1 上式则为电磁波测距的归算公式. 上式则为电磁波测距的归算公式. 下面将上式进一步化简, H1≈H2≈Hm=(H1+H2)/2,⊿h=H2-H1,则 下面将上式进一步化简,令H1≈H2≈Hm=(H1+H2)/2,⊿h=H2-H1,则: H H1 2 1 ( 2 ) D S=D H H 1 + 1 1 + 2 R A RA H + = D 1 2 1 + m 2 RA 24 R A D D3 1 h 2 2 1 + D3 2 24 R A Hm Hm h 2 h 2 D3 D3 1 + = D 1 24 R 2 = D 2 D D R + 24 R 2 2 RA 2 D A A A 经过以上各项改正, 经过以上各项改正,则将电磁波测距仪所测斜距公算到参考 椭球面上. 椭球面上. 由上式可知:第二项是由两点高差引起的改正,经此改正将测线化为平距; 由上式可知:第二项是由两点高差引起的改正,经此改正将测线化为平距; 第三项是由平均测线高出参考椭球面引起的改正, 第三项是由平均测线高出参考椭球面引起的改正,经此改正后测线变为弦线 第四项为由弦线变为弧线的改正. ;第四项为由弦线变为弧线的改正. 令H1≈H2≈Hm=(H1+H2)/2,⊿h=H2-H1, H1≈H2≈Hm=(H1+H2)/2,⊿h=H2H2 H1 2 ) D S = D H H 1 + 1 1 + 2 R A RA 1( = H D h 1 m RA 2 2 式还可用下式表达: 1 式还可用下式表达: 2 1 2 + D 3 2 24 R A H h 1 + m = D 1 RA D2 1 + D3 2 24 R A D3 + 24 R 2 A 以平均高程面作投影面,范围小,可以用球代替椭球; 以平均高程面作投影面,范围小,可以用球代替椭球;球半径采用高斯平均曲 率半径.计算公式为: 率半径.计算公式为: S = Hm D3 D h 1 + R 24 R 2 2 2 可以证明:椭球半径的误差对边长归算结果影响很小, 可以证明:椭球半径的误差对边长归算结果影响很小,而高差误差对边长归算 比较敏感. 比较敏感. 2),弦长计算公式: ),弦长计算公式: 弦长计算公式 S d = 2 R A sin = 2 R A sin 2 2RA D 2 ( H 2 H1 )2 s sin = 2 R A 4( R A + H 1 )( R A + H 2 ) 2 σ sin s D = 2 RA 2 RA H H1 1 2 D H H 1 + 1 1 + 2 R A RA 2 则得: 则得: 四),将地面观测高程归算至大地高程 ),将地面观测高程归算至大地高程 B H常 = ∫ dh + ε + λ OB H = H常 + ζ 八, 椭球面上三角形解算 1,球面角超 ε = α + β +γ π C A α = 2 R 2α 2π β Fβ = 4πR 2 = 2R2β 2π γ Fγ = 4πR 2 = 2 R 2γ 2π Fα = 4πR 2 γ β α B B′ 三块面积之和为: 三块面积之和为: Fα + Fβ + Fγ = 2πR 2 + 2 F = 2 R 2 (α + β + γ ) C′ A′ 得: ε = α + β +γ π = F R2 其中F为球面三角形面积. 其中 为球面三角形面积. 为球面三角形面积 按球面三角公式: 按球面三角公式: a 2 + b2 + c 2 1 F = ab sin γ ′ 1 + 2 24 R 2 γ ′ = γ ε 3 a 2 + b2 + c 2 ab sin γ ′ 1 + ε= 2 2R 24 R 2 1 当边长小于40公里时,第二项影响小于 当边长小于 公里时,第二项影响小于0.0004",可略去. 公里时 ,可略去. ε= 1 2R 2 ab sin γ 2,解算球面三角形的勒让德定理 勒让德定理: 勒让德定理: 对于较小的球面三角形,可用平面三角公式来解算, 对于较小的球面三角形,可用平面三角公式来解算,只 需使三个平面角等于相应的球面角减去三分之一的球面 角超,而边长保持不变. 角超,而边长保持不变. sin( A ε 3 ) sin(B ε 3 ) sin(C ε 3 ) = = a b c A c B a C b 九,大地测量主题解算概述一),大地主题解算定义: ),大地主题解算定义: 大地主题解算定义 大地元素:大地经度L 大地纬度B 大地线长S 大地元素:大地经度L,大地纬度B,大地线长S,正反大地方 位角A 位角A12与A21 大地主题解算:已知某些大地元素推求另一些大地元素, 大地主题解算:已知某些大地元素推求另一些大地元素,分为 正解与反解 1,大地主题正解:已知(L1 ,B1), 大地主题正解:已知(L A12,S12,计算(L2 ,B2),A21 计算(L 已知P 点的大地坐标(L 已知 l点的大地坐标 1,B1),P1 , 的大地线长S及其大地方位角 至P2的大地线长 及其大地方位角 A12,计算 2点的大 地坐标 2,B2) 计算P 地坐标(L 和大地线S在 点的反方位角A 和大地线 在P2点的反方位角 21, 这类问题叫做大地主题正解. 这类问题叫做大地主题正解. 2,大地主题反解:已知 ,B1), (L2, B2), 计算 ,大地主题反解:已知(L1, , , , 计算A12,S12 ,A21 , 如果已知P 如果已知 1和P2点的大地坐标 (L1,B1)和(L2,B2),计算 至 和 ,计算P1至 P2的大地线长 及其正,反方 的大地线长S及其正 的大地线长 及其正, 位角A12,A21,这类问题叫做 位角 , , 大地主题反解. 大地主题反解. 根据大地线的长短, 根据大地线的长短,主题解算可 分为: 分为: 短距离(400km以内 以内) 短距离(400km以内), 中距离(400— 中距离(400—l000km) 及 长距离(1000km以上 以上) 长距离(1000km以上) 三种. 三种. 3,大地主题解算方法:70余种,按基本思想可分为以下几类: 余种, 大地主题解算方法:70余种 按基本思想可分为以下几类: (1),以大地线微分方程为基础: ),以大地线微分方程为基础 以大地线微分方程为基础: 勒让德级数式,高斯平均引数公式都是以大地线微分方程 勒让德级数式, 为基础. 为基础. 这类方法特点:解算精度与距离有关,距离越长, 这类方法特点:解算精度与距离有关,距离越长,收敛越 只适用于较短距离. 慢,只适用于较短距离. (2),白塞尔大地主题解算方法 ),白塞尔大地主题解算方法 基本思想: 基本思想: 将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅 助球面上,继而在球面上进行大地主题解算, 助球面上,继而在球面上进行大地主题解算,最后再将球上的 计算结果转换到椭球面上. 计算结果转换到椭球面上. 若找到大地线上某点元素L 若找到大地线上某点元素L,B,A,S与球面上大圆弧相应 点的元素φ 的关系式,便可实现椭球面向球面的过渡. 点的元素φ,λ,α,σ 的关系式,便可实现椭球面向球面的过渡. 一般是通过解下列微分方程得到相应关系式. 一般是通过解下列微分方程得到相应关系式. dB dL dA dS = f1 , = f2 , = f3 , = f4 d dλ dα dσ 基本解算步骤: 基本解算步骤: 按椭球面上的已知值计算圆球面上相应值, ①,按椭球面上的已知值计算圆球面上相应值,实现椭球面向 圆球面转换; 圆球面转换; 在球面上解算大地问题; ②,在球面上解算大地问题; 按球面上的数值计算椭球面的相应数值, ③,按球面上的数值计算椭球面的相应数值,实现从圆球向椭 球的过渡. 球的过渡. 基本特点:解算精度与距离无关,既适合短距离解算, 基本特点:解算精度与距离无关,既适合短距离解算,又适合 长距离解算. 长距离解算. (3),利用地图投影理论进行大地主题解算; ),利用地图投影理论进行大地主题解算 利用地图投影理论进行大地主题解算; (4),对大地微分方程进行数值积分的大地主题解算方法; ),对大地微分方程进行数值积分的大地主题解算方法 对大地微分方程进行数值积分的大地主题解算方法; (5),依据大地线外的其它线为基础的大地主题解算方法. ),依据大地线外的其它线为基础的大地主题解算方法 依据大地线外的其它线为基础的大地主题解算方法. 二),勒让德级数式: ),勒让德级数式: 勒让德级数式 1,大地主题正解公式 已知P1( 已知P1(L1,B1),则在P1处大地方位角为A12的大地线S上 ),则在 处大地方位角为 的大地线S 则在P1处大地方位角为A 的任意点P 及其大地方位角A 的任意点P2(L2,B2)及其大地方位角A21必是大地线的长度 S 的函数: 的函数: B2=B(S) =B(S) L2=L(S) A21=A(S) 在P1处展开为S 的级数有: P1处展开为 的级数有: 处展开为S 1 dB 1 d 2B 2 1 d 3B 3 B2 = B ( 0) + S + 2 S + 3 S + 1! dS 1 2! dS 3! dS 1 1 1 dL 1 d 2L 2 1 d 3L 3 L2 = L(0) + S + 2 S + 3 S + 1! dS 1 2! dS 3! dS 1 1 1 dA 1 d2A 2 1 d3A 3 A21 ± 180 = A(0) + S + 2 S + 3 S + 1! dS 1 2! dS 3! dS 1 1 0 又因为当S=0时有: 又因为当S=0时有: 时有 B(0)=B1 , L(0)=L1 , A(0)=A12 可得纬度差,经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式: 可得纬度差,经度差和方位角差展开为大地线长度的级数式: d 2B S 2 d 3B S 3 dB B2 = B1 + + + S + 2 dS 2 dS 3 6 dS 0 0 0 d 2B S 2 d 3B S 3 dB + 3 B = B2 B1 = S+ 2 dS 2 dS 6 + dS 0 0 0 同样可得到: 同样可得到: d 2L S2 d 3L S 3 dL L = L2 L1 = S + 2 + 3 dS 2 dS 6 + dS 0 0 0 d2A S2 d3A S3 dA A = A2 ± 180 A1 = S + 2 dS 2 + dS 3 6 + dS 0 0 0 0 若能求出各阶导数,便可得正解公式.下面来求各阶导数: 若能求出各阶导数,便可得正解公式.下面来求各阶导数: 由大地线的微分公式,得其一阶导数为: 由大地线的微分公式,得其一阶导数为: sin A V dB cos A V 3 dL cosA, = = = = secBsinA, c dS M dS N cos B c V dA tan B = sin A = tan B sin B dS N c d 2B dS 2 d 3B dS 3 = dB dB dB dA + B dS dS A dS dS d 2 B dB d 2 B dA = + 2 dS 2 dS B dS A dS 其中: 其中: 同理,可求出四阶以上的导数. 同理,可求出四阶以上的导数. 引用符号 并将上述符号及各阶导数代入级数展开式即可大地正解公式: 并将上述符号及各阶导数代入级数展开式即可大地正解公式: 因其级数收敛较慢,只适用于边长短于30km的情况. 的情况. 因其级数收敛较慢,只适用于边长短于30km的情况 三),高斯平均引数公式 ),高斯平均引数公式 1,高斯平均引数正算公式: 高斯平均引数正算公式: 已知(L 已知(L1,B1),A12,S12,计算(L2, B2),A21. 计算(L 1),基本思想:①,把勒让德在大地线中点M展开,以使项数少,收敛快, ),基本思想 基本思想: 把勒让德在大地线中点M展开,以使项数少,收敛快, 精度高. 由于求定中点M很复杂, 精度高. ②,由于求定中点M很复杂,将M点用大地线两端点平均纬度及 平均方位角相对应的m点来代替,并用迭代计算实现大地主题正算. 平均方位角相对应的m点来代替,并用迭代计算实现大地主题正算. 2),公式推导: ),公式推导 公式推导: 设M点是大地线P1P2的中点,P1P2=S则有: 点是大地线P 的中点, =S则有 则有: MP2 =S/2,MP1=-S/2仿勒让德级数,在M点 =S/2, S/2仿勒让德级数 仿勒让德级数, 展开得: 展开得: 1 2 两式相减(偶数项全被抵消) 1 与 2 两式相减(偶数项全被抵消),得: d 3B S 3 dB B2 B1 = B ′′ = ρ ′′ S + ρ ′′ dS 3 24 + dS M M 3 类似地, 类似地,有: d 3L S 3 dL L 2 L1 = L ′′ = ρ ′′ S + ρ ′′ dS 3 24 + dS M M 4 5 d3A S3 dA A21 A12 ± π = A′′ = ρ ′′ S + ρ ′′ 3 dS 24 + dS M M 若能求得以上各式中的各阶导数, 若能求得以上各式中的各阶导数,便可得到高斯引平均数正 算公式.下面来讨论相关计算. 算公式.下面来讨论相关计算. 先来求 已知: 已知: dB dS M 的各阶导数 : 1 2 两式相加(奇数项全被抵消)除以 , 1 与 2 两式相加(奇数项全被抵消)除以2,得: (B 1 + B 2 ) B 2 M = Bm B M d 2B = dS 2 S2 + 8 M 式中: 式中 Bm = 1 (B 1 + B 2 ) 2 类似地, 类似地,有: Lm LM Am AM d 2L S2 = 2 + dS M 8 d2A S2 = 2 + dS M 8 其中: 其中: Lm = 1 (L1 + L2 ), 2 Am = 1 ( A1 + A2 ) 2 由 dB cos A V 3 dL sin A V cosA, = = = = secBsinA, dS M c dS N cos B c dA tan B V sin A = tan B sin B = dS N c dB dS 可知 是大地纬度B和大地方位角 的函数,那么有: 是大地纬度 和大地方位角A的函数,那么有: 和大地方位角 的函数 dB = f (B M , AM ) = f (Bm + B M Bm , Am + AM Am ) dS M 注意:中点 的大地纬度与大地方位角不是两端点 的大地纬度与大地方位角不是两端点P 注意:中点M的大地纬度与大地方位角不是两端点 1,P2的大地纬度和大地 方位角的平均值. 方位角的平均值. 将上式在B 处展开为级数得: 将上式在 m,Am处展开为级数得: 亦即: 亦即: 便将求 dB dB dB dB = + (Bm BM ) + ( Am AM ) + A dS m dS M dS m B dS m dB dS M 化为求 dB dS m 各阶导数,(BM-Bm)及(AM-Am). ,(B 各阶导数,( 2 cos A m Vm dB ( )m = cos A m = dS Mm Nm 由大地线的微分公式: 由大地线的微分公式: 对上式求导, 对上式求导,得: 3 dB 2 t mη m cos A = Mm B dS m 2 Vm dB sin A = A dS m Nm 由于B 相差很小, 由于 M与Bm相差很小,取: d 2B dS 2 d2A dS 2 d 2B = dS 2 M d2A = dS 2 M m m 将以上各式代入以下: 将以上各式代入以下: B m B M d 2B = dS 2 M S 2 + 8 Am AM d2A S2 = 2 + dS 8 M 得: 又已知 2 cos Am Vm dB ( )m = cos Am = dS Mm Nm 3 dB 2 t mη m cos A = Mm B dS m dB dS M 2 Vm dB sin A = Nm A dS m 将以上各式代入正式便可得 : dB dB dB dB = + (B m B M ) + ( Am AM ) + dS M dS m B dS m A dS m 将上式两边同乘以S 将上式两边同乘以S得: 得: 令 那么: 那么: d 3B d 3B dS 3 = dS 3 M m 将上所求代入: 将上所求代入: 可得: 可得: d 3B S 3 dB B2 B1 = B ′′ = ρ ′′ + S + ρ ′′ 3 dS 24 dS M M 6 依照以上可得: 依照以上可得: 8 9 进而: 进而: B2 = B1 + B L2 = L1 + L A21 = A12 + A 以上三式可用于解算120km主题问题 当距离小于70km时 以上三式可用于解算120km主题问题,当距离小于70km时, 主题问题, 可略去η 可略去ηm2项. 3),用叠代法计算Bm , Lm 用叠代法计算B ),用叠代法计算 因计算B 因计算Bm , Lm 要用到B2 , L2,而B2 , L2为求知量,因此需要 要用到B 为求知量, 叠代计算. 叠代计算. 由于 cos A12 dB cos A 近似 = → B 12 = S 12 dS M M1 tan B1 dA tan B sin A 近似→ A12 = S12 sin A12 = dS N N1 则Bm,Am的初值为: 的初值为: (0 Bm ) = B1 + 1 1 S12 cos A12 B12 = B1 + 2 2M1 1 1 (0 Am ) = A12 + A12 = A12 + S12 tan B1 sin A12 2 2N1 叠代计算公式为: 叠代计算公式为: ( B mk + 1 ) = B 1 + B (k ) 2 ( A mk + 1 ) = A 12 + A (k ) 2 ( ( 为止. 直到 ε B = B mk + 1 ) B mk ) ≤ 0.000 1′′ 为止. ( ( ε A = A mk + 1 ) A mk ) ≤ 0.00 1 ′′ ) )可用下式计算. 其中B(K) ,A(K)可用下式计算. 其中 2,高斯平均引数反算公式 已知(L 已知(L1,B1), ( L2 ,B2), 计算A12,S12 ,A21. 计算A 由于已知(L1,B1), 由于已知(L1,B1), ( L2 ,B2), ⊿B,⊿L,Bm亦已知. B2), Bm亦已知 亦已知. 那么可由正解公式推求反算公式. 那么可由正解公式推求反算公式. 由正算公式 L ′′ = L 2 L 1 = cos ρ ′′ N 2 m cos B S sin A m m 2 m 2 9tmη 2 m Am 1 + η ( S 2 1 + 24 N )]} 2 m [sin 2 2 Am tm B ′′ = B 2 B 1 2 Vm S cos A m = ρ ′′ Nm 2 2 + 3 η m cos 2 2 2 2 Am 1 + tm η m 4tmη m ( S2 sin 1 + 2 24 N m [ 2 2 2 A m 2 + 3 t m + 2η m ( ) )]} 移项,将分母采用级数展开,整理可得: 移项,将分母采用级数展开,整理可得: B′′Nm S cos Am 2 2 2 2 2 2 2 2 2 S cos Am = S sin Am 2 + 3t m + 2ηm + 3ηm S 2 cos2 Am 1 + tm ηm 4tmηm 2 2 24N m ρ ′′Vm S sin Am = S sin Am L ′′ 2 2 2 2 N m cos B m S 2 sin 2 A m t m S 2 cos 2 A m 1 + η m 9 t m η m 2 ρ ′′ 24 N m [ ( ) ( )] [ ( )] 右端第二项与第一项相比为小量,可以作近似: 右端第二项与第一项相比为小量,可以作近似: S cos Am = B ′′N m 2 ρ ′′Vm S sin Am = L′′ N cos Bm ′′ m ρ 用上式右端代入可得: 将右端第二项中所含SsinAm,ScosAm用上式右端代入可得: 右端第二项中所含 , 用上式右端代入可得 2 2 2 N m B ′′ N m cos 2 B m 2 + 3 t m 3 t mη m N 2 2 2 B ′′ L′′2 m t mη m η m B ′′ 3 S cos Am = 2 8 ρ ′′V m 24 ρ ′′ 3 ( ) ( ) = S 10 B ′′ + S 12 B ′′L′′2 + S 30 B ′′ 3 Nm N m cos Bm N m cos Bm sin2 Bm 2 2 2 2 L′′3 S sin Am = cos Bm L′′ + 1 + ηm 9t mηm B′′ L′′ + 3 3 ρ ′′ 24ρ ′′ 24ρ ′′ = r01L′′ + r21B′′ 2 L′′ + r03L′′3 ( ) 由此求出SsinAm,ScosAm,便可得平均方位角和大地线长 , 由此求出 , 度如下: 度如下: Am = tan 1 S sin Am S cos Am S = S sin A m sin A m 1 再将以上求得的 SsinAm,ScosAm 代入下式 , A = A21 A12 ± π = ρ ′′t m Nm S2 2 2 2 2 2 4 S sin Am 1 + sin 2 Am 2 + t m + 2η m + cos 2 Am 2 + 7η m + 9t mη m + 5η m 2 24 N m [ ( ) ( )]} 又可求得⊿ 又可求得⊿A,最后得起终点的大地方位角为: 最后得起终点的大地方位角为: A12 = Am A′′ 2 A21 = Am + A′′ 2 ±π 2 四),白赛尔大地主题解算方法(学生自学) ),白赛尔大地主题解算方法(学生自学) 白赛尔大地主题解算方法 基本思想: 基本思想: 将椭球面上的大地元素按照白塞尔投影条件投影到辅 助球面上,继而在球面上进行大地主题解算, 助球面上,继而在球面上进行大地主题解算,最后再将球上的 计算结果转换到椭球面上. 计算结果转换到椭球面上. 若找到大地线上某点元素L 若找到大地线上某点元素L,B,A,S与球面上大圆弧相应 点的元素φ 的关系式, 点的元素φ,λ,α,σ 的关系式,便可实现椭球面向球 面的过渡. 面的过渡. 1,在球面上进行大地主题解算 球面上两点P 球面上两点P1(λ1, φ1), P2 ( λ 2, φ 2),P1P2间大圆 ),P 弧长为σ 的方位角为α 弧长为σ,P1P2的方位角为α1, 反方位角为α 反方位角为α2,球面上大地主题 正算是已知φ 正算是已知φ1, α1, σ,求φ 2 及经差λ 反算是已知 已知φ ,α2及经差λ;反算是已知φ 1, φ 2 ,及经差λ,求α1,α2, σ 及经差λ 球面三角公式汇总 1)球面上大地主题正解方法 及经差λ 已知 φ 1, α1, σ,求 φ2 ,α2及经差λ 计算φ ①,计算φ2 由 计算sinφ 计算sinφ2 ,便可得 ,继而可得φ2 . 继而可得φ ②,计算λ 计算λ 由 与 相除可得: 相除可得: ,继而可得λ . 继而可得λ ③,计算α2 计算α 由 相除可得: 相除可得: 2)球面上大地主题反解方法 及经差λ 已知 φ 1, φ2及经差λ ,求 α1, α2,σ. ①,计算α1 计算α 将 相除可得: 相除可得: 其中 与 ,继而可得α1 . 继而可得α 与 ,继而可得α2 . 继而可得α ②,计算α2 计算α 将 相除可得: 相除可得: 与 ,继而可得α2 . 继而可得α ③,计算σ 计算σ 式乘以sinα 式乘以cosα 并相加, 将(a)式乘以sinα1,(c)式乘以cosα1,并相加,然后再 除以( 式得: 除以(e)式得: ,继而可得σ . 继而可得σ 2,椭球面和球面上坐标关系式 1),白赛尔投影条件 ),白赛尔投影条件 椭球面大地线投影到球面上为大圆弧; ①,椭球面大地线投影到球面上为大圆弧; 大地线和大圆弧上相应点的方位角相等; ②,大地线和大圆弧上相应点的方位角相等; ③,球面上任意点的纬度等于椭球面上相应点的归化纬度. 球面上任意点的纬度等于椭球面上相应点的归化纬度. 2),白赛尔微分方程 ),白赛尔微分方程 PP1P2为椭球面极三角形,B,L,S,A为大地元素 为椭球面极三角形, P′P1′P2′为球面三角形,φ,λ,σ,α为球面元素. 为球面三角形, 为球面元素. P dL A+dA B+dB 900-B2 900-B1 O P Ads 2 B P1 900- φ1 900- φ2 P′ 900- φ2 dλ 900- φ 1 α+dα φ+dφ P′ α dσ 2 φ P1′ O 在椭球面上大地线微分方程为: 在椭球面上大地线微分方程为: 在单位球面上大圆弧微分方程 为: 由以上可知: 由以上可知: 在单位球面上球面 P1′P2′ 在单位球面上球面P′P1′P2′中,由 正弦定理有: 正弦定理有: sin 90 1 sin 90 2 = sin α 2 sin α 1 0 0 P′ 900- φ2 ( ) ( ) dλ 900- φ 1 900- φ2 900- φ1 α+dα φ+dφ P′ α dσ 2 φ P1′ cos 1 sin α 1 = cos 2 sin α 2 由克莱劳方程有: 由克莱劳方程有: cos u1 sin A1 = cos u2 sin A2 O 根据贝塞尔投影条件有: 根据贝塞尔投影条件有: 那么有: 那么有: α 2 = A2 i = ui α 1 = A1 可见,贝塞尔投影中,方位角保持不变. 可见,贝塞尔投影中,方位角保持不变. 由上结论可知α=A,那么: 由上结论可知α=A,那么: dA tan B sin A dS α = A dS N tan = → = dα N tan sin α dσ dσ tan B 进而可得: 进而可得: dS N tan = dσ tan B dB cos A dS = d M cos α d σ dB N tan = d M tan B dS N tan = dL sin dσ tan B = dL cos sin A dS d λ sin B = dλ N cos B sin α d σ 下面进一步研究以上三个方程的积分 r = N cos B dr = M sin BdB dB N tan M sin B = tan d = d M tan B N cos B = → tan d = 两边积分 M sin BdB = dr P dL A+dA B+dB 900-B2 900-B1 O P Ads 2 B P1 N dr r r → ln cos ln r + ln C = 0 C cos = r 根据贝塞尔投影条件有: i = ui 根据贝塞尔投影条件有: 2 dS N tan N tan u a 1 e a = = = = dS tan B tan B dσ W V = a 1 e 2 cos 2 u dL sin sin u 1 dσ = = = dL dλ sin B sin B V = 1 e 2 cos 2 u 2 e dλ W cos u = cos B V 2 = 1 + e ′ 2 cos 2 B → V 2 = W 2 cos 2 u 1 e2 1 = 1 + e 2V 2 cos 2 u V 2 = 1 e 2 cos 2 u 以上两式即为贝塞尔微分方程,表示了椭球面上大地线长度与 以上两式即为贝塞尔微分方程, 球面上大圆弧长度,椭球面上经差与球面上经差的微分关系. 球面上大圆弧长度,椭球面上经差与球面上经差的微分关系. 对这组方程进行积分就可得S 的关系式. 对这组方程进行积分就可得S与σ,L与λ的关系式. 3),白赛尔微分方程的积分 ),白赛尔微分方程的积分 ①,S与σ的关系式 与 的关系式 将大圆弧P 将大圆弧P2P1延长与赤道相 交于P 交于P0,该处大圆弧方位角 为A0,在球面直角三角形 P0Q1P1中,由正弦定理有: 由正弦定理有: 赤道 则: 将上式代入 S=a ∫ P P P0 1 e 2 cos 2 udσ 可得: 可得: S=a ∫ ∫ P0 1 e 2 + e 2 cos 2 A0 sin 2 σ dσ 2 = a 1 e =b P ∫ P P0 1+ e2 1 e2 cos 2 A0 sin 2 σ dσ P0 1 + e ′ 2 cos 2 A0 sin 2 σ dσ 其中b为椭球短半径. 其中b为椭球短半径. 令 则 S=b 为常数) (K为常数) 为常数 ∫ (1 + k P P0 2 sin σ 2 ) 1 2 dσ 又 其中包含cos6σ的项积分后很小,可忽略,其它三角函数积 的项积分后很小,可忽略, 其中包含 的项积分后很小 分后可得: 分后可得: 那么可得到S与 的关系式 的关系式: 那么可得到 与σ的关系式: 赤道 利用上式可以计算从赤道开始到大圆弧上任意一点P 利用上式可以计算从赤道开始到大圆弧上任意一点 i的大 地线的长度. 地线的长度 若要计算大圆弧上任意两点P 之间的大地线的长度S,先分别 若要计算大圆弧上任意两点 1与P2之间的大地线的长度 先分别 计算P1与 到赤道上 点的大地线长S1与 然后 到赤道上P0点的大地线长 然后S=S2-S1. 计算 与P2到赤道上 点的大地线长 与S2,然后 . 令σ=σ2-σ1 ,则 上式用于大地主题反算 上式用于大地主题反算 由上式可得: 由上式可得: 上式用于大地主题正算,采用趋近法计算. 上式用于大地主题正算,采用趋近法计算. 正算 趋近法计算 第一次趋近时,初值可取: 第一次趋近时 初值可取: 初值可取 σ的计算也可用直接法 的计算也可用直接法: 的计算也可用直接法 由 可得: 可得 根据三角级数反解规则有: 根据三角级数反解规则有 一般情况可认为B=B′,S1=S2-S, 一般情况可认为 由 可得 S1 S 2 S B C = σ 1 sin 2σ 1 sin 2σ 1 cos 2σ 1 A A A A 则有 即 将上式代入 整理可得 上式就是σ的直接解算公式. 上式就是 的直接解算公式. 的直接解算公式 其中 ②,L与λ的关系式 由贝塞尔微分方程用级数展开可得: 由贝塞尔微分方程用级数展开可得: 又 据贝塞尔投影条件及克莱劳 方程,在球面三角形P 方程,在球面三角形P0P1Q1 中有: 中有: 赤道 α=A, φ=u 因而有 那么 将上式三角函数用倍角公式代替可得: 将上式三角函数用倍角公式代替可得: 对上式积分,并代入σ1及σ2,则得: 则得: 对上式积分,并代入σ 对于正算有: 对于正算有: 对于反算有: 对于反算有: 其中L=L 其中L=L2-L1, 到此,大地线上某点元素L,B,A,S与球面上大圆弧相应 到此,大地线上某点元素L 点的元素φ 的关系式便已找到. 点的元素φ ,λ,α,σ 的关系式便已找到. 大地线与大圆弧相应点的α 大地线与大圆弧相应点的αi=Ai,φi=ui,而B与u的关系已知. 的关系已知. 3,白塞尔法大地主题正算步骤 已知大地线起点的纬度B 经度L 大地方位角A 已知大地线起点的纬度B1,经度L1,大地方位角A1及大地线 求大地线终点的统纬度B 经度L 及大地方位角A 长S,求大地线终点的统纬度B2,经度L2及大地方位角A2 1),计算起点的归化纬度u1(见归化纬度与大地纬度的关系) 计算起点的归化纬度u 见归化纬度与大地纬度的关系) ),计算起点的归化纬度 2),计算辅助函数值 ),计算辅助函数值 (由球面余切公式可得) 由球面余切公式可得) 3),计算A,B,C及α,β之值(采用1975年国际椭球元素) 计算A 之值(采用1975年国际椭球元素 年国际椭球元素) ),计算 4),计算球面长度σ: 计算球面长度σ ),计算球面长度 5),计算经度改正数(L=L2-L1): ),计算经度改正数( 计算经度改正数 λL=δ ={ ασ + β [sin 2 (σ 1 + σ 0 ) sin 2σ 1 ]}sin A 0 6),计算终点的大地坐标及方位角: ),计算终点的大地坐标及方位角: 计算终点的大地坐标及方位角 上式可由球面边余弦定理得 赤道 到此则完成了白塞尔法大地主题正算 3,白塞尔法大地主题反算步骤 已知大地线起点的纬度B 经度L 终点的统纬度B 已知大地线起点的纬度B1,经度L1,终点的统纬度B2,经度 L2,求大地线长S及起点,终点的大地方位角A1,A2. 求大地线长S及起点,终点的大地方位角A 1),辅助计算 ),辅助计算 2),用逐次趋近法同时计算起点大地方位角A1,球面长度σ ),用逐次趋近法同时计算起点大地方位角A 球面长度σ 用逐次趋近法同时计算起点大地方位角 及经差λ=L+δ 及经差λ=L+δ. 第一次趋近取δ=0, =L=L2-L1, 第一次趋近取δ=0,λ=L=L2-L1, 根据白塞尔投影条件u= 根据白塞尔投影条件u= φ ,由课 P94页的公式可得 页的公式可得: 本P94页的公式可得: 赤 道 (由课本P93页a,c两式可得) 由课本 页 , 两式可得) 两式可得 (由边余弦公式可得) 由边余弦公式可得) (由正弦定理可得) 由正弦定理可得) 其中 定求出δ后 按上述步骤反复迭代,直到两次计算的 相同或 定求出 后,按上述步骤反复迭代,直到两次计算的δ相同或 其差小于允许值. 其差小于允许值. 3),计算A,B〃,C〃及大地线长度S 计算A B〃,C〃及大地线长度 及大地线长度S ),计算 4),计算反方位角A2 计算反方位角A ),计算反方位角 页可得) (根据课本P94页可得) 根据课本 页可得 A2的符号确定与A1相同 的符号确定与A 十,地图数学投影变换的基本概念一),地图数学投影变换的意义和投影方程 ),地图数学投影变换的意义和投影方程 1,地图数学投影:将椭球面上的元素(L,B,A,S)按 地图数学投影:将椭球面上的元素( 一定的数学法则投影到平面上.投影方程可表示为: 一定的数学法则投影到平面上.投影方程可表示为: X=F1(L,B) Y=F2(L,B) 上式表达了椭球面上一点同投影面上相应点坐标之间的解析 关系,也叫坐标投影方程, 称投影函数. 关系,也叫坐标投影方程,F1和F2称投影函数. 2,地图投影主要研究内容: 地图投影主要研究内容: 1), 投影方法 2),投影方程的解析式 ),投影方程的解析式 投影方法的本质特征都是由投影条件和投影函数F 投影方法的本质特征都是由投影条件和投影函数F的具体形 式决定的. 式决定的. 二),地图的投影变形 ),地图的投影变形 1,长度比m:投影面上无限 长度比m 小微分线段ds与椭球面上相 小微分线段ds与椭球面上相 应的微分线段dS之比 之比. 应的微分线段dS之比. ),不同点的长度比不同 (1),不同点的长度比不同 ),同一点上不同方向的 (2),同一点上不同方向的 长度比不同 ),m可大于1 等于1 (3),m可大于1,等于1, 小于1 小于1. ds dS 2,主方向和变形椭圆 ),主方向 (1),主方向:两个在椭球面上正交的方向投影到平面上后仍 ),主方向: 然正交,则这两个方向为主方向. 然正交,则这两个方向为主方向. 性质:主方向投影后具有最大和最小长度比. 性质:主方向投影后具有最大和最小长度比. (2) 变形椭圆 若对应于最大和最小长度 若对应于最大和最小长度比方向在椭球 最小长度比 面上为x轴和y轴方向,在投影面上为x 面上为x轴和y轴方向,在投影面上为x′和y′方向,a为x轴 方向, 方向的长度比,b为 轴方向的长度比,则有: 方向的长度比,b为y轴方向的长度比,则有: X A α P (ξ ,η ) x′ Y A′ α ′ P′A′ y′ = =b PA η P ′( x ′, y ′ ) P′B′ x′ = =a PB ξ 即 x′ 1 B r B′ y′ ξ = a, y′ η =b x′ y′ = ξ, =η a b ξ 2 +η2 = 1 2 2 则变形椭圆方程为 x ′ + y ′ = 1 2 2 椭球面上 单位圆 投影面上 a b 任意方向的长度比m: 任意方向的长度比m: m= r = r , x ′ = aξ = a cos α , y ′ = bη = b sin α 1 x′ 2 + y′ 2 m=r= η2 +ξ 2 = a 2 cos 2 α + b 2 sin 2 α 3,投影变形 ),长度变形 长度变形v 长度比m (1),长度变形v :长度比m与1之差 v=m -1 投影前的 单位圆 投影后的 变形椭圆 (2),方向变形:设投影前从主方向起OP的方位角为α,投影后O′P′ ),方向变形 设投影前从主方向起OP的方位角为 投影后O 方向变形: 的方位角为α (α 之差称为方向变形. 的方位角为α, (α-α)之差称为方向变形. η P(ξ ,η ) x P ( x1 , y1 ) 1 α ξ α′ y 椭球面上 投影面上 某方向(以主方向起始) 投影后为α 则有: 某方向(以主方向起始)α 投影后为α1,则有: y ′ bη b tgα ′ = = = tgα x ′ aξ a 由三角公式, 由三角公式,得: ba sin( α ′ α ) tg α = a cos α ′ cos α b+a sin( α ′ + α ) ′ + tg α = tg α tg α = a cos α ′ cos α ba sin( α ′ α ) = sin( α ′ + α ) b+a b a sin( α ′ + α ) α ′′ α = arcsin b + a tg α ′ tg α = 显然,当α =α′时,亦即在主方向 没有方向变形当 α +α′ = 90° 亦即在主方向,没有方向变形 显然, α 时 亦即在主方向 没有方向变形当 α ° 方向变形最大,若 为最大变形方向, 或 270 °时,方向变形最大 若α 0与α 0′为最大变形方向,则最 为最大变形方向 大变形量可表示为: 大变形量可表示为: ' ω max = α 0 ba α 0 = arcsin b+a 顾及: 顾及: ' tgα 0 = tg (90 α 0 ) = ctgα 0 ' tgα 0 = b tgα 0 a 解得最大变形方向为: 解得最大变形方向为: tgα 0 = a b ' , tgα 0 = b a (3),角度变形:投影前的角度u与投影后的角度u′之差. ),角度变形 投影前的角度u与投影后的角度u′之差 角度变形: 之差. u=u′-u u=u′ 两方向α 所夹角u的变形称为角度变形 的变形称为角度变形, 表示. 两方向α,β所夹角 的变形称为角度变形,用u表示.即: 表示 x′ x α′ A′ α A u′ y′ o u y o β B β′ B′ 投影前的角度u 投影前的角度u 投影后的角度u′ 投影后的角度u′ u = u′ u = ( β ′ α ′ ) ( β α ) = (β ′ β ) (α ′ α ) u = arcsin b a b a sin( β ′ + β ) arcsin sin(α ′ + α ) b + a b + a 显然, 显然,当 α +α′ = 90°, β + β ′= 270 °或 α +α′= 270°, α ° α ° β + β ′= 90 °时,角度变形最大,最大角度变形可表示为: 角度变形最大,最大角度变形可表示为: umax = arcsin ba ba ba arcsin = 2 arcsin b+a b+a b+a ),面积变形 (4),面积变形:p-1 ),面积变形: 原面单位圆面积为π,投影后变形椭圆面积abπ,则投影面积 原面单位圆面积为 ,投影后变形椭圆面积 则投影面积 比为: 比为: 投影后的 变形椭圆 得面积变形(p-1). . 得面积变形 其中,a为x轴方向的长度比, 轴方向的长度比, 其中, b为y轴方向的长度比. 轴方向的长度比. 投影前的 单位圆 4,地图投影分类: 地图投影分类: ),按变形性质分 按变形性质分: (1),按变形性质分: 等角投影——正形投影 长度比只与位置有关, 正形投影: ①,等角投影——正形投影:长度比只与位置有关,与方向 无关,某点的长度比为一常数. a-b=0 或 a = b 无关,某点的长度比为一常数. 等积投影:投影前后面积不变,即面积比为1 ②,等积投影:投影前后面积不变,即面积比为1. P=ab=1 等距投影:某一主方向长度比为1 ③,等距投影:某一主方向长度比为1. a=1 或 b=1 任意投影: ≠b,ab≠1 ④任意投影:a≠b,ab≠1 (2),按采用的投影面和投影方式分类 ①方位投影 与椭球极点相切,切点为投影中心, 投影平面与椭球极点相切,切点为投影中心,按一定条 件将椭球面上的物投影到平面上. 件将椭球面上的物投影到平面上.纬线投影后为以极点为圆 心的同心圆,经线则为它的向径,且经线交角不变. 心的同心圆,经线则为它的向径,且经线交角不变. 用直角坐标表示的投影方程: 用直角坐标表示的投影方程: 用极坐标表示的投影方程: 用极坐标表示的投影方程: x = ρ cos θ = f ( Z ) cos θ y = ρ sin θ = f ( Z ) sin θ ρ = f ( B ), δ = l ②,正轴或斜,横轴圆柱(或椭圆柱)投影 正轴或斜,横轴圆柱(或椭圆柱) a, 正轴圆柱(或椭圆柱)投影:切圆柱(或椭圆柱)投影, , 正轴圆柱(或椭圆柱)投影:切圆柱(或椭圆柱)投影, 割圆柱(或椭圆柱) 割圆柱(或椭圆柱)投影 切圆柱(或椭圆柱)投影:投影圆柱(或椭圆柱) 切圆柱(或椭圆柱)投影:投影圆柱(或椭圆柱)面与赤 道相切, 投影成一组平行直线, 道相切,纬线 投影成一组平行直线,经线投影成与纬线正交的 另一组平行直线. 另一组平行直线. 割圆柱(或椭圆柱)投影:投影圆柱(或椭圆柱) 割圆柱(或椭圆柱)投影:投影圆柱(或椭圆柱)面与两 条对称纬线相割,纬线投影成一组平行直线,经线投影成与纬 条对称纬线相割,纬线投影成一组平行直线, 线正交的另一组平行直线. 线正交的另一组平行直线. b,横轴圆柱(或椭圆柱)投影:投影圆柱(或椭圆柱)面与 横轴圆柱(或椭圆柱)投影:投影圆柱(或椭圆柱) 某经线相切. 某经线相切. 斜轴圆柱(或椭圆柱)投影:常用于小比例尺投影, 斜轴圆柱(或椭圆柱)投影:常用于小比例尺投影,将地球视 为圆球,投影圆柱(或椭圆柱)体斜切于圆球进行投影. 为圆球,投影圆柱(或椭圆柱)体斜切于圆球进行投影. (3). 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割,将椭球面上物 圆锥投影:圆锥面与椭球面相切或相割, 投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平面. 投影到圆锥面上,展开圆锥面得投影平面. 根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥投影,斜圆锥投影. 根据圆锥顶点位置不同,分正圆锥投影,斜圆锥投影. 地图投影的分类 十一, 十一,高斯平面直角坐标系 一),控制测量对地图投影的要求 ),控制测量对地图投影的要求 1,应采用等角投影 等角投影的优点: 等角投影的优点: 1).可以免除大量角度观测元素的投影归算工作; 可以免除大量角度观测元素的投影归算工作; 2).可以在有限的范围内使地图上图形与椭球上原形保持相似. 可以在有限的范围内使地图上图形与椭球上原形保持相似. 2,投影带来的长度和面积变形应不大,并能用简单的公式计算 投影带来的长度和面积变形应不大, 变形改正数; 变形改正数; 3,为了使变形量控制在一定范围内,采用分带投影,各带可联 为了使变形量控制在一定范围内,采用分带投影, 成一整体,并能相互换算. 成一整体,并能相互换算. 二),高斯投影 ),高斯投影 由高斯提出并最先使用(但未发表),由史赖伯1866年 ),由史赖伯 由高斯提出并最先使用(但未发表),由史赖伯1866年 整理发表,后来,克吕格对其补充和完善.所以又称高斯 高斯整理发表,后来,克吕格对其补充和完善.所以又称高斯克吕格投影. 克吕格投影. 假想将地球椭球套在一个椭圆柱筒内, 假想将地球椭球套在一个椭圆柱筒内,地球椭球的某一子 午线(中央子午线)与椭圆柱相切, 午线(中央子午线)与椭圆柱相切,用一定的投影方法将中 央子午线两侧一定范围内的地区投影到椭圆柱面上, 央子午线两侧一定范围内的地区投影到椭圆柱面上,再将椭 圆柱面展开为平面. 圆柱面展开为平面. 目前,英国,美国,德国,中国,俄罗斯等均采用该投影. 目前,英国,美国,德国,中国,俄罗斯等均采用该投影. 1,高斯投影的条件: ,高斯投影的条件: ),是正形投影 (1),是正形投影,投影后角度不变; ),是正形投影,投影后角度不变; ),中央子午线不变形 (2),中央子午线不变形 ), 2,高斯投影(正形投影)的性质: 高斯投影(正形投影)的性质: (1)投影后角度不变 长度比与点位有关, (2)长度比与点位有关,与方向无关 (3)离中央子午线越远变形越大 投影后,除中央子午线外, (4)投影后,除中央子午线外,长度增大 3,高斯投影带的划分 , 为控制投影后的长度变形,采用分带投影的方法.常用 度 为控制投影后的长度变形,采用分带投影的方法.常用3度 带或6度带分带,城市或工程控制网坐标采用任意带分带. 带或 度带分带,城市或工程控制网坐标采用任意带分带. 度带分带 已知6度带的带号 计算其中央子午线的经度 0: L 0 = 6 n 3 已知 度带的带号n计算其中央子午线的经度 度带的带号 计算其中央子午线的经度L 已知某点的经度L计算其所在 度带的带号 已知某点的经度 计算其所在6度带的带号 : 计算其所在 度带的带号n: 已知3度带的带号 计算其中央子午线的经度 : 已知 度带的带号n′计算其中央子午线的经度 0′: 度带的带号 计算其中央子午线的经度L 已知某点的经度L计算其所在 度带的带号 已知某点的经度 计算其所在3度带的带号 : 计算其所在 度带的带号n′: ( L + 3) n = int + 0.5 6 L0 ' = 3n' L n' = int( + 0.5) 3 4,国家统一坐标 理论上中央子午线的投影是 x 轴,赤道的投影 其交点是坐标原点. 是 y 轴,其交点是坐标原点. x 坐标是点至赤道的距离; 坐标是点至赤道的距离; y 坐标是点至中央子午线的距离,有正有负. 坐标是点至中央子午线的距离,有正有负. 为了避免 y 坐标出现负值,其名义坐标加上 坐标出现负值, 500 公里. 公里. 为了区分不同投影带中的点,在点的Y坐标值 为了区分不同投影带中的点,在点的Y 上加带号N 上加带号N 所以点的横坐标通用表示的值为 y = N×1000000+500000+y N× 1919年德国学者巴乌盖尔建议采用 1919年德国学者巴乌盖尔建议采用30带,将坐标纵轴西移500 年德国学者巴乌盖尔建议采用3 将坐标纵轴西移500 km,并在纵坐标前冠以带号. km,并在纵坐标前冠以带号. 5,椭球面元素化算到高斯投影面 主要内容: 主要内容: 将起始点P的在地坐标( (1).将起始点P的在地坐标(L,B)归算为高斯平面直角坐 y),称之为高斯正算;为了检核,还要反算, 标(x,y),称之为高斯正算;为了检核,还要反算,即根据 (x,y)反算( (x,y)反算(L,B). 反算 将椭球面上起算大地方位角A (2).将椭球面上起算大地方位角APK归算到高斯平面上相应 边PK的坐标方位角 αPK,需计算收敛 大地线 中 央 与方向改化δ 角γ与方向改化δ. 子午线 (3).将椭球面上起边 PK长 PK长S归算到高斯平面 上的直线长s 上的直线长s. 平行圈 赤道 椭球面 高斯投影面 (4),将椭球面上各三角形内角归算到高斯平面上由相应直 线组成的三角形内角.需计算曲率改化即方向改化δ 线组成的三角形内角.需计算曲率改化即方向改化δ. 三),正形投影的一般条件 ),正形投影的一般条件 在正形投影中,长度比与方向无关. 在正形投影中,长度比与方向无关. 1,长度比的通用公式 如图,在微分直角三角形P 中有: 如图,在微分直角三角形P1P2P3及P1′P2′P3′中有: 2 2 dS 2 = (MdB ) + (N cos Bdl ) ds 2 = dx 2 + dy 2 其中l=L其中l=L-L0,L0通常是中央子午线的经度,L是P点的经度 通常是中央子午线的经度, MdB NcosBdl M 2 dB 2 dS = M dB + N cos BdL = N cos B ( 2 + dL2 ) N cos 2 B = N 2 cos 2 B (dq 2 + dL2 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 则长度比m 则长度比m为: 令 dq = MdB N cos B 则 q=∫ B 0 MdB π B e (1 e sin B) dB = ln tg ( + ) + . N cos B 4 2 2 (1 + e sin B) 因为q只与纬度B有关,所以称q为等量纬度,由于B 因为q只与纬度B有关,所以称q为等量纬度,由于B与l(L) 相互独立,因而dB与dl也相互独立 也相互独立. 相互独立,因而dB与dl也相互独立. 则长度比m 可表示为: 则长度比m2可表示为: 其中:r=NcosB 其中: 引入等量纬度后,使相同的 与 所对应的椭球面上的弧长相同 所对应的椭球面上的弧长相同. 引入等量纬度后,使相同的dq与dL所对应的椭球面上的弧长相同 根据投影关系可知平面坐标x 根据投影关系可知平面坐标x,y是大地坐标B,L的函数: 是大地坐标B 的函数: X=F1(L,B) Y=F2(L,B) 那么平面坐标x 那么平面坐标x,y必是等量纬度q,经差l的函数,设其函数式为: 必是等量纬度q 经差l的函数,设其函数式为: X=X(l,q) Y=Y(l,q) 求微分, 的关系式: 求微分,得dx,dy与dq与dl的关系式: , 与 与 的关系式 x x dx = dq + dl q l y y dy = dq + dl q l 2 2 2 将上式代入 ds = dx + dy 并令: 并令: x 2 y ) + ( )2 q q x x y y F = ( )( ) + ( )( ) q l q l x y G = ( )2 + ( )2 l l E=( 可得: 可得: ds 2 = Edq 2 + 2 Fdqdl + Gdl 2 则,长度比公式为: 长度比公式为: ds 2 Edq 2 + 2 Fdqdl + Gdl 2 m = = 2 dS N 2 cos 2 B ( dq 2 + dl 2 ) 2 2,柯西-黎曼条件: 柯西-黎曼条件: 由图可知: 由图可知: PP MdB dq = tan(90 A) = 2 3 = P P3 N cos Bdl dl 1 0 MdB NcosBdl 即:dl = tan Adq, 则: E 得经线方向长度比: 当A=0°或180 °,得经线方向长度比: mL = ° N cos B G 得纬线方向长度比: 当A = 90°或270 °,得纬线方向长度比: mB = ° N cos B 正形投影长度比与方向A无关,要使m 正形投影长度比与方向A无关,要使m与A脱离关系,则必须满 脱离关系, 足F=0,E=G,即 F=0,E=G, F = x E = q : 1 2 2 x x y y + =0 q l q l y x y + = =G + q l l y y x q l = x l q 2 2 2 由 1 式可得: 式可得: 3 将 3 式代入 2 式可得: 式可得: x y + q q 2 2 y l = 2 x q 2 2 x 2 y 2 + q q 即为 : y x = l q 2 考虑到导数的方向( 随 ( )增加而增加, 考虑到导数的方向(x随q(或l)增加而增加 y随l(q)增加而增加(减少)),开根得: )), 随 ( )增加而增加(减少)) 开根得: x y = q l 再代入 3 式,得: x y = l q (-l,B) (X,-Y) P1 P2 (X,Y) (l,B) 由此可得椭球面到平面的正形投影的一般公式,又称柯西- 由此可得椭球面到平面的正形投影的一般公式,又称柯西- 黎曼条件: 黎曼条件: y x = q l x y = l q 满足该方程的函数可写成复变函数关系: 满足该方程的函数可写成复变函数关系: x + iy = f ( q + il ) Z = x + iy , Z = f (W ) W = q + il 当上式复变函数的一阶导数存在且不为零时,满足柯西- 当上式复变函数的一阶导数存在且不为零时 满足柯西-黎曼 满足柯西 条件. 条件. 其反函数也是复变函数,可以写成: 其反函数也是复变函数,可以写成: q + il = F ( x + iy ) W = F (Z ) 同理可得由平面正形投影到椭球面上的一般条件: 同理可得由平面正形投影到椭球面上的一般条件: 当F=0,E=G时长度比公式可化为: F=0,E=G时长度比公式可化为 时长度比公式可化为: 2 2 x y x y + + E q q G l l m 2 = 2 = 2 , 或m 2 = 2 = r r r r2 2 2 2,柯西-黎曼条件的几何意义 柯西- 如图:AB是同一子午线 L=常数 是同一子午线( 常数) 如图:AB是同一子午线(L=常数)上的微 分弧在平面上的投影,AC是同一平行圈上 分弧在平面上的投影,AC是同一平行圈上 B=常数 的微分弧在平面上的投影, 常数) (B=常数)的微分弧在平面上的投影, γ 点处子午线收敛角. 是A点处子午线收敛角. 点处子午线收敛角 ABB′与 ACC′相似 故有: 相似, △ABB′与△ACC′相似,故有: 由于正形投影的长度比m与方向无关,则有: 由于正形投影的长度比m与方向无关,则有: B A C 投影方程为 x = x ( L, B ) y = y ( L, B ) 对投影方程全微分有: 对投影方程全微分有: 对L=常数的子午微分弧的投影 对B=常数的平行圈微分弧的投影 那么 x y dB dL AB′ B AC ′ L = = = cos γ = AB mMdB AC mN cos BdL y x dB dL BB′ CC ′ B L sin γ = = = = AB mMdB AC mN cos BdL 由上式可得 : (式中负呈是因为随B增加而y减少) 式中负呈是因为随B增加而y减少) x x q x dq = = M x M y B q B q dB x = = MdB B N cos B q N cos B l dq = N cos B y y q y dq = = M y M x B q B q dB y = = MdB B N cos B q N cos B l dq = N cos B 则有柯西—黎曼条件: 则有柯西—黎曼条件: y x = l q x y = l q x y L cos γ = B = mM mN cos B y x L sin γ = B = mM mN cos B 还可得 : 进而可得子午线收敛角计算公式 : 长度比计算公式 : 四),高斯投影坐标的正反算公式 高斯投影必须满足的三个投影条件 高斯投影必须满足的三个投影条件 □中央子午线投影后为直线 □中央子午线投影后长度不变 正形投影条件, □正形投影条件,投影后角度不变 X为l的偶函数,y为l的奇函数,即当B= 的偶函数, 的奇函数,即当B 常数, 代换时, 值不变号, 常数,l以-l代换时,x值不变号,y值则变 其中l=L为中央子午线经度. 号,其中l=L-L0,L0为中央子午线经度. 1,高斯投影正算公式 椭球面到平面的投影方程可表示为 x=x(l,B), y=y(l,B) 将以上两式展开为经差l的级数形式: 将以上两式展开为经差l的级数形式: (-l,B) (X,-Y) P1 P2 (X,Y) (l,B) 式中: 是待定系数,都是纬度B 式中:m0,m1,m2,m3,…,是待定系数,都是纬度B的函 数.如确定了各系数,则X,Y与l,B的转换关系式便确定了. 如确定了各系数, 的转换关系式便确定了. 下面来求各系数: 下面来求各系数: 上两式对l,q求偏导数有: 上两式对l,q求偏导数有: 求偏导数有 x = 2m2l + 4m4l 3 + l x dm0 dm2 2 = + l + q dq dq dm y dm1 = l + 3 l3 + q dq dq y = m1 + 3m3l 2 + l 根据高斯投影的第三个条件: 根据高斯投影的第三个条件:正形投影条件 y x = q l x y = l q 即: 则: 可见,要求(x,y)与(l,q)的关系式,关键在于确定m0, l,q)的关系式,关键在于确定m 可见,要求(x,y) m1,, m3…,其中关键又在于确定m0. 其中关键又在于确定m 如图,当l=0,即点在中央子午线 如图, l=0, 上时, =X,其中 其中X 上时,有x=m0=X,其中X为从赤道 到纬度为B 到纬度为B处中央子午线上的子午 弧长.可以用弧长计算公式求得. 弧长.可以用弧长计算公式求得. 那么可求得m 那么可求得m0: l (x,y) , ) m0 = X 顾及子午弧长微分公式 则 dX = M dB 及 dB N cos B = dq M N cos B dm0 dm0 dB dX N cos B = = =M = N cos B dq dB dq dB M M 那么可求得m 那么可求得m1: dm0 c m1 = = N cos B = cos B dq V 可求得m 可求得m2: m2 = 1 dm1 1 dm1 dB 1 d c dB 1 = = = N sin B cos B cos B 2 dq 2 dB dq 2 dB V dq 2 仿此依次求得m 仿此依次求得m3,m4… 最后得高斯正算公式: 最后得高斯正算公式: 2,高斯投影正算公式的另一种推导方法 如图,P点在椭球面上可用向量 如图,P点在椭球面上可用向量q+il来 点在椭球面上可用向量q+il来 表示,在投影平面上可用向量x+iy来表 表示,在投影平面上可用向量x+iy来表 二者关系可用下列复变函数表示: 示,二者关系可用下列复变函数表示: l (x,y) , ) x + iy = f (q + il ) n 将上式在(q,0)处用级数展开有: 将上式在(q,0)处用级数展开有: d k f ( q ) (il ) k x + iy = f ( q ) + ∑ . k dq k! k =1 x y =0 = X = f (q) X = ∫ MdB 0 B 因此,高斯投影级数展开式可表示为: 因此,高斯投影级数展开式可表示为: d k X (il ) k x + iy = X + ∑ k . k! k =1 dq n 其各阶导数为: 其各阶导数为: dX = N cos B, dq d2X d dX dB = N sin B cos B = dq 2 dB dq dq d3X = N cos3 B(t 2 1 η 2 ) 3 dq d4X = N sin B cos3 B(5 t 2 + 9η 2 + 4η 4 ) 4 dq d5X = N cos5 B(5 18t 2 + t 4 + 14η 2 58t 2η 2 ) dq 5 d6X = N sin B cos5 B(61 + 58t 2 t 4 270η 2 + 330t 2η 2 ) 6 dq 将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯投影正算公式如下: 将导数代入展开式,虚实分开后,得到高斯投影正算公式如下: x= X + N N sin B cos Bl 2 + sin B cos 3 B ( 5 t 2 + 9η 2 + 4η 4) l 4 2 24 N + sin B cos 5 B ( 61 58 t 2 + t 4 ) l 6 720 N y = N cos Bl + cos 3 B (1 t 2 + η 2 ) l 3 6 N + cos 5 B ( 5 18 t 2 + t 4 + 14 η 2 58 t 2η 2 ) l 5 120 3,高斯反算公式: 高斯反算公式: 设从高斯平面投影到椭球面的投影方程为: 设从高斯平面投影到椭球面的投影方程为: B=φ1(x,y) B=φ l=φ2(x,y) l=φ 并满足如下条件: 并满足如下条件: 轴投影后为中央子午线, (1),x轴投影后为中央子午线,是投影 的对称轴 (2),x轴长度投影后不变 (3),正形投影 显然B 的偶函数, 的奇函数. 显然B是y的偶函数,l是y的奇函数.因而 投影方程可写成如下级数形式: 投影方程可写成如下级数形式: (-l,B) (X,-Y) P1 P2 (X,Y) (l,B) 式中:n 式中:n0,n1,n2,n3,…,是待定系数,都是x的函数. 是待定系数,都是x的函数. 若求出各系数,便可得到两种坐标的换算关系式, 若求出各系数,便可得到两种坐标的换算关系式,下面来 求各系数: 求各系数: B = 2n2 y + 4n4 y 3 + y l = n1 + 3n3 y 2 + y B dn0 dn2 2 dn4 4 = + y + y + x dx dx dx dn3 3 l dn1 = y+ y + x dx dx 由高斯平面投影到椭球面必须满足柯西 - 黎曼条件: q l l q = = x y x y 又: dq M = dB N cos B q q B M = = x B x N cos B q q B M = = y B y N cos B 可得: 可得: B l = x y B l = y x 因面得: 因面得: 令两边系数相等: 令两边系数相等: 可见要求得n 可见要求得n0,n1,n2,…,关键在于求n0. 关键在于求n 当y=0时,x=X,中央子午线上与弧长X y=0时 x=X,中央子午线上与弧长X 对应的纬度用B 表示, 对应的纬度用Bf表示,则 B= n0=Bf Bf称为底点纬度,可以用弧长X计算得到. 称为底点纬度,可以用弧长X计算得到. 那么n 那么n0为: 又因为 n0=Bf dX = M f dB f dn0 dB f 1 = = dx dx Mf 可得n 可得n1为: 依次求得其它各系数: 依次求得其它各系数: 将各系数代入级数式可得高斯反算公式: 将各系数代入级数式可得高斯反算公式: 4,高斯投影反算公式的另一种推导方法如图,P点在椭球面上可用向量 如图,P点在椭球面上可用向量q+il来 点在椭球面上可用向量q+il来 表示,在投影平面上可用向量x+iy来表 表示,在投影平面上可用向量x+iy来表 二者关系可用下列复变函数表示: 示,二者关系可用下列复变函数表示: q + il = F ( x + iy ) l (x,y) , ) 将上式在(x,0)处用级数展开有: 将上式在(x,0)处用级数展开有: d k F ( x ) (iy ) k q + il = F (x ) + ∑ dx k k! k =1 f n 当y=0时,l=0,x=X,ql=0=F(x)=F(X)=qf,中央子午线上与 y=0时 l=0,x=X, =F( =F( 弧长X对应的纬度为底点纬度B 那么上式可表示为: 弧长X对应的纬度为底点纬度Bf.那么上式可表示为: d k q (iy ) k q + il = q f + ∑ dX k k! k =1 f n 相应的各阶导数为: 相应的各阶导数为: dq =1 dX f dX dq 1 = = b1 f N f cos B f tf dB dq = = b2 2 dq dX f 2 N f cos B f 1 d 2q 1 d dq = 2 dX 2 f 2 dB dX 2t 2 + 1 + η 2 1 d 3q f = f3 = b3 3 6 dX f 6 N f cos B f t f 5 + 6t 2 + η 2 4η 4 1 d 4q f f f = = b4 4 4 24 dX f 24 N f cos B f ( ) 5 + 28t 2 + 24t 4 + 6η 2 + 8η 2 t 2 1 d 5q f f f f f = = b5 5 dX 5 120 120 N f cos B f f t f 61 + 180t 2 + 120t 4 + 46η 2 + 48η 2 t 2 1 d 6q f f f f f = = b6 6 6 720 dX f 720 N f cos B f ( ) 代入级数展开式,虚实分开得: 代入级数展开式,虚实分开得: 1 1 l= y (1 + 2t 2 + η 2 ) y 3 f f N f cos B f 6 N 3 cos B f f 1 + (5 + 28t 2 + 24t 4 + 6η 2 + 8η 2 t 2 ) y 5 f f f f f 120 N 5 cos B f f q = q q f = b2 y 2 + b4 y 4 b6 y 6 1 将大地纬度展开成等量纬度的级数式 n d k f (q ) q k d k B q k B = f (q ) = f (q f ) + ∑ dq k k! = B f + ∑ dq k k! k =1 k =1 q f q f n B = B B f = c1q + c2 q 2 + c3 q 3 2 其中: 其中: 1 dkB ck = k! dq k dB N cos B 2 2 c1 = = = V f cos B f = cos B f 1 + η f dq f M f 1 d 2B 1 c2 = 2 = t f cos 2 B f 1 4η 2 3η 4 f f 2 dq f 2 ( ) ( ) ) 1 d 3B 1 c2 = 3 = cos 3 B f 1 5η 2 + t 2 + 13η 2 t 2 7η 4 + 27η 4 t 2 f f f f f f f 6 dq f 6 ( 由 1 式,得: 2 q 2 = (q q f ) 2 = b2 y 4 2b2b4 y 6 3 q 3 = ( q q f ) 3 = b2 y 6 代入 2 式,得: 2 3 B B f = c1b2 y 2 + (c1b4 + c2b2 ) y 4 (c1b6 + 2c2b2b4 + c3b2 ) y 6 将各系数代入上式, 的反算公式: 将各系数代入上式,得纬度 B 的反算公式: B = Bf tf 2M f N f tf 720M f N 5 f y + 2 tf 24M f N 3 f (5 + 3t 2 + η 2 9η 2 t 2 ) y 4 f f f f (61 + 90t 2 + 45t 4 ) y 6 f f 5,高斯投影正反算公式的几何解释: 高斯投影正反算公式的几何解释: 1),正算:由于l不大,将正算公式写 ),正算:由于l不大, 正算 的级数形式: 成l的级数形式: 当l=0时,x=X,y=0,即位于P′处; l=0时 x=X,y=0,即位于 处 即位于P′ l≠0时 x≠X,其差为△ 当l≠0时, y≠0, x≠X,其差为△x, 即位于P 即位于P处. 正算是在中央子午线上P 点展开l的级数. 正算是在中央子午线上P点展开l的级数. 2),反算:由于y不大,将反算公式写 ),反算:由于y不大, 反算 成y的级数形式: 的级数形式: 当y=0时,l=0,x=X,B=Bf; y=0时 y≠0时 x≠X, 当y≠0时,x≠X,B≠Bf B=Bf-⊿B 反算是在中央子午线上P 点展开y的级数. 反算是在中央子午线上P点展开y的级数. 2),高斯正,反算特点: ),高斯正,反算特点: 高斯正 ①,当l=常数时,随差B的增加x值增大,y值 l=常数时 随差B的增加x值增大, 常数时, 减小; cos( =cosB,无论 值为正或负, 无论B 减小;因cos(-B)=cosB,无论B值为正或负, Y值不变. 值不变. 椭球面上除中央子午线外, 椭球面上除中央子午线外,其它子午线投影 均向中央子午线弯曲,并向两极收敛, 后,均向中央子午线弯曲,并向两极收敛,同 时还对称于中央子午线和赤道. 时还对称于中央子午线和赤道. B=常数时 随差l的增加, 值和y 常数时, ②,当B=常数时,随差l的增加,x值和y值都增 大. 椭球面上对称于赤道的纬圈, 椭球面上对称于赤道的纬圈,投影后仍成为 关于赤道对称的曲线, 关于赤道对称的曲线,同时与子午线的投影曲线 互相垂直,并凹向两极. 互相垂直,并凹向两极. 距中央子午线愈远的子午线, ③,距中央子午线愈远的子午线,投影后弯曲愈 厉害,长度变形也愈大. 厉害,长度变形也愈大. 五), 平面子午线收敛角的计算公式 1,用L,B计算 平面子午线收敛角的计算公式 , , 计算 如图,两曲线为子午线与平行圈在平面上的投影 为收敛角. 两曲线为子午线与平行圈在平面上的投影, 如图 两曲线为子午线与平行圈在平面上的投影 γ 为收敛角 x 子午线 平行圈 γ γ dy dx y o 沿平行圈纬度B不变, 求微分得: 沿平行圈纬度 不变,dq=0 ,求微分得: 不变 求微分得 dx = x dl , l dy = y dl l x dx tg γ = = l y dy l 对高斯正算公式 求微分得: 求微分得: 代入公式 x dx l = tgγ = dy y l 根据 可得: 可得: 进而可得: 进而可得: 1 根据三角学公式 可得 即 tan γ = x γ = arctan x = x x 3 + x 5 1 3 1 5 γ = tan γ tan 3 γ + tan 5 γ 1 3 1 5 将 1 式代入上式 ,经整理可得由大地坐标计算收敛的公式: 经整理可得由大地坐标计算收敛的公式: 可见: 可见: 2,用x,y计算收敛角γ x,y计算收敛角 计算收敛角γ 直接通过下式推导计算公式 . 将sinB在Bf处通过级数展开: sinB在 处通过级数展开: sin B = sin B f (B f B ) = sin B f cos B f (B f B )〃 = sin B f 1 cot B f ρ ′′ [ ] (B 〃 B) f + ′′ ρ 〃 1 (B f B ) = sin B 1 f tf ρ ′′ 由高斯反算公式得: 由高斯反算公式得: 取其主项: 取其主项: 又顾及到: 又顾及到: 得: 同理得: 同理得: 将以上两式代入: 将以上两式代入: 又由高斯反算公式知: 又由高斯反算公式知: 经整理,忽略y5以上项,则得到用平面坐标x,y计算子午线收 经整理,忽略y 以上项,则得到用平面坐标x 敛的公式: 敛的公式: γ= tf Nf y tf 3N 3 f (1 + t η 2η ) y + 2 2 f 4 f 3 tf 15 N 5 f (2 + 5t 2 f + 3t 4 y 5 f ) 六),方向改化公式: ),方向改化公式: 方向改化公式 方向改正数:大地线投影曲线和其弦线之夹角.即由"曲改 方向改正数:大地线投影曲线和其弦线之夹角.即由" 带来的改正数. 直"带来的改正数. 目的:将曲边三角形三内角化为直边三角形三内角. 目的:将曲边三角形三内角化为直边三角形三内角. 因每个角都要改正,所以工作量大,且又重要. 因每个角都要改正,所以工作量大,且又重要. 1,方向改化近似公式的推导 将椭球视为圆球, 将椭球视为圆球,大地线则是 大圆弧.AB为大地线 AD, 为大地线, 大圆弧.AB为大地线,AD, BE为大圆弧,与轴子午线正交. BE为大圆弧 与轴子午线正交. 为大圆弧, a,b点的方向改化分别为δab, 点的方向改化分别为δ δba,在大地线长度与y坐标不大 在大地线长度与y 时可认为δ 时可认为δab≈δba, 保角投影前后角度相同, 保角投影前后角度相同,即 360 + ε = 360 + δ ab + δ ba 其中ε为四边形ABED的球面角超 其中ε为四边形ABED的球面角超. 的球面角超. ε = δ ab + δ ba = 2δ ab = 2δ ba ε δ ab = δ ba = δ = 2 球面角超计算公式 ε ′′ = P ρ ′′ 2 R 其中P为球面四边形ABED的面 其中P为球面四边形ABED的面 是个球面直角梯形, 积,是个球面直角梯形,P可用 下式计算: 下式计算: AD + BE P= DE 2 在中央子轴午线上,投影后长度不变,有 在中央子轴午线上,投影后长度不变, DE = xd xe = xa xb 当横坐标y不大时,忽略长度变形, 当横坐标y不大时,忽略长度变形,可认为 AD ≈ ya BE ≈ yb 那么 ( y + yb ) AD + BE DE = (xa xb ) a 2 2 (y + y ) P ρ ′′ ε ′′ = 2 ρ ′′ = 2 ( xa xb ) a b R R 2 P= X a δab δba 则得方向改正δ的计算公式: 则得方向改正δ的计算公式: δ= ε ′′ 2 2R 1 y m = ( y a + yb ) 2 = ρ ′′ 2 ym ( xa xb ) c b Y 考虑到方向值是顺时针方向增加的,考虑其正负号后, 考虑到方向值是顺时针方向增加的,考虑其正负号后,使改 正数是加到观测值上方向改化公式可表示如下: 正数是加到观测值上方向改化公式可表示如下: 方向改化公式可表示如下 即 ym δ ik = 2 (xi xk ) 2 Rm 2,方向改化较精密公式(推导过程略) 方向改化较精密公式(推导过程略) 3,两点说明 ),方向改化校核 (1),方向改化校核 如图, 为平面上的方向观测值, 如图,Nab,Nac为平面上的方向观测值,a,b,c 为平面 三角形的三内角;Nab′,Nac′为椭球面上的方向观测值,A, 三角形的三内角; 为椭球面上的方向观测值, B,C为椭球面三角形三内角. 为椭球面三角形三内角. ′ ′ A = N ab N ac ′ ′ a = N ab N ac = N ab + δ ab ( N ac + δ ac ) ′ ′ = N ab N ac + (δ ab δ ac ) = A + a 可得 a = δ ab δ ac b = δ bc δ ba c = δ ca δ cb a + b + c = ε 可见,三个角度改正之和等于球面角超的相反数. 可见,三个角度改正之和等于球面角超的相反数. (2),方向改化需逐次趋近计算 ),方向改化需逐次趋近计算 方向改化需x,y,而精确计算 又需方向改化 而精确计算x,y又需方向改化. 方向改化需x,y,而精确计算x,y又需方向改化.因此先必须求出 x,y的近似值,再逐次趋近计算.对于一,二等三角平面坐标 x,y的近似值 再逐次趋近计算.对于一, 的近似值, 精度分别满足1m和10m就足够了 就足够了, 精度分别满足1m和10m就足够了,其它三角测量可不必进行 趋近计算. 趋近计算. 4,坐标方位角和大地方位角的关系式 x T12 = A12 γ 1 + δ 12 tgT12 y 2 y1 = x 2 x1 O γ T12 A12 P1 δ P2 y 长度比m 七),长度比m的计算公式: ),长度比 的计算公式: 1,用(L,B)计算 根据正形投影的长度比的基本公式 已知 对上式求偏导得: 对上式求偏导得: 将前面的偏导数代入长度比公式,化简并略去高次项得 将前面的偏导数代入长度比公式,化简并略去高次项得: l4 m 2 = 1 + l 2 cos 2 B(1 + η 2 ) + cos 4 B (2 t 2 ) 3 开方根得用大地坐标表示的长度比公式如下: 开方根得用大地坐标表示的长度比公式如下: l2 l4 m = 1 + cos 2 B (1 + η 2 ) + cos 4 B (5 4t 2 ) 2 24 2,用x,y计算 x,y计算 由高斯正算公式有: 由高斯正算公式有: 1 N 3 l2 3 2 2 y = Nl cos B + l cos (1 t + η ) = Nl cos B[1 + cos 2 B(1 t 2 + η 2 )] 6 6 则 y l2 y l2 2 2 2 1 l cos B = [1 + cos B(1 t + η )] = [1 cos 2 B(1 t 2 + η 2 )] N 6 N 6 代替可得: 因lcosB≈y/N,将上式右端中的 ,将上式右端中的lcosB用y/N代替可得: 用 代替可得 y 1 y2 l cos B = [1 (1 t 2 + η 2 )] N 6 N2 对上式求平方和四次方,得: 对上式求平方和四次方, y2 y4 l 2 cos 2 B = 2 (1 t 2 + η 2 ) N 3N 4 y4 l 4 cos 4 B = 4 N 代入用大地坐标表示的长度比公式 1 得: y2 y4 m = 1+ 1+η 2 + (1 4η 2 ) 2N 2 24 N 4 ( ) 2 顾及平均曲率半径R 顾及平均曲率半径Rm: N = 1+η 2 R m = MN M 1 V2 1 = 2 = 2 (1 + η 2 ) 2 Rm N N 4 Rm ≈ N 4 代入 2 式,得: y2 y4 m = 1+ 2 + 4 2 Rm 24 Rm 可见: 可见: 长度比只与点的位置( , ) ①,长度比只与点的位置(L,B)或(x,y)有关,与方向无 , )有关, 关. 在纵坐标轴( 长度比m=1, ②,在纵坐标轴(y=0)或中央子午线(l=0)上,长度比 )或中央子午线( ) 即中央子午线投影后长度不变. 即中央子午线投影后长度不变. 长度比是y坐标的偶函数 且只与y坐标有关 坐标的偶函数, 坐标有关. ③,长度比是 坐标的偶函数,且只与 坐标有关. ④,当y≠0(或l≠0)时,m>1,即除中央子午线外的点投影后都 ( ) > 即除中央子午线外的点投影后都 变长了. 变长了. 长度变形( 成比例地增大. ⑤,长度变形(m-1)与y2(或l2)成比例地增大. ) x 八),距离改化公式: 距离改化公式: 椭球面上的大地线投影到 高斯平面上后成为弧线, 高斯平面上后成为弧线,而在 平面上两点间只能用直线相连, 平面上两点间只能用直线相连, 两线的微分线段间的差异极小, 两线的微分线段间的差异极小, 可表示为: 可表示为: v dD = ds cos v = ds 1 2 D s s v2 1 ds = ∫ ds ∫0 dD = ∫0 2 0 2 P2 ds δ O dD P 1 ds v dD y ∫ s 0 v2 ds , 2 即: D = s δ s 其中: 其中: δs = ∫ s 0 2 v2 v max δ 2 ds ≤ s ≤ s 2 2 2 顾及投影后弧线与直线间的夹角最大不超过1〃 则有: 顾及投影后弧线与直线间的夹角最大不超过 〃,则有: 2 δs ν max 1 ≤ ≤ ≈ 1.2 × 10 11 2 2 s 2(206265) 目前,最高的距离测量精度约为10-8,弧线与直线的长度 目前,最高的距离测量精度约为 差异完全可以忽略,因此: 差异完全可以忽略,因此: dD = ds = mdS D = s = ∫ mdS 0 s ds为大地线在平面上的投影长微分,dD为其弦长微分 ds为大地线在平面上的投影长微分,dD为其弦长微分, 为其弦长微分, 为大地线在平面上的投影长微分 dS是投影前椭球面上的微分弧. dS是投影前椭球面上的微分弧 是投影前椭球面上的微分弧. 用辛卜生公式数值积分得: 用辛卜生公式数值积分得: D= S ( m1 + 4mM + m2 ) 6 将长度比公式 y2 y4 m =1+ 2 + 4 2Rm 24Rm D= S 1 1 2 2 4 4 6 + 2 y12 + 4 ym + y2 + ( y14 + 4 ym + y2 ) 4 6 2 Rm 24 Rm 代入上式, 代入上式,得: ( ) 2 4 ym ym y 2 D = S 1 + 2 + + 2 4 2R 24 Rm 24 Rm m 距离改化 可表示为: 距离改化S可表示为: 2 4 ym y 2 ym S = D S = S 2 + + 2 4 2R m 24 Rm 24 Rm 其中: 其中: y = y2 y1 , 1 ym = ( y1 + y1 ) 2 若距离的两端点离中央子午线都不超过45公里, 若距离的两端点离中央子午线都不超过 公里, 公里 则距离改化公式可进一步简化为: 则距离改化公式可进一步简化为: 2 ym S = D S = S 2 2 Rm 九),高斯投影的邻带坐标换算 ),高斯投影的邻带坐标换算 1,换带问题的产生: 换带问题的产生: ),控制网跨越两个投影带 如图, 控制网跨越两个投影带, (1),控制网跨越两个投影带,如图,要使能在同一带内进行 计算,必须将已知点A 的坐标换算到同一带内. 计算,必须将已知点A,B,C,D的坐标换算到同一带内. (2),采用3带,1.5带或任意带时,因为国家控制点通常只 ),采用 采用3 1.5带或任意带时, 带坐标,有时要将6 带坐标转换为3 带坐标. 有6带坐标,有时要将60带坐标转换为30带坐标. ),在分界子午线附近工作 有时需利用另一带的控制点, 在分界子午线附近工作, (3),在分界子午线附近工作,有时需利用另一带的控制点, 重叠区的控制点需有相邻两带的坐标. 重叠区的控制点需有相邻两带的坐标. 2,邻带坐标换算概念 已知P点在西带的坐标P(x,y) 求其在东带坐标P(x,y) 已知P点在西带的坐标P(x,y)Ⅰ,求其在东带坐标P(x,y)Ⅱ; 或已知其东带坐标P(x,y) 求其在西带的坐标P(x,y) 或已知其东带坐标P(x,y)Ⅱ,求其在西带的坐标P(x,y) Ⅰ. L0 L0 3,邻带坐标换算方法与步骤 利用高斯投影的正反算公式,可以进行不同投影带坐标 利用高斯投影的正反算公式, 的换带计算.其计算步骤如下(以将西带坐标换算到东带 的换带计算.其计算步骤如下( 坐标为例): 坐标为例): 1). 根据(西带)高斯投影坐标 xⅠ, yⅠ,反算得P点的纬度B和 根据(西带) 反算得P点的纬度 纬度B 其在(西带)的经度差lⅠ; 其在(西带) 经度差l 2). 由(西带)中央子午线的经度L0, 求得P点经度 L = L0 + lⅠ ; 西带)中央子午线的经度L 求得P 3). 根据换带后的(东带)中央子午线经度L0′ ,计算P点相应 根据换带后的(东带)中央子午线经度L 计算P (东带)的经差lⅡ= L- L0′ ; 东带)的经差l 4). 由高斯投影正算,求得P点在(东带)的高斯投影坐标 xⅡ, 由高斯投影正算,求得P点在(东带) yⅡ . 4,6带坐标与3带坐标的转换 带坐标与3 1). 根据 0带高斯投影坐标 xⅠ, yⅠ,反算得 点纬度 和其在 根据6 反算得P点纬度B和 60带内的经度差 Ⅰ; 带内的经度差 经度差l 2). 由60带中央子午线的经度 0, 求得 点经度 L = L0 + lⅠ ; 中央子午线的经度L 求得P点 3). 根据相应 带的中央子午线经度 0′ ,计算 点在 0带内 根据相应 相应3带的中央子午线经度L 计算P点在 点在3 相应的经差l 相应的经差lⅡ= L- L0′ ; 4). 由高斯投影正算公式,求得 点在 0带内的高斯投影坐标 由高斯投影正算公式 求得P点在 带内的高斯投影坐标 公式, 点在3 xⅡ,yⅡ. 十),通用横轴墨卡托投影(学生自学) ),通用横轴墨卡托投影(学生自学) 通用横轴墨卡托投影 1, 墨卡托投影 墨卡托投影为等角割圆柱投 影,圆柱与椭球面相割于±B0的两 圆柱与椭球面相割于± 条纬线,投影后不变形. 条纬线,投影后不变形. 特性: 特性:等角航线在投影平面上为 直线.因此, 直线.因此,该投影便于在航海 中应用. 中应用. 2,通用横轴墨卡托投影 简称为 (1) , 简称为UTM,与高斯投影相比,仅仅是中央子 ) ,与高斯投影相比, 午线的尺度比为0.9996,其投影公式如下: ,其投影公式如下: 午线的尺度比为 1 1 X + Nt cos 2 B l 2 + Nt 5 t 2 + 9η 2 + 4η 4 cos 4 B l 4 2 24 x = 0.9996 1 + Nt 61 58t 2 + t 4 + 270η 2 330η 2t 2 cos 6 Bl 6 720 1 N cos B l + N 1 t 2 + η 2 cos 3 B l 3 6 y = 0.9996 1 + N 5 18t 2 + t 4 + 14η 2 58η 2t 2 cos 5 Bl 5 120 ( ) ( ) ( ) ( ) (2),长度比和子午线收敛角计算公式. ),长度比和子午线收敛角计算公式 长度比和子午线收敛角计算公式. l2 l4 2 2 4 2 m = 0.9996 1 + cos B 1 + η + cos B 5 4t 2 24 l3 γ = l sin B + sin B cos 2 B 1 + 3η 2 + 2η 4 3 ( ) ( ) ( ) (3),通用横轴墨卡托投影的反算步骤: ),通用横轴墨卡托投影的反算步骤 通用横轴墨卡托投影的反算步骤: 1. 先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标; 先由通用横轴墨卡托投影坐标计算高斯投影坐标; x高 = x墨 0.9996, y高 = y墨 0.9996 2. 再利用高斯投影反算公式,计算大地纬度和经度. 再利用高斯投影反算公式,计算大地纬度和经度. 第五章 大地测量的基本技术与方法 一,国家平面大地控制网建立的基本原理 (一),建立国家平面控制网的基本方法 ),建立国家平面控制网的基本方法 1 .1,常规大地测量法 .1, 1,三角测量法:测角网,测边网,边角网 三角测量法:测角网,测边网, 测角网: 测定三个内角,推算控制点坐标.需要一个起始点坐标, 测角网: 测定三个内角,推算控制点坐标.需要一个起始点坐标,一个起始 边长,一个起始方位角或已知两点以上的坐标.对网形有要求, 边长,一个起始方位角或已知两点以上的坐标.对网形有要求,如三角形内 角在30° 角在 °~ 150°之间. °之间. 测边网:测定网的所有边长,推算控制点坐标.需要一个其始点坐标和起始 测边网:测定网的所有边长,推算控制点坐标. 方位角或已知两点以上的坐标.对网形有要求, 方位角或已知两点以上的坐标.对网形有要求,如三边网构成的三角形内角 在30°~ 150°之间. ° °之间. 边角网:测定网的所有边长和角度,或部分边长与角度,推算控制点坐标. 边角网:测定网的所有边长和角度,或部分边长与角度,推算控制点坐标. 需要一个其始点坐标和起始方位角或已知两点以上的坐标. 需要一个其始点坐标和起始方位角或已知两点以上的坐标.对网形没有要 求,但短边优先 1),网形: ),网形: 网形 大地四边形,中点多边形,三角锁及其组合网形. 大地四边形,中点多边形,三角锁及其组合网形. 中点多边形 大地四边形 三角锁 2),坐标计算原理 ),坐标计算原理 利用已知起算点坐标(x 已知方位角, 利用已知起算点坐标(x0,y0),已知方位角,已知边长和观 测元素(角度,边长)的平差值,推算各边边长及方位角, 测元素(角度,边长)的平差值,推算各边边长及方位角,然 后计算坐标. 后计算坐标. 3),三角网的元素: ),三角网的元素 三角网的元素: 起算元素:已知坐标,边长, ①,起算元素:已知坐标,边长,方位角 观测元素: ②,观测元素: 测角网:所有观测的方向(角度) 测角网:所有观测的方向(角度) 测边网: 测边网:所有观测的边长 边角网:所有观测的角度和边长 边角网: 推算元素: ③,推算元素:利用已知元素和观测元素推的边 方位角,坐标. 长,方位角,坐标. ),优缺点 优缺点: 4),优缺点: 优点:图形简单,结构强,几何条件多,便于检核,精度高. 优点:图形简单,结构强,几何条件多,便于检核,精度高. 缺点:易受外界影响,布设困难,费用相对较高,推算边离起 缺点:易受外界影响,布设困难,费用相对较高, 算边越远精度越低 2,导线测量:单导线,结点导线,导线网 导线测量:单导线,结点导线, 导线网的形状由多边形组成,测定网的所有边长和角度. 导线网的形状由多边形组成,测定网的所有边长和角度.需要一个其始点 坐标和起始方位角或已知两点以上的坐标.对网形没有要求, 坐标和起始方位角或已知两点以上的坐标.对网形没有要求,但短边优先 联测. 联测. A B F C D E G 1),导线的元素 ),导线的元素 起算元素:已知点坐标(x 起算元素:已知点坐标(x0,y0),已知方位角 观测元素: 观测元素:边长及角度 推算元素: 推算元素:方位角及坐标 2),坐标计算原理 ),坐标计算原理 根据起算元素(已知点坐标(x 已知方位角)及观测元素( 根据起算元素(已知点坐标(x0,y0),已知方位角)及观测元素(边长及角 的平差值,推算各导线边的方位角及各导线点的坐标. 度)的平差值,推算各导线边的方位角及各导线点的坐标. 2,导线网的优缺点: 导线网的优缺点: 优点:布设灵活,受外界条件影响小,观测量少,费用相对较少, 优点:布设灵活,受外界条件影响小,观测量少,费用相对较少,边长精 度均匀. 度均匀. 缺点:结构简单,检核条件少,可靠性不高, 缺点:结构简单,检核条件少,可靠性不高,控制面积不大 1.2 ,天文测量法 1,通过对天体(恒星)的观测,测定地面点的位置(天文 通过对天体(恒星)的观测,测定地面点的位置( 经度,天文纬度,天文方位角),进一步计算大地经度, ),进一步计算大地经度 经度,天文纬度,天文方位角),进一步计算大地经度,大 地纬度,大地方位角. 地纬度,大地方位角. 2,简单,误差不会累积,定位精度不高,不是大地测量的 简单,误差不会累积,定位精度不高, 主要方法,但需每隔一定距离测一点的天文经度, 主要方法,但需每隔一定距离测一点的天文经度,天文纬度 至另一点天文方位角,用来控制水平角测量误差的累积. ,至另一点天文方位角,用来控制水平角测量误差的累积. 1.3,现代定位新技术 1.3, 1,GPS测量:已普遍应用 GPS测量 测量: GPS控制网的形状由多边形组成,测定网中所有的 控制网的形状由多边形组成 控制网的形状由多边形组成,测定网中所有的GPS基线向 基线向 量.至少需要一个起始点的三维空间坐标和起始方位角或已知 两点以上的坐标(其中1点为三维空间坐标).对网形没有要 点为三维空间坐标). 两点以上的坐标(其中 点为三维空间坐标).对网形没有要 但短边优先联测. 求,但短边优先联测. 2,甚长基线干涉测量(VLBI) 甚长基线干涉测量(VLBI) 3,惯性测量 上海港GPS扩展网网图 扩展网网图 上海港 (二),建立国家平面大地控制网的基本原则 ),建立国家平面大地控制网的基本原则 1,大地控制网应从高到低,分级布设,逐级控制三角网:分 大地控制网应从高到低,分级布设,逐级控制三角网: 四级, 一,二,三,四级,低一级三角网是在上一级的基础上加密 而成. 而成. GPS网 GPS网:分A,B,C,D,E五级,其中B,C,D,E相 五级,其中B 当于常规大地测量的一,二,三,四级. 当于常规大地测量的一, 四级. 2,大地控制网应有足够的精度. 大地控制网应有足够的精度. 国家三角网的精度,应能满足大比例尺测图的要求. 国家三角网的精度,应能满足大比例尺测图的要求.在测图 于起算三角点的点位误差, 中,要求首级图根点相对 于起算三角点的点位误差,在图上应 不超过± 不超过±0.1mm,相对于地面点的点位误差则不超过 , 为测图比例尺分母). ±0.1Nmm(N为测图比例尺分母 . 为测图比例尺分母 为使国家三角点的误差对图点的影响可以忽略不计, 为使国家三角点的误差对图点的影响可以忽略不计,应使 相邻国家三角点的点位误差小于(1/3) ×0.1Nmm. 相邻国家三角点的点位误差小于 . GPS测量中,相邻点间弦长精度计算式为: GPS测量中,相邻点间弦长精度计算式为: 测量中 其中:σ—标准差, ㎜;a—固定误差,㎜;b—比例误差系数,ppm; 标准差, 固定误差, 比例误差系数, 其中: d—相邻点间距离,km. 相邻点间距离,km. 3. 大地控制网应有一定的密度 国家三角网是测图的基本控制,故其密度应满足测图的要求. 国家三角网是测图的基本控制,故其密度应满足测图的要求. 三角点的密度, 幅图中包含有多少个控制点. 三角点的密度,是指每 幅图中包含有多少个控制点. GPS网点的密度要求: GPS网点的密度要求: 网点的密度要求 4,大地控制网应有统一的技术规格和要求 , 按照国家制定的相关《测量规范》进行作业. 按照国家制定的相关《测量规范》进行作业. (三),国家平面大地控制网的布设方案 ),国家平面大地控制网的布设方案 1,常规大地测量方法布设国家三角网 1),一等三角锁系布设方案 ),一等三角锁系布设方案 基本上是沿经纬线方向构成纵横交叉网状, 基本上是沿经纬线方向构成纵横交叉网状,采用三角锁 (大地四边形或中点多边形),锁段长一般为200km . 大地四边形或中点多边形),锁段长一般为 ),锁段长一般为200km 平均边长山区一般为25km,平原一般为20km, 平均边长山区一般为25km,平原一般为20km,测角中 误差应 误差应 30°.起始边相对中误差优于1:35万. 30° 起始边相对中误差优于1 35万 2),二等三角锁,网布设方案 ),二等三角锁, 二等三角锁 在一等三角锁环内先布设纵横交叉二等基本锁, 在一等三角锁环内先布设纵横交叉二等基本锁,然后在每部分 中布设二等补充网,或直接在一等锁环内布满二等网. 中布设二等补充网,或直接在一等锁环内布满二等网. 二等基本网平均边长为15～20km,测角中误差应 下载本文档需要登录，并付出相应积分。如何获取积分?


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