单位体积的形变势能（形变势能密度):假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的内力势能，又称为形变势

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　　第五章/第四节 弹性体的形变势能　外力势能上一节 下一节 返回目录


内容简介　　学习目标　　重点难点　　本节概述　　思考题　　选择习题

　

　　本节概述

　　变分法，是研究泛函及其极值的求解方法。

　　泛函─是以函数为自变量（宗量）的一种函数。

　　弹性力学变分法，又称为能量法。因其中的泛函就是弹性体的能量。

　　弹性力学变分法，是区别于微分方程边值问题的另一种独立解法。其中分为：

　　位移变分法─取位移函数为自变量，并以势能极小值条件导出变分方程。

　　应力变分法─取应力函数为自变量，并以余能极小值条件导出变分方程。

　　本章只介绍位移变分法。



　　1.弹性体上的外力功和外力势能

　　外力功：


　



　　外力势能─外力做了功，必然消耗了相同值的势能。当取u = v = 0时的外力功和能为零，则：


　



　　2.应力的功和形变势能（内力势能）

　　（1）作用于微小单元上的应力，是邻近部分物体对它的作用力，可看成是作用于微小单元上的“外力”。

　　（2）∵应力和应变均从0增长到σ、ε，故单位体积上，应力所做的功是



　非线性σ～ε关系─



　　　 　　　线性σ～ε关系─










　









　　（3）对于平面应力问题(σz= τzx = τzy = 0)或平面应变问题(εz = γzx = γzy =0)，单元体积上应力所做的

功都是





　　（4）假设没有转化为非机械能和动能，则应力所做的功全部转化为弹性体的内力势能，又称为形变势

能，或应变能，存贮于物体内部。

　　　　U1─单位体积的形变势能（形变势能密度）。

　　（5）整个弹性体的形变势能是


　



　　（6）将物理方程代入，平面应力问题的形变势能密度U1，可用形变表示为


　



　　再将几何方程代入，U1可用位移表示为


　



　　对于平面应变问题， 将


　



　　3.形变势能 U 的性质

　　（1）U是应变或位移的二次泛函，故不能应用叠加原理。

　　（2）应变或位移发生时，U 总是正的，即U ≥ 0

　　（3）U1的大小与受力次序无关。

　　（4）对应变的导数，等于对应的应力：


　



　　4.弹性体的总势能，是外力势能和内力（形变）势能之和，

　　　EP = U+V 　　 　 （h）