康托尔：良序定理（每一集合都能被良序）,函数,良序,规则，线性，保守场

高阶管低阶，性管量，托扑,流形

[DOC] 第二章集合与函数文件格式: Microsoft Word - HTML 版
集合是数学中的一个基本概念，是一个重要的概念，由此而导出的集合论是十九 ... 看作一个整体时，我们把这个整体称为一个集合，其中每个个体事物叫做该集合的 .... 是无限 集；如果一个无限集中的元素可以按某种规律排成一个序列，或者说，这个集合可表示为： ... 显然，要证明一个无限集是可列集，关键在于设计出一种排列的规则，使集合中 ...
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2007-04-22 09:26:28 来自: Drift(敛尽尘嚣，遮我半世流离)
主讲：王宇光(上海交通大学电子工程硕士，华师大哲学博士三年级，师从陈嘉映教授, 目前研究方向是数学哲学）

时间：2007年4月25日周三19:00
地点：人文楼212

大纲：康托尔说他的超限数理论证明了实无限的存在。他也用对角线方法“证明”了实数的数目大于自然数的数目——也就是说，无限可以比较大小。对于这样一个“数学成果”，哲学家维特根斯坦表示质疑。康托尔如何证明的？维特根斯坦如何质疑的？哲学家又能对数学家说些什么？

. 2007-04-22 14:06:14 Drift (敛尽尘嚣，遮我半世流离) 康托尔（Georg Cantor，1845-1918，德）

德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡（今苏联列宁格勒），1918年1月6日病逝于哈雷。其父为迁居俄国的丹麦商人。康托尔11岁时移居德国,在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学,翌年转入柏林大学,主修数学，从学于E.E.库默尔、K.（T.W.）外尔斯特拉斯和L.克罗内克。1866年曾去格丁根学习一学期。1867年在库默尔指导下以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后即在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。

大学期间康托尔主修数论，但受外尔斯特拉斯的影响,对数学推导的严格性和数学分析感兴趣。哈雷大学教授H.E.海涅鼓励他研究函数论。他于1870、1871、1872年发表三篇关于三角级数的论文。在1872年的论文中提出了以基本序列（即柯西序列）定义无理数的实数理论，并初步提出以高阶导出集的性质作为对无穷集合的分类准则。函数论研究引起他进一步探索无穷集和超穷序数的兴趣和要求。

1872年康托尔在瑞士结识了J.W.R.戴德金，此后时常往来并通信讨论。1873年他估计，虽然全体正有理数可以和正整数建立一一对应，但全体正实数似乎不能。他在1874年的论文《关于一切实代数数的一个性质》中证明了他的估计，并且指出一切实代数数和正整数可以建立一一对应，这就证明了超越数是存在的而且有无穷多。在这篇论文中，他用一一对应关系作为对无穷集合分类的准则。

在整数和实数两个不同的无穷集合之外，是否还有更大的无穷?从1874年初起,康托尔开始考虑面上的点集和线上的点集有无一一对应。经过三年多的探索，1877

说，“我见到了，但我不相信。”这似乎抹煞了维数的区别。论文于1878年发表后引起了很大的怀疑。P.D.G.杜布瓦－雷蒙和克罗内克都反对，而戴德金早在1877年7月就看到,不同维数空间的点可以建立不连续的一一对应关系，而不能有连续的一一对应。此问题直到1910年才由L.E.J.布劳威尔给出证明。

康托尔在1878年这篇论文里已明确提出“势”的概念(又称为基数)并且用“与自身的真子集有一一对应”作为无穷集的特征。

康托尔认为，建立集合论重要的是把数的概念从有穷数扩充到无穷数。他在1879～1884年发表的题为《关于无穷线性点集》论文6篇，其中5篇的内容大部分为点集论，而第5篇很长，此篇论述序关系，提出了良序集、序数及数类的概念。他定义了一个比一个大的超穷序数和超穷基数的无穷序列，并对无穷问题作了不少的哲学讨论。在此文中他还提出了良序定理（每一集合都能被良序），但未给出证明。

在1891年发表的《集合论的一个根本问题》里，他证明了一集合的幂集的基数较原集合的基数大，由此可知，没有包含一切集合的集合。他在1878年论文中曾将连续统假设作为一个估计提出，其后在1883年论文里说即将有一严格证明，但他始终未能给出。

19世纪70年代许多数学家只承认，有穷事物的发展过程是无穷尽的，无穷只是潜在的，是就发展说的。他们不承认已经完成的、客观存在着的无穷整体，例如集合论里的各种超穷集合。康托尔集合论肯定了作为完成整体的实无穷，从而遭到了一些数学家和哲学家的批评

与攻击，特别是克罗内克。康托尔曾在1883年的论文和以后的哲学论文里对于无穷问题作了详尽的讨论。另一方面，康托尔创建集合论的工作开始时就得到戴德金、外尔斯特拉斯和D.希尔伯特的鼓励和赞扬。20世纪以来集合论不断发展，已成为数学的基础理论。

他的著作有：《G.康托尔全集》1卷及《康托尔-戴德金通信集》等。

康托尔是德国数学家，集合论的创始者。1845年3月3日生于圣彼得堡，1918年1月6日病逝于哈雷。

康托尔11岁时移居德国，在德国读中学。1862年17岁时入瑞士苏黎世大学，翌年入柏林大学，主修数学，1866年曾去格丁根学习一学期。1867年以数论方面的论文获博士学位。1869年在哈雷大学通过讲师资格考试，后在该大学任讲师，1872年任副教授，1879年任教授。

集合论是现代数学的基础，康托尔在研究函数论时产生了探索无穷集和超穷数的兴趣。康托尔肯定了无穷数的存在，并对无穷问题进行了哲学的讨论，最终建立了较完善的集合理论，为现代数学的发展打下了坚实的基础。

> 删除 .2007-10-16 01:21:07 一谬 有兴趣。不知哪位能提供一下这个讲座的摘要？
> 删除 .2008-12-09 16:11:06 dkctsang 康托尔无限集大小的理论成立?

德国数学家集合论的创立者康托尔引入一一对应来比较无限集的大小和提出連續統假設CH的一套理论,引起争论.后人引入公理系统ZFC,庫爾特•哥德尔在1940年用内模型法证明了连续统假设与ZFC的相对协调性，保羅•柯恩在1963年用力迫法证明了连续统假设不能由ZFC推导。也就是说连续统假设成立与否无法由ZFC确定。此外是否可能同時並存着兩種集合論:CH成立的和CH不成立的集合論 ? 这已够多争论了.

本文提出康托尔用基數比较无限集大小的理论是否成立? 争论又多了.

通常实变函数论的书(例如,那汤松著,高等教育出版社出版等)常一开始就引入一一对应来比较无限集的大小,自然數集N的基數(或势),A与实数集R的基數C,并导出实数集的基數C大于自然數集的基數A,即 C > A.

自然數集是可以排列(简称可列)的,实数集是不可列的.自然數集与实数集是不同级别的无限集.
为了比较无限集的级别,许多书和文章中基數常用的符号是希伯来文第一字母阿列夫(aleph ℵ)ℵ。,ℵ₁,ℵ₂,….但在网页上常显示不清晰.本文改为英文字母, 较为方便看清楚.

通常实变函数论的书多证明了:
(1) 可列个可列集的和集是可列集(基數为A).
(2) n维空间的点集Rⁿ的基數与实数集的基數C相等.
(3) 自然数列{(mi₁,mi₂,mi₃,…,mij,…),其中mij,i,j分别取自然数}的全体组成的集Q的基數B与实数集的基數C相等.即B = C.

定理1 自然数列的全体组成的集Q,Q的基數B等于自然数集N的基數A. 即B = A.

证明 :
Q₁= U {(mi₁,mi₂,mi₃,…,min,…)},对mi₁取自然数求和,则Q₁为可列集.
Q₂= U {(mi₁,mi₂,mi₃,…,min,…)},对mi₂取自然数求和,则Q₂为可列集.
Q₃= U {(mi₁,mi₂,mi₃,…,min,…)},对mi₃取自然数求和,则Q₃为可列集.
…
Qn = U {(mi₁,mi₂,mi₃,…,min,…)}, 对min 取自然数求和,则Qn为可列集.
…
Q = U Qn, 对n 取自然数求和,则Q为可列集.
所以Q的基數B等于自然数集N的基數A.

自然数集的一切子组成的集称为自然数集的幂集P(N).
定理1的特例: 自然数集的幂集P(N)的基數B等于自然数集的基數A.即 B = A.

结论: 康托尔无限集大小的理论是乎不成立了.

(1) 实数集R的基數C等于自然数集N的基數A.即 C (= B) = A.
从而否定康托尔引入基數(势)来比较无限集大小的理论,使它无不同无限集可比较大小..
(2) 自然数集的幂集P(N)的基數B等于自然数集的基數A.即B = A,
从而否定康托尔連續統假設(即B = C) (仅当C > A为真时).

那么,大于自然数集N的基數,A的无限集存在何处?
望批评,指点错误!

DkcTsang

> 删除 . 2008-12-09 19:32:13 霜晚 (秋阴不散霜飞晚，留得枯荷听雨声) 完全歪曲了连续假设，那只是假定x0与x1之间没有别的比如x(1/2)。然后数学家巧妙地证明了，不可能证明或证伪是否存在x(?)在x0和x1之间。
> 删除 . 2008-12-09 19:45:29 霜晚 (秋阴不散霜飞晚，留得枯荷听雨声) 我觉得维根斯坦只是质疑康托对无穷的解释，是的，“解释”永远属于哲学，而数学尤其是形式主义者不需要任何解释。试图从数学上否定无限集的势没有意义（形式主义者认为基数和势是一个良好规则下人为定义的一种对集合的划分）。关键在于，数学上的无穷与物理哲学神学上的无穷不是一个概念，可是人们总把它们等同，无怪乎哲学家会感到那么不舒服。
> 删除 . 2008-12-09 19:56:09 霜晚 (秋阴不散霜飞晚，留得枯荷听雨声) 补充并指出楼上某人的错误：集A的幂集P(A)表示A所有子集的集合。若A的基数为a,则P(A)的基数b=2^a。

注意x^c和c^x完全不同，可数无穷x0的指数2^x0=不可数无穷x1。某人以为b=a^2 当然错拉～
> 删除 . 2009-08-25 18:13:52 oz. 突然发现，王大师讲过这问题
> 删除 . 2010-08-19 01:51:46 lv 我也发现了
> 删除 .
> 我来回应
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