同胚当且仅当亏格相等 我们知道结构是由关系形成的，拓扑结构注重的是于空间中的点之间如何“连”在一起的关系。

既然是数学结构，当然也讲同构。拓扑空间之间的同构叫做“同胚”，也许翻译者的意思是“一个胚子里做出来的”，但是千万不要字面上这么理解了。粗略地直观地说，两个空间图形是同胚的，如果其中一个可以连续地变换到另一个上去，这里的连续是说“不撕裂，不粘贴”。比如在橡皮膜上画一个圆，我们可以把橡皮膜尽力往四边一拉，这个圆就会被扯大；如果有些地方拉得重，有些地方拉得轻，圆会变形；如果拉得方式巧妙，这圆甚至可以被拉出棱角来，可以变成一个长方形或者一个三角形。但是你不能把橡皮膜给撕裂，把圆周扯裂了，变成了一条不封闭的线；也不能拿点浆糊把圆周上某两个点粘成同一个点，让圆周变成8字形。拓扑学可以看作是研究空间图形在连续的变换下还能保持不变的性质的学科。

对于某一大类曲面（按行话说是“无边的，紧的，有向的2维曲面”，具体不解释意义了，其中包含球面和轮胎面），要知道其中两个曲面是不是同一种，我们只要数数它上面有多少个洞就可以了，比如球面没有洞，轮胎面有一个洞，而眼镜架的表面则有两个洞……洞的个数一样，那么它们就同胚，个数不一样，它们就不同胚。于是茶杯面有一个洞，它就和轮胎面同胚。洞的个数行话叫“亏格”，不要问我为什么取这名字，我也不知道。我们看到亏格就是刻画这一大类曲面的工具。不仅如此，亏格完美地在刻画了这个大类的曲面：本来想知道两个曲面是否同胚，我们得按照同胚的定义，找到一个一一对应，证明这个一一对应还保持拓扑结构等，麻烦得要死，现在好了，数数有几个洞，两个曲面同胚当且仅当亏格相等。而亏格是一个整数，在这里，我们看到了一个用整数来刻画某一大类曲面的方法。