物理好图：傅立叶变换 用具有不同频率的相位复数矢量来贴合这个函数，这样所获得的是一个以频率为变量的新的复数函数 (图)

http://www.tuc.nrao.edu/~jcheng/magweb/forum/xxian/xx2.htm 第二章　两种传递函数的定义 2.1　傅立叶变换 在简单的函数的求解中，主要是应用代数的方法。在线性系统的问题中，它的求解主要依靠线性变换的方法。通过线性变换将复杂的数学和物理问题转换成可以求解的形式来加以解决。而傅立叶变换和拉普拉斯变换正是两种最主要的求解线性系统问题的线性变换方法。 这两种线性变换中，傅立叶变换由于它的应用范围的广泛，又显得特别的重要。和其它数学变换形式相似，傅立叶变换是数学上的一种泛函函数。但是傅立叶变换在很多物理领域也同时具有非常确定的物理意义，其中光，声，电和振动的各种波动形式以及它们的频谱都可以直接用仪器来显示出来。 从广义上讲一个复数函数的傅立叶变换就是用具有不同频率的相位复数矢量来贴合这个函数，这样所获得的是一个以频率为变量的新的复数函数。在数学上的傅立叶变换的定义为： (2.1) 这里 表示在时间或空间域内的函数， 是频率域内的函数，它又被称为原有的 函数的频谱。注意在 时，由于在积分符号中指数值为０的指数函数的值等于１，所以函数的傅立叶变换在 处的值就等于这个函数在整个时间或空间域内所包围的面积的值。函数的傅立叶变换的反变换就是原函数自身，用公式表示为： (2.2) 实际上这两个公式具有互通性。在傅立叶变换中另一个重要的特性是两个函数的卷积以后的傅立叶变换等于这两个函数自身的傅立叶变换之间的乘积。对于一个线性系统，输出量和输入量关系可以用输入量函数和一个与系统特性相关的函数的卷积来表示，如果把这三个函数都进行傅立叶变换，那么输出量的频谱就可以表示为输入量频谱和另一个频谱函数的积的形式： (2.3) 这个和系统特性相关的频谱就是我们后面要介绍的一种系统传递函数。一般来说，实数或者虚数函数的傅立叶变换并不一定还是实数或者虚数函数。但是如果一个实数函数同时是一个偶函数，那么它的傅立叶变换就一定是一个实数偶函数。如果一个复数函数，它的实数部分是一个偶函数，而它的虚数部分是一个奇函数，那么它的傅立叶变换就一定是一个实数函数，它没有任何虚数部分。厄密函数就是这样的复数函数，它的实数部分是一个偶函数，而它的虚数部分是一个奇函数，所以厄密函数的傅立叶变换一定是一个实数函数。当函数表现成在时间或空间域内的离散系列的时候，相应的傅立叶变换的定义为： (2.4) 由于在傅立叶变换的定义中应用了一个和相位复数矢量形式相似的表达式，所以傅立叶变换的定义是一个难于理解的概念。为了容易地理解傅立叶变换的概念，可以将傅立叶变换分解成正弦变换和余弦变换之和的形式。函数的余弦变换是在频率为正值的半个数轴上定义的，它的表达式为： s>0 (2.5) 函数的反余弦变换具有完全相同的函数形式： x>0 (2.6) 应用同样的方法可以定义函数的正弦变换，它的表达式为： s>0 (2.7) 函数的反正弦变换具有完全相同的函数形式： x>0 (2.8) 有了函数的余弦变换和正弦变换，就可以定义在时间空间域内的非负值数轴上所定义的函数的傅立叶变换，它的表达式为： (2.9) 这里H(x)是单位步进函数。同样地在正半数轴上的函数的余弦变换和正弦变换的表达式为： (2.10) 有了正余弦变换的公式，就可以更直观地理解如何来求一个函数的傅立叶变换的方法。这个方法的具体步骤是：如果有一个函数 ，然后根据不同频率 的大小，作出的一个个 图象，这个图象在x轴上方所形成的面积是正面积，在x轴下方所形成的面积是负面积。这两个部分面积的代数和就是在函数的余弦变换在频率 的这个点上的数值。比如在图中(a) 代表这个原函数 ，(b) 是当 时 的形状，这时它的总面积很小，几乎是零，所以在这个频率上它的余弦变换后的数值就很小。(c) 是 时 的图象，这时它的总面积就较大，所以在这个频率的地方余弦变换后的数值就大。对于不同的频率值求出所有的这种图形的总面积值，就是这个函数的余弦变换后的新函数。一种更为直观的余弦变换的图解形式见图。有了一个函数的正弦和余弦变换，那么这个函数的傅立叶变换就可以很容易地根据上面的公式得到。如果这个函数只有时间或空间轴中的非负值的部分，函数的余弦变换就是傅立叶变换的实数部分，函数的正弦变换就是傅立叶变换的虚数部分。在很多情况下，函数的傅立叶变换并不是用直角坐标的方式来表示成作为频率的函数的实数和虚数两个部分，而是用极轴坐标的表示方法表示成模以及相位角和频率的关系的曲线。从直角坐标的表达式计算在极坐标时的振幅和相位是不难的工作。有关典型函数的傅立叶变换和求解傅立叶变化的其它方法将在后面的章节中讨论。 图2.1 求解余弦变换的一种方法(Bracewell,2000) 图2.2 求解余弦变换的更直观的图象(Gaskill,1978) 2.2 拉普拉斯变换 在电路和控制系统的教材中，常常要使用的是另外一种线性变换，这就是拉普拉斯变换。拉普拉斯变换也是一种非常重要的数学变换，拉普拉斯变换的公式是： (2.11) 这个表达式和前面介绍的傅立叶变换的表达式十分相似。但是有一点确完全不同，在傅立叶变换的公式中，不管是时间或者是空间变量 ，还是频率变量 ，它们都是实数变量。而在拉普拉斯变换中，变换后的函数的变量 则是一个复数变量。所以在拉普拉斯变换中，变换后的函数常常不象在傅立叶变换中的一样称为频率域的函数，而称为在复数平面上的函数。而在这个复数变量中，它的虚数部分和傅立叶变换中的频率变量无论从它所起的作用或者从它的特点来看都完全相同。所以这个变量也同样称为频率变量。在拉普拉斯变换中，当复数变量中的实数部分消失的时候，即 时，拉普拉斯变换就是傅立叶变换。所以从这个意义上讲拉普拉斯变换和傅立叶变换有着十分相似的地方。然而在拉普拉斯变换中复数变量的平面上包括了一个实数部分，这一个部分在变换中起着调整振幅变化的作用，所以拉普拉斯变换可以解决一些傅立叶变换所不能解决的瞬时发生的和振幅变化相关的问题，比如在控制系统中的阶梯函数响应的问题。而傅立叶变换因为它不考虑瞬时发生的问题，只考虑在稳态时的情况，所以它的变量形式更为简单，变换的用途更为广泛。 上面的拉普拉斯变换的定义又叫着函数在坐标两侧的拉普拉斯变换，对于在时间域内的函数，常常有一个时间的起点，从这个起点开始，函数的数值才有意义。这时函数在坐标两侧的拉普拉斯变换和函数在坐标一侧的拉普拉斯变换具有完全相同的形式。这种在坐标一侧的拉普拉斯变换的定义是： (2.12) 和傅立叶变换不同，拉普拉斯变换常常不需要对一个函数和一个指数函数的积所包围的面积进行积分来求得。拉普拉斯变换有着一整套的公式可以利用，从而可以直接求出函数的拉普拉斯变换。在求函数的拉普拉斯变换的数值时可以利用这样的公式： (2.13) 利用这个公式，如果要求常数１的拉普拉斯变换，则有： (2.14) 同样利用这个公式，可以求函数 的拉普拉斯变换，有： (2.15) 利用这个公式，求函数 的拉普拉斯变换，有： (2.16) 利用这个公式，求函数 的拉普拉斯变换有： (2.17) 为了深刻地理解线性系统的特点，有必要熟悉一些典型的重要的拉普拉斯变换。在拉普拉斯变换中，最重要的变换就是对一个函数的微分的拉普拉斯变换。函数的微分的拉普拉斯变换就等于函数的拉普拉斯变换和算子 的乘积与函数的初始值的差。如果函数的初始值为零，则函数的微分的拉普拉斯变换就等于函数的拉普拉斯变换和算子 的乘积。如果函数的一阶微分的初始值为零，则函数的二阶微分的拉普拉斯变换就等于函数的拉普拉斯变换和算子平方 的乘积。通过这样的变换，高阶的微分方程就简化为一般的代数方程。这一点对于求解用微分方程所表示的泛函有着极为重要的意义。 在拉普拉斯变换中，另外的一些重要变换是：脉冲函数 的变换是１，常数１的变换是 ，时间函数 的变换是 ，以及指数函数 的变换是 。 2.3 控制系统中传递函数的定义 拉普拉斯变换的一个最大的优点就是任何一个微分方程，经过拉普拉斯变换以后，就变成了一个简单的代数方程。在传统的控制系统中，一个线性系统的运动方程通常是用微分方程来表示的，这种方程经过拉普拉斯变换以后，它的求解变得相对很简单。这时如果用它经过变换以后的输出量和经过变换以后的输入量相除，可以发现不管输入量和相应的输出量如何变化，这个比值的表达式对于一个给定的系统来说将保持恒定不变。所以在控制系统的教材之中，就把这个比值定义为系统的传递函数(Drieis,1996)。在另外的一些控制系统的书本中，系统的传递函数被定义为系统的脉冲响应函数的拉普拉斯变换。因为一个脉冲函数的拉普拉斯变换的值是常数一，所以这个传递函数的定义在本质上和上面的定义是完全一致的。在控制系统的设计中，系统的结构常常经过简化用一个个方框图来表示，这时在方框图中所写的就是这个部分的传递函数的表达式。 上图表示了一个加速度仪的示意图，根据力和位移的关系可以写出这个系统的运动方程。这个运动方程的具体形式是： (2.18) 式中 ， 和 分别是加速度仪中质量块的质量，它的阻尼系数和弹簧的弹性系数， 是整个仪器的位移函数， 是仪器中质量块的相对位移函数。如果整个仪器的加速度的拉普拉斯变换是 ，上述的运动方程的拉普拉斯变换是： (2.19) 那么根据传递函数的定义，这个系统的传递函数为： (2.20) 求出了这个系统的传递函数，整个加速度仪就可以用一个方框来表示。在这个方框中填上这个系统的传递函数的表达式，在左侧加上输入量的拉普拉斯变换，在右侧再加上一个输出量的拉普拉斯变换，比较复杂的系统就变得十分简单明确。应用方框图和传递函数的表示方法，控制系统的很多问题都可以得到简化。比如一个大的系统包括三个串联的子系统，如果每个子系统的传递函数分别是 ， 和 ，那么整个系统的传递函数 就是这三个子系统的传递函数的积： (2.21) 如果一个大的系统包括两个并联的子系统，如果每个子系统的传递函数分别是 和 ，那么整个系统的传递函数 就是这两个子系统的传递函数的和或差： (2.22) 式子中的加减号取决于加法器中的正负号。如果一个大的系统包括一个正常的子系统和一个反馈回来的子系统，如果正常系统和反馈系统的传递函数分别是 和 ， ， 和 分别是各个节点处的信号的拉普拉斯变换值，那么根据传递函数的性质，这几个信号的拉普拉斯变换有下面的关系： (2.23) 经过简单的运算，可以得到这样的反馈系统的等效传递函数： (2.24) 拉普拉斯变换，传递函数和方框图的引进给控制系统的研究带来了极大的便利，因此控制系统中的线性系统理论的研究很早就成为一个特定的理论分支。所以在控制系统的理论中出现了很多专门定义的一系列的名词和术语。相对于控制系统的研究，线性系统理论在其它领域的研究要相对慢得多，同时也不够完善，所以也因此产生了一些类似的名词和术语。这些有意无意地出现的多种不同的定义和术语给线性系统理论的初学者带来了很大的困难。 2.4 广义的传递函数的定义 线性系统更广义的传递函数的定义是基于这样的一个定律：如果有一个波动的形状 输入到一个线性的时间不变或者空间不变的系统(linear time or space-invariant system)中去以后，这个系统相应的输出量将仍然是一个具有同样频率的谐波的形状，不过它的的振幅和相位将可能会发生变化，这个输出量可以记为 。关于这一理论，布雷斯维尔作了较严格的证明，有兴趣的读者请参阅(Bracewell,2000)。由于系统的输入量和输出量是上面的表达形式，那么就可以定义这个系统在这个频率上的传递函数的值。这个数值为 。如果求出在频率坐标上的所有的值，那么系统的传递函数就完全确定了。传递函数经过这个定义又被称为系统函数，或者称为这个系统的频率响应。在这个传递函数中函数模的部分 被称为振幅传递函数，而函数的相位部分 则称为相位传递函数。这个定义被应用在工程中的很多领域。在光学系统中，传递函数又特别称为光学传递函数，而它的振幅传递函数部分更有一个专门的名称，叫作调制传递函数。 当一个时间或空间信号 进入一个线性系统以后，这个系统会产生一个响应 。为了计算这个系统的响应，先要通过傅立叶变换求出输入信号的频谱，也就是输入信号的傅立叶变换，然后用这个输入信号的频谱和传递函数中的每一个频率上的取值相乘，这样就可以获得输出信号的频谱，即： (2.25) 这个输出信号的频谱的傅立叶变换，也可以说反傅立叶变换就是系统对输入信号的响应： (2.26) 因为两个函数的频谱的乘积就相当于原函数之间的卷积，所以系统的响应和所输入信号的关系为： (2.27) 这里符号 是卷积运算的符号，而 是传递函数 的反傅立叶变换，这个函数就是脉冲响应函数。这个函数也是当输入信号是一个脉冲函数的时候的系统的响应，或者是系统输出值。有关卷积运算的定义和求解方法在后面会给以介绍。 将这几个相关的函数集中在一起来表达，其中左侧的一组是在时间或空间域内的函数，右侧的另一组是在频率域内的函数。下面的图表列出了在线性系统中它们分别在同一组内的关系，在两组之间，同一行的两个函数则互为傅立叶变换的关系。 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　卷积　　　　　　　　　　相乘 　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　 　 　　　　　　　　　 这里的函数 是当输入量的频谱为１时的系统响应。这时相应的输入量是一个脉冲函数或者是点函数，即 。这时的系统输出量 因此也称为系统的脉冲响应函数。在光学望远镜中，这个量又称为振幅响应函数，它是点光源通过光学系统以后的辐射的振幅分布的图形，它的平方也就是光的能量分布情况则被称为点分布函数。 利用这种传递函数的定义，也同样可以研究步进响应函数的情况。参考拉普拉斯变换的特点，这时的步进或者阶梯响应函数的傅立叶变换是系统的传递函数和一个复数频率因子 的比。