Parseval’s定理的实质 定理的实质 Parseval’s定理的实质是能量守恒：无论从时 域的角度计算能量，还是从频域的角

第三章 连续信号的正交分解 信号与线性系统PPT 信号与线性系统PPT

信号与线性系统 连续信号的正交分解李榕 信号分析的实质和意义信号分析就是要研究信号如何表示为各分量的 叠加，并从信号分量的组成情况去考察信号的 特性。典型应用包括：信号的提取、去噪、压缩、识别等 从系统分析的角度而言，在求系统响应时，可 以将这些简单的信号分量分别施加于系统，并 分别求出其解，然后再利用叠加原理求得总响 应。 完整的理论体系是：泛函分析 从正交矢量到正交函数两个矢量正交的条件是：A1 A2 = 0 两个矢量正交的实质是：矢量A1在矢量A2上的 垂直投影为零。垂直投影的实质是：A1与其垂直投影之间的误差矢 量的距离最短。 类比，两个实变函数正交的条件是： f (t ) f (t )dt = 0 ∫ 两个函数正交的实质是：函数f1在函数f2上的 垂直投影为零。 t1 1 2 t2 实质是：f1-c12f2的均方差最小，t1 0) 单边指数信号频谱的幅频、 单边指数信号频谱的幅频、相频 特性 F( jω) = 1 α 2 + ω2 ω (ω ) = arctg ( ) α (ω ) π 2 F ( jω ) α 1 1 2α 3α ω π 2 ω 双边指数信号的傅里叶变换及幅 频、相频特性 f (t ) = e F ( jω ) = α t (∞ 1 当 =1 1， = 1 1时， ( ) 傅里叶变换的微分特性 df (t ) 时域微分特性：若f (t ) F ( jω )，则 jωF ( jω ) dt dF ( jω ) 频域微分特性：若f (t ) F ( jω )，则 jtf (t ) dω 证明见p.140 傅里叶变换的积分特性时域积分特性：若f (t ) F ( jω )， t 1 则∫ f (τ )dτ F ( jω ) + πF (0)δ (ω ) ∞ jω dg(t) 时域 积分公 式二 若 ： = f (t), f (t) F( jω)则: dt F( jω) g(t) +[g(∞) + g(∞)]πδ(ω) jω 证明见p.141 例题5： 例题 ：求以下函数的傅里叶变换 f (t) = u(t) + u(t 1) f ' (t) = δ (t) + δ (t 1) f ' (t) 1+ e f (∞) = 1; f (∞) = 1 1+ e ∴ f (t) jω jω jω f (t) 1 1 t 例题5（ 例题 （续） f (t) = u(t) + u(t 1) 1 1 F(ω) = [ + πδ(ω)] + [ + πδ(ω)]e jω jω jω Q f (t)δ (t) = f (0)δ (t) ∴πδ(ω)e jω = πδ(ω)e j0 = πδ(ω) 用迭加原理将得出 相同的结论。 相同的结论。 1 jω ∴ f (t) (1+ e ) jω 卷积定理若 1( ) = 1( ) 2( ) 1 ( ) 2( ) = ) 2( ) 1 1( 2π 证明见 p.144 页，要点是：交换积分次序，运用傅里叶变换 的延时特性 2( 则 ) = 1( 1( )， 2( ) = 2( ) ) 利用卷积定理证明傅里叶变换的 时域积分特性 ∴ ∵ ( ) ( )= ∞ 即 ∞ ∞ ( ) ( ( ) ) = ( ) ( ) = ( 1 ∞ ( ) ( ) ( ) = ∞ + ) ( ) ( ) 例题6： 例题 ：求单个余弦脉冲的傅里叶 变换（习题3-16b） 变换（习题 ） 例题6（ 例题 （续） f (t ) = G (t ). cos πt τ cos 周期信号的 傅里叶变换 πt τ G (t ) FT 乘积 G (ω ) = E τ Sa ( ωτ 2 ) 卷积 π π πδ (ω + ) + πδ (ω ) τ τ F T ωτ ) 2 F (ω ) = ωτ 2 π 1 ( ) π 2 E τ cos( 例题7： 例题 ：求三角脉冲的傅里叶变换 例题7（ 例题 （续）三角脉冲可看成两个同样矩形脉冲的卷积 G (t ) G (ω ) 卷积 G (t ) G(t)*G(t) 乘积 G (ω ) 2 ωτ F (ω ) = EτSa 2 例题8：求三角调幅波的频谱（ 例题 ：求三角调幅波的频谱（习 题3-12b） ） f (t ) 1 τ 2 cos ω 0t τ 2 1 jω 0 t cos ω 0 t = ( e + e jω 0 t ) 2 f 0 (t ) = 1 2t 三角波 t 1 Eτ 2 ωτ F0 (ω ) = Sa 2 4 τ E =1 Eτ 2 (ω ω 0 )τ 2 (ω + ω 0 )τ { Sa F (ω ) = + Sa 4 4 4 } 例题8（ 例题 （续） F0 (ω ) 1 F0 (ω ) 2 ω0 F (ω ) 1 F0 (ω ) 2 ω0 Parseval’s定理 定理 1 ∫∞ f (t) dt = 2π 2 ∞ ∞ ∞ ∫ F (ω) dω 2 证明：由频域卷积定理知： 1( ) 1 ( ) 2( ) 2 1 令： 1 ( ) = ( ) 2 ( ) = ( ) )， )，则 1 ( ) = ( ) 2 ( ) = ( ) )， 代入上式，并展开： ∞ 1 ∞ (Ω) ( Ω) Ω = 1( ) 2( ) 2 ∞ ∞ 上式在ω为任何值的时候都成立，令ω=0，上式简化为： ∞ 1 ∞ (Ω) (Ω) Ω = 1( ) 2( ) 2 ∞ ∞ ∞ 1 ∞ | ( )| 2 | ( )| 2 Ω = 2 ∞ ∞ 2( ) = Parseval’s定理的实质 定理的实质 Parseval’s定理的实质是能量守恒：无论从时 域的角度计算能量，还是从频域的角度计算能 量，必然是相等的。 小结信号正交分解的一般性理论 傅里叶级数与傅里叶变换的关系 常用函数的傅里叶变换 傅里叶变换的性质与傅里叶变换的运算 卷积定理 作业 3.5，3.9，3.14，3.15，3.20，3.23