在任何一个频率上，都含有同相和正交相两个部分,一组基，比如exp(j)和exp(-j); 商与儒对电磁波的解释，电场x轴和磁场y

rifle16m 发表于 2009-3-27 17:20

我来谈几点看法
回顾傅立叶级数（傅立叶变换的基础），任何一个频点，都有正交两项：cos和sin
longdi看得很透彻，我不妨再做个说明。

(1) 现实世界中，可用的频率（或者说圆频率）只有正的，用w表示;
(2) 在任何一个频率上，都含有同相和正交相两个部分;
-- 也就是说，任何一个频点，都能容纳两个相互正交的变量，它们可以互不干扰（周期内乘积积分为0）
(3) 任何一个频率，都可以用一组基（两个基元素，且相互正交）去作为刻度，比如cos和sin
-- cos和sin是正交的
(4) 还可以设计另外一组基，比如exp(j)和exp(-j)
-- 不幸的是，exp(j)和exp(-j)不是正交的
-- 幸运的是，[exp(j)+exp(-j)] 与 [exp(j)-exp(-j)] 是正交的 （简单的线性变换嘛）
(5) 根据线性空间基等效的原则，cos/sin坐标系和exp(j)/exp(-j)坐标系是等价的，都可以刻画同一个物理事件
-- 三角函数域内的相位 VS. 复数域内的相位

结论：我们说频率为正，实际上是说w为正，exp(-jwt)实际上是w频率在exp(-j)轴上！
w和exp(jwt)是两个不同的概念，不能认为exp(jwt)就是频率，否则你会认为exp(-jwt)是负频率。

25楼的很精彩
不过 “任何一个频点，都能容纳两个相互正交的变量，它们可以互不干扰（周期内乘积积分为0）” 这里正交的变量不是两个，而是两组， 比如傅立叶变换的cos（k x）和sin（kx）。
再具体一点说，不是两组，因为傅立叶变换基函数组中，任意两个都是相互正交的。
之所以会有同相分量和正交分量，更多的是从基函数的性质来说的。cos（k x）和sin（kx）可以看作是一组基函数中具有不同性质的两部分。形象的来说，同相分量对应于一个信号的包络线，而正交分量对应于信号的振荡。同相分量对应的是傅立叶变换的实数，而正交分量对应于傅立叶变换的虚数部分。那个简单的例子，同相分量对于与信号的幅度衰减或增加（能量的减少/增加）， 正交分量对应于能量的震荡。

作为一组基函数，这组基函数除了要相互正交，还要 满足 完备性。

商与儒对电磁波的解释，电场x基轴和磁场y基轴的能量振荡看不见，看间的是z轴上光信号

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中国通信网－通信资源 咨询 人才 培训分享 » 信号处理专区 » 提问讨论区 » 如何理解负频率stuyou 发表于 2006-10-29 15:04

如何理解负频率
时间信号经过傅立叶变换会有负频率份量出现。书上对负频率的一般解释就是这是数学运算的副产品，没有任何意义。可有的时候负频率也会参与运算。比如一个实信号经过FT后得到一个关于频率的偶对称图象，频率区间在－w到＋w，这时我们说这个信号的带宽为w，可对这个信号进行频谱搬移之后，其频谱就会变成原来的一倍，即2W，对于这样的一些结论该如何理解呢？谢谢！
platum0 发表于 2006-10-29 21:00

如果,你从物理存在出发,可以不承认负频率;就像可以不承认虚数的存在.但是,频谱搬移为线性操作,绝对不会改变信号带宽的.
dragonkiss 发表于 2006-10-30 18:36

这个问题还需要更权威的朋友给出解答，期待中。。。
99340542 发表于 2006-10-30 20:14

带宽为2倍后 幅值也会为原来的一半
karmark 发表于 2006-10-31 17:46

设X（t）的频率在 －w到＋w（单位为HZ），一般我们只考虑正的频率，故其带宽为w
当X（t）*cos2πft时，其频率被搬移至 f－w到f＋w 和 -f－w到 -f＋w，这时仍只考虑其正频率，故其带宽为2w
stuyou 发表于 2006-11-5 10:50

[quote]原帖由 [i]karmark[/i] 于 2006-10-31 17:46 发表
设X（t）的频率在 －w到＋w（单位为HZ），一般我们只考虑正的频率，故其带宽为w
当X（t）*cos2πft时，其频率被搬移至 f－w到f＋w 和 -f－w到 -f＋w，这时仍只考虑其正频率，故其带宽为2w [/quote]

X（t）*cos2πft是一种什么性质的运算？为什么原是信号x(t)的带宽为W，而经过这种运算就变成了2W？教科书上不是说这种运算是“搬移”运算吗？而搬移应该属于线性运算，既然是线性运算，为什么还能改变这个信号的带宽呢？

还有一个问题，高斯白噪声的谱宽为从负无穷到正无穷，既然我们研究的都是实际的物理系统，那为什么还要对负频率范围做出刻画？为什么把这种噪声从负频率变换到正频率时，幅度要变为原来的一倍？谢谢大家能给出更加深刻的解释。谢谢。
dragonkiss 发表于 2006-11-5 16:03

我只能说cos是数学运算的结果。其他的需要大家讨论。呵呵。
platum0 发表于 2006-11-6 20:33

负频率的引入，是从数学角度更加深刻，简明，统一地理解问题。
pureweed 发表于 2006-11-7 11:41

教科书上的线性系统是一存在负频率为基础的，乘以cos后自然就存在正负两部分了。
platum0 发表于 2006-11-12 20:02

这里补充一句：从物理概念出发，可以只对正频率进行定义带宽，这时为单边谱；如果，可以考虑负频率，这时为双边谱。有些定义从不同角度看待问题，不需要有个标准定义。
stuyou 发表于 2006-11-15 09:50

仅仅是这样吗？好像还不是很深入。。。
longdi 发表于 2006-11-16 17:06

[quote]原帖由 [i]stuyou[/i] 于 2006-10-29 15:04 发表
时间信号经过傅立叶变换会有负频率份量出现。书上对负频率的一般解释就是这是数学运算的副产品，没有任何意义。可有的时候负频率也会参与运算。比如一个实信号经过FT后得到一个关于频率的偶对称图象，频率区间在－ ... [/quote]

我记得好些通信书上都将带宽定义为信号的正频率部分所占用区域的大小，我的看法：
这是因为实际发射的信号都该是实信号，其频谱是关于原点共轭对称的，所以，只需要
关注正频率部分就足够了。

另外，在基带的实信号（比如PAM调制信号）通过乘上coswt之后变成带通信号后，其带宽变为了
原来的2倍，但这部分带宽有一半是冗余的，这时可以通过单边带调制去掉一半冗余带宽。
或者将两路独立的PAM信号通过cos、sin正交两路进行调制，即QAM调制，这样带宽虽然是
各路PAM的两倍，但是这时已经传送两路信号了（保持了原来的频谱效率，频谱资源依然
没有浪费）。而QAM调制的信号等效到基带就是一个复信号，这没法在基带直接发送，
须调制成为带通信号（比如QAM）。
temp_110 发表于 2006-11-24 14:52

实信号天然的就有负频率。不是“书上对负频率的一般解释就是这是数学运算的副产品，没有任何意义”，没有负频率这一半，实信号就不称其为复信号了。为什么老是想着频率一定为正才具有物理意义呢？要把科普性质的频率（比如小学学的声音这类概念）和傅利叶变化里面的时频域对应关系区别开来。
然后载波调制就是频谱搬移，等等
shuangwuyin 发表于 2007-1-9 13:07

不用理解，也理解不了。就记住算带宽只用正频率就行了。
数学的东西，太复杂。我们的带宽只用正的。负的只做候补，搬移到正了之后采用
dragonkiss 发表于 2007-1-9 13:22

[quote]原帖由 [i]shuangwuyin[/i] 于 2007-1-9 13:07 发表
数学的东西，太复杂。我们的带宽只用正的。负的只做候补，搬移到正了之后采用 [/quote]


这样理解可能过于简单了。呵呵。
gable 发表于 2007-1-9 22:13

其实多出来的那一个W的频谱就是原始信号频谱对于Y轴的镜像

|
|
------/|--------
-w 0 w


这张图可能比较烂，大家凑合一下吧，横轴代表频率

/| 表示的是负频率部分，|表示基带信号的频谱

用双边带调制稍微比画比画
Xd*****(t)=A*x(t)*cos(2*pi*f*t)

这里的x(t)就是基带信号，COS是载波。

对这个Xd*****(t)进行F变换，式子是比较恶毒的，用欧拉把COS变成 e。这里可以用到F变换的一个性质，频移性质，好象也叫调制特性吧，反正变换之后的频谱如下


-----------/|------------------------------/|---------
-f-w -f -f+w 0 f-w f f+w

感觉一些难懂的概念，只有结合实际应用才能真正理解

12楼说的很对，这一半其实是多余的，使调制后的信号占用信道的带宽增加了一倍
stuyou 发表于 2007-1-29 09:32

其实从数学上大家讲的都很好，但是从性质上、定性上还是不够深入，大家再继续讨论讨论吧。。。学生一般对这个问题很困惑。
longdi 发表于 2007-1-29 16:54

这个问题可以这样理解：

先考虑时域有限（或者周期）实信号x(t)，可以用三角函数cos(n*W0*t)和sin(n*W0*t)的形式展开，
此时n的取值为0到正无穷上的整数，这时完全是正频率分解，物理意义也很清楚。也可以用复数形式
exp(j*n*W0*t)展开，这时n的取值为负无穷到正无穷上的整数，这时正负频率分解都有了，为什麽
会有负值的n出现呢？是因为刻画一对cos(n*W0*t)和sin(n*W0*t)，需要exp(j*n*W0*t)与
exp(－j*n*W0*t)两个才行。

同理，对于一般的实信号x(t)进行连续时间傅立叶变换，我们一直都是用exp(－j*W*t)和原信号相乘
再积分完成对于原信号的频谱分解，这时W取值为负无穷到正无穷上的实数，即正负频率都有了。
其实我们本质上是要将实信号x(t)分解为cos(W*t)和sin(W*t)的频谱形式，此时W取值为0到正无穷上
的实数，这对应着实际的物理意义，只是因为刻画一对cos(W*t)和sin(W*t)，需要exp(j*W*t)
与exp(－j*W*t)两个才行。

总结：有的时候用exp比用cos与sin使得表达式看起来更简洁些，代价就是这时出现了
不好理解的负频率。
longdi 发表于 2007-1-29 17:44

[quote]原帖由 [i]stuyou[/i] 于 2006-10-29 15:04 发表
比如一个实信号经过FT后得到一个关于频率的偶对称图象，频率区间在－w到＋w，这时我们说这个信号的带宽为w，可对这个信号进行频谱搬移之后，其频谱就会变成原来的一倍，即2W，对于这样的一些结论该如何理解呢？谢谢！[/quote]
再谈一下直接调制到一个载波上或者说频谱搬移的问题：
根据我上面的说明，我们可以先将实信号x(t)分解为cos(W*t)和sin(W*t)的频谱形式，
假设对应于cos(W*t)的分量是x_c_W，对应于sin(W*t)的分量是x_s_W，这样
x(t)可写为如下的形式：
x(t)=积分{[x_c_W*coc(W*t)+x_s_W*sin(W*t)]*dW}。
再考虑直接调制到载波cos(W_c*t)上时，就可写出：
x(t)*cos(W_c*t) = 积分{[x_c_W*coc(W*t)+x_s_W*sin(W*t)]*dW} * cos(W_c*t)，
可以将cos(W_c*t)提到积分里面，即得到：
x(t)*cos(W_c*t) = 积分{[x_c_W*coc(W*t)*cos(W_c*t)+x_s_W*sin(W*t)*cos(W_c*t)]*dW}，
由于cos*cos与sin*cos等三角函数的计算，分别会有频率相加与频率相减的成分出现，
所以就会出现原来频谱为(0,WB)（用cos(W*t)和sin(W*t)分解原来实信号时，只有正频率部分，
这才是真正有物理意义的部分）时，调制后频谱就为(W_c-WB,W_c+WB)的情形(W_c > WB)，
即带宽变为了两倍（请记住这时带宽是有一半冗余的，因为cos*cos与sin*cos各自都会出现
两个三角函数，所以对于一个x_c_W或者一个x_s_W，会分别对应于两个关于W_c对称的频点的）。
dragonkiss 发表于 2007-1-29 20:18

楼上的几个解释很详细，关于公式可以用图片的格式插入就可以了。

负频率的问题已经讨论很深了，希望其他朋友从1楼看起。
stuyou 发表于 2007-1-31 16:27

在推导抽样定理时，先假定带限实信号的频率位于（－w,+w），带宽为w。然后根据卷积的搬移性质，在频率轴上移动之后，带宽变成2W，这是根据相邻样值信号不得重叠的性质，得到抽样定理。那么现在如果在抽样定理推导之初，就不用负频率，也就是说，只使用带限实信号的正频率部分，这样搬移之后，带宽不可能变成2w，那么如何得到抽样定理呢？
longdi 发表于 2007-1-31 16:42

[quote]原帖由 [i]stuyou[/i] 于 2007-1-31 16:27 发表
在推导抽样定理时，先假定带限实信号的频率位于（－w,+w），带宽为w。然后根据卷积的搬移性质，在频率轴上移动之后，带宽变成2W，这是根据相邻样值信号不得重叠的性质，得到抽样定理。那么现在如果在抽样定理推导 ... [/quote]
这只是由于我们常用的付氏变换是基于复数exp(-jwt)的，你如果完全用cos(wt)和sin(wt)做
付氏变换，这个问题也应该解释得通的，不过，这个时候你需要对于实信号在cos(wt)和sin(wt)
上付氏变换做出定义来，还要保证分解后的项最后累加收敛于原信号（就好比付氏反变换）。
另外，前面我说了直接载波调制，cos*cos与sin*cos各自均会导致出现两个三角函数项的，
都是关于载波对称的，这样带宽自然就是两倍了。
mondeo_2008 发表于 2007-10-18 14:56

longdi 讲的好详细。但是我还是有点疑问 保留负频率部分，
是为傅离叶变换服务的么？ 如果没了负频率部分，是不是傅离叶变换也没意义，不好处理了。
longdi 发表于 2007-10-18 15:49

[quote]原帖由 [i]mondeo_2008[/i] 于 2007-10-18 14:56 发表 [url=http://bbs.cnttr.com/redirect.php?goto=findpost&pid=607432&ptid=73802][img]http://bbs.cnttr.com/images/common/back.gif[/img][/url]
longdi 讲的好详细。但是我还是有点疑问 保留负频率部分，
是为傅离叶变换服务的么？ 如果没了负频率部分，是不是傅离叶变换也没意义，不好处理了。 [/quote]
这样分解才完备。
即exp(jwt)，w从负无穷到正无穷构成完备基（针对平方可积信号），这点从付氏变换、
付氏反变换与原信号的关系可看出。
而对应于cos(wt)与sin(wt)，大概只需要w从0到正无穷就能够构成完备基（这点我没能够
证明）。 但是可从exp(jwt)及exp(-jwt)与cos(wt)及sin(wt)一一对应关系得出。

[[i] 本帖最后由 longdi 于 2007-10-18 16:00 编辑 [/i]]
rifle16m 发表于 2009-3-27 17:20

我来谈几点看法
回顾傅立叶级数（傅立叶变换的基础），任何一个频点，都有正交两项：cos和sin
longdi看得很透彻，我不妨再做个说明。

(1) 现实世界中，可用的频率（或者说圆频率）只有正的，用w表示;
(2) 在任何一个频率上，都含有同相和正交相两个部分;
-- 也就是说，任何一个频点，都能容纳两个相互正交的变量，它们可以互不干扰（周期内乘积积分为0）
(3) 任何一个频率，都可以用一组基（两个基元素，且相互正交）去作为刻度，比如cos和sin
-- cos和sin是正交的
(4) 还可以设计另外一组基，比如exp(j)和exp(-j)
-- 不幸的是，exp(j)和exp(-j)不是正交的
-- 幸运的是，[exp(j)+exp(-j)] 与 [exp(j)-exp(-j)] 是正交的 （简单的线性变换嘛）
(5) 根据线性空间基等效的原则，cos/sin坐标系和exp(j)/exp(-j)坐标系是等价的，都可以刻画同一个物理事件
-- 三角函数域内的相位 VS. 复数域内的相位

结论：我们说频率为正，实际上是说w为正，exp(-jwt)实际上是w频率在exp(-j)轴上！
w和exp(jwt)是两个不同的概念，不能认为exp(jwt)就是频率，否则你会认为exp(-jwt)是负频率。
mczpj2001 发表于 2009-4-7 13:13

与傅立叶变换的数学公式有关系吧
出现负频率，对应于 傅立叶变换公式中的 j
相应的，如果对一个实数序列作傅立叶反变换，会得到复数的。
mczpj2001 发表于 2009-4-7 13:29

25楼的很精彩
不过 “任何一个频点，都能容纳两个相互正交的变量，它们可以互不干扰（周期内乘积积分为0）” 这里正交的变量不是两个，而是两组， 比如傅立叶变换的cos（k x）和sin（kx）。
再具体一点说，不是两组，因为傅立叶变换基函数组中，任意两个都是相互正交的。
之所以会有同相分量和正交分量，更多的是从基函数的性质来说的。cos（k x）和sin（kx）可以看作是一组基函数中具有不同性质的两部分。形象的来说，同相分量对应于一个信号的包络线，而正交分量对应于信号的振荡。同相分量对应的是傅立叶变换的实数，而正交分量对应于傅立叶变换的虚数部分。那个简单的例子，同相分量对于与信号的幅度衰减或增加（能量的减少/增加）， 正交分量对应于能量的震荡。

作为一组基函数，这组基函数除了要相互正交，还要 满足 完备性。
leon007 发表于 2009-4-7 13:32

高手真多，谢谢指导！
csh200405 发表于 2009-4-9 09:12

楼上有人提到：“搬移是线性操作，不改变频谱”这是对的，把原来的基带搬移到频带上，显然没有改变频谱的形状。这里只考虑实轴带宽所以搬移之后，带宽加倍，并没有矛盾。
另外 副频率的引入纯粹是基于数学的方便性的考虑
rifle16m 发表于 2009-4-9 22:00

修正一个bug
我在25楼留的文字中有一句话，后来发现是错的：“exp(j)和exp(-j)不是正交的”

根据周期积分为0的正交定义，扩展到复数域，实数的自乘积分规则在复数域应该是乘以共轭积分，因此exp(jwt)和exp(-jwt)实际上是正交的！这也使得基（exp(j)，exp(-j)）到基（1，j）是线性变换，且变换矩阵是满秩的。
-----------

多谢27楼的提点！
可能我没说清楚，我并不是在谈完备性，谈完备性的本质就是谈信号的分解了，实际上我是在谈单个频点，也就是说只给一个频点的条件下，可以传两个常数（实数域）。kx就是多个频点了。更进一步的说，有以下一些事实：
（1）在实数域，一个频点可以传两个相互独立的常数，以cos/sin为载体
（2）在复数域，一个频点可以传四个相互独立的常数，以cos/sin/j*cos/j*sin为载体
countdracular 发表于 2009-8-10 18:43

负频率本来就是数学推导的产物，没有任何物理意义。但是不要理解错了，计算带宽的时候还是要加在一起的。

从学习傅里叶级数的时候就引入了负频率，《信号与系统》上面明确指出负频率没有物理意义，但将同一频率分量的正负频率的谱线幅度值加在一起才是其实际幅度值。
同样，在福利叶变换中，需要在整个频率轴上对频谱做积分（包括正负频率），才能得到信号的强度。而信号的等效带宽恰恰由其强度和幅度决定。因此，计算信号的频谱需要把正负频率都计算在内。

对于ls讨论的正弦载波调制（应该叫抑制载波振幅调制吧），其实信号经AM-SC调制，频谱确实加倍了。（频谱搬移是可以改变带宽的，除非是复指数载波调制，这里所说的搬移并不是狭义的搬来搬去，而是可以向不同方向搬移，甚至周期性延拓。）正因为频谱的加倍，才有必要使用单边带调制等其他手段来降低频带占用。
countdracular 发表于 2009-8-22 10:37

[i=s] 本帖最后由 countdracular 于 2009-8-22 18:11 编辑 [/i]

[quote]修正一个bug
根据周期积分为0的正交定义，扩展到复数域，实数的自乘积分规则在复数域应该是乘以共轭积分，因此exp(jwt)和exp(-jwt)实际上是正交的！这也使得基（exp(j)，exp(-j)）到基（1，j）是线性变换，且变换矩阵是满秩的。
........
（1）在实数域，一个频点可以传两个相互独立的常数，以cos/sin为载体
（2）在复数域，一个频点可以传四个相互独立的常数，以cos/sin/j*cos/j*sin为载体
[size=2][color=#999999]rifle16m 发表于 2009-4-9 22:00[/color] [url=http://bbs.cnttr.com/redirect.php?goto=findpost&pid=869393&ptid=73802][img]http://bbs.cnttr.com/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]

如图，字数补丁。
livanfield 发表于 2009-9-8 17:25

难得的不用花钱的技术讨论帖
kjyqcl 发表于 2009-9-13 19:55

[quote]这个问题可以这样理解：

先考虑时域有限（或者周期）实信号x(t)，可以用三角函数cos(n*W0*t)和sin(n*W0*t)的形式展开，
此时n的取值为0到正无穷上的整数，这时完全是正频率分解，物理意义也很清楚。也可以用复数 ...
[size=2][color=#999999]longdi 发表于 2007-1-29 16:54[/color] [url=http://bbs.cnttr.com/redirect.php?goto=findpost&pid=462890&ptid=73802][img]http://bbs.cnttr.com/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]

鼓掌！！！
longdi解释得深入浅出，看了觉得心服口服
kjyqcl 发表于 2009-9-13 20:38

[quote]我们说频率为正，实际上是说w为正，exp(-jwt)实际上是w频率在exp(-j)轴上！w和exp(jwt)是两个不同的概念，不能认为exp(jwt)就是频率，否则你会认为exp(-jwt)是负频率。 ...
[size=2][color=#999999]rifle16m 发表于 2009-4-9 22:00[/color] [url=http://bbs.cnttr.com/redirect.php?goto=findpost&pid=869393&ptid=73802][img]http://bbs.cnttr.com/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
看了这个说法很震惊！---意思是根本不应该理解为负频率---如果这样的话，关于负频率的很多解释都不成立了

[quote]
（1）在实数域，一个频点可以传两个相互独立的常数，以cos/sin为载体???
（2）在复数域，一个频点可以传四个相互独立的常数，以cos/sin/j*cos/j*sin为载体 ...
[size=2][color=#999999]rifle16m 发表于 2009-4-9 22:00[/color] [url=http://bbs.cnttr.com/redirect.php?goto=findpost&pid=869393&ptid=73802][img]http://bbs.cnttr.com/images/common/back.gif[/img][/url][/size][/quote]
理解不了，如果能结合实际的系统（如调制技术）解释一下就好了
zgli310 发表于 2009-9-13 23:39

做个记号，看到了18楼，发表一下看法，我严重不同意18楼的意见（不好意思），18楼兄弟说的内容没有错，但是绝对不是因果的关系。我想你可能是看到书中公示推到过程中cos(wt)=exp(jwt)+exp(-jwt)想到的，但是我个人不认同你这个解释。


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