频谱分析:函数的基本频率: 利用无界的正余弦函数来描写函数的变化情况，可以对函数在全部时间内或全部空间内的变化起伏的情况有一个整

第一章　从线性函数谈起

1.1　线性函数和线性系统



大家都很熟悉数学中的函数(function) 的概念。什么是函数呢？函数简单地讲就是两个或者多个变量之间的关系。其中一般有一个因变量，其它的都是自变量。如果自变量的值发生变化，那么因变量的值也将随之改变。一般也称这个因变量是其它自变量的函数。函数一般比较简单，通常可以用一个数学方程或者一根曲线的形式来表示。以两个变量 和 的关系举例，如果 是函数中的自变量， 是函数中的因变量，那么如果它们的关系可以写成一个简单的等式 ，那么就称 是 的显函数，如果它们的关系是一个较为复杂的等式 ，那么就称 是 的隐函数。顺便讲一下，数学上还有另外一种变量的函数，它被称为泛函(functional)。什么是泛函呢？泛函简单地讲就是函数的函数。它是两个或者多个变量函数之间的关系，这其中有一个变量函数是因变量函数，而其它的变量函数则全部是自变量函数。如果自变量函数的结构或数值发生变化，那么因变量函数的结构和数值也将随之改变。一般也称因变量函数是自变量函数的泛函数，简称为泛函。微分方程所表示的变量关系就是泛函的关系。我们所要研究的系统问题，实际上也是泛函问题。不过大部分的学者都不常用泛函这个词语，而是用微分方程或者系统这些专门词汇。回到有关函数的议题上来，函数有各种各样的形式。在后面的线性系统理论的讨论中，我们要接触到各种各样的不同的函数形式，这些函数形式中的最主要的部分我们将在下一节中集中介绍。这里先谈其中最简单的一种函数。这就是只有一个自变量的线性函数。用数学表达式来表示是：


(1.1)


线性函数的一个最显著的特点就是它的叠加特性，也就是说两个自变量相加后所形成的新的自变量所对应的因变量值等于两个自变量各自所对应的因变量的值的和。这个特点是任何非线性函数所不具备的。用公式表示为：


(1.2)


线性函数的定义对于我们理解线性系统的概念有着十分重要的意义。要理解线性系统，首先要了解系统的概念。什么是科学研究中的系统呢？应该说系统是一个意义非常广泛的概念。任何有输入量和输出量的机构或者是抽象的概念均可以称为科学研究中的一个系统。一个工程项目是一个系统，一个天文望远镜是个系统，一个天线中的接收装置是一个系统，一个测量仪器是一个系统，一个控制电路是一个系统，一个受风力影响的结构也是一个系统。系统的概念要比函数的概念广泛得多。很显然，一个函数也可以被称为是一个系统，一个泛函也可以被称为是一个系统。对于一个工程项目，它的输入量是人力，资金和材料，它的输出量是工程的进度情况和工程的效益，所以这个工程也可以看着是一个系统。不过对于工程师和科学家来说，我们所感兴趣的系统是指特定的输入一定的信息后会输出一定物理量的实在的自然科学的装置，他们对于其它的包括社会科学因素的其它抽象的系统兴趣不大。这样的一个实在的自然科学的装置可以是一台天文望远镜，这时它的输入量是星光信号，输出量是这个星光的像斑。这个装置也可以是一个高层建筑，这时输入量是风力，而输出量则是这个建筑的振动情况。这个装置也可以是一个导弹，它的输入量的是一个打击目标的坐标指令，而它的输出量是导弹实际爆炸的位置。在这样比较具体的工程系统中，它们的输入量和输出量常常是时间系列或者空间坐标的函数。当这些系列是连续值的时候，输入量和输出量可以分别表示为 和 ；而当这些系列是不连续的时候，输入量和输出量就分别表示为 和 的离散值。在工程设计中系统常常用一个大的方框来表示，在方框的左方，输入量的信号用箭头指向方框，在方框的右方，方框用箭头指向输出量。


在实际存在的工程中的各种装置中，有各种各样的系统形式，其中有的复杂，有的简单。不过有一些工程系统的特性和线性函数非常相似，在这种系统中，同样存在输入量和输出量之间的叠加特性，即两个输入量相加所形成的新的输入量通过这样的系统以后所得到的输出量正好等于两个输入量各自输入通过该系统所得到的输出量的总和。如果两个输入量函数分别为 和 ，它们对应的输出量函数分别为 和 ，那么它们所形成的复合输入量 所对应的输出量将为 。即：


(1.3)


和线性函数的定义相同，这样的系统就被定义为线性系统。反之如果在系统中不存在这种线性叠加的关系，我们就将它们称为非线性系统。在这样的定义下，线性函数所表示的系统当然也是线性系统。不过在线性系统的理论中，常常不考虑线性函数这种太简单的系统。和线性函数的表达式十分相似，线性系统输出函数的表达式也是一个给定函数和输入函数的卷积的形式：


(1.4)


这里的 是一个代表着系统特性的特殊函数。有关这个特殊函数以及卷积的具体概念将在后面的章节中进行介绍。

线性系统比较非线性系统是一种相对简单的系统，对于线性系统，根据输入量的情况往往可以直接求出系统的输出量的情况。相反非线性系统则相当复杂，在输入量确定以后，有的非线性系统目前还无法预测出系统输出量的实际情况。在很多工程和科学研究的问题中所讨论的系统问题虽然并不是真正的线性系统，但是它们可以在一定的条件下近似地被认为就是一个线性系统或者被认为是由很多的在不同的区域上定义的线性系统的总和，从而可以应用求解线性系统问题的方法来求出它们的输出量的近似情况。前者是用线性系统来代替非线性系统，后者是应用差分方法来解决非线性系统的问题。所以从这个意义上讲，线性系统理论的研究在工程问题的解决中有着十分重要的意义。

从本质上讲线性系统是研究泛函的问题，即函数的函数的问题。这些输入和输出量函数常常是时间系列或空间坐标的函数。如果时间没有变化，或者空间没有变化，我们所处理的问题是静态的或者是静力学的问题，这就是线性方程或者其它代数方程所代表的问题。在时间和空间域内的线性系统的研究主要是了解系统的动态反应和动态输出量的情况，所以在这一领域内，线性系统又叫着动态线性系统(Linear Dynamic System) ，有时甚至用ＬＤＳ的简称来表示。泛函是指函数的函数，在泛函中自变量函数和因变量函数之间的关系有的可以使用微分方程或微积分方程来表示，不过有些线性系统也可能不能用简单的方程形式来表示，而常常采用十分通行的方框图来表示。静态的由线性函数所表示的简单的系统可以称为和时间和空间无关的系统。注意这里我们称线性函数所表示的静态系统为和时间和空间无关的系统，而不称为时间和空间不变的系统，这是因为动态线性系统也常常被称为时间和空间不变(time- or space- invariant)的系统。根据线性系统的定义，这里的时间和空间的不变的概念是指如果输入量函数的原点发生移动，那么输出量函数的大小和分布并不会改变，而改变的仅仅是函数相对于坐标原点的变化。也就是说当输入函数为 时，则其输出函数的形式是相应的 。这是线性系统所特有的一个重要性质，这个特性的证明我们将在后面的章节中讨论。用卷积的运算符号来表示，这个特性为：


(1.5)


在现代工程和科学研究中有很多的问题本身就是线性系统的问题，如前面所说的，一些更复杂非线性的工程问题也常常可以经过简化，转化为一个或者多个线性系统的问题。所以对线性系统的研究有着十分重要的意义。通过线性系统理论所解决的问题目前已经包括光学成像，信号处理，自动控制，通信，导航，电路分析，热传导，机械和结构工程，航天和航空工程等等。线性系统理论已经成为现代工程师和科学家解决实际问题的一个不可与缺的重要工具。



本小节要点：线性函数的定义，系统的定义，动态线性系统的定义，时间和空间不变的含义。





1.2　实数函数和复数函数



1.2.1　实数函数

函数理论是线性系统理论的基础，在研究线性系统的问题的时候，常常牵涉到很多的函数的概念，所以我们有必要对这些重要的函数作一个简单的介绍。函数根据变量所取值的不同分为实数函数和复数函数。在函数概念中，函数也可以分为周期函数和非周期函数。应该指出绝大部分的函数都是非周期函数。周期函数仅仅是函数中的一个特例，然而周期函数确是一种十分重要的函数，任何函数均可以写成无数的周期函数的和。在线性系统理论中，周期函数更有着特殊的意义，所以有关周期函数的详细情况，我们将放到下一节中专门来进行讨论。一部分函数因为它们相对于数轴的对称性，它们被称为偶函数，对于偶函数有 。另一部分函数因为它们相对于数轴的反对称性，被称为奇函数，对于奇函数有 。在实数函数中有下列几种十分重要的函数：

１。脉冲函数或者点函数：

脉冲函数又叫着第拉克(Dirac) 函数。这种函数在时间域内叫脉冲函数，在空间域内叫点函数。这是坐标轴原点的无限狭窄的，高度无限高的一个方框形的函数。这个函数在全部坐标上的积分的面积等于一。这实际上是一个十分理想化的函数，它代表了在实际测量中所能够探测出来的时间和空间的最小的范围。这种位于坐标原点的第拉克函数用数学表达式表示有：







(1.6)


某一个函数和脉冲函数的乘积等于这个函数在原点的取值。

２。步进函数或者阶梯函数：

步进函数是一个开关函数。在零点之前，它的值为零，而在零点之后，它的值为一，在零点处，它的值为１／２。






(1.7)


某一个函数和步进函数的积就等于这个函数在变量的正区间所取的值。


图1.1　步进函数的定义



３。长方形函数，斜坡函数和三角形函数：

非常相似地可以定义长方形函数，圆柱函数，斜坡函数和三角形函数。它们分别是：












(1.8)


在圆柱函数的定义中， 。

４。sinc函数和jinc函数






(1.9)


这个函数是光学等很多领域中经常接触的函数，它的一个重要特点是这个函数在频率域内包含有直到一个截止频率的所有频率，同时它在频率域内的曲线是一个真正的长方形函数。它是一个理想的低通滤波器。和这个函数同样有意义的是它的平方的函数 。相应于sinc的在两维空间的函数是jinc函数，它常常被称为Sombrero函数。它在频率域内函数是圆柱函数。它的定义是：






(1.10)


它的分子是一阶贝塞子尔函数。这两个函数在坐标上的积分都等于一。

５。高斯函数

高斯函数是概率论中最重要的一个函数，它是随机分布的一种形式。它的最基本的形式为：




(1.11)


这里在中心点的函数值为１，而当 时，函数的值为 。在一般情况下，高斯函数常常使用归一化以后的表达形式。当随机分布的标准误差为 时，则归一化以后的表达式为：






(1.12)


这时在高斯曲线下的总面积正好等于１。不过在中心点的函数值将不是１。

和高斯函数同样重要的是误差函数，它是对归一化以后的高斯函数在０到 区间内的积分所形成的函数。它的表达式为：






(1.13)


在所有的这些函数中，中心点的位置都可以改变。如果中心点的位置在 ，那么在上面的函数中， 要被 所代替。

1.2.2　复数函数

在对线性系统的研究中，复数的概念十分重要。复数包括实数和虚数两个部分。虚数有一个特殊的单位，虚数的单位是 。所以任何一个复数都可以表示成 的形式，这是用直角坐标来表示复数的方法，这时 是复数的实数部分， 是它的虚数部分。注意复数的实数部分和复数的虚数部分均是实数。复数的另一种表达形式是极轴坐标的表达形式，即 ，在这个公式中的 是复数的模，而 是复数的幅角。注意这里的模和幅角也都是实数。在线性系统的讨论中，模又常常称为振幅，幅角又称为相位，相位可以用弧度表示，也可以用角度表示。这种振幅和相位的复数表达方法是线性系统中应用最广的方法。从复数的两种表达方法中可以知道复数的实数部分 ，虚数部分 。一个复数的共轭复数(complex conjugate) 就是保留它的的实数部分，但是确改变它的虚数部分的符号。前面的复数的共轭复数表示为 。

利用复数的直角坐标的表达方式可以很方便地计算出两个复数的和。两个复数的和就是将两个复数的实数部分相加作为新的复数的实数部分，再将两个复数的虚数部分相加作为新的复数的虚数部分。相类似地利用复数的极坐标的表达方式可以很方便地计算两个复数的积。两个复数的积就是将两个复数的模相乘作为新的复数的模，再将两个复数的幅角相加作为新的复数的幅角。同样也可以求出复数的 次方的表达公式。它们分别是：




(1.14)


在复数运算中，特别是在复数的加法中，幅角具有十分重要的作用，幅角如果相同，那么所得到的复数和的模具有最大值。相反如果幅角相差１８０度，则所得的复数和的模具有最小值。所以在英语的表达中对于用极轴坐标来表示的复数有一个专门的词汇叫相位矢量复数(phasor)，这个术语专门是指一种复数值或者一种物理量，它的幅角代表这个量的相位或相位差。这种相位矢量复数的表达方法更经常地用于复数函数和以时间和空间为变量的物理量之中，特别是那些振幅不变的复数函数和物理量。通过这种相位矢量复数的表达方法，复数平面上的一个点的复数表达方法就变成了一个围绕着坐标原点以幅角即相位的变化而转动的一个从原点出发长度为模的矢量。这样在进行复数相加的时候，在复数的平面上就十分直观。它就等于代表这两个复数的相位矢量之间的和。也就是说以这两个复数的相位矢量为两边所形成的三角形的第三边所代表的矢量。或者更确切地说是将第二个矢量的起点移到第一个矢量的终点后，连接坐标原点到第二个矢量的终点所形成的矢量。对于一个振幅不变的复数函数 ，它的实数部分和虚数部分均是周期函数，分别是：




(1.15)


这个函数用图象表示见图1.2。它的的实数部分是一个偶函数，它的虚数部分是一个奇函数。整个函数以逆时针的方向沿着变量轴螺旋形地前进。这种实数部分是偶函数，虚数部分是奇函数的复数函数又有一个特别的名称，叫着厄密函数(Hermitian)。相反如果实数部分是奇函数，虚数部分是偶函数，就叫着反厄密函数(antihermitian)。由于这种函数在线性系统理论中的特殊意义，我们在后面的章节中还要对它进行详细的讨论。


图1.2 相位矢量复数函数的三维表示(Gaskill,1978,2-23)



1.3　时间频率和空间频率



在前面的讨论中，可以知道和时间和空间无关的线性系统代表了系统的静态特性，它们的计算和求解与数学中的线性函数的求解完全相同。然而在线性系统的讨论中，我们主要是要讨论动态线性系统的问题，也就是复杂的泛函求解的情况。大部分的动态线性系统是指在时间域内的动态系统，时间域是一个一维的数轴，它的数值可以从负无穷大延伸到正无穷大。这样的系统主要包括在通信和其它领域的信息传输系统，引起结构振动的系统，热传导系统，交流电路系统和所有的控制电路系统。在这些系统中，所有的输入量和输出量都是时间的函数。但是还有一些动态系统是在空间域内进行的，它们也属于线性系统的这个范围。空间域是一个三维的坐标域，典型的在空间域内的动态系统主要是电磁波或者声波领域内的成像系统，其中包括望远镜和天线的成像系统，声波，地震波和超声波的成像系统。同时也有一部分在时间域和空间域内同时发生的系统，在射电天文的研究中，所面临的就是这种复杂的时空域内同时进行的一个系统。无论是在时间域或者是在空间域内，各种函数的结构是非常复杂的。而周期性的函数正是这些函数中的一种。所谓周期性函数是指这样的函数，它们的数值在相隔一定的区间后会完全重复。用数学公式表示有：


(1.16)


如果式中的 是函数产生重复值的最小的数字，则 就是该函数的周期，而周期的倒数 就是该函数的基本频率。如果函数是空间域的函数，则该频率就是空间频率，空间频率的单位就是长度单位的倒数，比如周期／米，空间频率没有专门的单位。空间频率是指在一个长度的单位内，这个周期函数的所重复的次数。如果用空间频率来描述一个图象的细节情况，空间频率高的是指表面在很小尺度上图象的颜色和明暗程度变化很快。空间频率低是指图象只有在大尺度上的变化。如果函数是时间域的函数，则该频率就是时间频率，时间频率的单位就是周期／秒，称为赫兹。时间频率高是指在时间坐标上变化很快，比如频率高的声音显得尖锐，频率低的声音则显得低沉。当物理量用正余弦函数表示时，因为一个周期是 弧度，所以也使用弧度／秒的圆频率的概念。

在上面的关于频率的定义中可以看出，所谓频率和周期函数的具体形式没有关系。在数学和物理学中常用的频率概念是指函数经过分解以后它所包含的正余弦函数的周期的倒数。这种利用无界的正余弦函数来描写函数的变化情况，可以对函数在全部时间内或全部空间内的变化起伏的情况有一个整体的了解，但是它不能給出这种起伏情况的具体的时间或空间坐标。为此在现代图象分析中采用了一种有界的，具有不同周期的被称为小波的周期函数来贴合图象的各个点的强度变化，这时根据这个小波的波长的不同，同样会使用频率的概念。所以频率的概念可以用于各种不同的周期函数中去。在后面的相位矢量复数的介绍中，可以看到函数的频率是和幅角直接联系在一起的，它的负值和虚数的单位相乘形成了一个指数函数。所以频率本身所起的作用是在这个指数函数中的虚数项的作用。

在周期函数中，有多种函数形式，其中正余弦函数是周期函数中的一种最重要的函数。在两个周期函数中如果它们的周期之比是一个有理数，那么它们相加所形成的函数，也是一个周期函数。如果两个周期函数的周期之比是一个无理数，它们相加以后的新函数严格讲就不是一个周期函数，这样的函数称为准周期函数。不过所有的非周期函数都可以表示成很多周期函数的和。

前面介绍的被称为相位矢量复数的函数也是一个周期函数。这种函数的实数部分和虚数部分分别是余弦和正弦函数。在这种函数中，相位或者幅角就是这个矢量复数和实数轴之间的夹角。在一个周期的范围内，这个幅角正好扫过一周。这个角度正好是 弧度或者 。如果考虑一个简单的频率为 （注意这里的 称为函数的圆频率）的余弦函数，它的表达式为：


(1.17)


它可以代表一个物理量，比如电压的变化等等。但是它同样也可以看着是一个相位矢量复数的实数部分，记为：


(1.18)


同样地，一个正弦函数可以看着是一个相位矢量复数的虚数部分。从这一点出发，正弦或余弦函数的任何运算都可以用它们所对应的相位复数矢量的运算所代替。比如两个正弦函数相加，我们可以将它们相应的相位复数矢量相加，然后将它们所得到的和的虚数部分取出来作为正弦函数运算的结果。正余弦函数是谐波分析的基础，在工程中有着十分重要的地位。另外正余弦还可以用欧拉公式来表示成两个复数的和或者差，余弦函数的表示形式为：


(1.19)


在这个表达式中，两个相位矢量复数的虚数部分正好符号相反，相互抵消，只留下它们的实数部分。另外一种考虑方法是将后面的一项所表示的复数的频率看着是负值。在前面的相位矢量复数的图中，这个频率为负值的矢量将沿着时间轴顺时针方向，而不是逆时针方向滚动前进。



本小节要点：时间频率，空间频率，频率和函数的关系，频率在相位矢量复数中的位置。