卷积概念和线性系统的定义

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第三章　简单的线性系统的响应

3.1　卷积概念和线性系统的定义

在时间和空间域内，研究一个线性系统的响应，必须用到卷积的概念。如果一个线性系统的输入信号是 ，系统的脉冲响应函数是 ，那么该系统对应于这个输入信号的输出量就是系统的输入信号和脉冲响应函数的卷积：


(3.1)


式中的右侧是函数卷积的定义。

为了更好地理解卷积的定义和它的运算方法，我们从离散数列的移动平均(moving average)的运算谈起。如果有一个离散函数数列，它的数值起伏比较大。如果将一定数目的相邻的数值取平均值，则有下列的数值运算(Jasson,1997)：


用数学表达式表示，为：


(3.2)


在这个平均的过程中，实际上每一个取值的权重是一致的。有时在进行这种移动平均的时候，可以分别对其中的各项施加一个特定的权重，也就是说乘上一个因子。比如：


这样的运算就相当于：


(3.3)


这就是卷积在离散值情况下的运算公式。注意这里的 函数的数值顺序和函数 的数值顺序是不一样的， 函数的序号在运算公式中，不是呈递增的顺序排列的，而是呈递减的顺序排列的。离散函数 和 的卷积运算实际上就是一种简单的加权求平均的运算形式，它起着函数平滑的作用。和函数之间的卷积这种运算十分相近的另一种运算是函数的互相关运算。在互相关运算中，两个函数相乘时，两个函数的顺序的增长是一致的。互相关运算也是线性系统理论中的另一种十分作用的工具，我们会在后面对它进行介绍。如果是在连续函数的情况下，两个函数仍然可以看着是两个离散函数，只是变量取值之间的间隔变得非常小，这样卷积运算的公式就变为积分的形式：


(3.4)



从上面公式的积分号中同样可以看出，两个相乘的函数对变量的方向是不同的，其中一个函数不变，另一个函数则经过了反转变化。所以所谓两个函数的卷积在变量 处的值就是把一个函数 和另一个经过反转后的函数 相乘以后来求每一个 值时相应的图形的面积的过程。在这个积分的符号中， 是卷积函数的变量， 是用于求解积分值的辅助变量。求解卷积的具体过程是(Gaskill,1978)：

１) 以辅助变量 为变量轴，作出第一个函数的图形 ；

２) 从变量 的一个数值比如说从 开始，作出以辅助变量的函数 的图象，注意函数 的图形就是原函数 的反转图形；

３) 求出这两个函数的乘积，并作出乘积 的图形；

４) 求出这个图形的面积，这个面积的值就是卷积在变量 的这个点上的值。这个值实际上是上面这两个图形中的重合部分的面积。因为这时的 ，所以：　　


(3.5)


５) 回到步骤２，选择变量的一个新的值，比如说 ，重复上面的步骤，求出在这个点上卷积的值：


(3.6)


６) 反复计算相应于变量的各个点上的值，求出整个的卷积函数的值。




从上面的公式，如果设 ，可以看出卷积中两个函数的位置可以相互交换，也就是说卷积满足交换律。即：


(3.7)


同样经过简单的推导可以证明两个函数的和与另一个函数的卷积就等于各自两个函数和另一个函数的卷积后的和。这个公式为：


(3.8)


这个公式在本质上就是我们在第一章中定义线性系统和非线性系统的区别的重要公式：


(3.9)


所以任何线性系统输出量和输入量之间的关系均可以用卷积运算的形式来表示。这个卷积的分配律的公式在线性系统理论中有着十分重要的意义，它是线性系统区别于非线性系统的主要原因。在线性系统中，系统的响应即输出量函数是用输入量函数和和一个代表系统特性的函数，即脉冲响应函数的卷积的运算来计算的，所以线性系统也就简单地表示为函数之间的卷积运算。这里的脉冲响应函数是当输入量函数是一个脉冲函数时，系统的输出量函数的值。

同样的道理，如果一个函数在坐标轴上平移一个距离，因为：


(3.10)


所以当输入量函数发生一个时间或空间上的移动的时候，它的输出量函数的形式会完全保持不变，变化的仅仅是输出量的在时间或空间上的相应移动。这就是所谓的时间或空间不变的原理，基于这一点，所以线性系统又称为时间或空间不变的系统。

函数的卷积还有一个特点，就是任意一个函数和脉冲函数的卷积仍然是原函数本身。同时函数和脉冲函数的微分的卷积等于函数自身的微分。从前面的卷积运算的情况可以知道卷积运算是一种平滑运算，一个函数和另一个函数的卷积，只要另一个函数不是脉冲函数，那么所得到的新的函数将比所参与的函数都更加平滑，卷积和以后将介绍的函数的相关运算在实际上都是起着一个平滑函数结构的作用。最典型的例子就是两个长方形函数的一次卷积就是一个三角形函数；而长方形函数的两次卷积就和高斯函数的形状十分相似，而它的三次卷积就几乎是一个高斯函数。它们中，一个要比前面的一个来得平衡。




本小节要点：卷积的计算方法，线性系统的叠加原理以及其时间或空间不变的原理。





3.2　一阶线性系统和它的响应函数



在很多的非控制专业的工程论文和专著中，常常会遇到很多在控制理论中发展起来的专门名词。为了对这些名词有一个基本的概念，我们有必要简单介绍一下控制理论对于线性系统的讨论。在线性系统的相关名词中，系统的阶数是一个常常碰到的名词。什么是线性系统的阶数呢？所谓阶数实际上就是代表这个线性系统的微分方程的阶数。所谓一阶线性系统，就是指代表这个线性系统的微分方程是一个一阶微分方程；所谓二阶线性系统，就是指代表这个系统的微分方程是一个二阶微分方程。更为复杂的线性系统常常被统称为高阶线性系统。由于高阶的线性系统常常可以用引进变量的方法使之简化为低阶的复合的线性系统的问题，所以低阶的线性系统是线性系统理论中的最基本的问题。比如非常复杂的控制系统即一个高阶的微分方程所表示的问题常可以用一个一阶的微分方程组来表示。这种一阶的微分方程组有一个特别的名称，叫做状态空间 (state space) 方程。状态空间方程在现代控制理论中有着十分重要的作用，它的推导在后面的章节种介绍。

任何一阶线性系统都可以用一个一阶微分方程来表示。热传导的系统问题就是一个典型的一阶线性系统的问题。热传导的微分方程可以写作：


(3.11)


式中 ， 和 分别是比热，热传导率和外加的温度载荷， 是物体的温度函数。为了了解一阶线性系统的瞬时响应，应用控制理论中的拉普拉斯变换的方法，并且假设系统温度的初始值为零，则可以得到具有下列形式经过变换后的代数方程：


(3.12)


式中 和 分别是输出量和输入量的拉普拉斯变换。由于是一个代数方程，通过简单的运算就可以求出输出量函数和输入量函数的拉普拉斯变换之比，这个比也就是这个系统的传递函数。从广义上讲，典型的一阶线性系统的传递函数应该具有下列的形式：


(3.13)


式中的 是一个正值的常数。因为很多物理问题均可以表示为一阶微分方程的形式，所以这个传递函数的形式也可以用来表示其它的一阶线性系统的特点，比如一个弹簧和阻尼的力学系统的特点，或者是电阻 和一个成丁字形连接的电容 的电路系统的特点。在这种电路系统中参数 ，这时的输入量函数和输出量函数就分别是线路两端的电压变化。

有了系统的传递函数，如果要求它的脉冲响应，就是直接将传递函数进行反拉普拉似变换。注意我们在这里是用拉普拉斯变换来求的这个传递函数，而不是用频谱的方法来求的传递函数。经过反拉普拉斯变换可得系统脉冲响应函数的形式：


(3.14)


这个函数是一个从 时的 值开始成指数形式急剧下降的曲线。

步进阶梯函数是从时刻 时，函数值等于一个常数值的函数。如果在这个系统中，输入量是一个单位步进阶梯函数，步进阶梯函数的拉普拉斯变换是 。则拉普拉斯平面上系统的瞬时响应函数为：


(3.15)


同样应用反拉普拉斯变换可以得出系统的在时间域内步进响应函数：


(3.16)


式中 是单位步进阶梯函数，它的值在坐标的正侧恒等于１，所以可以省略不记。从这个公式可以看出一阶线性系统的瞬时响应为一个指数曲线。它在起始点是零点，在起始点处的斜率正好是系统传递函数表达式中的常数 。这一曲线逐渐地向单位步进阶梯函数靠近，当时间为 时，它的数值是 ，当时间为 时，它的数值是 ，当时间为 时，它的数值是 。在一阶线性系统中，常数 的倒数是一个十分重要的参数， 被称为这个系统的时间常数。系统的时间常数有着十分明确的物理意义，在热传导系统中，时间常数就是物体的温度到达环境温度的 时所需要的时间。经过４倍的时间常数的时间，物体的温度就几乎等于环境的温度。所以说时间常数是衡量一个系统对于一个输入量函数响应快慢的参数，时间常数小，系统的响应就快，时间常数大，系统的响应就慢，就迟钝。注意这里是一阶线性系统所定义的时间常数，在高阶系统中时间常数会有不同的定义，但是它的意义是一致的。一个系统的响应时间，也就是系统接近目标函数的时间，一般用时间常数的四倍来代表。


和前面定义的广义的传递函数不同，在控制系统中，传递函数通常是一个代数表达式，并不是脉冲函数的频谱。为了解决这个矛盾，在控制系统的理论中，引进了谐波响应(harmonic response)的概念。控制系统中的谐波响应就相当于在非控制领域中所定义的传递函数的概念。和广义的传递函数概念相同，在求解谐波响应的时候，同样依靠了波动在线性系统中传输时频率不变的理论。这个理论指出如果一个输入量函数的表达形式是一个相位复数矢量 ，那么经过系统以后的输出量函数的形式必然是：


(3.17)


也就是说输出量函数的频率是不变的，但是它的振幅产生了变化，并且有了一个新的相位差。在式中 是一个复数量。

将这个输入量函数同时和输出量函数的表达式直接带入系统在时间域的一阶微分方程之中：


(3.18)


有：


(3.19)


和在微分方程的求解相似，消去相同的指数部分，可以求出输出波动和输入波动的系数之比为：


(3.20)


这个谐波响应的公式说明了三个问题。第一，线性系统所输出的波动相对于它所输入的波动在振幅上发生了变化，变化的大小和上面这个式子所表达的复数的模相关；第二，线性系统所输出的波动相对于所输入的波动在相位上也发生了变化，相位变化的大小和上面这个式子所表达的复数的幅角相关；第三，比较这个公式和上面所定义控制系统的传递函数的公式，可以得到一个最为重要的结论。就是这个系统的谐波响应就是将控制系统中的传递函数的变量 值用 来替换。在前面我们已经知道拉普拉斯变换和傅立叶变换之间的联系，实际上经过这个简单的替换，拉普拉斯变换就已经就变成了傅立叶变换，所以这个表达式就是脉冲响应函数的频谱。由于在讨论谐波响应的公式中，去掉了变量 中的实数部分，所以谐波响应不能表示复数函数的振幅随时间的变化，所以谐波响应又叫着系统的稳态响应。从上面的表达式可以求出一阶线性系统具体的谐波响应的振幅谱和相位谱的公式。它们分别是：




(3.21)



具体讨论这个一阶系统谐波响应的两个曲线，模的曲线有下列特点：当 远远小于１时，它的值约等于１；当 远远大于１时，它的值约等于 的模。它的相位部分的曲线是同样的情况，当 远远小于１时，它的相位值约等于常数函数１的相位，所以等于 ；当 远远大于１时，它的值约等于 的模，所以等于 。



本小节要点：线性系统阶数的定义，一阶线性系统的传递函数的表达式和时间常数的定义。





3.2　二阶线性系统和它的瞬时响应



二阶线性系统是应用最为广泛的线性系统，典型的二阶线性系统包括具有质量，弹簧，阻尼和外力的振动系统，包括具有电阻，电容和电感的电路系统。以质量，弹簧，阻尼和外力的振动系统为例，一个二阶线性系统的微分方程是：


(3.22)


式中 ， ， 和 分别是质量，阻尼，弹性系数和外加的载荷， 是位移函数。当不存在外加载荷和阻尼的时候，这个自振系统有一个自振频率，它的数值为 。设 为系统的临界阻尼，则 是系统的阻尼系数。上述的运动方程经过拉普拉斯变换以后的形式是：


(3.23)


求解着个方程可以得到这个系统的在控制领域的传递函数。这个传递函数为：


(3.24)


对于一个典型的二阶线性系统，用系统的自振频率和阻尼系数来表示的传递函数的形式为：


(3.25)


在这个公式中，如果 ，这是无阻尼的情况；如果 ，这是弱阻尼的情况；如果 ，这是临界阻尼的情况；如果 ，这是过阻尼的情况。如果在这个系统中，输入量函数是一个单位步进阶梯函数，则系统的瞬时步进响应为：






(3.26)


应用反拉普拉斯变换可以得出系统在时间域内的步进响应函数。二阶线性系统的步进响应函数，特别是它的曲线有着十分重要的意义。这个步进响应函数为：


(3.27)


从这个公式可以看出二阶线性系统的瞬时步进响应要比一阶线性系统的简单指数曲线步进响应要复杂得多，这个响应往往是一个曲线组，不同的阻尼值在曲线组中用不同的曲线来表示。整体来看，这些曲线具有以下几个特点：

１）整个系统的振动频率是 ；

２）整个系统以一个指数函数 的速度接近于目标值；

３）系统的过冲值决定于系统的阻尼系数 。

当系统阻尼为弱阻尼的时候，二阶线性系统的步进响应曲线均会产生瞬时过冲的现象。这种过冲现象和阻尼值有关，阻尼值愈小，过冲值就愈大。一般当 ，其过冲值一般在目标值的 倍之内。

和在一阶线性系统中的时间常数的定义相类似，在二阶线性系统中，系统的时间常数被定义为 。同样地当时间到达时间常数的四倍的时候，瞬时步进响应和输入指令值之间的差非常小，其值为 。在二阶线性系统中，系统响应时的瞬时过冲的值等于 。当 时，过冲值为 ，当 时，过冲值为 。


为了求出二阶系统的谐波响应，也就是系统的广义传递函数，就必须用 来代替上面的传递函数表达式中的复数算子 值。通过这个替代，可以作出系统的谐波响应的曲线，这个曲线分为两个部分，一部分是实数部分，另一部分是虚数部分。但是在实际应用上最常用的是另一种表示方法，即振幅和相位的表示方法。所以它的谐波响应的图包括两个部分，其中一部分表示它的振幅的频谱，另一部分表示它的相位的频谱。当用 来代替上面的列出的传递函数表达式中的复数算子 值时，有：


(3.28)


通过这个复数值求出这个复数的模：


(3.29)


以及它的幅角：


(3.30)


根据着两个公式就可以作出这个谐波响应两个曲线，一个是振幅响应曲线，一个是相位响应曲线。这两个曲线和力学中以及其它学科中所见到的是完全一致的。不过在控制系统的研究中常常用分贝值来表示功率即振幅的平方的变化，有关分贝的定义在后面介绍。从这个曲线中，可以看出在频率达到 以后，系统的频率响应就会急剧下降。所以在这个系统中具有有效响应的频率范围是很有限的。这个有限的频率范围常常称为频率响应的带宽(bandwidth)，这是在控制系统中的一个重要的参数。频率响应的带宽大一般表示系统比较容易控制，它可以在较宽的频率范围内改变系统的运动状况。反之系统则较难控制。


分析二阶线性系统的谐波响应曲线，可以看出当 远远小于１时，它的振幅的响应值大约等于１；而当 远远大于１时，它的值大约等于 的模。但是当 时，它的振幅响应值变得很大，几乎等于 。注意在 时，这个值正好是二阶线性系统的瞬时响应曲线的最大过冲的值。同样它的相位变化的情况也是这样的。当 远远小于１时，它的相位值大约等于常数函数１的相位，所以等于 ；当 远远大于１时，它的值约等于 的模，所以大约等于 。如果系统的阻尼系数 ，则相位响应值会在 时迅速改变，而如果 ，则相位响应值是逐步地发生变化的。







本小节要点：二阶线性系统瞬时响应的特性，系统自振频率，阻尼系数，时间常数的定义。





3.4　振动，波，声音，电子电路和电磁波



在线性系统的研究中，频率是一个十分重要的参量。为了更好地理解频率的概念，有必要对和频率概念相联系的有关振动，波，声音，电子电路和电磁波的概念进行简单的讨论。所谓振动从广义上讲就是一个物理量相对于某一个稳定的坐标系的大小的变化。如果物理量相对于时间变化很慢，这样的问题可以用静力学的方法来解决，如果变化很快，则必须用动力学的方法来解决。从结构学的观点上讲振动主要是指一个物体中的一部分质量或者它的全部质量相对于它的一个平衡位置的来回运动。在振动中，我们最感兴趣的是周期振动。这时振动周期的倒数就是振动的频率。从前面的对二阶线性系统的分析来看，质量弹簧系统的谐振频率为 。强度愈高，质量愈小的系统就具有较高的谐振频率。一个结构系统的性能常常决定于它的最低谐振频率。一般来说大的结构要比小的结构的谐振频率要低，坚固的结构要比软弱的结构谐振频率高。振动并不等于是波，但是振动却是波动的起源。

振动的传播就形成了波。波又称为波动。波分为两种，一种是纵波，一种是横波。在纵波中振动的方向和它的传播方向相同，在横波中振动的方向和传播的方向相互垂直。除了电磁波和重力波可以在真空中传播外，波动必须是在介质中传播的。在介质波传播的过程中，介质中会产生形变和由此而来的恢复力。同时通过波动可以将能量从一个点转移到另一个坐标点。声波就是一种纵波。而地震波则包括横波和纵波两种。地震波中的纵波称为压缩波，又称为Ｐ波，地震波中的横波称为剪切波，又称为Ｓ波。剪切波只能在固体中传播。波动在介质中的传播速度和介质的性质有关。声波或者地震波的Ｐ波在空气中的传播速度为 ，式中 是摄氏温度。在水中的传播速度是 ，在花岗岩中的速度是 。而Ｓ波的传播速度则是纵波传播速度的５８％左右。在空气或液体中传播的纵波可以由不同的振动源来产生，结构的振动，空气的周期性的压缩和激烈的爆炸都是产生这种纵波的原因。这种纵波也有较宽的频率范围，而其中人耳所能够接收的部分则称为声波，它们的频率范围在２０到２００００赫兹之间。频率高于声波的称为超声波，一般也不高于１Ｍ赫兹，频率低于声波的称为次声波。超声波和次声波的频率范围是一个仍然争议的课题。为了使简单结构的振动转化为在空气或液体中传播的纵波，结构的尺寸应该大致相当于这个纵波的波长的一半。这可能就是人煽动扇子的振动很难转化为空气中的纵波的原因，而敲击一个大钟则可以产生非常低沉的声音。

如果产生振动的是带电的电荷，那么这个电荷在电路中会引起电流的振荡。在电路中如果导电的电荷在线路中不是连续地沿一个方向前进，而是不断地来回振荡，则这种电路就称为交流电路。交流电路根据电路用途的不同，一般又分为电力电路和电子电路。电力电路是指频率很低的用于传输电力的交流电路，而电子电路则是指用于计算机，系统控制和许多通信领域的高频电路。在典型的含有电阻 ，电容 和电感 的电子电路中，电路的谐振频率可以象分析质量，弹簧和阻尼的系统一样求得，它是 。也就是说电路的谐振频率主要和它的电容值和电感值有关。注意这里的电容和电感不但包括在电路中连接的电容和电感，而且包括由于电路的布局所产生的寄生电容和寄生电感。在电路中任何有交流信号通过的金属导体的周围均会产生变化的磁场，所以它们本身就有一个很小的电感。减少导体的长度就可以减少这个电感的大小。两个隔离的金属片或者导体之间就会形成寄生电容，这种电容的值和它们各自的面积成正比，和它们之间的距离成反比。所以任何电路只要有相隔开的金属存在，就会产生这种寄生电容。这样任何电路的就有一个一定的谐振频率，它的存在对于高频信号的响应就会有一定的限制。当电子线路不断地进行微型化后，这种寄生电感和电容的值会成比例地减少，所以使用的频率也会成比例地增加。这也是现代计算机芯片的工作频率不断增加的原因。目前计算机芯片的频率可以达到几个Ｇ赫兹。如果在电子电路中同时考虑相应的电磁场的变化和传导，这样的复合电路常常叫微波电路，它在通信，雷达等领域有很重要的应用。

周期性交变的电场会引发周期性交变的磁场，同样周期性交变的磁场会引发周期性交变的电场。在自由空间这种电磁场的传播就是电磁波。电磁波包括射电波，微波，红外线，可见光，Ｘ射线和伽玛射线。其中射电波和微波又称为电波。电磁波在真空中以光速传播，在介质中它的速度要减小，这个速度和真空中的光速的比就是介质的折射率。电磁波的速度和频率频率的比就是电磁波的波长。电波和电子电路可以通过波导管或者天线进行耦合。这种耦合和振动和声波的耦合非常相似，一个理想的二极子天线的长度尺寸就正好等于电磁波波长的１／２。所以在电子电路中，如果两个导线之间的距离和高频电流所相应的波长相当时，这时就必须认真考虑它所可能产生的电磁波的发射作用。由于电波在金属面周围传播的边界条件，所以一个金属的长方形口径也可以成为一个电波的天线，这时只要电磁波波长的一半小于长方形长边的宽度的辐射就可以通过这个口径。而长方形的另一边的宽度实际上可以变化，而不影响电波的输出和输入。如果把长方形的口径延长，就形成了微波传输的波导管。波导管作为线性系统的作用是可以让在一个频率以上的所有电磁波都通过。波导管也可以有圆形的形状。在光学中，光的一种波导管就是光纤。