测度把集合(研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分)映射到非负实数，带有超集被映射到更大的数 (图)

http://zh.wikipedia.org/zh-cn/%E6%B5%8B%E5%BA%A6 测度 维基百科，自由的百科全书跳转到： 导航, 搜索 非正式的说，测度把集合映射到非负实数，带有超集被映射到更大的数。数学上，测度（Measure）是一个函数，它对一个给定集合的某些子集指定一个数，这个数可以比作大小、体积、概率等等。传统的积分是在区间上进行的，后来人们希望把积分推广到任意的集合上，就发展出测度的概念，它在数学分析和概率论有重要的地位。 测度论是实分析的一个分支，研究对象有σ代数、测度、可测函数和积分，其重要性在概率论和统计学中都有所体现。 目录 [隐藏] 1 定义 2 性质 2.1 单调性 2.2 可数个可测集的并集的测度 2.3 可数个可测集的交集的测度 3 σ有限测度 4 完备性 5 例子 6 自相似分形测度的分维微积分基础引论 7 相关条目 8 参考文献 [编辑] 定义 形式上说，一个测度（详细的说法是可列可加的正测度）是个函数。设是集合上的一个σ代数，在上定义，于扩充区间中取值，并且满足以下性质： 空集的测度为零： 。 可数可加性，或称σ可加性：若为中可数个两两不交的集合的序列，则所有的并集的测度，等于每个的测度之总和： 。 这样的三元组称为一个测度空间，而中的元素称为这个空间中的可测集。 [编辑] 性质 下面的一些性质可从测度的定义导出： [编辑] 单调性 测度的单调性： 若和为可测集，而且，则。 [编辑] 可数个可测集的并集的测度 若为可测集（不必是两两不交的），并且对于所有的，⊆，则集合的并集是可测的，且有如下不等式（“次可列可加性”）： 以及如下极限： [编辑] 可数个可测集的交集的测度 若为可测集，并且对于所有的，⊆，则的交集是可测的。进一步说，如果至少一个的测度有限，则有极限： 如若不假设至少一个的测度有限，则上述性质一般不成立（此句的英文原文有不妥之处）。例如对于每一个，令 这里，全部集合都具有无限测度，但它们的交集是空集。 [编辑] σ有限测度 详见σ有限测度 如果是一个有限实数（而不是），则测度空间称为有限测度空间。如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限，则该测度空间称为σ有限测度空间。称测度空间中的一个集合具有σ有限测度，如果可以表示为可数个可测集的并集，而且这些可测集的测度均有限。 作为例子，实数集赋以标准勒贝格测度是σ有限的，但不是有限的。为说明之，只要考虑闭区间族[k, k+1]，k取遍所有的整数；这样的区间共有可数多个，每一个的测度为1，而且并起来就是整个实数集。作为另一个例子，取实数集上的计数测度，即对实数集的每个有限子集，都把元素个数作为它的测度，至于无限子集的测度则令为。这样的测度空间就不是σ有限的，因为任何有限测度集只含有有限个点，从而，覆盖整个实数轴需要不可数个有限测度集。σ有限的测度空间有些很好的性质；从这点上说，σ有限性可以类比于拓扑空间的可分性。 [编辑] 完备性 一个可测集称为零测集，如果。零测集的子集称为可去集，它未必是可测的，但零测集自然是可去集。如果所有的可去集都可测，则称该测度为完备测度。 一个测度可以按如下的方式延拓为完备测度：考虑的所有这样的子集，它与某个可测集仅差一个可去集，也就是说与的对称差包含于一个零测集中。由这些子集生成的σ代数，并定义的值就等于。 [编辑] 例子 下列是一些测度的例子（重要性与顺序无关）。 计数测度　定义为的“元素个数”。 一维勒贝格测度是定义在的一个含所有区间的σ代数上的、完备的、平移不变的、满足的唯一测度。 Circular angle测度是旋转不变的。 局部紧拓扑群上的哈尔测度是勒贝格测度的一种推广，而且也有类似的刻划。 恒零测度定义为，对任意的。 每一个概率空间都有一个测度，它对全空间取值为1（于是其值全部落到单位区间[0,1]中）。这就是所谓概率测度。见概率论公理。 其它例子，包括：狄拉克测度、波莱尔测度、若尔当测度、遍历测度、欧拉测度、高斯测度、贝尔测度、拉东测度。 [编辑] 自相似分形测度的分维微积分基础引论 分维微积分在理论基础上主要依据分维导数相对邻近规整导数的位置假设，目前此方法尚不能给出一般函数分维导数的具体解析形式。 分维微积分与分数阶微积分有所不同，分数阶微积分的基础主要依据规整积分变换对分数阶的默认外推，能给出一般函数分数阶微积分的具体形式。 上述这二个研究方向在理论基础上都依赖于规整微积分的表述，但也都缺少严格的证明。 可能的情况是这些表述皆是趋向一个较为基本理论的过渡性近似形式，而未来可能建立的这个较为基本的理论，将包含更为深刻普适的核心概念定义及基础假设，Newton微积分将成为其导出结论。 目前给出的分维微积分主线脉络内容旨在为未来的分维数学解析体系提供前期探讨途径及框架参照。 自相似分形测度的分维微积分计算方法主要是依据分维微积分的表述形式，可给出能够直接进行测度计算的方程。 这种方法的分析过程及得到的自相似分形测度与目前普遍采用Hausdorff测度方法（覆盖方法）得到的结果不同，覆盖方法分析过程较为复杂，得到的测度一般依赖于所使用的覆盖方式及迭代技巧，计算方法的普适性较弱。