申璐：氢原子是一个最简单的二体问题，包含一个质子和一个电子，则薛定谔中哈密顿量包含质子动能、电子动能、势能三部分，波函数同时是质

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学者申璐 发表于2010-11-9 17:48:30
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尝试不用公式符号，只用语言文字来叙述量子力学中，氢原子状态的计算。

首先，氢原子是一个最简单的二体问题，包含一个质子和一个电子，则薛定谔中哈密顿量包含质子动能、电子动能、势能三部分，波函数同时是质子和电子位置的函数。这时，对薛定谔方程处理的中心思想在于将二体问题化为单体问题，具体做法是采用质心坐标和相对坐标将二者位置联系在一起，成为一个整体。

这时的薛定谔方程成为质心坐标、相对坐标的拉普拉斯算子和波函数分离的形式，于是，整个方程是两项（质心坐标、相对坐标）函数和的形式，而他们整体等于一个能量本征值常数，这说明，两个函数（二阶微分形式）的结果分别是两个常数。这时薛定谔方式可以写成两个函数的方程，一个只与质心坐标有关，另一个只与相对坐标有关，分别描写以质心为粒子自由运动和质量为平均质量的粒子在势场中的运动。问题的症结就落在了解第二个方程上。

用球坐标系转换直角坐标系，发现拉普拉斯算符变成了包含径向的一阶微分、二阶微分和角动量平方的新的算符。此时，角动量算符和径向坐标无关。角动量平方算符的本征函数称为球谐函数，因为只与经度和纬度有关。角动量在z轴分量算符的本征函数由于只与经度有关，可以从球谐函数中分离而出，因而球谐函数也是角动量在z轴分量算符的本征函数，这是由于他们可能有同属于这一本征函数的函数本征值，同理由于拉普拉斯算子可以化为角动量平方新算符，因而这一本征函数（球谐函数）也是哈密顿量（拉普拉斯算子的函数）在某个本征值时的本征函数。

由于动量本征函数（球谐函数）在数学物理方程中有专门论述和专门形式，这里可以直接拿来作为用，因而哈密顿量的本征函数求得，当然，上述的做法均少了径向坐标函数这一项，不过没关系，可以把径向函数作为归一化系数（所有的算符均与其无关）和球谐函数相乘，新的函数就是哈密顿量的本征函数。

将此波函数（本征函数）回带入薛定谔方程，由于原拉普拉斯算符包含径向的一阶微分、二阶微分，且与角度有关的项在方程两边同时约掉了，由此，薛定谔方程变成了径向坐标的微分方程，通过变量替换，完全成为了形式简单的与径向有关的二阶偏微分方程，对这个方程求解，可以得到能量本征值取分立的数值，这便是氢原子的能级。

虽然分立，但是其取值还受到角动量平方算符本征值、角动量z轴分量算符本征值取值的约束。

完……