物理学家的希尔伯特空间：这样的X和另一个X_1在H里作“内积”，得到的不是一个数，而是一个delta

狄拉克δ函数- 维基百科，自由的百科全书狄拉克δ函数
breakout function

（Dirac Delta function），有时也说单位脉冲函数。通常用δ表示。在概念上，它是這麼一個「函數」：在除了零以外的點都等於零，而其在整個定義域上的積分 ...
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ceoandvip 2009-11-3 15:01
求教： 什么是物理学家的希尔伯特空间
开始看Shankar的，还有迪拉克的量子力学原理，对里面的“希尔伯特空间”深感迷惑。
具体是这样的： 他们定义了一个空间H， 里面包含了常见的平方可积函数， 即

L^2(R) subset H

但另一方面，R的每一个点X也是Ｈ里的一个向量，这里R是那些平方可积函数的定义域。
X和一个L^2函数f在H里做内积,得到的是f(X).
奇怪的是，这样的X和另一个X_1在H里作“内积”，得到的不是一个数，而是一个delta
函数。这和我平时见到的希尔伯特空间有很大区别。

我刚开始读些物理，理解的很不确切。如果有人能解释一下，万分感激！季候风 2009-11-3 17:34
简单来说，他们所谓 Hilbert 空间就是指系统的态空间，其中可能包括广义函数，所以比 L^2 更大。
找本数学书看，比如 von Neumann 的《量子力学数学基础》abada 2009-11-3 19:12
现学现卖：

物理学家的希尔伯特空间，比数学家的希尔伯特空间稍大。

物理学中必须包含有具有连续本征值谱的算符，即要求归一化为delta函数的的本征函数，所以那些本身模为无穷大，但与其他矢量的内积却有限的一类矢量就必须包括进来，成为扩大的希尔伯特空间，或物理学的希尔伯特空间。星空浩淼 2009-11-3 19:28
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在历史上，的确是物理学家先涉及到可以归一化到δ函数的情形，但数学家们很快就跟进了。泛函分析中，广义函数与Sobolev空间，讲的就是跟δ函数相关的东西，而且数学家一旦出手，研究得就更加完善和深入，把物理学家们搞的东西，进一步推广化，找到更具一般性的规律。

不过在量子场论的路径积分表述中，对于泛函测度积分中涉及到的一些问题，在数学上的确还没有弄清楚。物理学家就是这样，必要时自己直接发明一个数学工具；对于数学家们还没有研究好的东西，只要自己需要，先用起来再说。

[[i] 本帖最后由 星空浩淼 于 2009-11-4 10:33 编辑 [/i]]henring 2009-11-3 22:22
量子理论中的说的Hilbert space 比传统数学中Hilbert space(完备内积空间,并且内积定义可诱导出范数)更大, 有一个专用的名称叫 rigged Hilbert space.用这个词可google 出详细资料sage 2009-11-4 07:34
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My answer is

We don't really care what Hilbert space is. We just to want to be able to talk about states, inner products. We always assume it is complete, etc.
We use it, and many times abuse it.andrewandrewaa 2009-11-4 11:58
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这就是数学人痛恨物理文献的原因
根本不知道物理学家在说什么
他们总是刻意不给定义
呵呵blackhole 2009-11-4 22:04
真正的、严格的、可以物理实现的状态就是L^2(R) =H中的态矢，不多不少。象|x》,|p》这样的东西，并不能真正实现。但这并不妨碍把真实态矢用它们来展开，即傅里叶变换。
另一方面，|x》,|p》作为真实态矢的极限情况还是有意义的，此时可以[size=5][color=Red]形式地[/color][/size]把它们同普通真实态矢一样对待，代价是需用到delta函数这样的东西。这就是sage所说的： many times [size=4][color=Red]abuse[/color][/size] it
既然把它们跟普通态矢一样对待，就需要对L^2(R)扩充以包括它们。这就是henring所说的rigged Hilbert space。
量子力学的严格数学基础是不需要delta函数的，只在L^2(R)内进行，见von Neumann 的《量子力学数学基础》。

[[i] 本帖最后由 blackhole 于 2009-11-4 22:20 编辑 [/i]]sage 2009-11-5 00:51
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I think the feeling is mutual.

If you really hate it, just don't read them. 页: [1]
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