李大仁：一度空間內除了實數外不可能有其他數，所以要擴充實數系，必須向二度空間發展。（關於複數對應於平面的發展過程，將在後面談到。

http://163.20.22.161/Science/content/1980/00110131/0011.htm

1980年11月131期｜上一篇｜下一篇



＃發行日期：1980、11

＃期號：0131

＃專欄：

＃標題：虛數的故事

＃作者：李大仁



．從一個棄嬰談起

．不平凡的誕生

．漸露頭角

．數字？符號？

．改頭換面

．進一步的發展

．矛盾？真理？

．格摩的難題

．清水變雞湯



．圖一：每一複數都可和複數平面上的點一一對應。

．圖二：(a)歐幾里得作兩線段a與b的幾何平均。(b)威西說明虛數單位i=√-1。

．圖三：ｉ之咚恪Ｓ沙朔ㄟ算規則可得知i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,i5=i,i6=-1……◦

．圖四：729的6個六次方根。




　 虛數的故事


--------------------------------------------------------------------------------

【摘要】虛數是上帝心志的奔放，它們是介於存在和不存在之間的兩棲物。

──萊布尼玆

從一個棄嬰談起

像許多其他數學定義一樣，「虛數」的誕生也會使得它的接生婆──數學家著實費了一番功夫，才艱辛的落地。但是很不幸地，它剛下地時，並不被大家承認，就像是棄嬰般的踽踽獨行於數學王國裡。直到後來茁壯了，逐漸表現出它的獨特性質後，才執近代物理和抽象代數的牛耳。從一個棄嬰遷升到科學領域的祭酒，其中的歷史是美麗而又動人的。

不平凡的誕生

這個故事得從十六世紀的歐洲講起，當時的數學家特別是義大利的彭布里（R. Bombelli）發現解代數問題時，常常會碰到負數有平方根的情形。例如方程式x2+1=0，其解只有ｘ等於±√-1才合。而要證明-1有平方根在表面上看來是相當荒謬的。不過，後來人們還是不得不承認它和一些「真實」的數一樣真實。

從十七世紀到十八世紀，世界各地的數學家陸續地發現了負數平方根的新用途。瑞士的歐拉（L. Euler）（註一）提出以符號「i」（拉丁字imaginarius的第一個字母）代表√-1，人們則經常引用他說過的一句話：「這種根並不是0，也不是多於0或少於0，而是嚴謹的虛無。」

此後，數學家致力於咚慵兲摂担╥和實數的乘積）的代數法則，並且隨後定出了所謂的複數（純虛數與實數之和）。

漸露頭角

複數的標準形式為a+bi，至於為何是這種形式，可由以下的說明得一梗概。

一般說來，實數系可算是非常完備的數體，大部分問題均可在此範圍內解決；但是碰到像上述x2+1=0的方程式時，則在實數系中無解。因此，有必要創造另一新的數系來解決這個問題。而在擴充新系時必須考慮下列原則：

一、新數系比舊數系要有更廣的「引用性」。

二、可由舊數系得到新數系。

三、新數系要盡量維持舊數系的性質及咚恪?r

四、舊數系是新數系的一部分。

一度空間內除了實數外不可能有其他數，所以要擴充實數系，必須向二度空間發展。（關於複數對應於平面的發展過程，將在後面談到。）而在平面上的點是沒有大小次序關係的，所以複數無次序性。但平面上的點與有序實數對有良好的一一對應關係（見圖一），於是我們把＜x,y＞與點（x,y）看成一樣，規定＜1, 0＞=1，＜0,1＞=i。所以，每一有序實數對＜x,y＞可視為一複數，而表為1及i的線性組合，即＜x,y＞=ｘ＜1, 0＞+y＜0,1＞=x+yi，也就是標準形式a+bi（a,b都是實數）。因此，形成了一個新體──複數體（complex number field），其中元素均遵守已知的算術定律。

複數體對於四則咚阃瑯泳哂蟹忾]性。同時使任何方程式均有其解，所以補充了實數的不足。而且複數體在微分、積分的咚阆乱彩欠忾]的，因為這個事實產生了內容豐富的複變函數論。

如果沒有複數體，很多現代物理上的創見將無法完成。科學上首次主要用到複數的是史坦梅玆（C. P. Steinmetz），他發現在交流電的計算中，複數是很重要而不可或缺的。今天，沒有一個電工程師在工作時不需要複數；而物理學家在研究流體力學時同樣的也少不了它。複數在相對論（三度空間次元為實軸，時間次元為虛軸，使得時一空對稱）、量子力學和許多其他現代物理的分支中都扮演著基本的角色。

數字？符號？

現在的物理學家、哲學家，甚至數學家中還有一些人對於稱ｉ為一個數還存有顧慮；他們仍然認為它只是咚阒械囊粋