代数的普遍性在于，它将各种各样的相关的、不相关的事物放在一起比较，然后从这些个性的事物中提炼出共性的东西来，比如等价关系

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From Zeroes To Stacks~~~.漫谈抽象代数~~~ZZZ数学 2010-07-23 13:28:52 阅读196 评论3 字号：大中小 订阅 .

你若是没有认真看过代数，你就不能准确地估计数学到底有多么深刻；你若是没有认真看过代数，你也不能明白为什么抽象的理论也能为人类思维所把握——代数中最不可理解的就是，代数竟然是可以理解的。代数的深刻来自数学思想，而不是运算——论运算，微分和积分都比它复杂得多，这就是物理大师Feynman选择矩阵而不是偏微分方程来给低年级本科生讲述量子力学的原因（参阅Feynman物理学讲义卷III，赵凯华的新概念量子物理也用的是这种讲法：因为矩阵和代数运算更接近高中数学，几乎每个读过物理奥赛书的同学都会用行列式求解电路的基尔霍夫方程组——奥赛总是尽量回避微积分，必要的时候就用“小量分析”代替，并且取名为“微元法”、“近似法”，但就是不说这是微积分）。其实，运算的艰深算不得深刻，至多只能算繁琐（譬如电力系统和集成电路，分析和运算极其复杂，但用到的不过是普通物理和固体物理之类的低级知识，根本用不上相对论、量子力学、量子场论这类思想深刻的东西）。它没有几何那么直观（因此许多人不喜欢它，嫌它太抽象），确实（对于物理学家来说），但换个角度来看，这反倒是它的优点：一方面，在它的世界里，你不必担心自己的空间想象能力（和你的同行相比，你的逻辑推理能力恰好可以弥补空间想象能力的不足）；另一方面，就数学本身而言，人类总是不可避免要面对一些高维（甚至无限维）的客体，这时，不仅你想象不出来，其他人也想象不出来，这正是代数大显身手的地方。有人说，抽象有什么好，我想象不出来。其实你那是先给自己灌输了一个错误观念，即一个事物只有当它可以想象出来才是真实的，才能接受。为什么非要想象出来呢？只要依循着逻辑一步步严密地推理就足够了，因而这种担心完全是不必要的。所以，你可以把数学看得很神圣，但不要把它看得很神秘——望而生畏会阻碍你的进步。代数的魅力就在于，深刻又易于思考，哪怕你对研究对象一无所知，也能依循着逻辑去思考——它那么简单，简单到只需要逻辑（除此之外再也不需要别的了）就能把握真理（你必须相信，纯理论可以主宰世界）；但它的思想又那么深刻，深刻到所有几何都能统一用变换群来描述。现在觉得，几何与代数的特点很像普通物理与理论物理：前者注重说明现象，后者注重说明本质。譬如折射：前者注重折射现象（筷子放入水中后变弯了），后者注重折射定律（不管你变成什么形状了，反正都是nsinθ=n＇sinθ＇）。曾经我很迷恋几何（各种奇妙曲线和曲面），就像当初迷恋普通物理（各种奇妙现象）；现在我转向理论物理，更愿意从纯理性的角度去思考一些本质（透过现象看本质），对数学也因而更偏重代数。代数和理论物理的美是内敛的，就像那种内敛的人，长得很抽象，你不去接近她而只是从外部看看，就不会发现她的魅力所在。

抽象有什么好？抽象可以使理论更加普适。什么欧式几何、仿射几何、射影几何、微分几何…林林总总，眼花缭乱。它们之间就没有联系吗？有！不识几何真面目，只缘身在几何中——必须从几何中跳出来，才能旁观者清。这个旁观者就是代数。1872年，德国数学家Klein在Erlangen大学的报告中指出，一种几何学可以用公理化方法来构建，也可以把变换群和几何学联系起来，给几何学以新的定义：给出集合S和它的一个变换群G，对于S中的两个集合A和B，如果在G中存在一个变换f使f(A)=B，则称A和B等价。可以根据等价关系给集合分类，凡是等价的子集属于同一类，不等价的子集属于不同的类。将这一代数理论翻译到几何中，相应的版本便是：集合S叫做空间，S的元素叫做点，S的子集A和B叫做图形，凡是等价的图形都属于同一类（图形等价类）。于是同一类里的一切图形所具有的几何性质必是变换群G下的不变量，因而可用变换群来研究几何学——这就是著名的Erlangen纲领，它支配了自它以来半个世纪的所有几何学的研究。例如，在正交变换群下保持几何性质不变的便是欧式几何，在仿射变换群下保持不变的便是仿射几何，在射影变换群下保持不变的便是射影几何，在微分同胚群下保持不变的便是微分几何。

上面说的是图形等价关系。代数的普遍性在于，它将各种各样的相关的、不相关的事物放在一起比较，然后从这些个性的事物中提炼出共性的东西来，比如等价关系。除了上面提到的图形等价关系，还有各种各样的等价关系（如同“群公理：只要满足能封闭、可结合、有恒元和逆元的集合就是群”一样，只要满足反身、对偶、传递这三条的关系就是等价关系——这样简单的条件当然很容易满足，‘曲不高则和不寡’，所以类似的例子不胜枚举），例如，同余等价关系。我们可以按余数给整数分类，余数相同的归为一类，即同余类。代数对于普遍性的追求在于，发现同余类后并不就此止步，而是精益求精，进一步去提炼更具普遍性的概念。既然等价的图形和等价的余数都可以归为等价类，何不将等价类做成一个集合呢？由此，又发现了商集（即在一个集合中给定了一个等价关系之后相对于这个等价关系而言的等价类所构成的集合，通俗地说就是将每一个等价类中所有点“粘合”为一个点而得到的集合，如M?bius带和Klein瓶）、商空间（以同余类为元素构成的集合）、商群（以陪集为元素构成的集合）等概念。刚才说了等价关系。类似的例子还有很多，再比如说基矢。只要同类的一组元素互不相关，就能充当空间的一组基（将一个量展开为其他量的线性组合，此即泛函分析中的谱定理），哪怕它不是向量（因而生成的不是几何空间）也无所谓，比如它可以是一组函数（由此生成无限维空间，如量子力学中的Hilbert空间）。甚至，它可以是一个不确定（如无穷小量，要多小有多小但又不是零，到底多大只有上帝清楚）的微分元（比如dx、dy、dz，微分几何中用到的外微分形式就是用这些微分元为基矢张成的空间——微分几何运算很复杂，但构成它的理论基础之一Grassmann代数并不是特别复杂）。可见，代数的理论是相当普适的。

代数为什么能普适？因为它总是通过不断的抽象来提炼更加基本的概念。用哲学的话说，便是从具体到抽象，从特殊到一般（例如两个群，不论它们的元素多么地不同，只要运算性质相同，彼此就是同构的，并且可以因此认为是相同的代数对象而不加区别；不论膨胀、收缩、转动、反演…都可以统一起来，那就是指数函数；不论弦振动、声音、流体、电磁波…都可以统一起来，它们在数学中都是双曲型方程）。每一次抽象都是一次“扬弃”（留其精髓，去其平庸）的过程。比如将“距离”概念抽象化而提炼出“单比”概念，进一步将“单比”抽象化而提炼出“交比”概念，于是，从欧式几何中舍弃“距离不变”而保留更普遍的“单比不变”，得到仿射几何；从仿射几何中舍弃“单比不变”而保留更普遍的“交比”，得到一般的射影几何。从欧式空间（长度，夹角）到内积空间（模，不严格的夹角）再到赋范空间（范，完全抛弃夹角）也是如此，不断的改良（抽象、提炼），一改再改，但最终改到不能再改时，就完成了一个革命——甚至连范数（最熟悉因而最不愿抛弃的度量或度规）也抛弃了，从不严格的距离发展到不确定的距离（邻域δ，就像前面提到的无穷小量一样不确定），得到了里程碑式的“拓扑空间”的概念——有史以来最广泛最深刻的革命！

经由欧式空间的连续函数抽象出度量空间的连续映射，一直到抽象出拓扑空间中的同胚映射，在数学史上经历了很长时间才完成。无独有偶，物理学史也是如此。且不说从经典力学到相对论、量子力学（这个过程想必大家都听腻了），单说相对论本身也是如此。Einstein说：“为什么从狭义相对论发表到广义相对论建立又经历了7年那么长时间？主要原因是，要摆脱坐标必须有直接度量意义这个旧概念是不容易的”。看来，物理学家和数学家都遇到了摆脱“度量”概念的困难，在摆脱旧概念走向新理论这一点上物理学界和数学界是相通的（数学界走向了拓扑学，物理学界走向了广义相对论）。

由于每一次“扬弃”都抛弃了一些非本质特征而提炼出更普适的精髓特征，因而每一次抽象都是在透过现象看本质，每一次提炼都是一次质的飞跃和升华，从而使由此得到的新理论更具普遍性与包容性。例如量子力学不仅能解释经典力学的各种现象，还能解释微观世界里特有的（不能被经典力学或经典电动力学解释的）现象，如AB效应。

当然，尽管新理论更有包容性，但也不能完全取代旧理论。比如拓扑学就不能取代测度论。呵呵，数学界都从“everythere”退到“almost everywhere”，物理学界也不能幻想“theory of everything”吧。记得家树兄的susy物理学笔记中有这么一句经典台词：物理理论是一个无法用模型覆盖的理论流形。果然。

另外，就理论本身而言，彼此也是相通的。例如，拓扑空间中的一些核心概念，像开集、闭集、内部、边界、聚点、覆盖…等，在度量空间（测度论）中也要考虑。呵呵，在地愿为连理枝，毕竟，我们“根，紧握在地下”——我们都是在集合论这片土地上生长起来的。所以，我们应该刚柔互济——你有你的可测函数，像积、像角、也像距；我有我连通的空间，像有界的闭集（紧致），又像连续的一一（同胚映射）。在你面前我常常让着你，有时将自己各部分分开一段距离ρ放你进去，这样，你就得到了精神支柱（有限可加的条件）而获得生命力（定义外测度）。

当然，我的分离不完全为了你，还为了我外孙女——规范场（既然能量动量都是我姐姐——时空平移对称群生成的，那么把数学当成物理的母函数不过分吧）。我先把自己分开一个超级大口子，以至于每一个点的开邻域都没有交集（即得到Hausdorff空间），然后分娩出遍历物理学各个角落的流形（局部同胚于n维欧式空间）。等她长大后，就变成了纤维丛，从而生成规范场（所以我是规范场的外祖母）。

你遇到困难（如自旋、AB效应等）常常求助于我，我总是乐于把我的致命武器——“连通性”借给你。我是这么珍爱自己这件宝贝，以至于不愿意“遗传”给自己的儿子（子集）。不过有时也拒绝你，比如你想去类空间隔，我怕你去了之后变成虚数，就用另一件武器——“紧致性”把超光速的希望变成地平线，就算看得见也永远走不到。

尽管我能七十二变（同伦、同调…），但有时也求助你。比如钻进无底洞——Cantor三分集。这时你就用p进位表数法将（0,1）中的点表成二进位小数，就像“将（0,1）区间的点与（0，+∞）区间的点1-1对应起来”一样，将Cantor集合中的点和（0,1）区间也1-1对应起来。

有时，我不小心钻进谢尔宾斯基海绵，这时你也无能为力，我就去找我弟——分形几何。

我期望“弟子不必不如师”的喜剧在我身上重演。目前我最发愁的就是我的徒子徒孙们（四种基本相互作用）总是吵架，希望有一天它们能统一。当然，前面已经说过，数学是物理的母函数，那么没学过我的武功的“民科”们就不要瞎掺合了。必须牢记牛魔王的遗训：如果说我看得更远，那是因为站在巨人的肩膀上。

期待物理学家们能像Klein用变换群统一几何学一样，也提出一个物理学的Erlangen纲领。可能这个纲领也是变换群，比如SU(3)×SU(2)×U(1)（当然也未必用直积，虽然直积能够构造更大的对称，如SU(5)等）；或者跟变换群无关，而是扭结之类的。

ShingChern

2010.7.21
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赠与今年的大学毕业生——胡适
From Zeroes To Stacks~~~.历史上的今天.
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或许是错误的感觉吧，我觉得抽象代数也挺好学的。回复
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