哥德尔：不相容原理中告诉我们：任何自洽性的公理体系中，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个数学命题，用这组公理不能在有限步数内

到19世纪末，经过许多代数学家的共同努力，特别是康托尔提出集合论之后，整个数学领域越来越显示出某种统一性。20世纪初，著名的格廷根学派领袖、德国数学大师希尔伯特认为统一数学的时机已经来到，他向全世界数学家发出号召：建立一个公理体系，使一切数学命题都可由此公理体系证实或证伪。希尔伯特的目的是试图对某一符号系统的无矛盾性给出绝对的证明，以便克服悖论所引起的危机，一劳永逸地消除对数学基础以及数学演绎推理方法可靠性的怀疑。希尔伯特指出，这个公理体系必须具有“完备性”，自洽性”和“独立性”。“完备性”是指在公理体系中，不能存在不可证实或者证伪的数学命题；“自洽性”是指在公理体系中，公理和公理之间不能是相互矛盾的；“独立性”是指在公理体系中，公理和公理之间不能是循环互证的。

在希尔伯特的感召下，全世界的数学家积极地行动起来，他们梦想“毕其功于一役”，亲手建起流芳百世的宏伟数学大厦。然而此时，24岁的奥地利数学家库尔特·哥德尔出现了。

1930年9月7日,在哥尼斯堡第二次精密科学会议上,哥德尔发表了在整个数学史上具有划时代意义的成果——不相容原理。哥德尔在不相容原理中告诉我们：任何自洽性的公理体系中，只要包含初等算术的陈述，则必定存在一个数学命题，用这组公理不能在有限步数内证实或者证伪。也就是说，在希尔伯特所设想的公理体系中，自洽性和完备性是不能同时满足的。或者说，自洽性和完备性是不相容的。