数学采用的是严格定义某公式或定理适用的区域，将系统离散化，把辨证矛盾隔离在“不适用、不规则、奇点……”等区域内而排除

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【原创】《数系》的非线性哲学解读2009-12-08 11:19《数系》的非线性哲学解读

复数数系是今天我们广泛在应用的数系，这个数系中的各类数，并不是在数系一建立就同时出现的，而是随着计算方法的发展，逐步扩展而来的。我从中发现了一个“共性”——数系中负数、分数、无限循环小数、无限不循环小数、虚数（复数）的出现，都是在“逆运算”中被发现而产生的。用哲学分析一下其中的内在原因，对于我们理解数学这个学科内部根本矛盾的运动，是很有好处的。


数数是最原始最简单的加法，由数数发展到加法后，加法向两个方向发展，正向发展到乘法（乘方是乘法的特例），逆向发展到减法。乘法的逆向发展又产生了除法；乘方的逆向发展产生了开方。


在这三个逆运算中，由减法发现了负数、由除法发现了分数和无限循环小数、由开方发现了无限不循环小数（无理数）和虚数（复数）……


从哲学角度看：正与逆是一对矛盾，任何矛盾的对立统一都一定显现辨证特征。所以我认为数学发展的根本动力，就是数学在发展中不断面临的辨证现实，与数学严格遵循的形式逻辑之间的矛盾。因此我们可以这样说，严密的形式逻辑是数学的生命，数学发展的过程，就是不断用严密的形式逻辑，去处理蕴含辨证矛盾系统的过程，由于形式逻辑不可能解决辨证矛盾，因此数学采用的是严格定义某公式或定理适用的区域，将系统离散化，把辨证矛盾隔离在“不适用、不规则、奇点……”等区域内而排除，使数学得以在严密遵循形式逻辑的前提下发展下去。因此，数学是典型的离散结构系统。


因减法而产生负数的原因和结果都比较简单，有兴趣的朋友可以自己分析。我只简单的说一下：

负数与正数是对立的统一；对立在“正与负”上；统一在两个地方：一个是统一在“绝对值（标量）”上，另一个是统一在“无（0）”上；

相对数轴来讲，正数与负数统一的地方在起点（就是数轴的原点，也是正数与负数在数轴上唯一的交点）和离开起点的距离（标量）上；相反的地方是正与负，正数离开起点越远就越大，负数离开起点越远就越小。

为了有利于大家对下面文章的理解，有必要在此先说明一个观念。我们都知道，表达一维空间，我们用的是直线坐标系，表达两维空间，我们用的是两维直角坐标系，两维直角坐标系中的两个坐标，互相是一种正交的关系，用哲学观点来看正交关系，正交是一种对立统一的“辨证”关系——我们用表示面积的“长与宽”来说明这个观点：长与宽是对立的统一，对立体现在两个地方，一个是它们代表了两个不同方向的量，另一个它们都是独立的，任何一维坐标的变化，都不会引起另一维坐标产生相应的变化，也不能代替另一维坐标的变化；它们又是统一的、等价的，统一在两个地方，一个是两者共同形成了面积，缺一不可；另一个是把坐标系旋转90°以后，两者就互换了。

如果坐标系是一维的，两轴以原点对称且在一根直线上，那么这两个轴旋转180°，也可以互换。因此实数轴上表示正数的一半和表示负数的一半，本来应该是等价的、对立统一的、两者旋转180°就可以互相转换的，但由于数学规定了任何正数大于0大于任何负数，也就是规定了实数轴是有方向的，所以正数与负数在数学上是不等价的，任何正数大于任何负数。

我们接下来分析一下加法发展到乘法的含义，从计算数值累加的角度来看，乘法只不过是利用这些被加数都相等的共性，将它们排列后再累加，从而提升了加法的效率；而乘方只不过是乘法的特例（因数都相同）而已。

从计算角度看（为方便，以下的分析说到乘法、除法，都是指两个数相乘或相除；说到乘方和开方，都是指平方和开平方），两者也是有本质区别的。除法运算和开方运算都是根据乘法运算得到的“积”做逆运算，以求出我们得到这个积的两个因数。除法运算的计算比较简单，因为做除法运算时，我们已知积的值和其中一个因数（除数）的值，只要求出另一个因数（商）的值就可以了。学过除法运算的人都知道，在计算那个要求的因数（商）的过程中，已知的那个因数（除数）是确定的、不变的，从这个角度讲，这两个因数互相是独立的，两者之间没有相关性；而做开方运算时，情况要复杂得多，我们只知道积的值，另一个已知的条件不是“数值”，而是两个因数相等的“关系”，因此在做开方计算的过程中，“除数和商”都不是一个确定的数，而是同步变化的“变量”，这就决定了除法运算与开方运算这两个运算性质的本质差别——做除法运算是“计算”，要求的是数；做开方运算是“解方程”，要求的是变量。所以做除法运算我们只会得到一个唯一的确定的结果，做开方运算会得到两个（对立统一）的结果（譬如根号4等于正负2）。

从非线性哲学角度看，还不仅是如此；能够用乘法来做累加的数，是有其特殊性的，那就是这些被加的数都是相等的，因此这些数能够被排列后再计算，这就显现了它们有内在的“自相似性”，也就是这些数具有分形最基本的特征，因而这些数具有了分数维度，把它们“集合成整体”后，在数值上是“累加”，在空间上是增加了维度，因此乘法运算得到的“积”，不仅是数值累加的结果，还有了增加维度（线段成为面积）的内在含义。

乘方运算是乘法运算的特例（两个因数相同），这个特例的“特”，从计算数值的角度，我们看不到它与乘法运算有任何本质差异，也就是说，从数值累加成积这个角度来看，乘方运算与乘法运算是一样的；但是在增加维度的功能上，两者是有本质差异的，这个差异造成了它们的逆运算——开方运算与除法运算的本质区别。所以尽管除法运算与开方运算都是乘法运算的逆运算，但是除法运算只可能产生无限循环小数（有理数），而开方运算则可能产生无限不循环小数（无理数）。

如同我在《不确定性原理的非线性哲学解读》一文中以“灌木丛组成的迷宫”为例子来说明那样：我们现在数学上广泛在应用的整数维三维空间，是连续空间的一个特例——整数维度空间，它对系统维度的“识别精度”很低，任何一个有“厚度”的“两维动物”，都被当作了三维动物，也就是把2.000…0001维和2.999…9999维，都等同于3维了！这种等同忽略了两者之间几乎有一维的差异，所以难以解释很多现象，在这里也一样。实际上乘法运算产生的“积”，是连续维度的，只有其中的特例——乘方运算产生的“积（幂）”，才是整数维度的。

如果我们忽略除法运算和开方运算这两种运算对数值的操作，从维度的角度看，这两种运算相同的地方，就是都降低了系统的维度；不同的地方，在于除法运算降低的维度不一定是整数维的，因为乘法运算产生的维度是连续维度的；而开方运算降低的维度是整数维的，因为乘方运算产生的维度是整数维的。

在具有“正交”是一种辩证关系的哲学观念后，我们再来进一步仔细分析乘法运算与乘方运算在维度上的差异：乘法运算得到的面积是矩形，乘方运算得到的面积是正方形。任何矩形都可以分解成整数倍的小正方形，所以矩形的面积从数值的角度看，是这些小正方形的累加（积），从维度的角度看，矩形是整体，这些小正方形是局部，矩形是这些小正方形的集合。因此我们可以这样说，乘法运算同时包含了两个操作，一个是增加了维度，产生了面积（产生矩形），另一个是把这些小正方形累加起来（数值累计）。乘法运算产生的矩形作为一个整体来看，实际上是一个分形系统——是一定数量相同的小正方形（这些小正方形具有内在的自相似性）的集合，所以矩形具有分形的特征——分数维。这就是我说乘法运算增加的维度是连续维度的非线性哲学原因。

写到这里，我们有必要再回过头去看看除法运算与开方运算计算法则的差异：同为乘法运算的逆运算，这两个逆运算的运算法则是不同的，除法运算这个乘法运算的逆运算，“人为的”确定了矩形面积的一个边的精确数值（已知一个因数，或者说除数），求的是另一个因数（商），这就把因为维度降低而可能导致的变化和矛盾局限到另一个因数（商）中了。数学遵循的是严密的形式逻辑，如果在一个运算中，相关的三个项的关系是确定的，其中有两个项也是确定的，那么第三项必定是确定的；但是形式逻辑无法解决辨证矛盾，所以在做除法运算降低维度时，两维空间中因两维“正交”而蕴含的“辨证”关系（矛盾），就会集中反映到第三个项身上，很多情况下，在第三项身上就可能显现“无限与有限”、“确定与不确定”的辨证本质（除法产生无限循环小数就是例子、除法的分母不能为0更是一个特例）。为了避免这些因辨证关系与形式逻辑之间不可调和的矛盾影响数学的发展，如同我们在前面所说，数学规定了分母不准为0，将0作为除法运算的禁区而排除。同时严格定义了无限循环小数，这个数系的新成员，与在它前面出现的数都不同，实际上蕴含了“有限与无限、确定与不确定”的辨证关系。

乘方运算增加的是整数维度，因为乘方产生的正方形本身是一个整体（系统），不象矩形是小正方形的集合，加上开方运算的运算法则决定了开方运算不是求数值的计算，而是求变量的“解方程”，所以依据这两种运算在这两个方面的不同，我们可以说，开方运算因降低整数维维度而显现的辨证特征更突出，加上两维空间“正交的辨证关系（矛盾）”同步反映在两个因数（除数与商）上，因此开方运算这个乘法特例的逆运算，不仅可能产生两个对立统一的结果，还可能产生无理数。

无理数的出现，着实在当时的数学界引起了极大的混乱，引发了数学危机！因为无限循环小数（有理数）尽管不是一个精确确定的数，但至少有两点还是确定的，一个是它有确定的规律——周期；另一个是它有确定的数按严格的规律重复出现，因而它还能让数学界接受。无限不循环小数既没有确定的周期，也无法用确定的数字来表示，它简直不规矩到不讲道理的地步，因而它被称为“无理数”。无理数的发现，使数学家们看到了一个问题：尽管数学的游戏规则是确定的、唯一的、严密的，被开方的数也是精确确定的，然而结果可能不是唯一的（譬如2与-2 都是根号4的解），甚至结果可能不是能够精确确定和用数字来表达的。开方运算结果的不规则，显现了无限与有限、确定与不确定的辨证矛盾。很多数学家甚至都不承认“无理数”是个“数”！因为它本质上就是一个“变量”（这一点我在后面分析复数系的线性局限时，还会详细分析）。

现在我们再从除法运算与开方运算这两种逆运算产生的不同结果来看看两者的差异，相信大家都很容易看到，在做除法运算中，三个项中只有一个项是不确定的，所以它的“确定性”程度相对比较高；在做开方运算中，三个项中有两个项是不确定的，所以它的“确定性”程度低，“不确定性”的程度很高。而除法运算和开方运算会产生蕴含“辨证特征的结果”，是因为乘法运算本身就带有了辨证的特征，其一是“负负得正”——“否定之否定”规律；其二是两个数字量（标量）相乘时，被分别定义为两个正交坐标轴上的矢量（长与宽），这就使得乘法运算在进行数值计算的同时，增加了维度。

虚数也是在开方运算中被发现的。按照数学严密遵循形式逻辑的游戏规则，本来是应该排斥“被开方的数是负数”这种情况的，因为任何实数的平方都不会是负数，但是当数学家在尝试用开方运算处理负数后，发现这个运算结果有一个最大的用处，那就是增加了数系的维度，使得一维的实数轴扩展成了两维的复数平面，使得数学不仅能处理标量，还能处理向量了。于是，开方运算这个乘法运算特例（乘方）的逆运算，又产生了虚数这个数系的新成员，并因此而使得数系扩展到两维。

那么为什么数系里“新的成员”都是在“逆运算”中被发现的呢？从哲学角度讲，逆运算就是“从结果求原因”，从整体求局部，从高维度分解到低维度，从矛盾的统一体中去分解矛盾内部对立的各方，这种操作必然更多的暴露系统内在的本质与矛盾，让我们获得更多的信息、也面临更深层次的矛盾。这就像物理学的发展，也是不断从统一体中去寻求内部矛盾和统一的各方，从物质到组成物质的分子、再到组成分子的原子、再到组成原子的基本粒子……从宏观的现象中不断去求索造成这个现象的内在本质原因……所以我在一开始提到数系中新的成员的产生，都是在“逆运算”中出现的“共性”，是由人类认识进程的必然性所决定的。


供参考，欢迎批评指正！


谢谢！


商与儒




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