商与儒：加密技术将数字信号转成了模拟量 撒切尔 每次通信就是几个“嘘”声，每个“嘘声”不超过3秒

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现有的复数平面本质上应该是三维的2009-01-27 18:44
我爱好的是哲学研究，不是数学，但是哲学是自然科学和社会科学的结晶，所以我经常用自己的哲学思维去审视自然科学。


在审视数系时，我发现现存的复数平面本质上是个两维球面，它占据三维空间，只是被“强行”变成平面了。所以全世界的数学家找了几百年，至今都没有找到三维数系。


下面谈我的看法供各位参考，欢迎大家批判。


我是从模拟量和数字量的角度进行考察和思维的。


先看数字量与模拟量的关系。


精度再高（位数再多）的数，还是数字量；形状再简单的形（譬如“直线”），还是模拟量。（我把直线打上引号，是因为最简单的模拟量其实是圆和圆弧）


数和形的关系，本质上是数字量和模拟量的关系，从逻辑上看，是形式逻辑和辩证逻辑的关系，它们之间的联系和转换，一定不完备、不精确，或者简单的说，只有当精度趋向无穷时，它们的转换才是精确的（是否完备我没有充分考虑，所以没有把握）。


现实生活中最典型的例子就是用数字技术对音频信号的处理、储存、放大、调音、变频、还原……当我们用数字技术对模拟量进行数字化时（模数转换），无论精度多高，总会丢失部分信息（高频部分、细节部分、微观部分）；在数字量还原到模拟量时（数模转换），一定会有失真（原先丢失的信息无法捡回来），虽然现在已经在用各种方式进行补偿（譬如图画和音频电路中常用的模糊和柔化技术），但是这种补偿的标准是实用的——以人能够更好的接受为标准，不是“客观”的。


为了更形象的说明问题，我用现代计算机技术记录“一个苹果”为例，来具体说明一下：表现（描述）一个苹果，我们可以用两种办法,一个是拍张照片；另一个就是用文字描述。由于照片的信息是模拟量，必须进行模数转换，将模拟信息变成数字信息才能用计算机存储或处理，于是我们必须用扫描仪对照片进行扫描，照片上每个点不仅有灰度（深浅）信息，还有颜色信息，信息量远远大于文字的信息，所以一幅占用几十兆字节的图像文件，清晰度还是很低的，如果我们要用于杂志印刷，一幅照片的数码文件一般都要几百兆，但是一篇用文字描述这个苹果的文章，描述得再仔细，也用不了几十K的字节，因为文字信息是数字量，照片信息是模拟量——图像文件是对照片进行模数转换后的数字量。


80年代我在外汇管理局工作，负责计算机系统的管理，与安全部门有一些联系，一次英国首相撒切尔夫人来访，安全部门对她的通信全程录音，但是发现她每次通信就是几个“嘘”声，每个“嘘声”不超过3秒，其实这就是用加密技术将数字信号转成了模拟量，一个“嘘”声，可能包含了一篇几万字的文章（那个时候我在外汇管理局用的是当时最先进的3+网，传一篇几千字的文章要一二分钟）……由此可见，就信息的单位密度来讲，模拟量包含的信息，远远大于数字量，用数字量去描述模拟量，无论精度多高，总会遗漏很多模拟量的细节，失落很多“高频的碎片”,产生失真。这是数字量和模拟量之间的信息密度问题。


从逻辑关系来分析数字量和模拟量，其实两者就是形式逻辑和辩证逻辑的关系。对模拟量的运算和判断要用到辩证逻辑，现在的数学只用形式逻辑。辩证逻辑高于（包容）形式逻辑，所以模拟系统可以包容数字系统（譬如运算放大器只要接入运算网络就能进行加减乘除乘方开方微分积分……等所有运算），而数字系统不能包容（只能贴近）模拟系统。数字系统在“模拟（贴近）”模拟量运算时，排除精度因素，还必然遇到一个逻辑问题——它只能用形式逻辑运算，或者按人为安排用“穷尽法”，将能够想到的“各种辩证可能性”，静态、死板（按部就班）、“僵硬”的列出，再用数理逻辑去比对，来模拟辩证逻辑（譬如机器人下棋）。这种逻辑上的缺失，会导致数字系统进行模拟运算时更大的失真，而且完全无法补偿。这是逻辑问题。


对数字量和模拟量的处理，还有个根本的差异，就是叠加和耦合的问题——模拟量各个因素之间的关系是耦合，不能线性叠加、不可逆；而数字量对一维以上的模拟量都是分别数字化后，再加以线性叠加，且不说对单维数据处理的响应速度和失真（相移）问题，就这种处理方式来讲，不可避免的造成耦合信息的失落，这会造成无法容忍的误差。譬如照片的亮度、色饱和度、反差……都是互相有紧密关系的模拟量，任意一个模拟量的变化，都会引起其他两个模拟量的同步变化，用数码技术将它们分割后，这种耦合就被割断，只能用某些“算法”去补偿，失真很大。


我们现在概念里的点、线、面，都是人造的，只存在于人造的体系里，真实世界中没有直线、平面的东西（海平面其实是球面），真实世界里所有的运动轨迹都是模拟量，天体的机械运动（排除天体内其他化学物理运动）可以说是最简单的机械运动，但是貌视有精确规律的天体运行轨迹，实际上只要稍微提高点观察精度，我们就可以发现，它们都是极不规范的，即使我们排除天体内部运动和其他天体运动对此造成的扰动，仅仅它因自转引起的进动（自转轴与公转平面不垂直），就足以造成运行轨迹是个不封闭、不规则的椭圆……人的运动也是模拟的，不要说体操运动和跳水运动中翻腾的同时加旋，就拿最简单的行走来讲，就是一个非常复杂的模拟运动，所以一个再高级的机器人，从走路的能力来看，是无法与三岁小孩相比的，因为人脑的所有输入设备（传感器——眼睛、耳朵、鼻子、皮肤……）都是模拟信号接收器，人脑的思维特征与此完全适配，就是模拟和辩证思维。


因此数字量、现代数学、计算机……都是离散结构；而模拟量、模拟代数、辩证逻辑代数、模拟计算机（譬如人脑）……都是连续结构。


现在我们来看一下计算圆周率的一个方法——用圆的内接正多边形来计算，当边数N趋向无穷时，边长缩短成点，这个正多边形与圆重合。所以理论上能达到精确的模数转换的模拟量，只有圆！


所以我认为现存的复数平面本质上应该是个球面——把X轴和Y轴的两端无限延伸并弯曲后，连接到一个点——无穷远点，平面变成像地球一样的球面，如果把0点看成南极，无穷远点就是北极；半径就是精度。


把圆弧强行拉成直线，就产生了无数的裂缝和空隙，这就是复数平面碰到的问题——现在再回到数轴上来……用数轴表示全部实数，其实就是用数字量对“最简单”的模拟量（直线）进行数字化，我们已经看到，即使理论上全体实数与直线上的点一一对应了，实际上实数中绝大多数是没有确定值的“超越数”，现代数学对它们几乎一无所知（我认为它们就是模数转换中的“碎片”），在精度达到无穷之前，实数对直线的模数转换精度很低（譬如对应圆周率的点，我们一般取小数点后3-4位，现在已经算到几亿位，但是远没有到无穷远），所以对复杂模拟量的数模转换，由精度造成的失真就更大了！


各位如果有兴趣，下次我也可以从复平面本身还必须加上一维——精度，来说明现存的数系本质上是三维的。


如果我们进一步抽象，就可以发现，造成数学根本困难的精度、极限、定域、连续不连续、可导可微、耦合……等问题，就是模拟和数字、辩证和形式逻辑的矛盾，也可以说是线性与非线性的矛盾。造成现代数学越来越繁复的根本原因，就在于平面数系是强行将球面“摊平”造成的！对每一个数学规律的研究，都必须严格的定义它的域和适用范围，绝大多数就是为了排除或跨越裂缝和空隙。


支持我以上观点的，有一个最好的事实——超越数的存在，因为所有的超越数都不是整系数代数方程的解，它们显然在现存的数学里很少会出现；近百年来，只发现了很少几个超越数，但是集合论证明代数数的数量远比超越数少（有人把代数数比喻成由超越数组成的黑暗天空中的星星）。开个玩笑——上帝创造这么多超越数不会没有用吧？我相信它们就是模拟数学的主要角色——现在至少证明了一点，它们是被形式逻辑排除在外的“特殊无理数”，或者说是模数转换留下的无数碎片——我们是乎可以这样比喻：现代数学像个极挑剔的导演，它从数以亿万计的大众中，只选了几个完美的明星（譬如自然数），却让它们统治了整个数学舞台！

现代数系还有一个非常典型的逻辑矛盾：复数平面的X轴，是用来表示全部实数的，每个实数就是数轴上的一个点。点是没有面积的，再多的点连起来，也不应该有长度，但是线却是有长度的，这个长度是哪里来的呢？我认为按严密的形式逻辑建立的数学，是不应该发生上述逻辑矛盾的，所以实际上线的长度不是来自点，而是来自点与点之间的空隙！除了上述的超越数，我还可以举个大家熟悉的例子来说明：0.9 循环小数和1 之间，是不可能插入任何数了，但是0.9循环小数永远都不会等于1，它们之间一定存在空隙！任何无限不循环小数也一样，该小数的两边都有空隙，空隙是有长度的，正是这无数的空隙，形成了线。而数轴之所以会存在空隙，就是因为原本为圆的数轴被“人为强行扳直”了，所以产生了无数的“裂缝”。

球面数系适用辩证逻辑，按辩证逻辑，一定条件下的点是可以有面积的，只有在这样的数系上，模拟量才能被理论上完全精确的数字化。用这样的数系，才有可能建立起模拟代数和相应的辩证逻辑代数。

我对数学不精通，以上是我从哲学角度的一些思维，希望对大家有参考作用，更希望听到各位的指教和批评！


谢谢！


商与儒