当速度远远小于光速时，这种对第三定律的偏离是非常之小的

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Newton 第三定律和动量守恒Newton 第二定律给出了任何物体的加速度与作用在它上面的力之间的关系，在这个基础上，原则上可以解决任何力学问题。例如，为了确定几个粒子的运动，人们可以利用前面一节中所展开的数值方法。但是我们有充分的理由来进一步研究 Newton 定律。首先，有一些十分简单的运动不仅可以用数值方法分析，也可以直接进行数学分析。比如：虽然我们可以按数值方法计算简谐振子的位置，但是分析这个运动并找到一般解cosxt=，则更令人满意。同样，一个行星由引力决定的绕太阳的运行固然可以用上一节的数值解法逐点地加以计算，从而找到轨道的一般形状，但能够得到准确的形状——分析表明这是一个完整的椭圆——就更好了。因此，当存在一种简单而又更为精确的方法以得出结果时，再去用一系列麻烦的算术运算就毫无必要了。遗憾的是，只有很少问题能够以分析方法精确求解。例如就简谐振子来说，如果弹簧力不是正比于位置，而是更为复杂的话，人们就只得又回到数值解法上来。或者，假如有两个天体绕太阳运行，使天体的总数是三个，那么分析法就无法得出一个简单的运动公式，实际上这个问题只能作数值解。这就是有名的三体问题，今天，它已作为常规计算准确地按上一节所描述的方式进行充分的演算后，加以解决了。十分有趣的是，人们曾经化了那么长时间才领悟到也许数学分析的能力是有限的，因而使用数值解法是必要的这个事实。然而，也有一些两种方法都失效的情况：对简单的问题我们可以用分析方法，对适当困难的问题可以用数值和算术方法；但是对非常困难的问题则这两种方法都不能用了。例如：两辆汽车的碰撞，或者甚至气体中分子的运动，就是一种复杂的问题。在一立方厘米的气体中有数不清的粒子，而试图用这么许多变量(约个——即一万亿亿个)来作计算将是荒谬的。任何问题，如果不是只有二、三个行星绕太阳运行，而是诸如象气体、木块、铁块中的分子或原子的运功，或在球状星团中许多恒星的运动之类这样的问题，我们就不能直接去解，因此只好借助于其他手段。2010在那种无法了解细节的情况下，我们需要知道某些一般性质，亦即需要知道作为 Newton 定律结果的一般性定理或原则。这些推论尽管不会告诉我们内部运第 1 页，共 9 页
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动的细节，譬如某一特定时刻气体中某一个分子的位置和速度是多大，但是却可以为我们提供有关物体整体运动的重要信息。比如作为整体，物体是否在空间平移或者转动、或者尽管不知道某一个气体分子的速度，但是平均来说，物体的内部运动是趋于更加强烈还是逐渐变得缓和，与这些描述整体运动有关的定理分别被称为质心运动定理、角动量定理以及动能定理。这就是接下来我们将要讨论的问题。前面已经强调过，力是理解 Newton 定律的关键。而在有关力的性质方面Newton 只向我们讲了两件事。在引力情况中，他留给我们一条完整的力的定律。关于原子间的非常复杂的作用力，他并不知道力的正确的规律；然而，他发现了一条有关力的一般性质的规则，并在第三定律中对此作了阐明，这就是 Newton在有关力的性质上告诉我们的全部内容——引力定律和第三定律，再没有其他细节了。Newton 第三定律是：作用等于反作用。它的含义如下：假设我们将两个小物体，比如说两个粒子（分别编为1号及2号），第一个粒子对第二个粒子施加一个力，即用一个一定的力推它。那么，按照 Newton 第三定律，第二个粒子同时以大小相等、方向相反的力推第一个粒子；而且，这些力实际上沿同一根线起作用。这就是 Newton 提出的假设，或者说定律，它看来是相当准确的。尽管并不严格正确(稍后我们将讨论它的误差)。现在来看一下，上述联系有什么有趣的结果？由于粒子1与粒子　之间的力相等而方向相反，按照牛顿第二定律，力是动量对时间的变化率，于是我们得出粒子1的动量21pK的变化率等于粒子　的动量22pK变化率的负值。即1dpdpdtdt= − 2KK(1)现在，如果变化率总是数值相等、方向相反，就可知道粒子1动量的总变化与粒子2动量的总变化数值相等、方向相反；这意味着，如果我们把粒子1的动量与粒子2的动量相加，那么由于粒子之间相互作用力(称为内力)引起的两个粒子动量之和的变化率为零；即第 2 页，共 9 页
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()120dp pdt+=KK(2)在这个问题中假定没有其他作用力。如果这个和的变化率总是零，这正是量不发生变化的另一种说法(这个量也可写成( 12p p+KK)1 12 2mv mv+KK，并称为这两个粒子的总动量)。现在我们得出两个粒子的总动量不因它们之间的任何相互作用而改变的结论。这个说法表示了在这个特例下的动量守恒定律。我们断言：如果两个粒子间存在着任何类型的力(不管这个力怎样复杂)，我们在力作用之前及力作用之后去测量或计算1 12 2mv mv+KK，其结果总是相等的，也就是说，总动量是一个常数。接下来我们将研究 Newton 定律对较为复杂问题的应用。我们将要考察的力学体系不是由一两个粒子构成，而是包含了大量的粒子；这些粒子不仅相互之间有力的作用，而且还可能受到来自外部其他物体的作用。当世界变得更复杂时，它也就变得更有趣了，而且，我们将发现与较复杂物体的力学相联系的现象比起只是一个点来说确实要惊人得多。当然，这些现象除了 Newton 定律的组合之外并不包含其他东西，但有时却难于使人相信，只有 F ma=在起作用。想象把一个由弦线联在一起的书本、黑板擦所组成的物体抛到空中，我们就可以在这个过程中观察到第一个有趣的有关复杂物体运动的定理在起作用。当然，我们知道，如果我们研究的是一个质点，它将沿一条抛物线运动。但是，现在我们的物体不是一个质点，它将摇摆和晃动，并继续下去。尽管如此，人们仍能看到，它还是沿抛物线运动。但究竟是什么沿抛物线运动呢？当然不是书本边角上的点，因为它在来回晃动；也不是黑板擦的端点和书本或黑板擦的中间部分。但是，确实有某个东西沿抛物线运动，那就是有效“中心”。因而第一个关于复杂物体的定理就是要表明：存在着一个可以在数学上加以定义的平均位置，但不—定要求它是物体自身上的一个沿抛物线运动的点。这就叫做质心定理，其证明如下：我们可以把任何物体都看成由大量微小的粒子，即原子所组成的，在这些粒子之间存在着各种力。用a来表示某一个粒子的指标。(它们的数目极大，比方说，a可以大到或更大。) 那么，作用在第　个粒子上的力既有外部物体施2310a第 3 页，共 9 页
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加给它的（用表示），也有来自于体系内部的其他粒子的相互作用，我们用extaFKabfK表示粒子a受到的来自体系内标号为b的粒子的力，这些力的总和当然就是质量乘这个粒子的加速度：2extext2aaaFFaaababd rf Fmdt=+=+=∑ fKKKKKK（对a不求和）(4)假定我们讨论的运动物体的各个部分都是以远小于光速的速率运动，所以对所有的量我们将用非相对论近似。在这种情况下，质量是常数，因此()22a aad m rFdt=KK（对　不求和）(5)a如果我们把作用在所有粒子上的力都加起来，也就是说，假如对所有不同指标的求和，我们就得到总的力aFKFK。在等式的另一边，由于先微分后相加和先相加后微分结果相同，于是有22aadFFm rdt⎛⎞= =⎜⎝⎠∑∑KKa a ⎟K(6)因此，总的力就等于各个质量与位置乘积之和的两阶微商。现在作用在所有粒子上的总的力与总的外力相同。为什么呢？虽然由于弦线的存在，作用在粒子上的尚有各种各样的力，如摆动力、推力、拉力、原子力以及你也不知道是什么形式的力，我们应该把所有这些力都加起来，但 Newton 第三定律却帮助了我们。由于在任何两个粒子之间的作用和反作用是相等的，因而当我们把所有的方程式加起来时，如果任何两个粒子之间有力作用着，那么在求和时这些力将相互抵消。因此，最后的结果是只剩下那些来自外部其它粒子的作用力，这些粒子不包含在我们所要求和的那个物体里面。因此，假如式(6)是对一定数量的粒子求和，这些粒子一起构成了所谓“物体”，那么作用在整个物体上的外力就等于作用在组成它的各个粒子上的所有力的和。如果我们能够把式(6)写成总质量和某一个加速度的乘积，那么问题就好办多了。这是可以做到的。我们用M 来代表所有质量的总和，也就是总质量。如果我们定义一个矢量CMRK为第 4 页，共 9 页
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CMa aaaam rRm=∑∑KK(7)由于M 是常数，则式(6)将简化成()2extCMCM2dF FMRMRdt===KKKK(8)于是我们得出，外力等于总质量和某一位于CMRK的假想点的加速度的乘积。这个点称为物体的质心。它是位于物体“中间”某处的一个点，是rK的一种平均值。在这种平均值中，各个不同的arK具有正比于其质量的权重。说明几点。首先，质心运动定理决定的是体系作为整体在空间的平移运动；其次，也就是我们在这个时候要引进它的原因，在于质心的运动可以和物体“内部”的运动分开来处理，因此，我们在讨论转动时可以不去考虑它；最后，作为质心运动定理的推论，我们可以证明：在没有外力作用下，体系的总动量是守恒的。这是因为你可以将式(8)写成下面的形式CMdPFdt=KK(9)这里CMCMa aaPMRm==r∑KKK(10)称为质心的动量，它实际上也正是体系的总动量。当外力等于零时，这个量在运动过程是一个不变的量。关于质心运动的定理是非常有趣的，而且在我们了解物理学的发展过程中具有很重要的作用。假设 Newton 定律对于一个比较大的物体的各个较小的组成部分成立，那么这个定理表明，即使我们不去研究这个大的物体的细节，而只研究作用在它上面的总的力和它的质量，Newton 定律对这个大的物体也是适用的。换句话说，Newton 定律有这样一种独特的性质，如果它在某一小尺度范围内是正确的，那么在大尺度范围内也将是正确的。假如我们不考虑棒球是由无数相互作用的粒子组成的极端复杂的结构，而只研究它的质心运动和作用在棒球上的外第 5 页，共 9 页
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力，我们得到 F ma=KK，这里 FK是作用在棒球上的外力，m是它的质量，　是它的质心的加速度。因此，aKF ma=KK是一个在较大的尺度范围内也能重现其自身的定律。Newton 定律这种自我重现的因素并不真正是自然界的根本特色，而是一个重要的历史特色。在最初的观察中，我们决不会发现原子微粒的基本规律，因为最初的观察太粗糙了。当然，适用于原子范围的定律在本质上并不一定要与在大尺度范围内适用的定律相同。假设原子运动的真正规律由某种奇特的方程确定，这个方程并不具有当我们研究大尺度问题时重现同样规律的性质，而是具有这样的性质：当我们处理大尺度问题时，我们可以用某种表示式作为近似，以致如果我们一步一步地推广这个表示式，它就能在越来越大的尺度下不断重现。这是可能的，而且正是符合实际情况。Newton 定律就是推广至非常大的尺度范围的原子规律的“末端”。在微观尺度下粒子运动的真正规律是非常特殊的，但是如果取大量的粒子，把它们组合起来，它们就近似于而且也仅仅是近似于 Newton 定律。Newton 定律使我们能够继续处理尺度越来越大的问题，而且看来仍然是同一定律。实际上，尺度越来越大，Newton 定律也就越来越精确。现在知道，基本的原子规律，即所谓的量子力学，与 Newton 力学非常不同，而且很难理解，因为我们所有的直接经验都与大尺度的物体有关，而尺度很小的原子的行为与我们在大尺度上所见到的根本不一样。因此，我们不能讲：“一个原子就象一个围绕太阳运转的行星”，或诸如此类的话。它不象我们所熟悉的任何东西，因为没有任何东西与之相似。当我们把量子力学应用到越来越大的物体上时，关于许多原子集合在一起的行为的规律本身并不重现，而是产生一些新的规律，即 Newton定律，至于 Newton 定律本身则不断地重现，比如说从小至微微克的物体——它已经包含有数以兆亿计的原子——到大至地球，甚至更大的物体都适用。顺便提一点。质点是力学的一个基本概念，它是实际物体在形状和大小可以忽略时的一个近似，这是质点这个概念的运动学基础；而其动力学的原因，则是质心运动定理，或者说是 Newton 定律的重现自身的特性。第 6 页，共 9 页
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最后我想对 Newton 第三定律做一些讨论，因为正如我们所看到的，Newton的这个定律或者假设对于质心定理、动量守恒以及我们上面的讨论起着非常关键的作用。为了使我们的讨论更加可信，就需要知道这个假设是否准确，以及如果不准确的话，偏离又有多大？实际上，这个关于力的一般性质的定律尽管相当准确，但并不是严格正确的。因为我们确实知道一些力，其作用并不等于反作用。譬如两个运动电荷之间的磁相互作用 F qv B=×KKK，其中　和　是粒子的电荷和速度，而则是q vKBK另一个电荷运动时所产生的磁场。两个平行电流元之间有相互的吸引力（图 1），尽管它们大小相等，方向也相反，但却并不是沿同一根线起作用；而对于相互垂直的两个电流元（图 2），作用与反作用则完全不满足 Newton 第三定律，它们不仅不是沿同一根线起作用，而且方向是相互垂直的，甚至大小也不相等（计算表明二者的比值dF2112:ta1q2vK12rK12FK21FK2q1vK图 11q12FK21FK12rK2q1vK2vKθ图 2ndFθ=，其中θ 是1dlK与12rK的夹角）。为什么会这样呢？Newton 的前提之一是认为在一段距离内的相互作用是瞬时的。结果发现情况并非如此，比如，在包含着电力的情况下，如果在某一个位置上的一个电荷突然移动，其对在另一个位置上的另一个电荷的影响并不是瞬时的——稍有一点推迟。影响跨过它们之间的距离所需要的时间，即以每秒 30 万公里的速度跨过这段距离的时间。在这段很短的时间内，第一个电荷将感受一定的反作用力，即获得了某些动量，但第二个电荷却丝毫也不受影响，也不改变它的动量，因此在这段很短的时间内粒子的动量是不守恒的。当然，在第二个电荷感受到第一个电荷的作用并且一切都稳定下来之后，动量的方程就完全成立，但在那段小小的时间间隔中动量是不守恒的。为了表明这一点，我们说在这段时间内除粒子的动量mv 外还有另一类动量存在，这就是电磁场的动量。如果我们将电磁场的动量加在粒子的动量上，则在所有时间内动量每一时刻都守恒。电磁场K第 7 页，共 9 页
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具有动量和能量这个事实使场的不再是数学上的定义，而是一个更为真实的物理实在。因此，更好的理解是，原来那种认为只有粒子之间存在力的概念必须修正为：粒子具有场，场作用在另一个粒子上，而场本身具有我们所熟悉的性质，比如正象粒子那样带有能量和动量。再举另外一个例子：电磁场中存在着我们称之为光的电磁波，结果光也具有动量。所以，光撞击一个物体时，它在每秒钟内传递了一定大小的动量；这相当于一个力，因为，如果被照射物体每秒钟获得一定的动量，它的动量就发生变化，这种情况与有一个力作用在它上面完全相同。光撞击在物体上时会施加一个压力，这个压力很小，但用足够灵敏的仪器可以测量出来。实际上，现代物理学认为，两个带电粒子之间的电磁作用就是通过交换光子来实现的，不仅如此，所有基本的相互作用也都是通过交换某些特殊种类的粒子来实现的。譬如，通过交换光子，两个电子之间发生了电磁作用；导致粒子衰变的弱作用则是通过交换、或者W+W−0Z 粒子；而夸克之间的强作用所交换的粒子则是胶子，另外一种在所有物质间都有作用的引力则是通过交换引力子来实现的，这些作交换的粒子都有一个共同的特性，那就是它们都具有整数倍的自旋，这样的粒子有一个名称，即玻色子。因此，按照现代物理学的观点，所有的相互作用，就其本源来说，都是通过交换中间玻色子实现的！e−e−e−e−e−e−γ因此我们看到，只要相互作用是以有限速度传递的，一般来说 Newton 第三定律就不再严格成立。那么，这种对第三定律的偏离有多大呢？也许有人会认为“偏离”这个词并不恰当，因为在我们前面两个速度垂直的运动电荷的例子中，相互作用的磁力看起来不只是偏离了 Newton 第三定律，而是完全违背了它。但是，你不应忘了，这两个粒子除了磁的相互作用之外，由于它们带电荷，同时还第 8 页，共 9 页
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有电的相互作用，而此不过是电的相对论效应，在我们的例子中，两个运动电荷之间的磁力与电力的比值大约是21 2vv c ，也就是说，当速度远远小于光速时，这种对第三定律的偏离是非常之小的。在量子力学中，动量是另一回事——它不再是mvK了。物体的速度的含义已难于确切定义，但是动量仍然存在。在量子力学中，差别在于当粒子表现为粒子时，动量仍是mvK，但是当粒子表现为波时，动量就用每厘米的波数来量度：波数越大，动量就越大。尽管存在这些差别，动量守恒定律在量子力学中仍然成立。虽然不成立，所有从 Newton 定律出发的有关动量守恒的推导也都不成立，然而，在量子力学中，这条特殊定律却最后仍然有效！F ma=KK第 9 页，共 9 页