无界媒质中 麦克斯韦方程的解 均匀平面电磁波 波导中 麦克斯韦方程的解 导行电磁波

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下载文档收藏第九章 导行电磁波 自动控制元件的基础知识 自动控制元件的基础知识

第九章 导行电磁波 ①无界媒质中 麦克斯韦方程的解 波导中 麦克斯韦方程的解 ②波导 均匀平面电磁波 导行电磁波 广义：用来导引电磁波进行定向传输的装置。 习惯上 { 按结构分： 平行双线传输线、同轴线、带线和微带线等 按横截面形状分： 矩形波导、圆形波导和椭圆波导等 按使用频段分： 介质波导和光纤 ③导行电磁波问题仍然是电磁场的边值问题，即求解满足 波导边界条件的波动方程，然后分析沿波导的传播特性。 §9.1 导行波的电磁场 1、均匀波导中的 E , H 、 假定 ①由理想导体构成的导波装置沿z方向均匀； ②并且置于线性、均匀、各向同性的理想媒质中； ③电磁波在媒质中沿导体向方向传播。 此时电磁场的复矢量为： E = E 0 ( x, y ) e γ z = ( xE 0 x + yE 0 y + zE 0 z )e γ z H = H 0 ( x, y ) e γ z = ( xH 0 x + y H 0 y + z H 0 z )e γ z γ 称为导行电磁波的传播常数 传播常数将这两个表达式代入理想媒质无源区域的麦克斯韦方程中，即 × H = jωε E × E = jω H H = 0 E = 0 考虑到各分量都有 / z = γ 的关系，则在直角坐标系中有 H 0z + γ H 0 y = jωε E 0 x y H 0z γH 0 x = jωε E 0 y x H 0 y H 0x = jωε E 0 z x y E0 z + γ E 0 y = jω H 0 x y E0 z γE 0 x = jω H 0 y x E0 y E0 x = jω H 0 z x y 电磁场共有六个分量，但其中四个横向分量可以用两个纵向分量导出 因此可以得到由纵向分量 E 0 z H 0 z 表示的横向分量表达式 E0x = E0 y H 0x E0z H 0z 1 (γ + jω ) 2 2 x y γ +k E0z H 0z 1 = 2 (γ + jω ) 2 y x γ +k E0 z H 0z 1 = 2 ( jωε γ ) 2 y x γ +k E0 z H 0z 1 ( jωε +γ ) 2 2 x y γ +k H0y = 其中 k 2 = ω 2 ε 可见，若求得了 E 0 z和 H 0 z，则电磁场的各分量就可求得。 电场、磁场都满足齐次亥姆霍兹方程 2E + k 2E = 0 2H + k 2H = 0 由此可求得电磁场纵向分量满足以下方程 2 E0 z 2 E0 z + + (γ 2 + k 2 ) E 0 z = 0 x2 y2 2 H 0z 2 H 0z + + (γ 2 + k 2 ) H 0 z = 0 x2 y2 令 k =γ +k 2 c 2 2 , 2 2 = + 2 x y2 2 t 则以上两式可以写成 t2 E 0 z + k c2 E 0 z = 0 t2 H 0 z + k c2 H 0 z = 0 求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。 2、波导中电磁波解的分类 、 ① kc ≠ 0 E0 z = 0 , H 0 z ≠ 0 横电波或TE波，也称为磁波 波 磁波或H波 横电波 磁波 波 横磁波或TM波，也称为电波 波 电波或E波 横磁波 电波 波 TE波和TM波的组合叠加 E0 z ≠ 0 , H 0 z = 0 E0 z ≠ 0 , H 0 z ≠ 0 ② kc = 0 只有当 E0 z = H 0 z = 0 时，才可能有不等于零的横向场分量 导行电磁波的电场分量和磁场分量都垂直于传播方向， 故称为横电磁波 横电磁波或TEM波 。 横电磁波 波 §9.2 矩形波导管中的电磁波矩形波导管轴线与 z 轴方向一致， 内壁坐标分别为 x=0 , x=a , y=0 , y=b b y 假设波导管材料为理想导体， 内部为理想介质。 z ,ε ,σ =0 a x 图9－1 矩形波导管 一. 矩形波导内的 TE 电磁波因为 E0 z = 0 , H 0 z ≠ 0 ，所以只需求解方程 t2 H 0 z + k c2 H 0 z = 0 可利用分离变量法求解，令 H 0 z = f ( x) g ( y ) 则有 分离变量 1 2 f ( x) 1 2 g ( y) + + k c2 = 0 f ( x) x 2 g ( y) y 2 1 d 2 f ( x) 2 = k x f ( x) dx 2 1 d 2 g ( y) 2 = k y g ( y) d y 2 2 其中 k x2 + k y = k c2 = γ 2 + k 2 写成标准形式 d 2 f ( x) 2 + k x f ( x) = 0 dx 2 d 2 g ( y) 2 + k y g ( y) = 0 dy 2 两方程的解分别为 f ( x) = A sin k x x + B cos k x x g ( y ) = C sin k y y + D cos k y y 所以 H 0 z = ( A sin k x x + B cos k x x)(C sin k y y + D cos k y y ) jω k y ( A sin k x x + B cos k x x)(C cos k y y D sin k y y ) 2 kc 利用横向分量与纵向分量的关系可得两个磁场分量 E0x = E0 y = jω k x ( A cos k x x B sin k x x)(C sin k y y + D cos k y y ) 2 kc 在波导壁上，电场切向分量满足零边界条件，即 ① E 0 x ( y = 0) = 0 ② E 0 x ( y = b) = 0 E 0 y ( x = 0) = 0 E 0 y ( x = a) = 0 ③ ④ 可得A = 0，所以 条件 可得 C = 0， 条件 条件 H 0 z = H 0 cos k x x cos k y y H 0 = BD ， 两个电场分量 E0 x = jω k y 2 c E0 y k jω k x = H 0 sin k x x cos k y y 2 kc H 0 cos k x x sin k y y 再利用边界条件②和④可得 k jω k x E 0 y ( x = a) = H 0 sin k x a cos k y y = 0 2 kc E 0 x ( y = b) = jω k y 2 c H 0 cos k x x sin k y b = 0 若对任意的 x y 都成立，则必须 nπ b mπ kx = a ky = (n = 0 , 1 , 2 , 3 , ) (m = 0 , 1 , 2 , 3 , ) 至此，除了常数 H0 将由激励强度决定外，其它常数均已确定。 因此，TE波的5个场分量的表达式为 jω nπ mπ nπ E0 x = 2 H 0 cos x sin y b a b kc jω mπ mπ nπ E0 y = 2 H 0 sin x cos y a b kc a γ mπ mπ nπ H 0x = 2 H 0 sin xcos y a b kc a γ nπ mπ nπ H0y = 2 y H 0 cos x sin a b kc b mπ nπ H 0 z = H 0 cos x cos y a b 以上各式乘以传播因子e γ z ，并作矢量相加后就得到矩形波导内 TE波的电磁场复矢量 E = ( x E 0 x + y E 0 y )e γ z H = ( x H 0 x + y H 0 y + zH 0 z ) e γ z 2 mπ 2 2 2 k c2 = γ 2 + ω 2 ε = k x + k y = ( ) + ( nπ ) a b 其中 波的说明： ★关于 TE 波的说明： 1、物理图像 ①每一组m、n值对应一种分布，称为一种 TEmn模。 ②每个TEmn模的场分量 沿x方向呈m／2个周期的正弦或余弦变化， 沿y方向呈n／2个周期的正弦或余弦变化， 所以m和n分别表示场分布沿 x 和 y 方向变化的半周期数。 ③ m 和 n 最多只能有一个为零，否则将使横向分量都为零。 而仅有一个周期性变化的纵向磁场分量，不满足麦克斯韦方程， 电磁波不复存在。 ④当m (或n）等于零时，TEm0模：只有E0y，H0x，H0z TE0n模： 只有E0x，H0y，H0z ⑤电磁场的瞬时分布（以TE10为例） T E1 0 2 y z x 3 1 1 3 电力线 2 磁力线 TE10 波的场分布图 2、TEmn波的参数 、 ①传播常数 mπ 2 nπ 2 γ = k + k k = j ω ε ( ) ( ) = jβ mn a b 2 x 2 y 2 2 a. 当γ为虚数（即βmn是实数）时 电磁场瞬时表达式具有 cos(ω t β mn z ) 的形式， 形成沿z方向传播的电磁波， βmn称为导行波的相位常数 。 相位常数 b. 当γ为实数（即 βmn 是虚数）时 电磁场瞬时表达式变成 e β mn z cos ω t 的形式， 场幅度沿z衰减，并且没有了等相位面的移动，失去电磁波的 传输特征，称之为截止 截止。 截止 ②截止频率 βmn = 0 时的频率称为截止频率 截止频率，记作fmn 截止频率 f mn = 1 2π ε mπ 2 nπ 2 v ( ) +( ) = a b 2 m 2 n 2 ( ) +( ) a b 其中 v = 1 ε 为波导填充介质中的光速。 决定截止频率fmn的因素：波导尺寸（a , b） 模式（m, n） 介质参量（ε,μ） ③截止波长 λ mn = v f mn = 2 m 2 n 2 ( ) +( ) a b ④传输条件 用fmn和λmn表示的相位常数为 β mn = ω 2 ε ( = 2π mπ 2 ) ( nπ ) 2 a b λ f mn 2 2π λ 2 1 ( ) = 1 ( ) f λ λ mn βmn是实数时，电磁波可以在波导中传输，即 f > f mn 或 λ b，此时TE10模具有最低的截止频率和 最长的截止波长， TE10模称为基模 基模，其他模通称为高次模 高次模。 基模 高次模 若工作频率f 满足 f10 λ > λ mn 则波导内只有TE10波单模传输 除基模TE10以外，其它高次模一般不能实现单模传输。 这是因为当工作频率高于某种高次模的截止频率时，也一定高 于TE10模和一些较低模的截止频率，从而使波和这些较低模也满 足传输条件。 ⑥相速度 vp = ω = β mn vp f = v 1 ( f mn ) f 2 2 = v 1 (λ λ mn ) 2 ⑦导波波长 λ g = λ 1 (λ λ mn ) >λ 1 1 ( f mn f ⑧波阻抗 Z TE = Ey Ex ω = = =η Hy H x β mn ) 2 η = / ε 是同种介质中均匀平面电磁波的波阻抗 当 f >> f mn 时，Z TE ≈ η 当 f → f mn 时，Z TE → ∞ ，相当于波导开路； 当 f > f mn 时， TM ≈ η Z 当 f → f mn 时， TM → 0 ，相当于波导短路； ★矩形波导中的各种传输模式高mn次模 TE30 TE21 TM21 TE11 TM11 TE01 TE20 TE10 2b a 2a 多模区 单模区 BJ--32 a=72.14 b=34.04 截止区 λ 图9-9 矩形波导中各模式的工作波长 例9.1 一空气填充的矩形波导传输TE10模波，工作频率为 f = 3 GHz。 若要求工作频率至少比TE10模的截止频率高20%，而比距TE10模最近 的高次模的截止频率低20%。试决定波导尺寸a和b 。 解: 由截止频率表达式可得 c , 2a c f > × 1.2 2a f10 = f 20 = c c , f 01 = a 2b c c f × 1.2 = ×1.2 = 0.06 (m) 9 2f 2 × 3 ×10 c 3 × 108 a 2b）的优点： ①截止波长最长（截止频率最低） ② 在同一频带内要求波导尺寸最小 ③具有最小的衰减 1、TE10模的参数 、 f10 v = 2a v λ10 = = 2a f10 v vp = 1 (λ ) 2a 2 λg = λ 1 (λ )2 2a β 10 = 2π λ 1 (λ 2a ) 2 2、TE10模的特征 、 ①电磁场分布 TE10模电磁波的复矢量为 E = yjω H = ( xjβ 10 a π a H 0 sin H 0 sin π π a a x e j β 10 z x + zH 0 cos π a π x)e j β10 z 电场： 只有一个分量且极化在y方向上 其振幅沿x方向呈正弦分布 在 x = 0 及 x = a 处为零， x = a / 2 处有最大值 yz平面称为电场平面 电场平面或E面 电场平面 磁场： 两个分量均在xz平面内 xz平面称为磁场平面 磁场平面或H面 磁场平面 ②TE10模的波阻抗 Z TE10 = Ey Hx = η 1 (λ 2a ) 2 ③波导内壁上的表面电荷和表面电流 根据边界条件 ρ s = n D ，上、下底面的面电荷密度复振幅为 π a ρ s ( y = 0) = y (ε E ) = jωε H 0 sin x e jβ z π a a π ρ s ( y = b) = y (ε E ) = jωε H 0 sin xe j β z a π 10 10 由边界条件 n × H = ，可得波导内壁上的电流面密度复矢量为 Js J s ( x = 0) = x × H ( x = 0) = yH 0 e jβ10 z J s ( x = a) = x × H ( x = a) = yH 0 e jβ10 z J s ( y = 0) = y × H ( y = 0) a J s ( y = b) = y × H ( y = b ) = [ xH 0 cos = [ xH 0 cos π π x zjβ 10 a π H 0 sin π a x] e jβ10 z x] e jβ10 z a x + zjβ 10 a π H 0 sin π a 面电流的瞬时值为 J s (r , t ) = Re[ J s e jω t ] 其分布图形如图所示： b a 图9—5 TE 10 模的电流分布 3、部分波 、 以TE10模为例，将其电场表达式改写成 a π 1 1 E y = j ωH 0 sin xe jβ z = E m e jk r E m e jk r a π 2 2 a π π 其中 E m = ω H 0 k1 = x + zβ 10 k 2 = x + zβ 10 π a a 10 1 2 x k1 θi B θr a λ A k2 D C λg z TE10模可以看作两个平面电磁波的迭加： ①两个x分量迭加等效于垂直入射到导体平面的平面波在导体外 形成全驻波 全驻波；②两个z分量迭加形成传输的行波 行波。 全驻波 行波 沿传播方向看，两个波峰之间距离就是导行波的导波波长 λg = λ λ λ = = sin θ i 1 cos 2 θ i λ )2 1 ( 2a λ v f = sin θ i 1 (λ 2 a ) 2 相速度为 v p = λg f = 沿z方向能量的传播速度为 z v w = λ sin θ i f = v sin θ i = v 1 (λ 2a) 2 i ds = ∫ s 1 Re[ E × H * ] dxdy x=0 ∫ y =0 2 a b = a b 1 Re ∫ ∫ [ E x H y E y H x ] dxdy 0 0 2 对于TE10模 TE a b 1 Pav = Re ∫ ∫ [ E y H x ] dxdy 0 0 2 a b 1 a π 2 = Re ∫ ∫ [ωβ 10 ( ) 2 H 0 sin 2 x] dxdy 0 0 2 π a 3 ω a b ab 2 β10 H 02 = = Em 4π 2 4Z TE10 Z 式中Em是x = a/2处的幅值，即电场最大幅值，TE10是TE10波的波阻抗。 二. 波导的衰减 1、衰减的原因 、 ①表面电流的存在将引起电磁波能量的损耗。 ②媒质的非理想状态也将引起损耗。 2、衰减的计算 、 将损耗看成是一种微扰，则传播常数可以写作 γ = α + jβ 其中α称为导行波的衰减常数，即电磁场的振幅将按 e-αz 规律衰减， 而传输功率将按 e-2αz 规律衰减。z处截面通过的功率可以写成 Pav ( z ) = Pav (0)e 2αz 2αz = 2αPav ( z ) 两边对z求导，得 dPav ( z ) / dz = 2α Pav (0)e 由此得到 dP av 1 dz α= 2 Pav α的单位为奈培每米(NP／m)。 α＝1NP / m 时，电磁波传输1 米距离的功率将下降到初值的1/e2。 从图中可以看出： ①在截止频率附近的衰减 很大，随着频率升高衰减 迅速下降，达到一个最小 值后再缓慢增大。 ②衰减随着b／a 比值的增 大而减小，但b／a＞1/2 后， 减小已经比较缓慢。兼顾 衰减和最大单模传输频带 的要求，一般取b／a 略小 于1/2 (dB m) α 0.20 0.18 0.16 0.14 0.12 TE 10 b / a = 1 / 10 b 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 0 5 10 15 20 a =5cm T M 11 b / a = 1 / 2 TE 10 b / a = 1 / 2 T M 11 b / a = 1 TE 10 b / a = 1 25 f (GHz) 衰减与频率及结构的关系 §9.5 圆形波导中的电磁波圆波导中，向 z 方向传播的电磁场复矢量表示为 E = (rE 0 r + E 0 + zE 0 z ) e γz = E 0 e γz H = (rH 0 r + H 0 + zH 0 z ) e γz = H 0 e γz y z 在圆柱坐标系下，代入麦克斯韦方程可得 1 H 0z + γ H 0 = jωε E 0 r r H 0z γ H 0r = jωε E 0 r 1 1 H 0r (rH 0 ) = jωε E 0 z r r r 1 E0 z + γ E 0 = jω H 0 r r E0z γ E 0r = jω H 0 r 1 1 E0r = jω H 0 z (rE 0 ) r r r x r ,ε a 图9－8 圆形波导 由此可求得用纵向分量表示的横向分量为 E0r = 1 (γ E0 z + jω H 0 z ) r r k c2 E 0 = H 0r = 1 k c2 1 k c2 ( γ r E0 z H 0z + jω ) r r +γ + ( jωε E0 z r H 0z ) r γ H 0z ) r H 0 = 1 k c2 ( jωε E0 z 利用波动方程，可以得到纵向分量所满足的二维亥姆霍兹方程 t2 E 0 z + k c2 E 0 z = 0 t2 H 0 z + k c2 H 0 z = 0 求解这两个纵向分量的方程，就可以得到波导中的电磁场解。 一.TE 模场量的一般表达式利用分离变量法可得 q mn H z = H0 Jm ( r ) cos m e j β z a q a Hr = j βH 0 J ′m ( mn r ) cos m e j β z q mn a q mn a 2 m H = j( ) H 0 J m ( r ) sin m e j β z q mn r a Ez = 0 a 2 E r = j( ) ω m H 0 J m ( q mn r ) sin m e jβ z q mn r a q a E = j ωH 0 J ′m ( mn r ) cos m e j β z q mn a 其中qmn表示m阶贝塞尔函数导数的第n个根，每给定一组m和n 的值，就决定一种场结构。 一.TM 模场量的一般表达式利用分离变量法可得 p mn E z = E0 J m ( r ) cos m e j β z a p a ′m ( mn r ) cos m e j β z Er = j βE 0 J a p mn p mn a 2 m E = j ( ) E 0 J m ( a r ) sin m e j β z p mn r Hz = 0 p mn a 2 m H r = j( ) ωε E 0 J m ( a r ) sin m e j β z p mn r p a H = j ωεE 0 J ′m ( mn r ) cos m e j β z a p mn 其中pmn表示m阶贝塞尔函数的第n个根，每给定一组m和n的值， 就决定一种场结构。 根据贝塞尔函数性质，可得到不同模式的工作波长，排序后如图所示高mn次模 多模区 TM21 TE31 TE01 TM11 TE21 TM01 TE11 a 2a 3a 单模区 截止区 λ 图9-9 圆波导中各模式的工作波长范围 可以看出TE11 模的截止波长最长，它是圆波导中的基模。 TE11模单模传输的工作波长范围是 2.62a 下载本文档需要登录，并付出相应积分。如何获取积分?


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贡献者： 聖鳥蒼鹭 出口成章 六级
文档关键词
自动控制 电磁波
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