惠更斯原理 包围波源的闭合面(波阵面)上任一点的场均可认为是二次波源，它们产生球面子波，闭合面外任一点的场可由闭合面上的场(二次

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本章重点及知识点

滞后位
电、磁基本振子的辐射场
天线的基本知识
互易原理



第九章 电磁波的辐射

本章内容安排

9.1 滞后位

9.2 电基本振子的辐射场

9.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场

9.4 天线的电参数

9.5 对称线天线和天线阵的概念

9.6 面天线的辐射场

9.7 互易原理


第九章 电磁波的辐射

9.1 滞后位




1 电流连续性方程

时谐场中，电荷源ρ和电流源J之间满足电流连续性方程


2 洛仑兹条件

标量位φ和矢量位A之间存在的关系就是洛仑兹条件:


3 电磁场与标量位φ和矢量位A之间的关系式




第九章 电磁波的辐射

第九章 电磁波的辐射


9.1.1 亥姆霍兹积分及辐射条件



1 亥姆霍兹积分

求标量位φ，并且导出辐射条件。格林定理中的u和w是任意标量函数，且要求u和w以及它们的一阶和二阶导数在V内连续，容易验证标量函数 满足齐次亥姆霍兹方程,

令格林定理中的u代表标量位φ，即u = φ ， φ满足式



再令w=Ψ，且R=|r -r′|，如下图所示。r是场点；r′是源点，亦即格林定理中的积分变点。

于是积分在体积V1=V-V2及其表面

S1=S+S2上进行：





第九章 电磁波的辐射

在S2上积分时，外法线方向指向小球球心P点；面元dS′=a2dΩ′，dΩ′是dS′对P点所张的立体角元。则



令a→0，小球面S2收缩成点P。此时小球面S2上的φ(r′)可以用小球球心处的φ(r)代替，




所以，



第九章 电磁波的辐射

矢量位A的每个直角坐标分量均可用形如上式的积分表示，于是 ，



2 辐射条件

考虑无限空间的电磁问题时，取以R为半径的球面作为S，dS′=R2dΩ′，则上述面积分可以写成 ，



要排除在无限远处的场源(设无限远处的场源为零)，则须使上式为零。为此，要求R→∝时，



第九章 电磁波的辐射




在这个限制条件下，式中的第二项积分等于零，即要求在远离场源处标量位φ至少按R-1减少；第一项积分在满足，


9.1.2 滞后位

标量位φ满足辐射条件式时，排除无限远处的场源，标量位φ(r)仅表示向外传播的电磁波，即


令k=ω/v代入上式，并引入时间因子ejωt，则




第九章 电磁波的辐射

9.2 电基本振子的辐射场







9.2.1 电基本振子的电磁场计算




电流元与短对称振子


第九章 电磁波的辐射

取短导线的长度为dl，横截面积为ΔS，且dV=dl·ΔS，故有


由于短导线放置在坐标原点，dl很小，因此可取|r′|=0，从而有R=|r-r′|≈|r|。



其中，


所以，




第九章 电磁波的辐射

可得，







1 近区场

当kr

第九章 电磁波的辐射


电基本振子

式中p=QdI是电偶极矩的复振幅。因为已经把载流短导线看成一个振荡电偶极子，其上下两端的电荷与电流的关系是I=jωQ。

2 远区场

当kr>>1时，r>>λ/2π，即场点P与源点距离r远大于波长λ的区域称为远区。在远区中，



第九章 电磁波的辐射

远区电磁场表达式简化为，





3 说明

场的方向
电场只有Eθ分量；磁场只有Hφ分量；

复坡印廷矢量




第九章 电磁波的辐射

E、H互相垂直，并都与传播方向er相垂直。因此电基本振子的远区场是横电磁波(TEM波)；
场的相位
Eθ或Hφ其空间相位因子都是-kr，即其空间相位随离源点的距离r增大而滞后，等相位面是r为常数的球面， 所以远区辐射场是球面波。由于等相位面上任意点的E、H振幅不同，所以又是非均匀平面波；

Eθ /Hφ =η是一常数，等于媒质的波阻抗；
场的振幅
远区场的振幅与r成反比；与I、dl/λ成正比。场的振幅与电长度dl/λ有关，而不是仅与几何尺寸dl有关。


第九章 电磁波的辐射

场的方向性
远区场的振幅正比于sinθ，在垂直于天线轴的方向(θ=90°)，辐射场最大；沿着天线轴的方向(θ=0°)，辐射场为零。这说明电基本振子的辐射具有方向性，这种方向性是天线的主要特性。

4 辐射功率

定义
若以电基本振子天线为球心，用半径为r的球面将其包围，则从电基本振子天线辐射出来的电磁能量必全部通过该球面，故平均坡印廷矢量在此球面上的积分值就是电基本振子天线辐射出来的功率Pr。


第九章 电磁波的辐射

表达式
电基本振子天线在远区任一点的平均坡印廷矢量为：









所以辐射功率为，


第九章 电磁波的辐射

第九章 电磁波的辐射


以空气中的波阻抗


代入， 可得



说明
电基本振子幅射出去的电磁能量不能返回波源，对波源而言是一种损耗。

5 辐射电阻

利用电路理论的概念，引入一个等效电阻。设此电阻消耗的功率等于辐射功率，则有，


式中Rr称为辐射电阻。



9.3 对偶原理与磁基本振子的辐射场


第九章 电磁波的辐射

9.3.1 磁基本振子的辐射场

1 磁基本振子的磁场




上式积分严格计算比较困难

，但r′=a
数因子可以近似为



磁基本振子


第九章 电磁波的辐射

该式中的m=ezπa2I=ezSI是复矢量，则



代入H=μ-1▽×A可得磁基本振子的磁场为





2 磁基本振子的电场

由E=(jωε)-1▽×H，可得磁基本振子的电场为，




第九章 电磁波的辐射

第九章 电磁波的辐射


3 磁基本振子的远区辐射场




4 磁基本振子的远区辐射场的特点

磁基本振子的辐射场也是TEM非均匀球面波；
Eφ/(-Hθ)=η ；
电磁场与1/r成正比；
与电基本振子远区场比较，只是E、H的取向互换。



第九章 电磁波的辐射


5 辐射功率

由于



所以，辐射功率为

以空气的波阻抗代入上式，有



6 辐射电阻


9.3.2 对偶原理

1 磁荷与磁流产生电磁场所满足的麦克斯韦方程组

磁荷与磁流也产生电磁场，因此麦克斯韦方程组可修改为，





第九章 电磁波的辐射

说明：

上式称为广义麦克斯韦方程组；
下标m表示磁量；
Jm是磁流密度，其量纲为V/m2；
ρm是磁荷密度，其量纲为Wb/m3(韦伯每立方米)；
电流与磁场之间有右手螺旋关系。
2 电源产生的电磁场所满足的麦克斯韦方程组

在无界的简单媒质中，如果存在“电源”J、ρ，其产生的电磁场用Ee、He表示，则满足麦克斯韦方程组为


第九章 电磁波的辐射

3 磁源产生电磁场所满足的麦克斯韦方程组

如果存在“磁源”Jm、ρm，它们产生的电磁场用Em、Hm表示，则其满足的麦克斯韦方程组为




4 磁流元与电流环的关系

定义磁偶极子对应的磁流元为Imdl，则它与电流环的关系为


9.4 天线的电参数


第九章 电磁波的辐射

9.4.1 辐射方向图

1 方向性函数和方向图

方向性函数



式中|Emax|是|E(θ，φ)|的最大值。

方向图






第九章 电磁波的辐射


电基本振子的方向图


天线方向图的波瓣

2 前后向抑制比

后瓣最大辐射方向上的功率密度Sa与主瓣最大辐射方向上的功率密度S0之比的对数值，称为前后向抑制比， 即


或


第九章 电磁波的辐射

3 辐射功率

对于理想的无方向性天线，因其在空间各个方向上具有相同的辐射，故其辐射功率为



若考虑辐射功率相同，即Pr=Pro，则



第九章 电磁波的辐射

若F(θ，φ)=F(θ)，即天线方向图轴对称(与φ无关)时，则


4 方向性系数的物理意义

不同天线都取理想无方向性天线作为标准进行比较，因此能比较出不同天线最大辐射的相对大小，即方向性系数能比较不同天线方向性的强弱。


第九章 电磁波的辐射

因为


对于理想的无方向性天线，因其方向性系数D=1，故有


某天线的方向性系数，表征该天线在其最大辐射方向上比起无方向性天线来说把辐射功率增大了D倍。

9.4.2 辐射效率

1 辐射效率

辐射效率表征天线能否有效地转换能量，定义为天线的辐射功率与输入到天线上的功率(输入功率)之比：


因此


第九章 电磁波的辐射

式中的PL表示天线的总损耗功率。发射天线的损耗功率包括：天线导体中的热损耗、介质材料的损耗、天线附近物体的感应损耗等。

2 辐射电阻

若把天线向外辐射的功率看作是被某个电阻Rr所吸收，该电阻称为辐射电阻。与此相似，也把总损耗功率看作是被某个损耗电阻RL所吸收，则有




3 天线的辐射效率


第九章 电磁波的辐射

9.4.3 增益系数







考虑到辐射效率的定义关系Pr=ηrPin，及理想无方向性天线的效率ηro一般被认为是1，故







第九章 电磁波的辐射

说明：

只有当天线的D值大，辐射效率ηr也高时，天线的增益才较高；
增益系数比较全面地表征了天线的性能；
通常用分贝来表示增益系数，即令


9.4.4 输入阻抗

欲使天线能从馈线获得最大功率，须使天线和馈线良好匹配，即要使天线的输入阻抗与馈线的特性阻抗相等。所谓天线的输入阻抗，是指天线输入端的高频电压与输入端的高频电流之比，可表示为


第九章 电磁波的辐射

9.4.5 极化形式

1 极化的定义

天线的极化特性是以天线辐射的电磁波在最大辐射方向上电场强度矢量的空间取向来定义的。

2 极化的分类


第九章 电磁波的辐射


椭圆极化


线极化


圆极化


极化


水平极化


垂直极化


左旋极化


左旋极化


右旋极化


右旋极化

9.5 对称线天线和天线阵的概念

9.5.1 对称振子天线

1 对称振子的电流分布和远区场

对称振子上的电流分布
如图所示，设对称振子沿z轴放

置，振子中心位于坐标原点，

则振子上的电流分布表示式为




臂长为l的对称振子


第九章 电磁波的辐射

第九章 电磁波的辐射


对称振子的辐射场



远区磁场与电场的关系
2 半波振子

对称振子最常见的长度是l=λ/4，即振子全长2l=λ/2，称为半波振子。其远区辐射场为 ,





3 对称振子的电参数

对称振子的方向图


第九章 电磁波的辐射


对称振子的E面方向图

式中fmax是f(θ，φ)的最大值。对于半波振子，有



对称振子的辐射功率和辐射电阻




因为对称振子天线的辐射功率与辐射电阻的关系为


因此辐射电阻为




第九章 电磁波的辐射

9.5.2 天线阵的概念

设相邻阵元的间距为d，各阵元上电流的振幅为1，但相位自第一个阵元起依次超前一个相角β，即




式中E1、E2、…、EN分别为阵元1、2、…、N在场点所产生的远区辐射场。


N元均匀直线阵


第九章 电磁波的辐射

如果天线阵有每个阵元都相同的半波振子，




其中,


第九章 电磁波的辐射

此式仅当Ψ=0时成立，所以阵函数出现最大值的条件为







当各个阵元的激励电流同相时，β=0, Ψ=kdcosφ，最大辐射条件Ψ=0对应于,




第九章 电磁波的辐射

此式表明天线阵的最大辐射方向φm取决于相邻阵元之间电流相位差β。改变β就可以改变天线阵的最大辐射方向，这就是相控阵天线工作原理。当β=-kd时，最大辐射方向φm=0，所以天线阵的最大辐射方向在其轴线方向上。这种均匀直线阵称为端射式天线阵。


第九章 电磁波的辐射


四阵元侧射式

天线式阵的方向图


八阵元端射式

天线阵的方向图

9.6 面天线的辐射场

1 感应电流法

先求出天线的金属导体面在初级辐射器照射下产生的感应面电流分布，然后计算此电流在外部空间产生的辐射场。

2 口面场法

该方法包括两部分：先作一个包围天线的封闭面，求出此封闭面上的场(称为解内场问题)；再由惠更斯原理，利用该封闭面上的场求出空间的辐射场(称为解外场问题)。由于金属封闭面上无电磁场，故实际上只需考虑封闭面的开口部分的辐射作用，即口面场的辐射。


第九章 电磁波的辐射

9.6.1 基尔霍夫公式

1 惠更斯原理

包围波源的闭合面(波阵面)上任一点的场均可认为是二次波源，它们产生球面子波，闭合面外任一点的场可由闭合面上的场(二次波源)的叠加决定。

2 基尔霍夫公式

基尔霍夫公式是上述思想的数学表述。设闭合面S中的源在闭合面S上产生的场为ES及HS，在闭合面外任一点P产生的场为EP及HP。


式中k2=ω2με。取P点为坐标原点(r=0)。引入另一标量函数G(r)，它满足方程,


第九章 电磁波的辐射

标量函数G(r)称为标量格林函数，其物理意义为在r=0处的点源在距源点r处产生的标量场。



S0面上的面积分为 ,




闭合面S外任一点r处，



第九章 电磁波的辐射




第九章 电磁波的辐射


惠更斯原理


9.6.2 口径面的辐射场

设惠更斯元上场的传播方向为z方

向，则惠更斯元上的场可表示为






对于远区场，







9.7 互易定理

设空间区域V1中电流源J1产生的电磁场为E1和H1，空间区域V2中电流源J2产生的电磁场为E2和H2，两电流


第九章 电磁波的辐射


惠更斯元

电流源振荡在同一频率，且空间区域V1和V2及它们之外的空间区域V3中的媒质是线性的，根据矢量恒等式


则有，


第九章 电磁波的辐射

9.7.1 洛仑兹互易定理

设两个电流源J1和J2均在空间区域V外，则空间区域V内为无源空间，因而有


上式为洛仑兹互易定理简化形式。

9.7.2 卡森互易定理


当两个电流源均在V时，下式成立，


空间区域V3为无源区，因此，





第九章 电磁波的辐射


卡森互易定理用图

综上可见，


由卡森互易定理知， 两种情况下的源与场的关系为


若天线为细导线
对于线电流，JdV=Idl，从而上式变为



若天线为理想导体
其上电场切向分量为零，在l1上除输入端mn外，电场切向分量仍为零，在mn段有由天线2上电压U2产生的


第九章 电磁波的辐射

第九章 电磁波的辐射


短路电流I2=I12。因此上式左边应等于I12U1。同理，该式右边等于I21U2。于是


令天线1对天线2的互导纳为Y12=I12/U2，天线2对天线1的互导纳为Y21=I21/U1，则上式可写为 ，


若天线1用作发射天线，天线2用作接收天线
当天线2在以天线1为中心的球面上移动时，天线2上测得的短路电流I21的大小应正比于天线1的发射方向性函数，于是

若天线2用作发射天线，天线1用作接收天线
天线1上测得的短路电流I12的大小应正比于天线1的接收方向性函数，于是


取U1=U2，则由上式可见



第九章 电磁波的辐射


天线互易性的说明图