金融工程家坛 高斯分布的不足

高斯分布的不足
高斯
以前我曾经说过学好高斯分布就足够了，无论对于市场数据的拟和还是分析随即微分方程。我在这里必须承认这个错误，高斯分布足够了当且仅当我们研究的市场是长时间的市场，比如说数据是每一天，或者几天记录一次，那么高斯分布是个很好的近似。可惜的是，对于短频率数据，市场似乎遵守levy分布后或Tsallis分布，这里所谓的段频数据是指，每一分钟，或者十分钟左右记录一次的数据。我原本觉得没有必要故弄玄虚的研究levy分布，但是如果在一个做统计套利的市场中，套利机会的存在可能就是短短的几分钟，十几分钟。这时候，如果高斯分布和levy分布对数据的描述相差20%-40%左右，转换成金钱就是很大的损失或者受益，所以对于高频数据，对于统计套利，对于现实市场，levy不是一个象牙塔里面的东西。

相关主题高斯分布也惹祸
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UID1 帖子1183 精华5 积分1548 阅读权限200 在线时间903 小时 注册时间2007-3-12 最后登录2010-10-30 管理员



帖子1183 积分1548 2# 发表于 2007-5-8 12:56 PM | 只看该作者
我毕业论文写的就是Levy分布下的期权定价，当时是用的欧式期权在Levy Process和Winer process下Black-Scholes公式定价比较，无论从in-sample 还是out-of-sample检验Levy Process都比Winer Process要更贴近市场。Levy Process的缺点就是比较麻烦，很难推出精确解，大多要采用数值计算，且参数较BS多，如Levy下的Normal Inverse Gaussian分布好像要3个参数，这样在Calibration的时候要求稍高。
好是好，但在业界目前推广还是很有障碍。

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UID10 帖子269 精华0 积分370 阅读权限70 在线时间582 小时 注册时间2007-3-15 最后登录2010-10-27 资深矿工



帖子269 积分370 3# 发表于 2007-5-8 01:05 PM | 只看该作者
不错，你说的很对，levy分布是很麻烦，但是我觉得最最头痛的是levy分布的高阶矩不是0，这样带来很多麻烦。尤其是象你说的，如果高阶矩不是很小的话，我们甚至很难得到一个期权的偏微分方程，自然也就谈不上精确求解了。

有个问题是，你当初是不适就是考虑到二级矩，然后得出BS公式。还有，你一般用什么算法产生levy分布的随机数，我用的matriopli算法，但是效果不理想，你有什么好算法没有。

[ 本帖最后由 luqi 于 2007-5-8 01:10 PM 编辑 ]


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UID60 帖子122 精华0 积分160 阅读权限50 在线时间279 小时 注册时间2007-3-22 最后登录2010-3-7 注册金融工程师



帖子122 积分160 4# 发表于 2007-5-9 12:15 AM | 只看该作者
到处都见到levy process但是目前对这个分布都还只是停留在字面上,请问哪篇文章或者教材有详细的介绍levy分布的?另外levy分布和pareto分布一族有关系么?或者和那些variance mixed的分布有什么关系么?


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帖子269 积分370 5# 发表于 2007-5-9 02:46 AM | 只看该作者
这个问题倒是把握难住了，具体的文章我没有办法指出，因为我是陆陆续续在统计物理里面接触到的。你上google搜索一下有很多文章，但是那些最初应用到金融上的我不知道。至于和pareto分布有什么关系我也不知道，我唯一知道的是有一个tsallis分布，levy分布是这个分布的一个吸引子。至于variance mix ，这个我从来没有听到过，不知道是什么，你可以解释一下码？


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UID1 帖子1183 精华5 积分1548 阅读权限200 在线时间903 小时 注册时间2007-3-12 最后登录2010-10-30 管理员



帖子1183 积分1548 6# 发表于 2007-5-9 09:03 AM | 只看该作者
摘录一点：
A stochastic process X is called a Lévy process if it has the following properties:
• X(0)=0 with probability one;
• X has independent increments;
• X has stationary increments;
• X is stochastically continuous and is Càdlàg.
It can be easily seen from the definition of Wiener process that Wiener process is one of the special kinds of Lévy processes.

Following I will list several important and well-known Lévy processes, special attention will be given to Variance Gamma(VG) process and Normal-Inverse-Gaussian(NIG) process because the distributions of log asset returns can often be fitted extremely well by these two processes(see, Madan and Seneta(1987, 1990), Madan and Milne(1991) and Eberlein and Prause(1998)).

一本比较好的关于Levy的书是Schoutens, Wim, 2003, “Lévy processes in finance : pricing financial derivatives.” Wiley.

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帖子1183 积分1548 7# 发表于 2007-5-9 09:05 AM | 只看该作者
原帖由 垃圾树 于 2007-5-9 12:15 AM 发表
到处都见到levy process但是目前对这个分布都还只是停留在字面上,请问哪篇文章或者教材有详细的介绍levy分布的?另外levy分布和pareto分布一族有关系么?或者和那些variance mixed的分布有什么关系么?


因此，楼上所说的Pareto分布应该是Levy的一个特例。variance mixed我没听过，会不会就是variance gamma。

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帖子122 积分160 8# 发表于 2007-5-9 09:06 AM | 只看该作者
呵呵,应该是我的说法有问题,是condition on variance,mixture model(目前基本是normal mixture distribution)
mixed model的分布是为了拟合heavy tai而采用的,比如说分布用(0,1)和(0,25)两个normal distribution分别赋予一定的权重的来拟合,这样在heavy tail里的outlier就主要由(0,25)这个分布来提供,同时也有high kurtosis的表现


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UID3 帖子127 精华3 积分231 阅读权限100 在线时间24 小时 注册时间2007-3-12 最后登录2009-6-19 版主



帖子127 积分231 9# 发表于 2007-5-9 09:13 AM | 只看该作者
http://www.quanthr.com/bbs/viewt ... &extra=page%3D1


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帖子122 积分160 10# 发表于 2007-5-9 09:23 AM | 只看该作者
levy分布相对于平时的Gaussian分布的扩展在哪里呢?另外Mandelbrot对Pareto stable的描述是用分形,也就是hurst指数不为0.5(0.5为stochastic)因此,如果levy process属于stochastic的话,那么pareto一族应该就不属于levy分布了



“Lévy processes in finance : pricing financial derivatives.” 这本书哪里可以弄到呢?有电子版的么?


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帖子1183 积分1548 12# 发表于 2007-5-9 09:36 AM | 只看该作者
原帖由 垃圾树 于 2007-5-9 09:23 AM 发表
levy分布相对于平时的Gaussian分布的扩展在哪里呢?另外Mandelbrot对Pareto stable的描述是用分形,也就是hurst指数不为0.5(0.5为stochastic)因此,如果levy process属于stochastic的话,那么pareto一族应该就不属于l ...


A stochastic process is a standard Brownian motion if
i. Xo=0 ;
ii. X has independent increments;
iii. X has stationary increments;
iv. Xt+s-Xt is normally distributed with mean 0 and variance s>0, Xt+s-Xt ~Normal (0, s).

A stochastic process X is called a Lévy process if it has the following properties:
• X(0)=0 with probability one;
• X has independent increments;
• X has stationary increments;
• X is stochastically continuous and is Càdlàg.

因此可以看出，Levy相比Gaussian在于最后一点假设条件的释放。

至于Pareto stable，可以参考下面网页， http://www.sjsu.edu/faculty/watkins/stable.htm

电子文档矿工已经列出来了，希望有用。

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帖子269 积分370 13# 发表于 2007-5-9 10:49 AM | 只看该作者
最后那一条的cadlog这个单词是什么意思，请解释一下


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帖子1183 积分1548 14# 发表于 2007-5-9 11:03 AM | 只看该作者
原帖由 luqi 于 2007-5-9 10:49 AM 发表
最后那一条的cadlog这个单词是什么意思，请解释一下


do a search in Google you will get:
A cadlag function is a function, defined on R or a subset of R, that is right continuous and has a left limit. The acronym cadlag comes from the French "continue à droite, limite à gauche," which translates to the English "right-continuous with left limits" (sometimes abbreviated "RCLL").

All continuous functions are "cadlag."

http://mathworld.wolfram.com/CadlagFunction.html

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tracycao 发短消息
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UID5144 帖子43 精华0 积分33 阅读权限20 在线时间12 小时 注册时间2008-1-10 最后登录2009-1-21 注册金融分析师



帖子43 积分33 15# 发表于 2008-1-19 10:09 PM | 只看该作者
长了不少见识！！挺有趣的。


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fuwf120 发短消息
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UID622 帖子11 精华0 积分97 阅读权限20 在线时间32 小时 注册时间2007-5-28 最后登录2010-8-17 注册金融分析师



帖子11 积分97 16# 发表于 2008-2-4 04:44 PM | 只看该作者
原帖由 QuantHR 于 2007-5-8 12:56 PM 发表
我毕业论文写的就是Levy分布下的期权定价，当时是用的欧式期权在Levy Process和Winer process下Black-Scholes公式定价比较，无论从in-sample 还是out-of-sample检验Levy Process都比Winer Process要更贴近市场。Levy ...

呵呵，楼主是怎样去估计那四个参数的呢，据目前的方法，有根据分位点的经验分布、MLE的近似数值计算和贝叶斯MCMC三种方法，感觉计算都不是很精确，有些方法计算效率也很低。很想见见楼主的大作。


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帖子1183 积分1548 17# 发表于 2008-2-4 11:37 PM | 只看该作者
我当时用的是最小化mean square error来估计参数的，效率是很低，经常几个小时才能出来结果。
谈不上大作，04年时候的硕士毕业论文而已。

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justin 发短消息
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UID5611 帖子23 精华0 积分25 阅读权限10 在线时间13 小时 注册时间2008-2-13 最后登录2010-10-11 金融新手



帖子23 积分25 18# 发表于 2008-2-13 03:49 PM | 只看该作者
原帖由 QuantHR 于 2007-5-8 12:56 PM 发表
我毕业论文写的就是Levy分布下的期权定价，当时是用的欧式期权在Levy Process和Winer process下Black-Scholes公式定价比较，无论从in-sample 还是out-of-sample检验Levy Process都比Winer Process要更贴近市场。Levy ...


看到你的这个帖子，我想起我一直想明白的一个问题：模型的优劣如何区分？做模型的直到准则是什么？
换句话说，我们有很多各种各样的模型（尤其是利率这块），既然underlying process, 参数都是不知道的，都是calibrate出来的，模型的优劣如何区分？
我自己感觉一个好的模型似乎是：定出来的价格更有竞争力，对冲的成本更低。
不知道是否是这样。
在你这里，具体来说就是，Levy模型的定价和对冲比高斯好在什么地方？

PS: hi, gb, 我是xy, 去年年初在你们那培训过两个礼拜的，是否还记得？呵呵。
刚注册了一个账号。你的论坛办得真不错。


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帖子1183 积分1548 19# 发表于 2008-2-13 04:53 PM | 只看该作者
原帖由 justin 于 2008-2-13 03:49 PM 发表


看到你的这个帖子，我想起我一直想明白的一个问题：模型的优劣如何区分？做模型的直到准则是什么？
换句话说，我们有很多各种各样的模型（尤其是利率这块），既然underlying process, 参数都是不知道的，都是ca ...


XY你好，当然记得，欢迎来这里讨论。

我个人判断模型的优劣是看out-of-sample表现，当用in-sample data calibrate参数之后，看样本外定价准确度，goodness-of-fit标准有很多，比如MAYE之类的；另一个就是看calibrated参数稳定性。

好像很少有人用对冲成本来衡量模型优劣，不过如果参数稳定，应该delta也会相应稳定，对冲成本应该较小，所以可以归结到上面的判断标准。



Gaussian是肯定不够的，尤其是因为其thin tails。在risk management里的应用更是不足，因此extreme value theory 非常重要


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nineng 发短消息
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UID12964 帖子5 精华0 积分4 阅读权限10 来自上海 在线时间3 小时 注册时间2009-9-14 最后登录2009-10-22 金融新手



帖子5 积分4 22# 发表于 2009-9-21 01:29 PM | 只看该作者
Levy processes在pricing里面带来最直接问题就是incomplete market的问题，对冲的时候Radon-Nikodym derivatives比较难计算。
单看定价的话。。。任何参数多的模型，带上power function和exponential function都能把price surface描述得很好。。。
感兴趣的朋友，推荐Cont and Tankov的书，比较容易阅读的。