因此最小作用量原理所表征的是与坐标系的选择无关的运动

最小作用量原理以其积分的特征而区别于另外一些变分原理。它所研究的不是表征各个点运动的这样一些所谓运动的微分属性，如在某点的速度等，而是研究表征在一个有限区间隔上的沿着某个路经积分来量度的运动的属性。由此可见在变分问题的公式中所以不包含点的坐标。从数量中来说，上述间隔和点的坐标无关，并且是坐标变换不变量。因此最小作用量原理所表征的是与坐标系的选择无关的运动。

莫培督和欧拉的量小作用量原理的特征就是这样一种情况，可是他们并没有明确地认识到初始条件在单值地确定质点或系统运动时所起的作用，在拉格朗日所提出的量小作用原理的公式中，初始条件的意义是十分明显的。

拉格朗日认为最小作用量原理，纯粹是从动力学方程得到推论，同时反对把它当成是宇宙间的普遍原理的观念。这一情况是同他对先验论的思想体系的敌对的态度联系在一起的。拉格朗日对待力学，特别是对最小作用量原理所持的态度就同他对待微分计算（原理）一样。马克思在说到拉格朗日时这样写道：“…至于说到纯粹分析，拉格朗日事实上摆脱了牛顿的流数，莱布尼茨的各阶无限小量，消失量的极限理论，作为微分量系数的符号的 0/0=dy/dx 等等中的所有那些在他看来是形而上学的先验的东西。”[5]

拉格朗日彻底抛弃了对最小作用量原理的形而上学的认识，并把它解释为纯力学的原理。而且因为在拉格朗日那里，力学是变分问题的一个特殊阶段，这样，原理就好象完全被形式化了。对原理加以形式化是扩展其物理内涵的条件。拉格朗日的分析力学的概念和方法，首先是广义坐标法，其总的历史作用也正体现在这里面。上述拉格朗日的基本方法和最小作用量（分析力字的基本概念）已然获得了如此广泛的形式，但还欠一步，有了这一步最小作用量原理就从力学的原理变为物理的原理，而广义坐标的方法同样也就是从力学的方法变为物理的方法。[6]

这最后一步是由哈米顿和另一些十九世纪的学者所实现的。我们不准备谈哈米顿科学活动的传记，然而有一个情况必须提起注意。这就是光学的问题已成为导致哈米顿发现力学变分原理之新形式的出发点。在莫培督的著作中，对光学的研究在使力学向着概括范围更大的方向发展所起的作用是十分明显的，而这种发展日后要影响到不能归结力学的物理过程。在拉格朗日的著作中，并没有力学与物理学（在这种情况下是光学）之依存关系的“个体发生学”的证据。可是在哈米顿的著作中，在这位学者自己的创造性工作的道路上我们就会遇到光学与力学的联系。哈米顿研究工作的第一阶段就是致力于光学，并提出园锥折射的予测，这种予言被实验证实是正确的，并且和海王星及门捷列夫预期的新元素的发现一起成为科学预见的经典的范例。在他的著作中，在几何光学方面哈米顿力求找出可以完全表征系统的某个函数。就此问题哈米顿曾这样写道：“在其他关系上这一函数在原作者看来好像是极其高度概括结果的表达式…，这个著名的结果一般被称为最小作用规律，有时叫最小时间原理，它里面包含着迄今为止所揭露的确定光线传播路径状况与形式的全部法则以及由正常或反常折射，反射所造成的传播路径的方向的改变。如果光线沿着它自己实际的路线进行而不是沿着其他任何一条路线进行，或者至少是从方法上来说具有被叫做变分等于０的路线进行时，那么，在一种理论中是作用作量来表示的某个量，而在另一种理论中则是光从一点传播到任一点所耗费的时间，二者都是将取最小值”。[7]这样，哈米顿在此就已然指明力学中的最小作用原理和光学中光传播的最小时间原理的密切关系