电磁场本征态：不随时间变化的稳态场分布

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六. 积分方程解的物理意义. (1)本征函数 和激光横模. 本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔 ...
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在开腔中存在怎样的电磁场本征态（即：不随时间变化的稳态场分布）?如何求场分布?


与输出相关的是镜面上的场!

稳态场分布的形成:可看成光在两镜面间往返传播的结果!


方法


一个镜面上的场


另一个镜面上的场


求解衍射积分方程!


第 3 章 激光器的输出特性






3.1.1 惠更斯-基尔霍夫衍射公式


一.惠更斯 - 菲涅尔提出子波及子波干涉的概念

1) 波传到的任意点都是子波的波源

2) 各子波在空间各点进行相干叠加

概括为：

波面上各点均是相干子波源

惠－菲原理提供了用干涉解释衍射的基础

菲涅耳发展了惠更斯原理

从而深入认识了衍射现象


它是研究光衍射现象的基础，也是开腔模式问题的理论基础






二. 惠更斯－菲涅耳原理


图3-1 惠更斯-菲涅耳原理


设波阵面上任一源点 的光场复振幅为 ，则空间任一观察点P 的光场复振幅 由下列积分式计算：


——原点 与观察点 之间的距离

——原点 处的法线 与 的夹角

k——光波矢， 为光波波长

ds’——原点 处的面元


功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场在空间其他任意位置处的振幅和相位分布。






3.1.2 光学谐振腔的自再现模积分方程


一、开腔模的一般物理概念


1、理想开腔模型


两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。


2、决定腔模形成的损耗：主要是腔镜边缘的衍射损耗，其他的损耗只使横截面上各点的场按照相同比例衰减！


可忽略腔侧壁的不连续性，决定衍射效应的孔径由镜的边缘决定！


二、自再现模概念


1.模: 光腔中可能存在的电磁场空间分布状态






2、稳态场的形成——模的“自再现”


镜1上的场分布，到达镜2时，由于衍射，要经历一次能量的损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边缘损失大，每单程渡越一次，都会发生类似的能量损耗和场分布变化，多次往返后，从而逐渐形成中间强、边缘弱的基本不受衍射影响的稳态场分布，该稳态场分布一个往返后可“自再现”出发时的场分布，唯一变化是镜面上各点的场振幅按同样的比例衰减，各点相位发生同样大小的滞后。


横向场振幅分布和相位分布都均匀的平面波入射，经过多次孔阑的衍射影响后，二者都变得不再均匀，成为相对场振幅和相对相位分布都不受衍射影响的稳态场分布。






自再现模：往返一次能再现自身的稳态场分布。
（在腔内往返一次后能够“再现”出发时的场分布）


(2)往返损耗：自再现模往返一次的损耗。


(3)往返相移：自再现模往返一次的相位变化，等于2π的整数倍。


三、自再现物理过程的形象化描述和定性解释——孔阑传输






五. 自再现模积分方程


图3-2 镜面上场分布的计算示意图


图(3-2)所示为一个圆形镜的平行平面腔镜面 和 上分别建立了坐标轴, 两两相互平行的坐标 和 。利用上式由镜面 上的光场分布可以计算出镜 上的场分布函数，即任意一个观察点的光场强度。


假设 为经过q次渡越后在某一镜面上所形成的场分布，

表示光波经过q+1次渡越后，到达另一镜面所形成的光场分布，则 与 之间应满足如下的迭代关系：


(3-2)


考虑对称开腔的情况，按照自再现模的概念，除了一个表示振幅衰减和相位移动的常数因子以外， 应能够将 再现出来，两者之间应有关系：


(3-3)


σ——与坐标(x,y)及(x’,y’)

无关的复常数






综合上两式可得：


去掉q，得自再现模积分方程


L——腔长 R——反射镜曲率半径 a——反射镜的线度


① ∵θ很小　∴cos θ=1 ， 1+ cos θ=2

② ρ≈ L （不同的腔面做不同的近似）


将以上近似代入(3-5)，得到自再现模所满足的积分方程

（不受衍射影响的稳态场分布函数）


因为 所以作两点近似处理：


(3-4)


(3-5)






和 的下标表示该方程存在一系列的不连续的本征函数解与本征值解，这说明在某一给定开腔中，可以存在许多不同的自再现模。


(3-6)


称为积分方程的核。


其中


(3-7)


（3-6）的解包括两个方面:

①本征函数 是复函数,其模代表镜面上光场振幅分布,幅角代表镜面上光场的相位分布;

②本征值σ也是个复数,其模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗.幅角代表单程渡越后模的相位滞后。






六. 积分方程解的物理意义


(1)本征函数 和激光横模


本征函数 的模代表对称开腔任一镜面上的光场振幅分布，幅角则代表镜面上光场的相位分布。它表示的是在激光谐振腔中存在的稳定的横向场分布，就是自再现模，通常叫做“横模”，m、n称为横模序数。图3-3为各种横模光斑。


图3-3 横模光斑示意图


(3)本征值 和单程衍射损耗、单程相移


本征值 的模反映了自再现模在腔内单程渡越时所引起的功率损耗。


(2).(横模) 标记: m, n —— 横模序数






(4)本征值 和单程衍射损耗、单程相移


损耗包括衍射损耗和几何损耗，但主要是衍射损耗，称为单程衍射损耗，用 表示。定义为


本征值幅角与自再现模腔内单程渡越后所引起的总相移有关。


自再现模在对称开腔中单程渡越所产生的总相移定义为


自再现模在对称开腔中的单程总相移一般并不等于由腔长L所决定的几何相移，它们的关系为


附加相移






问题 Ne原子的0.6328 m谱线的频率宽度为


 1.3 10 9 Hz








0





而为什么He—Ne激光器输出激光的


会小到10 - 15 呢？


3.1.3 光学谐振腔谐振频率和激光纵模






一.谐振条件和驻波条件


在腔内要形成稳定的振荡，要求光波要因干涉而得到加强。


相长干涉条件 （波从某一点出发，经腔内往返一周再回到原来位置时，应与初始出发波同相）


(1) 光波在腔内往返一周的总相移应等于2的整数倍，即只有某些特定频率的光才能满足谐振条件


(2).腔内产生驻波的条件 *(光学腔长等于半波长的整数倍)


——谐振频率


其它波长（频率）都被相消干涉所淘汰，只有 （ ）才能产生振荡，可通过改变L来选择 （ ）故称为选频。


从能量重新分布的角度来考虑， 的能量被加强了，其他频率的被减弱了。






二、 纵模(纵向的稳定场分布)


（1）激光的纵模(轴模)：由整数q所表征的腔内纵向稳定场分布


(2).纵模序数：整数q称为纵模的序数


每个q值对应一个驻波


(3-16)






q阶纵模频率可以表达为：


基纵模的频率可以表达为：


(3-16)


谐振腔内q阶纵模的频率为基纵模频率的整数倍(q倍）


三. 纵模频率间隔


(1) 腔内两个相邻纵模频率之差称为纵模的频率间隔


（a）频率梳——纵模等距排列 *(在频率空间)






（第二章）


四、激光器中出现的纵模数






五.选纵模


1.确定可起振纵模数目

q的因素


∵*(只有)满足



的纵模 才能起振


(1)荧光线宽 *( 自发发

射线宽): 大则q

大


图(3-4) 腔中允许的纵模数






(2)腔长: L 越大则 q 越大


∵ *( , L大则 小, 内可容更多个纵模)


例：L=30cm ，△vq=5×108Hz， 其中只有三个频率在原子

0.6328μm线宽 范围内,所以激光器输出三个频率,

称三纵模.(多纵模激光器)


例:L=10cm 的He—Ne激光器中满足（3-16）的频率很多，

但形成激光的只有其中之一,称为单模






2.数值例:

(1) CO2激光器 : λ=10.6μm △vF≈108s-1 L=1m

△vq=1.5×108s-1 激光器输出单模

(2)氩离子激光器: λ=0.5145μm △vF≈6×108s-1 L=1m

△vq=1.5×108s-1 激光器多模输出






形成激光振荡的条件：


满足谐振条件


满足阈值条件


落在工作物质原子荧光线宽范围内的频率成分


结论






六. 工作物质饱和效应的影响


1.均匀增宽工作物质


(a) 腔中的频率梳

(b) 均匀展宽谱线v0附近

达到振荡阈值

(c) 随着振荡加强,发生增

益饱和现象,整个增益

曲线下降

(d) 单纵模形式运转







2.非均匀增宽介质


(a)腔中的频率梳

(b)非均匀展宽谱线

(c)满足

及阈值条件的纵模

在增益曲线上“烧孔”

(d) 频率振荡






例:有一个谐振腔，腔长L=1m，求在1500MHｚ的范围内所包含的纵模个数。


解：谐振腔相邻两个本征纵模之间的频率间隔为


设折射率μ=1，则


在 范围内所包含的纵模个数：


谐振腔可能包含的纵模个数为11