希尔伯特空间是一抽象的空间，如果在希尔伯特空间中选择不同的基底，就可以使量子力学原理有不同的表象

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希尔伯特空间中的量子力学
王艳兰*
（华中师范大学 物理科学与技术学院，武汉430079）
摘 要：本文首先围绕希尔伯特空间的提出，希尔伯特空间与欧几里得空间的异同两方面来简单的介绍希尔伯特空间，然后就量子力学如何引进希尔伯特空间展开讨论，最后简单的介绍希尔伯特空间中使用的最根本的一个原理——对易关系，以及希尔伯特空间中几种常见的表象及其之间的变换。
关键词：希尔伯特空间 欧几里得空间 狄拉克符号 对易关系 表象 表象变换
希尔伯特空间是我们研究微观世界的空间，由于空间中基底的选择不同，使的量子力学有不同的表象，又由于对时间演化的处理方法不同时，可以使量子力学有不同的绘景，狄拉克在这个空间中，提出了自己独特的表示量子论的数学表述形式——符号法，统一了上述两种绘景的不同表示形式，下面我们就来简单的回顾一下希尔伯特空间中的量子力学。
1希尔伯特空间
1.1希尔伯特空间的提出
当我们在研究宏观物质的运动规律时，最早是在笛卡尔坐标系下进行的，后来，随着学习的深入，我们发现并不是所有的情况都适合在笛卡尔系。举个简单的例子，研究有心力场的问题，当一个质点处于有心力场中时，势能只是质点距力心距离的函数，而与方向无关，即)(rUU=在这种情况下，更方便的是采用球坐标系),,(ϑθr，因此有必要写出球坐标的运动方程来代替笛卡尔坐标系中的运动方程式，于是我们为了研究方便，选取了不同的坐标系，在不同的坐标系中物质的运动规律有不同的表述形式。另外我们又发现，单纯的牛顿力学可以解决一些物理问题，但是有其局限性，经典力学的原理，除了牛顿三定律外，还有其他的表述形式，比如说拉格朗日和哈密顿表述方式，这两种表述方式站的角度更高，对客观规律的本质反映得更清楚，而且便于推广到高速和微观情况。对于经典力学的原理，有不同的表述形式，同样，对于量子世界也是如此。 ]1[
当我们的研究目标进入微观世界时，我们开始学习原子物理和量子力学，初学量子力学理论，我们是从薛定谔绘景中引入量子力学几大基本假设的，但是与此同时，我们知道量子力学有另外一套同时建立的表示形式，那就是海森堡的矩阵力学，那么这两种表示方法究竟有何联系，他们能否统一起来。为了解决这个问题我们必须首先引入希尔伯特空间。希尔伯特空间是由伟大的数学家希尔伯特提出来的一个模有限的无限维复线性空间，它是一个抽象的空间，我们无法具体去描述这个无限维的复线性空间是一个怎样的空间，因此我们常说它是一个抽象
空间。由于在希尔伯特空间中基底的选择不同，使的量子力学有不同的表象，在希尔伯特空间中每种力学量都有一种对应的表象，我们常见的表象有动量表象，坐标表象，能量表象，福克表象等等，在不同的表象中力学量算符和态矢有不同的表示形式；另外当我们对时间演化的处理方法不同时，又可以使量子力学有不同的绘景，在不同的绘景中我们又可以写出与物质运动规律所对应的不同形式的运动方程，薛定谔和海森伯给我们描绘了两种绘景，使得我们量子力学有两种表述，一个是海森伯矩阵力学，出发点是海森伯运动方程],[HAidtdAh=，另一种是薛定谔波动力学，出发点是薛定谔运动方程。狄拉克总结了海森伯的用矩阵表示力学量的做法和薛定谔的按照德布罗意思想而在原子理论中引入了的态的概念，在希尔伯特空间中提出了自己独特的表述量子论的数学形式——符号法，使量子论成为严密的理论体系，很快，他用自己的一套表示形式，很多地方被称为“神来之笔”的右矢和左矢，简洁而深刻的反映了量子力学中力学量和态矢之间的关系，把数的对易关系类比于经典中的泊松括号，把矩阵力学纳入哈密顿公式体系，建立起非相对论量子力学中的普遍变换理论，并用之证明了海森伯，薛定谔的两种表述形式是等价的。希尔伯特空间是我们研究微观世界的空间，当我们在这个数学的空间中定义了某种表示规则——符号法，用抽象的方式直接地处理有根本重要意义的一些量，它可以使我们用简洁精练的方式来表达物理规律，整个量子力学理论就在希尔伯特空间中建立起来了。 ψψEH=ˆq]2[
1.2比较希尔伯特空间与欧几里得空间
为什么我们可以在希尔伯特空间中建立量子力学呢？为了解决这个问题，我们先来看看希尔伯特空间和欧几里得空间的异同。
最早的数学空间概念是欧几里得空间。来源于对空间的直观，反映了空间的平直性、均匀性、各向同性等。我们在考虑非相对论效应时，主要是利用这个空间，考虑相对论之后，我们用的比较多的如闵可夫斯基空间，是一个弯曲的空间。量子力学我们主要使用希尔伯特空间，第一个具体的希尔伯特空间最早是由希尔伯特在研究积分方程时首先提出的，它定义了内积的概念，并把空间看作欧几里得空间向无限维的推广，从而有效地解决了一类积分方程求解及其本征展开的问题，不久，人们就建立了一般的希尔伯特空间理论，是描述量子物理的基本工具之一。
在希尔伯特空间中描述微观粒子的波函数主要是用到态矢量，而在欧几里得空间中我们用的就是一个矢量。
欧几里得空间中有不同的坐标系，希尔伯特空间中与之对应的各种表象，所以我们可以很形象的把表象类比为坐标系。
欧几里得直角坐标系有三个单位矢量，但我们知道希尔伯特空间是一个无穷维的空间，有无穷多个坐标基矢，这些基矢是由本征矢组成的。
欧几里得空间是一个实空间，来源于对空间的直观，但是希尔伯特空间却是一个复空间，是一个抽象的空间。
2量子力学引入希尔伯特空间
希尔伯特一位伟大的数学家，希尔伯特公式，希尔伯特定理，希尔伯特方程，
希尔伯特不等式，希尔伯特变换，希尔伯特空间，希尔伯特子群等，都以他的名字命名，这位伟大的数学家，何以为量子力学的发展做出如此贡献，这一空间，何以容下整个量子力学理论。
希尔伯特空间是一抽象的空间，如果在希尔伯特空间中选择不同的基底，就可以使量子力学原理有不同的表象，研究希尔伯特空间中的量子力学，首先需要弄清楚的是不同表象中的量子力学理论，以及表象与表象之间的关系。当我们规定了量子力学基本原理在希尔伯特空间中的基本表示形式后，我们就等于有了一种确定的语言，这种美丽的语言就是狄拉克符号。在结合不同表象下不变的基本关系——对易关系，量子力学理论就可以在希尔伯特空间中以抽象的形式基本建立起来了，我们就可以在这个空间中研究求解具体的问题。
2.1量子力学原理在希尔伯特空间中的表示形式
我们用波函数来描述微观粒子的运动状态，所以量子力学主要要解决的问题是关于波函数的形式的问题。在希尔伯特空间波函数一般用态矢来描述，即：ψ表示波函数ψ描述的状态。
关于量子力学的第二个基本假设，态叠加原理，波动力学中的表述形式为Σ=iiϕψ，在希尔伯特空间中也有与之相对应的形式，主要是：iaaiiΣ∞==1，这是用狄拉克算符所写出的形式。
关于量子力学的第三个基本假设，力学量用线性厄米算符来表示，我们在希尔伯特空间中定义了一种普遍的厄米算符。
关于量子力学的第四个基本假设，之前我们是用薛定谔方程来描述的，现在我们知道由于对时间演化的处理方法不同，可以使量子力学有不同的绘景，在这些绘景中，我们可以分别写出描述粒子运动的形式。
关于量子力学的第五个基本假设，在希尔伯特空间中，我们可以用福克表象来描述它。
2.2希尔伯特空间中基本的原理
2.2.1对易关系的不变性
在希尔伯特空间中，我们可以将量子力学用不同的表象来表示，这方便了我们对量子力学问题的研究。可是我们不免提出这样一个疑问，如何进入一个具体的表象，如何在一个具体的表象中求解态函数，要解决这些问题，我们必须寻找不同表象共同遵守的原理，一个普遍适用于不同表象的原理。
这个普遍适用的原理就是对易关系，算符的对易关系是不依赖于具体表象的。泡利曾经说过，量子力学里面最美妙的地方是对易关系。关于对易关系的不变性问题。
首先，我们可以简单的用数学公式证明表象变换不改变算符间的对易关系。
然后，我们来看看它们的物理本质。一般可以简单的将坐标定义为描述空间位置的变量，却无法简单的将动量定义为质量和速度的乘积，我们必须从物理本质上去理解动量，角动量，动量是具有空间平移不变性的物理量，角动量是具有空间转动不变性的物理量，宇称是具有空间反演不变性的物理量。按照奈特定理，如果系统在某一空间变换下不变，则这一空间变换的生成元所对应的力学量守恒。我们常常通过判断哈密顿算符和空间变换的生成元是否对易来判断力学量是
否守恒。从上述变换关系上我们可以很清楚的看出，对易关系不会因表象变换而发生改变。
这种不变性，在我们研究具体表象中发挥着巨大的作用。就拿谐振子的占有数表象，也就是谐振子的能量表象为例，我们要研究谐振子的能谱问题，就归结为求解谐振子的本征值问题，为了解决这个问题，我们可以利用两个特殊的算符，从它们的对易关系出发，求解本征值问题。同理，在研究角动量的矩阵表示时我们也是把各个角动量分量及的对易关系作为整个问题的出发点，从而求解出角动量算符在共同表象中的矩阵形式。 +aa和2JzJJ和2]3[
2.2.2本征值的不变性
对于本征值，首先我们也可以用简单的数学公式进行推导证明。与此同时，我们还可以看看它的物理本质，我们知道，在实验中可以测量的值对应的是本征值，本征值不变对应的也就是说，实验值是不会因为表象发生变化而改变的一个量，所以本征值不变，这也是我们希尔伯特空间研究问题的一个出发点。
3希尔伯特空间中常见的几种表象及其变换
希尔伯特空间特殊在我们可以在这个空间方便的进行各种表象变换，这些常见的表象包括坐标表象，动量表象，能量表象，角动量表象还有福克表象等。其中关于坐标表象，是我们初学量子力学接触最多的表象，我们说量子力学的五个基本假设：微观粒子的状态用波函数来描述；波函数具有态叠加原理；力学量用线性厄米算符来表示；用薛定谔方程来描述微观世界中物质运动的基本规律；全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互变换后，不引起物理状态的改变，这些假设都是在薛定谔绘景下的坐标表象中展开的。
关于动量表象，我们可以求出坐标和能量在动量表象中的具体表达形式。
关于能量表象，我们接触的比较多的一种常见的能量表象是谐振子的能量表象，也可以把它称作占有数表象。我们知道在不同的哈密顿形式下，就对应不同的能量表象，那么在这个表象中的坐标和动量算符就会有不同的表述形式。当我们给定一个确定可求势能时，就可以从希尔伯特空间中最基本的对易关系等出发，来求解能级，以及动量和坐标算符的具体形式，这里需要注意的是确定可求，并不是所有的物理模型都有确定的解，我们通常可以解决的都是非常简单的物理模型，谐振子模型就是其中的一种。解决能量表象中的问题，有时候我们还需要从海森伯矩阵力学出发，或者换句话我们可以这样说，由于我们研究的能级是不连续的，所以薛定谔波动力学在这里已经不适用了，薛定谔波动力学一般都是建立在薛定谔方程的基础上，我们不能用薛定谔方程，即一个微分方程来描述不连续的能级关系，所以解决能级问题，我们一般选取的是海森伯绘景，在海森伯绘景中求解，从海森伯运动方程],[HAidtdAh=出发。 ]4[
关于角动量表象，可能我们很少听到角动量表象这样的叫法。一般的一种力学量就应该对应一种表象，所以我们可以在角动量的表象里求解角动量的本征值。
关于福克表象，它是我们用来描述一个粒子系统的表象，建立这个表象，主要是方便我们对粒子系统的描述。究竟怎样解这个系统呢，似乎还是个很困难的
问题。
我们在希尔伯特空间中研究对象主要是各种不同的表象，这就需要我们熟练掌握表象如何进入一个表象和退出一个表象，以及如何从一个表象变换到另外一个表象中。态矢和算符进入一个表象的具体方式如下：
mQnQananmn==
参考文献
【1】 刘连寿.理论物理基础教程.北京：高等教育出版社.2003.1-383.
【2】 范洪义.量子力学表象与变换论.上海：上海科学技术出版社.1997.1-10.
【3】 曾谨言.量子力学.第四版.北京：科学出版社.2007.263-272
【4】 汪德新.量子力学.第二版.湖北：湖北科学技术出版社.2003.101-138.