动力学系统中的任意一个分量的演化都是受与之相互作用的其它分量影响的，动力学系统状态某一个分量的变化包含有足够的信息来反映整个吸引

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搜索高级搜索基于几何结构的非线性动力学信号分离方法 姜可宇 蔡志明 （ 海军工程大学信息与电气学院，武汉 ４０３） ３０３ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 介绍了时间序列非线性动力学分析的理论基础及三种基于重构点集几何结构的信号分离方法。摘要： 非线性动力学：关键词： 相空间 信号分离； ｏｌｅ Ｄｎｗ　Ｓｎｌ　ｒｉ Ｍ ｔｄＢｓ ｏ ｉａ ｙ ｍｃ ｉａＳ ａｔｎ　ｈ ｓ　ｄ　 ｉｌ　Ｔ　 ａ ｅｏ ａ ｎ ａ ｇ 　ｅ ｏ ｒｐ ｅ Ｎｎｎ ｒ　ａ　　　　　　　　　　　　　　 Ｇｅ ｍｅｒ Ｉ ｆ ｒ ｔ ｎ ｏ ｔｙ　 ｏ ｍａｉ ｎ ｏ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　 Ｊｎ ｅ ｕ　ａＺｉ ｉ ｉ ｇ　ｙ ａ ｈ ｇ － 　　 Ｋ － Ｃｉ　ｍｎＡ ｓａｔＴｅ　 ｒｂｓ ｏｎｎｎａ ｅ ｒ ：　 ｈ ｙ ａｓ　ｏｌｅ ｂｔ ｃ ｈｔ ｏ 　 ｉ ｆ　ｉ ｒ ａａｓ ｏｔ ｅ　ｅａｄ　ｅ　 ａｓ ａ ｔｎ　ｈｄｂｓ ｏ ｇ ｇ ｐｉｌ ｉ ｒ ｙ ｓ　ｍ ｅ ｓ　 ｈ ｉ ｌ　 ａｏ ｘ ｏ ａ ｎ　 ａ ｃ ｎｌｉ ｆ　 ｓｉ ｎ ｔｅｓｎ ｅ ｒｉ ｎｔ ｓ　 ｄ　 ｅ ｒ ｈ ａ ｒ ｇ ｐ ｅ ｏ ｏｍａｉ ａｅ　ｒ ｕｅ ． ｏ ｒ ｎｏ访ｆｒ ｔ ｎ　 ｉｔ ｄ ｃｄ ｅ Ｗｏｄ：　ｉ ｒ　ａｉｌ　ｅ ｓｎｌ　ｒｉ ；　 ｐｃ ｏｌｅ ｙ ａ ｙ ｍ ｉ ｅ ａｏ ｔｅ　 ｅ ｓ ｇ ｐ ａＫ ｙ　ｒｓｎｎｎａｄｎｍｃ ｓ ｔ ；　ａｓ ａ ｔｎｓｔｓａ１引言 信号的表现形式主要有时域和频域， 　　　　 这两种形式是可以相互转换的，时频分析在信号处理中的作用越来越重要之后， ９ 年代以来，由混沌理论发展而来的非 信号的时频域共同表达也是信号的一种表现形式。 ０ ‘线性动力学分析方法，为信号处理带来的新的活力。时间序列非线性动力学分析的一个重要理论基础是相空间重构，时间序列被嵌入到相空间中所形成的点列可以说是时间序列的另一种新的表现形式， 对时间序列的非线性动力学分析都是基于对相空间中所形成的点列的分析。第二节将简要介绍相空间的概念。噪声对于混沌信号的分析是非常麻烦的，因此在对混沌信号分析之前先对信号进行降噪是非常必要的， 而混沌信号往往都是宽带的，因此混沌信号的降噪或者说是分离需要利用混沌信号本身的非线性动力学特征。 其中混沌信号在相空间中的几何结构是混沌信号最明显的特征，第三节介绍非线性动力学分析中基于几何结构的三种信号分离技术。２相空间 时间序列的非线性动力学分析， 　　　　 主要是将一个时间序列按照某种方法嵌入到一个高维空间中形成一个点列，然后从各种角度、利用各种手段，分析这个点列的各种性质，或者根据某种需要对点列本身做出 相应的处理，再将点列还原成时间序列。 上述高维空间就是相空间，相空间的概念在非线性动力学分析中具有非常重要的意义，时间序列被嵌入到相空间中所形成的点列可以说是时间序列的另一种表现形式。 在一般情况下， 　　　　 我们不可能同时观测到动力学系统的所有状态分量， 而只能观测到系统的某个状态分量序列，但是根据嵌入定理，动力学系统中的任意一个分量的演化都是受与之相互作用的其它分量影响的，动力学系统状态某一个分量的变化包含有足够的信息来反映整个吸引子的特征，因此从动力学系统的一个状态分量可以重构出一条相应的相空间轨道， 它与由所有状态分量构成的原始轨道在某种意义上等价，具 ｙｐｎｖ有相同的实质性特征，比如吸引子的维数和Ｌａｕｏ 指数等。这里的动力学特征主要是指重构轨道的几何结构、概率分布和演化规律等。 相空间重构的方法有很多，其中常用的一种方法是由Ｔｋｎ 和 Ｍｆ 提出的时延坐标重构【］ 　　　　 ａｅｓ ａＬ ６ ｉ １．假设 间 量 （，　，　 时 为 ， 入 为 ｔ 二 ．气 ） ｉ．时 标 序列为Ｖ　ｔ ｔ ． ， 延 △ 嵌 维 马 ， 几维 构 空 中 轨 点 以 次 Ｉ 则 重 相 间 的道 可 依表示为 Ｖ， （ ）－（ Ｄ １）， （，ｔ ，，ｔ Ｅ ）） ） ＋ ｖ十 （ｔＶ，Ａ－　；（ 一ｅ） ）２ Ｖ　 （ 匀一Ｖ　 １）， （，ｔ ｌ　十 （ｔＶ　 ， （ 乓一ｅ） ， ｔ（ ＋ ）） ＶＮ一Ｄ 一） ， ｔ一Ｄ 一） ，，　》 ｔ ＡＶ ， ｅ － （． －ｔ （（ｎ （Ｅ １ ） （ｏ （Ｅ ２ ）－Ｖ ， Ｄ （Ｅ １ 轨 点 这 方 简 而 便 实 。 △共Ｎ 一Ｄ 一）个 道 。 种 法 单 且 于 现 下图展示了常见的几种信号在相空间中的重构轨道，它们都具有非常明显的几何结构。 １６ 一６－３ 三种非线性信号分离技术 对于信号分离来说，非线性动力学方法将观察到的信号视为相应某个动力学系统一段演化轨道的映 　　　　射，利用两个或多个信号在相空间中动力学性质的差异来对点列进行处理，进而对信号进行分离。因该方法与基于统计模型的频域方法不同，它不依赖于信号或干扰的先验统计知识，故也称为盲分离处理，同时 制，该方法的有效性并不一定受两个或多个信号频域特征一致性的限 只要两个或多个信号在某些动力学特征上的差异比较明显，则会有比较好的信号分离效果。基于非线性动力 其中 学的信号分离方法有很多， 简单近邻点平均降噪法、利用信号重构点列局部几何结构的局部几何投影降噪法、利用参考信号相空间重构点集几何分布的变尺度概率净化方法等，都利用了信号相空间重构点集的几何结构，下面简要介绍这三种信号分离方法。 设包含两 　　　　个信号成分的观测时间序列为ｘ ＝ｓ ＋ ， ｎ ，　 ， ， 延 ｑ ＝０．， 一１ 经时 重构后， ．　 １ 观测轨道 将 为 部 即Ｘ 二 ， 、，ｋ ０－Ｎ－ ， 也 分 两 分， 、 ｗ十 ．， 据混 二 ，－ １ 要求根 沌信号的 动力学特征估计出混沌信号重 轨 Ｓ　 后 计 混 信 Ｓ１这 就自 实 了 个 号 分 分 。 Ｌ －构 道 Ｎ 然 估 出 沌 号 ０， 样 然 现 两 信 成 的 离 － １ ０，．３１简单近邻点平均降噪法 　　　　 是白 斯噪声， 如果信号ｎ ｎ 高 认为 沌信号 则可以 混 的干扰而偏离了原轨道。如 观 轨 点 Ｎ足 多 则 以 过 部 测 遣 ０ －，果 测 道 ｘ　 够 ， 可 通 局 观 轨 号重构轨道的估计Ｓ 。假 ａ ｂ 观 轨 点 ＊ 一 范 内 近 点 为 ｋ则设 测 道 Ｘ 在 定 围 的 邻 集 ，， １ （） ＊ ５二 Ｘ　 Ｅ　ｌ ，ｌ “｝ ｝Ｘ 次 每 个 测 道 都 上 修 ，可 到 沌 号 构 道 舒 最 估 出 沌 号０。 ０， Ｌ － １ 依 对 一 观 轨 点 作 述 正即 得 混 信 重 轨 Ｓ Ｉ 后 计 混 信 ｊ　 这个降噪算法很简单，观测信号的重构参数需要首先确定，每个观测轨道点的近邻域大小需要根据噪声的大小来确定。．　３２局部几何投影降噪法 方 下 事 为 发 ： 沌 引 某 ＊其 干 近 一 位 吸 子 ＊ 的 该 法以 述 实 出 点 混 吸 子上 一点Ｘ 及 若 个 邻点 般 于 引 在Ｘ 点切 ， 近， 的 空间 数ｍ＜ ， 空间Ｈ 附 这里 切 维 心 当混沌吸引子中混有噪声或干扰信号时，这些点将偏离Ｒ如果用Ｐ 方法 Ａ 估计出以Ｘ 点 心的 子 Ｃ 。 为中 吸引 局部切空间Ｒ ，， ＊ 然后将Ｘ 及其近邻点向 ｍ０ 切空间Ｈ ｍ　影，把它们 “拉回”到切空间附近。混 子 部的 间 计Ｈ 可以 沌吸引 局 切空 估 ， 通过局 轨道点 部的 拟合出来。 设 以 ＊ 中 ， 径 的“ ” 的 邻 集 矿， 邻 集 空 平 位 为 ｋ 则 构假 在 Ｘ 为 心 半 为ｒ 球 内 近 点 为 近 点 的 间 均 置 Ｐ ， 重 轨 以 ‘ 中 的 邻 表 为 ｆ Ｘ一 Ｘ 讨。 邻 Ｘ可 定 为 下 交 换 结 ： ｉ ｋ道 Ｐ为 心 近 点 示 Ｘ ＝ ，Ｐ， 。 近 点 ＇ 以 义 如 正 变 的 果 ｉ 生 　　　　　　　　 ｋ　 ）ｄ， ｊａ 。 ） Ｘ ＝ ｄ 　　　 ２ （） 中 。 ， ＝，，： 局 协 差 阵 （的 征 量 ．． ｋ 其 ， 岁 ｄ １．ｄ是 部 方 矩 Ｃ ）特 矢 ， Ｊ． 　Ｃ 　ｋ １ ｆ犷， Ｘ 艺Ｘ　 　 　一一 １ 　ｓｅ ３ （） 　 　 日 　 　ｋ Ｌ 　 　 　 　 　 ｉｕ ＶＥｋ 经 征 分 ， 以 得 正 特 矢 ． ， 二， 心， … （是 ｄ‘Ｅ 称 非负定矩阵， 特 值 解 可 求 其 交 征 量 夕 ｄ １ ， ） Ｃｋ　 个 Ｅ ｄ＂ ： Ｃ’ 　　一 ４对应特征值 减排列为＂ ）　 ｏ ， 。 数 夕ｄ ｌ ．： 以 过 数 矢 Ｘ投 到 征 ，　 可 ，　 ｄ ｋ ｌ，　 一嵘 系 ａ ，二 ．　 通 将 据 量 ＇影 特 矢 递 ＿　 Ｌ ￣ ｒ ＇１量而得到。最后， Ｆ ｋ 投影 得以 轨道点Ｘ 可通过如下 算子 修正： 用 　　　　　　　　　　　　 ｋｋ ＊ Ｅ　４ ） ！ Ｅ ｄ　， ＜ （（ ５＝ ａ）ｄ １ ｄ。 　　　 ｂ

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