刘维定理：柯西定理 在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定；

PPT] 数学物理方法
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模数原理：f(z)在闭区域解析，|f(z)|在边界上取最大值；; 刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数。 计算上. 简化路积分的计算。 柯西公式. 应用举例 ...
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数学物理方法


复变函数的积分






复变函数的积分


路积分
柯西定理
不定积分
柯西公式
本章小结





路积分


路积分的概念和性质




性质


定义


复变函数


实变函数






路积分


路积分的计算
思路
化复为实
公式I
∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(dx +idy)
= ∫C(udx-vdy)+i∫C(udy+vdx)
公式II
∫C f(z) dz = ∫C(u +iv)(eiφdr +i r eiφdφ)
= ∫C eiφ[(udr-vrdφ)+i(urdφ+vdr)]





路积分


例题1
沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫Czdz从O到B的定积分。


解：






路积分


例题2
沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫C z2dz从O到B的定积分。


解：






路积分


例题3
沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫C Re(z) dz从O到B的定积分。


解：






路积分


例题4
沿图所示的三条曲线分别计算复变函数∫z-1dz从O到B的定积分。


解：






柯西定理


积分规律的探究
归纳
如果函数f(z)在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定。
猜想
如果函数f(z)在闭单连通区域B上解析，则沿B上任一分段光滑闭合曲线 l的路积分有：


证明（见教材）





柯西定理


推广
规律
闭复连通区域上的解析函数沿外边界线逆时针积分等于沿所有内边界线逆时针积分之和。
公式


统一表述
解析函数沿所有边界线正向积分为零；
起点和终点固定时，积分路径在解析区域中连续变形不改变路积分的值。





柯西定理


例题
计算积分


解：
如a不在L内，I = 0
当a在L内时，
如 n ≥0，I = 0；
如 n




不定积分


不定积分原函数
概念
上限为变量的路积分称为不定积分
分析
如被积函数f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分单值。
如被积函数f(z)在复连通区域B上解析，则不定积分多值；
原函数
概念
如f(z)在单连通区域B上解析，则不定积分


在B上定义了一个单值解析函数，称为f(z)的原函数，





不定积分


性质
设F(z)是f(z)的原函数，则 F’(z)=f(z)
如果允许相差一个任意常数，则不定积分可以写成
F(z) = ∫f(z)dz
求原函数
在原函数存在的情况下，复积分与实积分只是变量不同，形式上没有任何区别，其原函数的计算方法和结果与实数情况完全类似。
例如:
∫zn dz = zn+1/(n+1)
∫cos(z)dz = sin(z)
∫sin(z)dz = - cos(z)
∫exp(z)dz = exp(z)





柯西公式


柯西公式
公式
如f(z)在单连通闭区域B上解析，L为B的边界线，a为B内的任意一点，则


证明：





柯西公式


变形


推广：





柯西公式


意义
解析函数的整体性：边界值完全决定内部值；
解析函数的可导性：一次可导 =>无限次可导。
应用
理论上
模数原理：f(z)在闭区域解析，|f(z)|在边界上取最大值；
刘维定理：全平面上有界的解析函数必为常数。
计算上
简化路积分的计算。





柯西公式


应用举例
例1
问题：计算回路积分


分析：与柯西公式比较，可知f(z)=cosh(z),a = -1


解：由柯西公式





柯西公式


例2
问题：计算回路积分


分析：与推广的柯西公式比较，
可知f(z)=sinh(z)，a = 0，n = 1


解：由推广的柯西公式





柯西公式


例3
问题：计算回路积分


分析：与柯西公式比较，
可知f(z)= ，a =


例4
问题：计算回路积分


分析：





本章小结


路积分
复变函数的路积分可分解为2个线积分；
一般情况下，路积分与积分路径有关；
柯西定理
在单连通区域内解析，则路积分与路径无关，完全由起点和终点决定；
在复连通区域内解析，则回路积分等于沿回路里所有内边界线积分之和。
柯西公式