劉維爾證明了，對於一個具有n 個自由度的哈密頓系統（相空間為2n），如果存在n 個獨立並且互對合的首次積分，那麼這個系統可用求積

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知識天地
可積哈密頓系統
謝 仲副研究員（數學研究所）
實際上在日常生活或自然現象中，我們常用方程式來描述現象，為了瞭解現象我們試著將方程式的解求出來，
並將解盡可能以簡單的方式表現出來。
當我們在邉訄錾希?吹揭活w足球在滾動，你可能會說這顆足球直接的滾向球門。當你想對這顆球的邉幼龀鯸r
較精確的描述，也許你會記錄出這顆球隨時間的消逝而做出的位置、速度、加速度……的變化，將這些變化的相互
牽連寫出來，就成了描述這顆球的邉酉到y方程式。
因此對於一個系統是否可解出來，也是瞭解一個系統的重要指標。從傳統的觀點，我們大都是透過積方的方式
（integration by quadrature）得到系統的解，因此很多時候，我們說一個系統是可積的系統（integrable system），也
就意味著，這個系統可確解（exactly solvable system）。從古早以來數學家對於尋找可積系統一直非常感興趣，藉助
可積系統的研究，用來描述古典系統和量子系統是理論物理的數學核心。
去尋找一個一致性的可積性的定義是非常困難的。尤拉（Euler）和拉格朗日（Lagrange）建立了牛頓力學的數
學架構，雅可比（Jacobi）將費瑪（Fermat）最少時間原則（Fermat’s principle of least time）和哈密頓（Hamilton）
最小邉樱╨east action）的觀念哂迷趧討B系統，得到了哈密頓動態系統（Hamiltonian System）表示法。在這個架
構下，我們可以探討劉維爾（Liouville）有關可積性的想法。我們將不從數學或物理學的角度去嚴謹的切入，而從
一般常識性或直覺性用類比的方式去看，在這個想法後面我們想表達的是什麼。
一般來說在辛流形上的一個光滑函數H 可以用來定義一個哈密頓系統，通常這個函數稱為哈密頓函數或能量函
數。我們可想像這個函數描述了在相空間上的能量或訊息的分佈。由這些量分佈的強弱，我們可定出一個特殊的哈
密頓相量場（Hamiltonian vector field），由微分方程理論，我們可在相空間上導出一個哈密頓流（Hamilton flow）。
對於一個在相空間上，不是一成不變的函數F（非常數函數），在沿著每一條哈密頓流取值的時候都是定值，這個函
數就稱為這個哈密頓系統的首次積分（first integral）。你可以想像為F 所代表的是能量或訊息，當沿著固定的哈密
頓流，它的強度或大小不會有所改變。
從微分方程的理論，我們知道可以利用已知的首次積分，來減少系統的複雜情況，而得到一個新的系統，就像
是猜謎或拼圖。線索愈多謎底的範圍也就愈小，愈容易猜，被拼出來的圖片越多，拼圖的難度，也就相對的降低。
從前面有關哈密頓流的敘述，我們知道在一個辛流形上的任兩個光滑函數F 和G，都可訂出自己的哈密頓系統。
如果F 函數是G 哈密頓系統的一個首次積分，那麼G 函數也是H 哈密頓系統的一個首次積分，也就是他們間存在
一個對稱的關係。因此在這個辛流形上，我們稱這兩個函數G 和F 為互相對合（involution）。我們可以想像為一個
人從A 點出發，沿過A 點的F 哈密頓流走了t1 時間，再從那兒沿G 哈密頓流走了t2 時間到達B 點，和先從A 點
沿過A 點的G 哈密頓流走t2 時間，再從那兒沿F 哈密頓流走t1 時間，一樣可以到達B 點，有時我們稱這種情況是
可交換（commute）
我們前面已提到，每知道一個首次積分，就可以使系統變得簡單一點，但是到底需要多少知訊，我們才可以對
系統完全瞭解。由於哈密頓系統的特殊性結構，1855 年劉維爾證明了，對於一個具有n 個自由度的哈密頓系統（相
空間為2n），如果存在n 個獨立並且互對合的首次積分，那麼這個系統可用求積法得出。也就是說如果能知道n 個
沒有重複的訊息，我們就可以對系統完全瞭解。我們也由此知道一個哈密頓系統，在什麼條件可被稱為一個可積的
哈密頓系統。像是簡諧邉印?E圓體上的測地線、旋轉的陀螺……等，都是已知的可積哈密頓系統。同時尋找獨立
並且相互對合的首次積分也變成研究可積系統的一個重要課題，像是逆散射理論（inverse scattering）、賴可司對（Lax
pair）……。
數學的各個領域不是獨立的，而是盤根錯節的，像是關於可積性的研究發展出了彭拉夫檢測（Painleve test）；
應用黎曼-希伯特問題（Riemann Hilbert problem）、正交多項式（orthogonal polynomial）、隨機矩陣（random matrices）
去解決可積性的問題；對於無限維空間，需要多少首次積分才夠說一個哈密頓系統是可積系統；無限多環體（tori）
可如何定義，是否在黎曼曲面（Riemann surface）上的一些重要性質，也能在無限多環體上展現……？