方锦清 动力学理论中的根本思想之一是“分解", priced in EMT

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方锦清(中国原子能科学研究院)
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亍动力学将不愧为非线性非平衡态研究园地中一朵鲜艳盼奇葩。0年f牟 2 2
普利高津的耗散结构理论在科学界已几乎
尽人皆知，但对他的另一独树一帜的非平衡态
统计理论—— 了=动力学， 人们却了解得不多。
其实， 早在1968年， 几乎在提出耗散结构概
念的同时， 亚利高津与乔治 赫宁就首先开创
性地提出了 于动力学 的概念 l 他们在7O
年代相继发表论文及有关专著， 改进和阐明子
动力学理论 20多年来，普利高津率领其学
派经过坚持不懈的努力， 攻克了许多难关， 在
子动力学理论及其应用中， 取得了突破性进
展。他们把非线性非平衡态的研究(包括自组
织问题)， 从宏观唯象层次推进到了微观层
次，从而揭开了自组织的微观机理及不可逆性
的微观意义，并以一种统一的描述形式和崭新
的观点，把子动力学方法从经典力学拓广到量
子力学， 在许多典型问题的应用中获得了很大
的成功。
一、何谓子动力学
统计力学的一个基本方程，就是描述分布
咱矗
函数随时闻演化的刘维尔方程 它是一个线
性偏微分方程。虽已证明， 该方程的解与正则
运动方程的积分是等价的，但是， 还存在许多
基本问题，例如， 如何拓广基本方程并解决好
完全刘维尔算符的本征值问题， 以及与微观不
可逆性乃至与混沌有何联系，等等。可以说，
子动力学理论正是从拓广刘维尔方程人手， 经
过普利高津学振一番潜心研究而发展起来的。
贯穿在子动力学理论中的根本思想之一
是“分解 。最初，普利高津等把一个动力学
^
系统的分布函数l厂>分解为真空部分V L『)和
^ ^ ^
相关部分C V 和C 为两个投影算符， 它
们把 >分解为在无微扰运动中具有不变性的
两个子集 这种分解还可以用任一算符作用
在 上的更细的分解来描述， 从而给出消除
了两个子集之间耦舍的最一般表达式 可以
证明： 对于系统中粒子间无相互作用的情
形，可将 >的时间演化问题分解为两个各自
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独立的时问演化问题分别予以研究 于是称
子集{ _，))和{0 }各自澶循自己的。S+-J7
学” 。这就是 于动力学” 概念的来源。
对丁系统中粒子间有相互作用的情形，仍
可建立独立的子动力学。这时系统的l，)分解
为动力学部分 和非动力学部分If > 并用
^ ^
算符n 和n 分别表示。前者真空部分满足
一个封闭的动力学演化方程， 并且是无须应
用概率概念即可精确导出来的。该演化方程
t
的稳态解就是平衡分布函数。 在算符兀及
^
n ’的作用F分解为两个互补而不交叠的子
集．它们同样具有不变性、且这两个分量随时
间的演化是互不相关的 所以也称每个分量各
自遵循自己的 子力学 。在粒子间无相互
t A A
作用的情况F，n— 及n _÷c
但是， 并非对所有的系统都能确定一个
^
唯一的兀， 只有当系统附加一条与热力学极
限及粒子相互作用有关的条件时， 才能确定
}
出唯一的n， 从而上述的子动力学方案才能
成为描述和研究系统不可逆性的一般动力学
理论。这也是子动力学理论最初想锯决的主
要问题。
二、不稳定的大庞加菜系统
动力学系统的非线性及其不稳定性所产生
的复杂性是当今国际学术界关注的热点。普利
高津认为， 把动力学系统分为稳定的和不稳定
的两大类是极为重要的． 因为这同时适用于经
典系统及量子系统。按此观点， 可积的 与“不
可积的 庞加莱系统之间的区别是根本的 与
不可积系统相关的庞加莱发散表明：在稳定的
与不稳定的系统之间存在一种极限， 超过该极
限不可能应用传统的方法研究经典物理和量子
· 12 ·
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物理。在过去20多年中对经典系统广泛地研
究了庞加莱发散效应 但是对量子系统仅仅近
年来有所研究
不稳定动力学系统有各种类型，大庞加菜
系统_j 是庞加莱不可积系统中特别重要的一
类 这是圆为它 l-tl~是哈密顿系绕，并且广泛
存在于近代物理的众多领域中， 在经典力学与
量子理论中均起着关键作用。
我们知道，不可积是由共振引起的。耦台
常数较小时， 系统的行为是“周期”占主导， 通
常频率是町通约的有理数 但是对于犬庞加莱
系统， 共振则遍及整个相空间， 它们不再限于
有理点， 而是几乎示现在相空间的所有点，它
们可以是任意实数 系统的行为从耦合常数等
于零的周期行为突变到性质不同的新行为。于
动力学理论中的碰撞算符就对应于整个共振的
积分， 且精确地表示丁共振连续谱的存在。普
利高津等的研究结果表明： 只有不稳定的大庞
加莱系统， 不论经典系统还是量子系统， 才能
出现非平衡态的自组织结构，其根本点就在于
哈密顿算符的谱是连续的
这里， 一个重要问题是如何拓广在无微
扰下刘维尔方程特征值问题的求解方法。为
此，普刹高津等弓l进了一个广义谱投影算
f¨
符n．使得系统的分布函数或密度矩阵p用由
lv’ I1)
n作用的一个完全集来表示，即P= Σrip，而
每个子集都随时间独立地演化，n 在其演化中
起到信息从一处传递到另一处的关键作用
为了构造适于连续谱研究的广义投影算
符， 以及消除庞加莱发散， 普利高津等提出了
确定 时序 的方法， 即采用由解析开拓类型决
定动力学过程的时间方向 。可采用这个方法
的实斜之一是散射理论，另一个例子是弗里德
和希模型。它们都是通过适当的时序消除了庞
加莱发散 ，
虽然船决好时序乃是战胜庞加莱发散及取
得不稳定动力学系统的自治理论的关键， 但是
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一般说来并不能用上述解析开拓方法来消除庞
加莱发散， 而必须采用系综理论及关联流的思
想。因此， 不稳定动力学系统的基本微观描述
必须根据具有时问破缺对称性的统计方法来描
述， 即采用概率分布或密度矩阵p来描述
这时， p必须满足刘维尔一冯纽曼方程：
iap／a Lp。这样解决动力学问题就变成构
造刘维尔算符L的复谱分析了。
三、复谱分析理论
普利高津学派的复谱分析理论是近年来子
动力学理论的一大成果 J。它有两个基本特
点：(1)表征时间破缺对称性的本征值都是复
数，(2)引进了刘维尔算符的 可约化的 及
“不可约化的 表示形式。
复谱分析理论的第一个特点表明， 对称破
缺发生在刘维尔方程的本征函数的层次上， 也
发生在概率分布p的层次上。由此导出一个
同等重要的结论：统计性比通常量子理论中的
统计性更强。因而吉布斯和爱因斯坦系综过去
主要作为一种实用工具，现在则变为一个基本
概念及研究方法 令人感兴趣的是， 这样引入
的系综将导致在经典力学或量子力学两种情形
中都可出现 混沌 。这个结论是相当一般的
最近普利高津学派应用自己的理论研究了本来
就存在混沌的动力学系统， 诸如伯努利位移
等。结果表明， 就在分布函数的层次上确实存
在一个复谱表示，因而他们很自然地采用在概
率分布的层次上的复谱来定义 混沌 。这种定
义令人耳目一新。人们长期曾试图采用许多不
同的方式定义 量子混沌 ， 但一直未能达到经
典和量子两者一致的定义。经典系统是从对初
条件的敏感性来定义的，但是如何把它拓广于
量子情形就不清楚了。究竟两者有何区别我们
将在下面说明。这里可以指出： 两者的类似性
在普利高津的新理论下达到了共识，重要的结
论是，大庞加莱系统一般兼有混沌和耗散两种
性质，它们都是动力学不稳定性的结果。
● 叠蠢‘
复谱分析理论的第二个特点，正好阐孵了
在轨迹层次上与在波函数层次上用复谱表示的
大庞加莱系统之问的区别， 以及所要求的统计
方法。从物理意义上，刘维尔算符L的可约
化表示导致从概率表示p回到轨迹或波函数
的描述上去。这种统计描述对应用是有益的，
但它不是一种基本描述。相反地， 当获得L
的不可约化表示时， 概率描述则变成基本描
述， 这时不能退化到轨迹或波函数的描述上
去； 并且只有刘维尔算符工的谱表示为不可
约化形式时，我们才能说 混沌 。满足这样表
示的系统必须存在持久的相互作用。
复谱表示有一个优点： 可以把各种可观
测量， 如寿命、散射截面等吸收到p的时间
( )
演化中。其中零本征值的本征函数中 起到特
殊作用， 即为 平衡模式” 。当所有其他的
模式被衰减时，p (t) 渐近地趋于(当t
． l (”
一o。) 2c 中 ， 这里的求和遍及所有的平衡
模式。在平衡时只有零本征值平衡模式保留
《 )
下来， 对不同的分布其平衡模式的系数c 都
相同，这些分布都将达到同一平衡态。因此
平衡分布扮演了吸引子的角色。为了描述趋
向平衡就得采用刘维尔空间。根本不存在在
轨迹或波函数层次上趋向平衡。这里提出一
个问题： 薛定谔方程是线性的， 相应于每个
韧条件 (0)的波函数为 (f)，这怎么触
同趋向分布函数p的平衡相一致呢?普利高
津学派证明了： 这个明显的矛盾恰好与不稳
定性及混沌相关， 且复本征值导致各种时间
标度。这再次通过各种模式叠加对应于出
现 非马尔科夫 行为。正是分布函数的初
条件激发起各种楔式， 决定了短时间和长时
间的p(f)的行为。由于他们建立了p层次
上的不可约化形式， 所以在其理论框架下可
以自然地阚明轨迹或波函数的时间破缺对称
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等重要问题
四、波函数的破裂：■子混沌
经典混沌必然导致经典轨迹的 破裂 。但
是在量子力学中量子混沌仍然是一个病态的概
念 J。它需要比经典混沌更强的条件 因为所
有 有限的 量子系统(具有离散谱)都是可积
的， 它们无庞加莱发散。这是普朗克常数h的
结果 与经典力学比较，h的引进就像加上了
相干性。相干性则是量子力学中物质波动性方
面的根源。因此，与经典混沌对应的量子力学
的类似物一般不可能是混沌。但是对导致刘维
尔空间中不可约化表示的大庞加莱系统来说，
则并非如此。即对于大庞加莱系统， 不论经典
系统还是量子系统，均可出现混沌。
按照通常量子理论通过求解薛定谔方程，
波函数从t=0时的妒(0) 出发变成妒(t)
=e (0)。这个结果如何与复谱理论所得到
的p导致平衡结果相一致呢?普利高津进一
步指出： 平衡意味着存在多重波函数(相应于
微正则系综的相同能量)。究竟如何能把一个
波函数变成多重波函数呢?这与量子理论是否
矛盾呢?从某种意义上说， 该思想类似于经典
混沌系统中轨迹概念变成病态定义的情形。由
于不稳定性同样导致t 一时波函数妒( )也变
成病态定义，例如二体散射中出现含时因子
sina~t／∞ 对于短时间该量有很好定义(对于
t《“ sin~t／∞ 简直就是f)， 但是对于‘t—
o。， 它则在一1／∞和+1／∞之间越来越快地
振荡， 故类似地，P=妒妒‘也变成病态定义，
就如它变成正比于si tot／ 一样。那末如
何排除这个困难呢?这个不难， 须知P的最
初目的就是计算平均值，在乎均值意义上困难
便迎刃而解。关于趋向平衡问题，只要限于光
滑的可观测情形。我们从面包师变换中可知，
不断重复面包师变换， 我们就会不断地得到越
来越细韵条形。更精确地说'这样变换的结果
将不产生均匀的分布。但当计算光滑的可观测
量的平均值时．则可略去振荡， 于是P将是
· 14 ·
均匀分布 这恰好是量子理论也不得不做的事
情。如上述例子， 当 csi tot／ 时， 必须
考虑【r(co)sin2tot／Jdo, 叻为∞ 的光滑
函数， 称为 试验函数 教科书中早就证明：
对于卜+。。'该积分可写成【，( 似co)d~ 这
里 (∞)是狄拉克分布。这时试验函数中P变
成 ( 且是很好定义的， 并且能考虑积分
(∞)d(co)do,使得“被规则化的 P正比
于t6(∞)， 而被规则化的波函数正比于
(∞) 显然， 被规则化的P不是被规则化的
波函数的平方。这表明： 作为量子力学的波函
数 破裂 现在必须在分布函数的层次上给予
公式化。与建立在波函数基础上的量子理论相
比，普利高津的新理论中增加了统计元素。他
们正是针对导致波函数的病态定义这个事实，
提出了关于密度矩阵P的量子理论， 必须精
确地把该理论理解为研究与试验函数有关的密
度P的理论。
值得注意的是， 被规则化的P满足刘维
尔一冯纽曼方程， 这成为新量子理论中的基本
方程，取代了通常的薛定谔方程。新理论中把
P表达成来自不同模式的各个贡献求和，这是
高度非凡的基本结果， 可视为量子力学的崭新
形式。
现在来看看新量子力学形式的物理图像
考虑经典相空间， 用h元胞划分相空间考虑海
森堡不确定关系。早期的玻尔量子理论中每个
元胞对应于一个量子态(一个妒)。在稳定量
子系统中， 按时地从一个量子态进入另一个量
子态。相反地对于大庞加莱系统，则产生多
重量子态。于是就像云雾弥粳了整个相空间，
可以从一个态进入许多态， 反之则不然。因
此，尽管在量子力学中不能通过定义 对韧条
件的敏感性 来表征混沌， 但是显然上述图像
与经典混沌的相似性是多么令人吃惊。这里发
现了波函数的破裂现象是基本主要的混沌表现
形式， 且标志着量子力学的极限． 不过， 波函
数的破裂恰好唯一地标志着更深刻的困难所
在。因为在大庞加莱系统中波函数连续不断地
螽 譬_毫七
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分支出来，使基于永久单波函数的薛定谔方程 综上可见，普利高津学派的子动力学理论
根本不适用了，而应以刘维尔一冯纽曼方程取 的最新进展是极其美妙和令人振奋的， 它正在
丽代之， 于是新量子力学形式脱颖而出 新理 深入发展之中。当然， 理论及方法也尚待进一
论的特色和优点在于：(1)从基本的微观层次 步改进和完善，诸如构造性微扰理论及广义复
上考虑了耗散因索和时间方向，这恰恰是老理 谱分解法，都颧为麻烦(限于篇幅， 本文也没
论的两个致命弱点；(2)导出具有时间破缺对 有详细介绍)， 对各种不同的问题缺乏统一的
称的解， 从而能从微观层次上引进不可逆性； 推演方法和适于在计算机上实现数学机械化的
(3)能把许多可观测物理量包括在理论之中； 途径等。 一 ·
(4)导致发展了一种构造性微扰理论及广义复
谱分解方法m’ 笔者裹 感谢普利高津教授鲰热情邀请，
应用广义复谱分解方法，普利高津学派已 从而艉在 鲁塞尔自由走学访l『司时， 同弛芨其
经成功地研究了一些典型问题，诸如多伯努利合作者对荫理论进行了极其有益的荦术讨论。
映像、面包师变换映像、标准映像等的谱分 一t
解。这种方法除了在算符理论上令人感到浓厚 【1】Pri嘲 ．Physwa．45(1968)'418
兴趣外， 更重要的是在物理上有强烈的吸引 【2l昔里戈奎I _甘非平街态统计力学 上海科学技术出版社
力。这是因为该谱反映了动力学性质， 各个本(1984) ’
征值就是李雅普诺夫时间的幂次， 它描述了趋 [3]Pc螂岫工 嘲 m # 舢- 988)
向平衡的速率； 同时它能显示导致面包师变换 H TI'aat,聊 ^I=蝴l矗9t)l ：
中内禀不可逆性原因的向前和向后的K 配分 【5l方锦瓶《自然杂志 13(1990)745
的时间非对称演化， 并能反映和预测不稳定动 [6]Amo~ionI，MismB 肺．J．Tkeo．Phys． 31(1992~t19
力学系统的内在概率， 等等。 [7】AmonionI．，MisraB，J．Phy“A24(1991)2723
ramification
random
～ walk
reoogm(~o
reoonStrUCtlOn
rcc~rrcnt m otion
r∞ Urs-on
redundancy
relativity
laxation oscil]ation
renormal1zatlOn
～ argumelit
{ ～group
； ridge
； rotator
r0t0n
5 saddle poim
英汉对照新学科词汇(八)
分支
随机。无规
随机行走
识别
重构
回返运动
递归
冗余性
相对性
张弛振荡
重正化
重正化变量
重正化群
脊峰
转子
旋子
鞍点
刘洪编 朱照宣校
scaling 标度，尺度
～ index 标度指数
segment 割齄
sdf 自我
～avoiding polygon 自回避多边形
～ inversefmaal 自逆分形体
～ organization 自组织
～similar 自相似性
sensitiYe lcI，endence on initial c,or,dRion
对韧始状态的敏感依赖
separatorcurve 分界曲线
shirtfromlangeney 从切点的移位
s]~guMrity 奇点．奇异性
slavingprinciple 役使原理
solitoa 孤子
dark～ 暗孤子
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