互相关指2个信号之间的相似程度，时间轴表示“挪”了多少的“距离”，比如一 个信号不动，另一个以起点开始“错动”，“挪”到某点时，

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研学论坛 » 信号处理基础 » 统计信号处理 » 【讨论】信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义irisff 发表于 2005-12-16 08:10

【讨论】信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义
从数学形式来看，这几个概念都是非常清楚的。
想向各位大侠请教：这几个量的物理意义，以及用途。

还请各位不吝赐教，谢谢！

1.均值：信号幅度的平均值，物理含义是不是信号的直流电平？

2.方差：信号幅度偏离均值的程度，是不是在某种意义上代表了信号振荡的趋势？比如波峰和波谷

3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗？那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢？

4.还有协方差？

我知道自相关/互相关等一般用于功率谱分析，雷达测速，那么除了这种用途之外，还有别的实际用途吗？

谢谢！
irisff 发表于 2005-12-16 08:23

Re:【讨论】信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义
1.在matlab里，协方差的计算是在计算相关之前减去了均值，是不是就是指减去了信号的直流分量，如果信号的均值为0的话，协方差的结果和相关的结果应该是一样的吧。

2.自相关函数是不是可以用来表示信号随时间变换的一致性（我在别人的文章里看到的）？这个具体意思是什么呢？
radar 发表于 2005-12-16 10:48

Re:【讨论】信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义
你的理解大错特错了，主要是没有分清确定性信号和随机信号！

正弦波交流信号的直流分量为零，但不能说其均值为零，因为均值是衡量随机信号的一个统计参量，而正弦波是确定性信号。其它概念同样如此。

这些统计参量的精确定义书上都有，建议好好领会。对随机变量来说，“平均”包含“无限”的含义，任意长的有限样本都不能替代随机信号的整体特点，这是和确定性信号特征描述的主要区别。
mugua4515 发表于 2005-12-16 11:29

Re:【讨论】信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义
3.自相关/互相关：是指信号之间的相似程度吗？那么在时间轴上，又代表了信号的什么特性呢？
互相关指2个信号之间的相似程度，时间轴表示“挪”了多少的“距离”，比如一 个信号不动，另一个以起点开始“错动”，“挪”到某点时，两个信号的相似程度在函数值上体现，而“挪动”的“距离”在时间轴上体现。
自相关表示信号的周期性——自相关极值点间的距离就是周期；对于随机信号，自相关表示该信号的变化快慢——如果自相关函数平滑，说明变化慢；
irisff 发表于 2005-12-21 08:00

Re:【讨论】信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义
To:radar

我知道：对于随机信号，因为不能确知它在每个时刻的值，所以我们从统计平均的观点来认识它。如果已知其概率分布（包括一维和多维概率分布），我们就可以认为这个随机信号在统计意义上已充分理解或描述了。

在实际过程中，要得知一个随机过程各点上的随机变量的分布函数并不是很方便，但随机过程的各种统计特征量从各个侧面间接的反映了概率分布特性，所以通过某些特征量就足够描绘这些过程了。

但我在西安交通大学 吴兆熊 写的 数字信号处理（下册）一书中看到这样的描述：
1．随机变量x 的均值（用 表示）定义为：

如果 x是电压或电流，则均值可理解为第n点上电压或电流的“直流分量”。
2．随机变量x 的均方值定义为：

如果 x是电压或电流，均值为理解为第n点上这个电压或电流在1 电阻上的“平均功率”
3．随机变量 x的方差定义为：

如果x 是电压或电流，方差可理解为电压或电流的起伏分量（已除去直流分量）在1 电阻上耗散的平均功率。
因为：均方值＝方差＋均值平方 ，即“平均功率”＝“交流功率”＋“直流功率”

以上的三个特征量仅与一维概率密度函数 有关。对于平稳随机过程，一维概率密度与时间无关，故对于平稳随机过程，均值，方差和均方值都是与时间无关的常数，可以将第二个下标去掉。

与二维概率分布有关的统计特性主要有自相关函数和自协方差函数
4．自相关函数
一个平稳随机过程中的二个时间点上的随机变量x1 和x2 之间的自相关函数定义为：

这里m＝时移差＝n2-n1，把随机变量 和 相乘，就意味着把它们中间的共性成分进行了相乘。因为共性成分的相乘永远是带确定符号关系的，而非共性成分相乘随机的“有正有负”，平均来讲趋于相互“抵消”。因此，自相关函数能把 和 的共性成分提取出来，它是随机信号 在n1点和n2点间波及性的指示。
5．自协方差函数：对于平稳随机过程，均值为常数，自协方差和自相关函数只差一个均值的平方，它们之间没有本质的区别。

不好意思，不会贴公式：（

请教Radar，这里所说的直流分量和平均功率的说法，你觉得正确吗？
radar 发表于 2005-12-21 08:34

Re:【讨论】信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义
我们通常所说的“直流”和“平均功率”的概念是针对时间这个自变量来说的，现实中的直流电就是电压不随时间发生变化的电流，电流的平均功率就是某一时间段内电流的能量除以时间。在数学上，以上说法只对确定性信号是正确的。对于随机信号，平均的含义不是时间上平均，而是数学期望，是指某一随机事件发生一次的期望值。对于满足各态历经的随机变量我们才能用无限的时间平均（也就是统计独立地重复无数次）代替数学期望。基于此，我认为：

1. 将随即变量的均值比喻为直流电平是不确切的；

2. 方差是随机信号偏离均值的离散程度不错，但是这种偏离是以概率作为偏离程度度量的，不是常说的随时间变化的“趋势”，更没有“波峰”和“波谷”；

3. 自相关/互相关是指随机信号之间的相关程度，而不是相似程度，相关指的是概率意义上的关联，相似指的是形状上的关联，两者不是一个概念。在时间轴上，自相关/互相关是指可以通过某一时刻随机信号的统计特性对与之相关时刻的随机信号的统计特性进行概率意义上的预测，预测的依据就是自相关/互相关函数；

4. 协方差矩阵反映了多个随即变量组成的随机矢量两两之间的相关性。

[color=red]申明：本人的回答并不一定完全正确，仅供学术讨论！[/color]
irisff 发表于 2005-12-21 10:27

Re:【讨论】信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义
我想，这里所谓的直流功率，交流功率和平均功率的概念可能应该这样来理解：

对于满足各态历经的平稳随机过程（可用时间平均替代集合平均）：
1。自相关函数B(tuo)=E[X(t)X(t+tuo)]，则B(0)=E[X(t)X(t)]，表示遍历过程的总平均功率。从自相关函数和功率谱密度的关系来推，B(0)为功率谱密度曲线p(w)所围的面积，即功率。
2。而根据均方值，方差和均值三者的关系，把总平均功率认为是直流功率和交流功率之和。

上面论述中的直流分量，应该也是指的直流功率这个意思
barcamario 发表于 2005-12-23 07:48

Re:【讨论】信号的均值，方差，自相关，互相关，协方差等代表的物理意义
我认为radar和楼主的理解区别在于：
radar认为信号是一个随机过程X(t)，每一个时刻的X都是一个随机变量，因此时间平均并不一定等于统计期望。
而楼主的理解似乎倾向于将信号每一点的值看做是一个样本，因此这种伪时间平均也就类似于统计平均了