平方可积 没有定义的总概率物理上并不感性趣

态函数的一些数学性质
1 平方可积
为了使2.23 2.4 有意义态函数的绝对值平方在全空间的积分应该存在
小于无穷大这一性质成为平方可积性
对实际的物理态粒子在全空间被观察到的概率必定是有限的因而相应的态
函数是平方可积的但为了方便在量子力学中还常常用到一些非平方可积的理想
状态例如平面波
(r ) Aexp(ik r ) ψ v = v ⋅ v 2.7
它的绝对值平方等于
2 A 为一常数表示粒子在空间任意位置被观察到的概率都
一样它的绝对值平方在全空间的积分正比于空间的体积当空间体积为无穷大时
积分发散因此计算它的绝对概率密度处处为零是没有意义的显然严格
的平面波实际上是不能存在的它只是一种理想状态但由于下列的原因量子力
学仍然允许这样的态函数1 平面波2.7 代表的理想状态物理图象是清楚的
没有定义的总概率物理上并不感性趣2 存在真实的物理状态它在一定有限
空间范围内往往是物理感性趣的范围可以非常好的由平面波描写3 任意态
函数都可以用平面波展开傅立叶展开即任意态都可以看作是平面波的线性叠
加故平面波给数学处理量子力学问题带来很大的方便