物理好图 黃福坤 保守力場 力就是位能隨空間的梯度分布 位能沿高度變化率為正.定義前方有一負號,故重力方向向下 其實相同概念可沿

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位能
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一本書在光滑水平桌面上,未受外力時會等速邉尤羰芡饬? 移動位移dS 後,所作的功 dW=F ds 會造成該書本動能的變化若該外力與書本速度同方向 則動能增加,反方向則動能會減少.

考慮一書本靜置於桌面上, 考慮書本為物理系統. 既然書本靜止不動,表示書本所受外力和為零. 已知書本會受到地球重力場向下的重力作用. 若書本重力質量為 m,則書本受到 向下的重力 可是書本所受合力為零,因此書本必然還受到另一個外力,也就是桌面對書本施以向上 和重力 相反的正向力. 此力的功能是維持書本不會陷入書桌桌面內部.

同樣的若是要將書本等速往上提起高度 h, 則必須對書本施以向上與重力大小相等方向相反的力. 此時從書本的角度,因為 所受合力為零(向上施力抵銷向下重力) 因此合力為物體作功為零. 故物體動能沒有改變.

將書本從桌面等速提升一高度 h 後, 若是將書本放開,則此時 書本受到向下的重力作用. 故物體動能將增加 也就是重力作功 轉變成書本的動能.

以上分析時,重力與對書本施加向上的力 都當作是 書本系統的外力.


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讓我們重新處理以上數學關係式 將等號右邊移到等號左邊. 則得到 同時定義

,
關係式中的 就是重力場對物體所施加之力

若系統除了重力場外,其餘的力均視為外力. (也就是從另一種觀點來看問題: 將重力視為系統的一部分)

當系統除了重力以外不受到其他外力作用時, 從 ΔK + ΔU = Δ(K + U) = 0, 可推知 K+U=常數 也就是常聽到的 力學能守恆

此時我們說: (注意:此時重力已經是系統的一部分)

當外力將書本往上等速提升高度 h 時, 此外力對書本所作的功變成 書本的位能. (此時新的系統,受到外力作用)
當之後將書本放開,書本落下的過程. 因為系統不受外力作用,故落下過程中 系統的 動能 + 位能 恆為定值. 高度愈低時,愈多的位能轉換為書本的動能.

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我經常用以下狀況來對比以上的情境: 將系統的動能視為身上的現金. 當自己沒有收入也沒有其他支出時, 若是將自己銀行的戶頭視為外在系統. 則將部份身上的錢存入銀行, 則身上減少的錢會等於存入戶頭的錢. (身上減少的錢猶如動能,因為對外作功,動能減少--存入系統外銀行帳戶) 若是從銀行提領現金,則身上多出的錢等於提領的錢(系統外作功=動能的增加)

可是若將 身上的錢與銀行的錢 整個視為一個系統. 則沒有其他收入與支出情況下身上的錢 + 銀行戶頭的錢 恆為定值. 此時不可再將與銀行之間的提領或存款視為外力了, 但是若有其他收入,如薪水直接匯入銀行帳戶. 此時薪水是外力,直接轉換使得銀行戶頭金額增加(對比外力作功變成系統的位能)





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並非所有的外力都可以利用相同的方式,轉變成位能的定義 成為系統的一部分. 必須該外力所作的功,僅和位置有關而與路徑無關.此時才可能定義 位能(也就是僅與位置有關的能量) 滿足以上條件的敘述可以有以下幾種陳述方式:

該外力作功,只要起點與終點相同,不管沿哪一個路徑 所作的功均相同.
從某點開始外力作功,當回到起點時,該外力所作的淨功為零.
該外力所作的功,僅和位置有關而與路徑無關
滿足以上條件的力場 稱為保守力場.因為位能 (從力計算能量)

故 (從位能計算力)

也就是說 力就是位能隨空間的梯度分布. 在地球表面附近, 沿著水平面位能為零,故水平面方向沒有重力, 但是沿著鉛直方向位能會有變化,愈高處位能愈高,也就是重力是往下 (位能沿高度變化率為正.定義前方有一負號,故重力方向向下!)

其實相同概念可沿用到其他非力學領域,例如若空間中有電場或磁場 (兩帶電質點之間的電位能).則可計算單位體積的能量密度,從該能量密度隨空間的分布 也就反推電場或磁場. (如已知電位的空間分布可推知電場的空間分布)