分析数学 实变函数论的中心内容是测度论和新的积分理论

六．分析数学选课指南



概述： 分析数学系列目前面向全校博士、硕士研究生开设5门课程：《数学物理方程》，《最优控制方法》，《应用泛函分析》，《微分几何》和《非线性系统理论与方法》。



分析数学一般认为以微积分的创立为起点，但是萌发分析数学的第一枝新牙是在这之前的笛卡尔坐标系的诞生。正是坐标系的概念，是人类对“数”的认识得到深化，使数学变“活”，产生了函数的概念，从此对“数”的认识和对“函数”的认识相辅相承，继续深化。而对函数的认识和对物理上对运动的认识相结合，引发了微积分的产生。不过，微积分虽然一开始就解决了不少实际问题，但还是很粗糙的，数学上不严密。经过长期的尝试与酝酿，数学家在严格化基础上重建微积分的努力于19世纪开始获得成效，其中真正有影响的先躯是（法）A.L. Cauchy（柯西）, 而主将则是（德）K.Weierstrass（魏尔斯特拉思）, R.Dedekind（戴特金） 等人，魏被称为“现代分析之父”，其严格化的突出表现是创造了一套语言，我们今天在数学分析中使用的正是这套语言，几乎一字未动。

18世纪微积分的进步和它的广泛应用紧密交织在一起，刺激和推动了许多数学分支的诞生，逐步形成了“分析”这样一个在概念和方法上都与传统的代数几何不同的、特点鲜明的数学领域，并开始了向现代数学的过渡。在今天的数学的大家庭中，以分析为基础，或以分析为语言的数学分支，几乎占了半壁江山，分析数学在帮助人类认识世界的过程中，发挥了极大的作用。

今天的分析数学所包含的分支甚多，从19世纪下半叶起，函数论研究，各类微分方程与积分方程研究，泛函分析，拓扑学（包含微分拓扑）等开始向现代数学发展的势头很强烈，其中在（1）求解数学物理偏微分方程 （2）Fourier分析 （3）建立多元微积分 （4）复分析 （5）无穷级数 （6）椭圆函数及其推广 （7）常微分方程 （8）变分法等方面成长很快，逐渐成为独立的分支；另外，数学分析在函数逼近、有限差分法、连分式展开、积分变换、数值计算等方面也取得重要成就。同时，分析的思想和方法还渗透到其它领域，典型的是微分几何和解析数论。

实变函数论是分析数学的重要理论基础之一，它是在对古典微积分的许多概念和理论进行深入研究的基础上形成的。古典微积分所处理的对象是连续函数，而实变函数论则研究更广泛的函数类，探索微积分对连续函数所建立起来的某些运算（如积分）的定义适用于怎样的函数类，以及如何改变这些定义才能够适用于更广泛的函数类。 因此实变函数论的中心内容是测度论和新的积分理论。由于实变函数论的产生和发展，使得许多古典分析中的问题得到了明确的解答和大为深刻的结果，很多运算条件得到了简化，同时也为许多其它数学分支的建立发展提供了新的基础。例如，实变函数论引起了泛函分析的诞生，并通过泛函分析影响了一大批学科的发展，如微分方程理论、计算数学、积分方程理论、傅里叶分析、遍历理论等，将概率理解为一种抽象测量度，从而使概率论的面貌完全改观，被现代数学接受为新的一支，还应用于动力系统、解析函数的边值问题的方面，实变函数论在数学各分支的应用成了现代数学的一个特征。

泛函分析是从19世纪80年代开始形成，而其原始背景早在数学中存在，它们处理函数的集合或者函数族，讨论在其上定义的函数——泛函的极值。从这个角度看，泛函分析至少可追溯到17世纪末的变分法的研究。值得一提的是，古典变分法也是求解一类最优控制的方法之一，由此可再次看到数学分支之间的千丝万缕割不断的联系！ 泛函分析是现代数学的一个重要分支，它综合运用分析的、代数的和几何的观点和方法研究分析数学中的各种问题，但直到20世纪30年代，它才成为单独的分支，泛函分析的发展属于20世纪数学的一项重大成就。 本质上它是无穷维抽象空间及其上分析的理论，无穷维空间是欧氏空间的推广。 古典分析研究实数集合或复数集合上的函数的性质，而泛函分析则进一步研究一般集合上的函数，特别是函数的集合，曲线的集合等，因此，泛函分析主要探索序列空间及函数空间的结构和在此类空间上的变换，而序列空间及函数空间是描述具有无穷维自由度的各种系统的数学工具（就象矩阵是应用于有限维空间的工具那样！），这样，它成为定量研究各类连续介质系统的有力工具。由于泛函分析的高度综合性，能使我们把以前所研究的结果系统化，并把它简化，同时又能把问题的提法加深和拓广，从而获得更广泛的应用。例如，它可使各种不同类型的方程的近似解法得到统一的处理，使得过去只能用于某些特殊类型方程（如代数方程组）的一些解法，可应用于求解它类型的方程，这样，它不但使问题的本质更加清楚，而且可以简洁地给出较好的估计值来。

泛函分析的概念和方法已经渗透到现代数学的各个分支。在应用方面，它在理论物理（如量子场论）、现代力学（如统计力学、弹塑性力学、流体力学、燃烧力学等）和现代工程理论（如系统工程、最优控制、核反应理论、传输理论等）方面的应用都非常有成效。例如，量子力学中可观察的物理量正好用希尔伯特空间的自伴算子表示，由自伴算子的谱理论已知其连续谱的存在，能量算子的特征值就是光谱，这些数学工具形成了算子的谱理论，是泛函分析的一个主要部分。当量子力学发展成量子场论时，泛函分析再次提供了工具。受各学科的影响，泛函分析本身也提炼出一些更新的分析方法，其内部也出现了许多新的分支。可以说，泛函分析的发展从根本上是由于现代数学内在发展和实际应用的推动的结果。与“数学分析，高等代数，几何（指解析几何和经典微分几何）”的老三样相比，“泛函分析，抽象代数，拓扑学和现代微分几何”成为今天数学的新三大基础，这完全是数学不断深刻地发展的结果

20世纪的数学更是在公理化的前提下，发展得更加丰富多彩。



物理一直是数学发展的一个重要源泉。与物理问题密切相关的微分方程，从微积分问世起就成为数学家和物理学家共同关注的焦点之一。18 世纪数学与物理的结合点主要在常微分方程。随着物理科学所研究的现象从力学向电和磁学扩展，到19 世纪，偏微分方程的求解已成为研究的重点，对它们的研究促进了函数论、变分法、无穷级数、常微分方程、代数和微分几何等分支的发展。方程是指包含未知量的等式，我们在初中学习代数时就已经知道它解决实际问题的威力。根据未知量出现的形式，方程分为两大类：含数值解的方程和含函数解的方程。前者主要有代数方程，超越方程；后者主要有各类微分方程，积分方程等。已经发展了相应的不同方程理论和求解方法。这是一个色彩斑烂的领域。微分方程是描述各种动态过程的自然的形式。当出现研究的变量关于时间和空间坐标变量的变化率时，该方程就是偏微分方程。科学研究，工程设计，经济金融，生命生物，化学化工等领域许多现象和过程都可以用这一类和那一类偏微分方程来表示，诸如流体动力学问题，弹性和塑性力学问题，能源和化工中的传热问题，电磁场问题，燃烧问题，生物控制问题，火箭发动机的喷管设计问题，甚至图象处理中边缘检测等等，都可将问题的中心集中在偏微分方程的研究和求解上。所以，掌握微分方程的理论和求解方法，对于很多学科方向的研究生，是非常重要的，因为你的课题的成败，取决于微分方程模型的正确与否，取决于求解方法的合理，甚至取决于你能否对一个非线性方程提出一个创新的解法。所以你在微分方程方面的数学功底越深厚，你在你的研究领域就越得心应手！本系列的《数学物理方程》介绍三大类偏微分方程的有关数学理论和求解方法。

从数学的角度，最优控制问题是最优化问题中具有特殊结构的一类问题。 就问题的来源看，它又是控制问题。上世纪60年代在现代控制理论发展过程中，最优控制作为对传统的以超调量等为指标的设计方法的改革而取得了极大的成功。 最优控制研究动态系统在各种约束条件下寻求使目标泛函取极值的最优控制函数和最优状态轨线的数学理论和方法。注意，最优控制问题并非控制学科才独有！最优控制问题涉及范围广跨度大，几乎理工医农，管理军事乃至人文经法领域，都存在着大量此类问题。最优化已是工程师们寻求最优系统和结构，挖掘系统潜力的有力武器，学会求解最优控制问题，是众多领域的研究生的最基本素养之一。最优控制的早期问题属于分析数学形成过程中产生的变分问题。本系列的《最优控制方法》系统讨论这一类问题的研究，从问题模型，变分法开始，一直到几类特殊的最优控制问题的求解。

微分几何属于分析数学和几何学结合的产物，它以19世纪末为界，分成经典微分几何和现代微分几何。 微积分的创始人已经用微分概念研究曲线的曲率，拐点，渐伸线，渐曲线等而获得了属于微分几何范畴的部分结果，但微分几何成为独立的数学分支则从18世纪开始。欧拉和高斯是微分几何的重要奠基人。微分几何是以数学分析为工具来研究空间形式的一门数学分支，主要讨论光滑曲线和曲面的性质。经典微分几何研究曲线和曲面的局部性质。随着研究的深入，19 世纪开始了高维空间微分几何的研究。到20世纪，整体微分几何逐渐发展起来，并且与微分方程、代数、拓扑相互渗透而成为数学的一个重要分支。微分几何在机械工程、力学、引力理论及理论物理等学科都有广泛的应用。掌握微分几何的数学概念和方法，对于许多研究方向是必须的。

受益于线性系统满足迭加原理的优点，至今为止，许多学科的理论框架属于线性体系。线性理论看上去形式优美，分析简单，但是，它的适用范围有限，它只是一般情况——非线性系统的一种近似，在某个状态点附近的一个小范围内的逼近。一般系统对于输入产生的复杂响应，线性理论无法给出令人满意的回答。许多现象表面上很复杂，我们难以用传统的线性理论的方法从观察到的数据来归纳出其中的规律，根本原因就在于：世界是复杂的，许多系统本质上是非线性的。所以我们无法用线性理论来解决、解释一般非线性系统的问题和现象。因此，对于高水平的研究人员，掌握近代的非线性数学的思想和方法，是极其重要且为必须。近二、三十年来，非线性科学在物理、天文、流体力学、化学、生物等科学领域以及机械、能源、控制、化工、生命、航空航天等工程部门取得了一批重要成果，这些问题如果用线性理论去描述，不仅精度差，甚至把本质特性都舍弃掉。它们不但奠定了本学科本领域进一步发展的基础，而且启发我们：世界的复杂性只有用“非线性”的规定和方法，才有可能解释。之所以形成这个局面，一个原因是得益于非线性动力学的进展。将在《非线性系统理论和》中介绍这方面的数学思想和方法。



由于现代数学逐渐成为各个学科研究不可缺少的工具，而且也成为帮助研究人员进行思考的方式，所以，现代科学和工程技术，管理等领域的文献大量出现现代数学的概念和方法，如果不懂一些基本的现代数学的分支，就象不识外语一样，无法读懂文献。在这种情况下，从事一流的科学研究，就成了天方夜谈。

目前限于各种原因，分析数学只开设5门课程，这显然是不够的。随着数学课程改革的深入，将有其他课程陆续开出。





1．课程《数学物理方程》54学时/3学分 第一学期开设

本课程《数学物理方程》是非数学类研究生数学公共基础课程之一。

数学物理方程在数学其它分支和自然科学与工程技术中的应用极为广泛，因此掌握几类重要的数学物理方程的数学处理技术，是众多学科的研究生的最基本素养之一。本课程集中研究椭圆型、抛物型和双曲型三大类偏微分方程的数学理论和求解方法。

19世纪偏微分方程成为数学家和物理学家共同关注的重心。这个世纪偏微分方程研究的序幕是由法国数学家Fourier拉开的，他研究的是热传导问题，具体的说，是吸热或放热物体内部任意点处的温度随空间和时间的变化规律，他第一个推导了三维热传导方程，提出了初始条件和边界条件，构成了一个完整的定解问题。同时，他用分离变量法把解展开成一个三角级数，产生了著名的Fourier级数。这恐怕是数学史上为数不多的几个及其优美的数学公式之一。因此，Fourier的工作不仅发展了偏微分方程的理论宝库中的武器，也使函数的概念得以改进，让人们从解分析函数或可展成泰勒级数的函数中解放出来。值得注意的是热传导方程为第一个完整的抛物型方程。

序幕拉开后，偏微分方程的研究就一发而不可收。第二个重要发展是围绕着位势方程（有叫Laplace方程）进行的，这方面的代表是自学成才的英国的Green，他发展了奇异电方法，并得到了证著名的格林公式，意义极为深远。Laplace方程属于椭圆型方程。

格林的学生很多都成为典型的数学物理学家，其中C. Maxwell 则在1864年导出著名的电磁场方程，这是19世纪数学物理最壮观的胜利，他预言了电磁波的存在，不仅给科学技术带来巨大的冲击。而且使偏微分方程威名大振。此方程属于经典的双曲型方程。

此外，还有流体力学的Navier-Stokes方程，弹性介质的柯西方程等。正是先辈们的这些工作，极大地促进了偏微分方程理论的发展和壮大。以往偏微分方程主要以幂级数为工具。20世纪的偏微分方程研究由于采取了泛函分析的观点和方法而大开了全新的局面，用抽象空间上的微分算子来表达偏微分方程，并应用个种泛函分析的方法加以研究，得出了许多成功。现代片4微分方程论与拓扑学，微分几何，多复变函数论等都有密切的联系。

本课程将尽可能地结合物理背景，用研究生的数学基础能够衔接的数学方法系统地对三类典型方程（抛物型方程，椭圆型方程，双曲型方程）的数学结构、求解方法、解的性质以及物理意义进行详细阐述，为学生日后的学习和工作打下坚实的基础，提供强有力的工具，并为进一步了解和应用现代偏微分方程的有关内容提供重要帮助。

本课程的数学基础设顶较低，具有高等数学，线性代数即可。适用于所有需要较多数学物理方程的学科专业，如流体力学，弹塑性力学，成形加工，电磁场理论，金融工程，生命科学等。

面向博士研究生和硕士研究生开设。





2．《最优控制方法》 36学时/2学分 第一学期开设

本课程属于分析数学系列中的一门基础课程，另一方面，本课程又归为最优化课程之一。最优化课程是非数学类研究生数学公共基础的一组课程，按照“分块”的原则，暂分为《最优化方法（一）》，《最优化方法（二）》，以及《最优估计方法》和《最优控制方法》，前两者归入计算数学系列，第三者归入随机数学系列，最后者则划进分析数学系列。

本课程的性质和任务已在概述中说明，这里不再重复。

本课程的内容从最优控制与最优化问题的数学模型开始，分别讨论变分法，极大值原理和动态规划三大类求解方法的数学原理，以及实施步骤，介绍线性二次型问题和几类特殊的最优控制问题的特点和解法，最后是各方面的应用。

希望通过本课程的学习，从各个教学环节引导学生认识不同数学问题的特点和相应数学模型的结构，自己学会分析实际问题，建立各种数量之间的联系，写出正确的合理的最优控制的模型；领会求解最优控制问题解法是如何提出的数学思想，并学会如何根据这些思想来构成相应方法的技巧；学会能正确地解释计算结果的物理意义的能力。最根本的是学会和培养系统地、动态地、综合地考虑，认识和处理问题的思想方法和动手能力。这样，通过本课程的各个教学环节，提高学生的数学素质，加强学生开展科研工作和解决实际问题的能力。

具有工科高等数学，线性代数的基础者，可以学习本课程。

面向博士研究生和硕士研究生开设。



3．《应用泛函分析》 54学时/3学分 第二学期开设

本课程是非数学专业研究生的分析数学系列的基础课程之一。

泛函分析在现代数学科学中有着理论和应用价值的基础课程之一，在它的发展过程中，受到数学物理方程和量子力学等的推动，后来又整理、概括了经典分析与函数论的许多成果，它把具体的分析问题抽象到一个更加纯粹的代数、拓扑结构的形式中进行研究，因而逐步形成了种种综合运用代数、几何（包括拓扑）手段处理分析问题的新方法。正因为这种纯粹形式的代数、拓扑结构是根植于肥沃的经典分析和数学物理的土壤之中的，所以，由此发展起来的基本概念，定理和方法就显得更为广泛，更为深刻。现在，泛函分析已经成为一门内容丰富、方法系统、体系完整、应用广泛的独立分支，它是科学研究的重要基础和工具,其理论与方法在物理学, 力学, 信息科学,工程技术乃至经济理论等许多领域中都有广泛而深刻的应用。

通过该门课程的学习，要求学生能较好理解与掌握泛函分析的重要思想和方法，在领会度量空间的基础上，进一步掌握赋范线性空间和内积空间的基本概念，会正确运用Banach 空间和Hilbert空间来解决若干实际问题，懂得四大定理，能初步运用它们到各自的学科研究中去。

考虑到研究生的实际数学基础，本课程还要根据同学的情况，补充一部分数学基础知识。

因为本课程的学习有助于进一步掌握有关的现代数学的思想和方法，迅速进入各学科的研究前沿，希望那些对自己学术定位较高，对数学学习有浓厚兴趣的各个学科专业的同学，选择本课程。本课程的学习基础设定较低，具有工科高等数学和线性代数者即可，当然，具有更身厚数学基础者更好。

本课程面向博士研究生和硕士研究生开设。



4．《微分几何》 36学时/2学分 第二学期开设

本课程属于分析数学系列的一门基础课程。

微分几何包括经典（局部）微分几何和现代（整体）微分几何，微分几何是运用微积分和线性代数来研究几何问题的一门学科，该课程的开设可使学生对已学高等数学和线性代数从更高层面上的理解和加深。众所周知，近代微分几何在科学技术的许多领域中日趋广泛的渗透和应用，甚至微分几何的术语在工程师的圈子里也频频出现。由于微分几何在现代工程理论中的巨大应用，该课程已被国内外许多大学选为非数学类研究生数学公共基础课程之一。

限于学时数，并且考虑到学习和掌握现代微分几何需要较多的数学基础的准备，本课程定位于主要讨论经典微分几何的基础理论，学习和掌握曲线论和曲面论的最基本内容，理解和掌握曲线和曲面各种几何量的计算，理解重要几何量（如曲率，挠率，中曲率，Gauss曲率等）的几何和现实的意义。希望通过该课程的学习，能使学生对大学所学数学内容特别是微积分在一些几何实体或工程中的应用有大致的了解。通过该门课程的学习，要求学生能较深刻地理解微分几何的思想和方法，掌握曲线论、曲面论中的Frenet公式，Gauss-Coddazi公式的应用，并能运用微分几何的观点和方法利用计算机解决工程和图象处理遇到的几何问题。

适应专业学科：全校工科诸学科类，特别是那些需要较多应用几何型面的学科。

预修课程： 高等数学，线性代数（工科）

希望掌握现代微分几何的同学，可以选择数学系学生的有关课程。

本课程面向博士研究生和硕士研究生开设。



5．《非线性系统理论和方法》 36学时/2学分 第二学期开设

本课程属于分析数学系列的一门基础课程。

本课程为理工科、管理等各专业研究生以动力系统作为模型而设计的。本课程较系统地介绍近三十年来非线性动力系统的理论和方法，包括梯度系统的突变理论，平面非线性系统的分叉理论和方法，非线性系统的混沌现象及分形。研究的中心问题是非线性微分方程的解的轨道在非线性坐标变换下的不变性，我们感兴趣的是几何或拓扑上的轨道的性质，而不是它的精确表达式。尽管关心的是几何或拓扑性态，但分析的方法仍然起着至关重要的作用。

本课程的教学内容有：平面线性系统平衡点的分类，微分方程解的存在唯一性定理，动力系统的概念，线性化方法，稳定性和Liapunov直接方法，稳定流形定理，中心流形方法，系统的拓扑等价性，Hartman-Grobman定理，平面中非双曲平衡点，Hamilton系统和梯度系统，梯度系统的初等突变理论，周期轨道，极限环和分界线环，Poincare映射，平面上的Poincare-Bendixson定理，Lienard系统，Bendixson准则，Poincare球面和在无穷远处的性态，整体相图和分界线结构，结构稳定性，鞍结分叉，Hopf分叉，同宿环和异宿环分叉，半稳定极限环分叉，混沌的概念，例子， Smale马蹄映射，Liapunov指数，分形，Hamilton系统和KAM定理，平面Hamilton系统微扰后混沌的解析判据，Melnikov函数，混沌时间序列的重构相空间。

基本要求：了解非线性动力系统的理论，概念，基本定理，掌握一些非线性的分析方法，能对一些非线性系统作分析。

预修课程：高等数学，线性代数，解析几何（工科）。如果具有微分方程，微分几何甚至更多的数学知识，就更好。

适用于任何需要进行非线性问题研究的学科专业。

本课程面向博士研究生和硕士研究生开设。