在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度不是唯一确定的有无穷多的矢势不是直接观察意义的物理量函数非单调，因此需要路径几分

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第三章 静磁场

Static magnetic field





稳恒电流激发静磁场，在稳恒电流的条件下，导体内及其周围空间中，也存在静电场，此时的电场与电流的关系为



式中 为电导率。但是，静电场和静磁场之间并无直接的关系。

本章所要研究的与静电问题类似，静磁问题中最基本的问题是：在给定电流分布（或给定外场）和介质分布的情况下，如何求解空间中的磁场分布。





本 章 主 要 内 容


稳恒电流分布的必要条件

稳恒电流体系的电场

矢势及其微分方程

磁标势

磁多极矩

阿哈罗诺夫—玻姆效应























§3.1 稳恒电流分布的必要条件


Essential condition of steady current profile







电荷在导体内稳恒流动，导体内部将会不断地产生焦耳热，即电磁能将不断地损耗。根据能量守恒方程



由于稳恒条件要求




且有

当存在外来电动力场时，则


故




故有




该式的物理意义是：

外来电动力场所作的功等于体系内焦耳热损耗和从体系的界面流出去的能量的总和。因此，体系要保持电荷稳恒流动的必要条件是必须要有外来的电动力（即外来电动势）。








§3.2 稳恒电流体系的电场


Electric field of steady current system






根据Maxwell's equation,稳恒电流 及其电场所满足的方程为：





在导体内流有电荷的情况下，我们并不知道其电荷分布 的情况，所以无法从（1）式求场，只有从（2）




式出发：

即

因为 ，所以用标势，即 ，于是有



由此可见，假若 给定，即可由（3）式求出电势 。

在 区域，（3）式变为


相应的边值关系为：







用 表示交界面上的关系，即




（4）、（5）式就是分区均匀的稳恒电流体系的电场所满足的方程和边值关系。若整个体系的边界条件已知，即可求出电流的电场。




从 出发，可求得导体内的电荷分布：






其中，稳恒电流条件要求：

从 可看出，均匀导电体系内不会出现电荷堆积，只有当导体在沿着电荷流动方向不均匀




时，才有可能有电荷存在。因此，对于分块均匀的导电体，电荷只可能分布在交界面上，即




利用 ，得到面电荷密度为



所以，如果交界面两侧各自的介电常数与电导率之比值相等，则交界面上也不存在面电荷密度。








§3.3 矢势及其微分方程


Vector potential and differential equation




1、矢势

稳恒电流磁场的基本方程是




由此可看出，磁场的特点和电场不同。静电场是无旋的，即引入标势 来描述。而磁场是有旋的，一般不能引入一个标势来描述整个空间的磁场，但由于磁场是无源的，可以引入一个矢量来描述它。




即若

则

称为磁场的矢势。

根据 ，可得到



由此可看到矢势 的物理意义是：

矢势 沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。

必须注意：①只有 的环量才有物理意义，而在每点




上的 值没有直接的物理意义。

②矢势 可确定磁场 ，但由 并不能唯一地确定 ，这是因为对任意函数 。


即 和 对应于同一个 ， 的这种任意性是由于 的环量才有物理意义的决定的。

2、矢势微分方程

由于 ，引入 ，在均匀线性介质内有 ，将这些代入到 中，即










若 满足库仑规范条件 ，得矢势 的微分方程




或者直角分量：

这是大家熟知的Pisson's equation.

由此可见，矢势 和标势 在静场时满足同一形式的方程，对此静电势的解。



可得到矢量的特解：




由此即得





作变换 ，即得



这就是毕奥——萨伐尔定律。

当全空间中电流 给定时，即可计算磁场 ，对




于电流和磁场互相制约的问题，则必须解微分方程的边值问题。

3、矢势边值关系

在两介质分界面上，磁场的边值关系为



对应矢势 的边值关系为




其实，边值关系（3）式也可以用简单的形式代替，即在分界面两侧取一狭长回路，计算 对此狭长回路的积分。当回路短边长度趋于零时（如同 时）。


另一方面，由于回路面积趋于零，有


因此使得


由于 只有





另外，若取 ，仿照第一章关于法向分量边值关系的推导，可得


（5）、（6）两式合算，得到


即在两介质分界面上，矢势 是连续的。

4、静磁场的能量

磁场的总能量为




在静磁场中，可以用矢势 和电流 表示总能量，即




即有：




这里不能把 看作为能量密度。因为能量分布

于磁场中，而不仅仅存在于电流分布区域内。另外，能量式中的 是由电流 激发的。

如果考虑两个独立电流系之间的相互作用能，则设电流系 建立矢势为 ，另一电流系 建立矢势为

， 分布于 ， 分布于 ，若电流分布为


磁场总能量为










由此可见，上式右边第一、二项是电流系 各自的自能，其相互作用能为




因为其中：





所以




该两式相等，因此电流 在外场 中的相互作用能量为


5、举例讨论用 计算

[例1]无穷长直导线载电流I，求空间的矢势 和磁场

。

Solution :

取导线沿z轴，设p点

到导线的垂直距离为R，电

流元Idz到p点距离为


o


z


dz


R


P


↑I




因此得到



积分结果是无穷大（发散的）。计算两点的矢势差值可以免除发散，若取R0点的矢势值为零，则




每项相乘后，再二次项展开得





亦即


故


0




取 的旋度，得到


0


结果与电磁学求解一致。




[例2]半径为a的导线园环载电流为I，求空间的矢势和磁感应强度。

Solution:

首先求解矢势


z


y


x


P(,o,z)


R


r


a


o


θ


φ'


(a,φ',o)




由于问题具有轴对称性，可以把观察点选在xz平面上，这样的好处是φ'=0，故 只与r，θ有关。



其中



即得




又∵ 园电流环在xy平面上，故 ，于是得到



因此得到：











作变换：

令




这样


于是有









令 ，则有




考虑一般情况，这里的y方向实际上就是 方向，因




此上式可改为：




令



这里Κ(k) , Ε(k)分别为第一、第二类椭园积分。从而得到





故磁感应强度的严格表达式为










讨论：

对于远场，由于R>>a，且有






当R>>a情况下，上式分母展开为：






于是得到












若R>>a，且







于是磁感应强度为








可见，对于一个园电流环，在远处所激发的磁场，相当于一个磁矩为 的磁偶极子激发的场。








§3.4 磁标势


Magnetic scalar potential





本节所研究的问题是避开矢量 求磁感应强度 的不便理由。类比于静电场，引入磁标势 。然后讨论 所满足的微分方程，继而讨论静磁问题的唯一性定理。


1、磁标势引入的条件

（1）所考虑的空间区域没有传导电流

根据静磁场的Maxwell's equation:






若考虑传导电流为零的空间，则一定有


于是可以引入标势 ，从而有


这与静电学中 完全类似，故 称为磁标势，因此引入磁标势的第一个条件是空间无传导电流。

（2）空间应为单连通区域

根据积分式子 ，我们将可看到，对于




一个任意的积分闭合路径，如果I=0，有可能定义磁标势，这时 ，引入磁标势 是保守场的势，但是 只说明该区域内没有涡旋场的源。许多情况下，区域内虽然没有电流分布，但磁场仍然是涡旋的，它就不是保守场，故不能引入磁标势，这一点由一无限长载流导线周围的空间的场可以看出，即




导线外界空间I=0，满足 ，但磁场是涡旋的。

然而，真实的情况是由Ampere环路定律所表达的。





I




沿闭合曲线积分一周是否为零取决于路径的选择，若考虑一个环形电流附近的空间（电流环除外）中的磁场，显然，这个区域由于不存在传导电流而认为可以用 来描述。设该空间磁场的标势为 ，且 ，将磁场强度 沿一闭合曲线L积分，而此积分曲线是穿过电流环的，因而积分回路包围电流，故


另一方面




于是有

因为 是沿闭合曲线积分的起点和终点的标势，是空间同一点的值，应该是单值函数。而现在表明 不是单值的，它与积分回路的选取有关。因此，仅有“无传导电流”这一条件还不够，必须要求 为单值的。

为此，引入以电流环为边界的任意曲面，并规定积分路径不允许穿过此曲面。任何闭合积分路径都不穿过曲面，这样， 就是一个单值的。从曲面的一侧穿过曲面到另一侧，磁标势 不是连续的。存在着大小为I的跃变，由此可见，若电流是环形分布的，只能




在挖去环形电流所围成的曲面之后剩下的空间才能可用磁标势。也就是使复连通区域成为单连通区域，所以通常把第二个条件称为单连通区域条件。

如一个线圈，如果挖去线圈所

围着的一个壳形区域S，则在剩

下的空间中任一闭合回路都不链

环着电流。因此在除去这个壳形

区域之后, 在此空间中就可引入

又如电磁铁，两磁极间隙处的磁场，可引入 ；对于永久磁铁，只有分子电流，无传导电流，在其全空间（含其体内）都可引入 。


I


S




2、磁标势 的方程

在能引入磁标势的区域内，磁场满足：



在磁介质中， 的关系是（不论是铁磁质还是非铁磁质）：


因为 ，代入上式，则得




与电介质中极化电荷密度的表达式 类比，可以假想磁荷密度为


于是，得到与电介质中的静电场方程类似的形式



将 代入上式，即得到




从 和 的边值关系可以求得 在交界面上的关系：由 ，得到


由 ，及 可得



对于非铁磁质来说， ，故得到




由此可见，交界面上的关系和静电介质完全类似。因此，引入磁荷和磁标势的好处在于可以借用静电学中的方法。

3、静磁问题的唯一性定理

当所考虑的区域是单连通的，其中没有传导电流分布时，可引入磁标势 ，通过和静电学问题的唯一性定理同样的推导，可得出静磁问题的唯一性定理：

如果可均匀分区的区域V中没有传导电流分布，只要在边界S上给出下列条件之一，则V内磁场唯一地确定：




a)磁标势之值

b)磁场强度的法向分量

c) 磁场强度的切向分量

4、磁标势的应用举例

[例1] 证明μ→∞的磁性物质表面为等磁势面。

Solution:

角标1代表磁性

物质、角标2为真空


1


2




由磁场边界条件：


以及

可得到法向和切向分量为


两式相除，得




因此，在该磁性物质外面，H2与表面垂直（切向分量与法向分量之比→0)，因而表面为等磁势面。

[例2]求磁化矢量为 的均匀磁化铁球产生的磁场。

Solution:

铁球内外为两均匀区域，在铁球外没有磁荷分布 ( )，在铁球内由于均匀磁化 , 而 =0，因此磁荷只能分布在铁球表面上，故球内、外磁势都满足Laplace’s equation.




由于轴对称性，极轴沿 方向，上式解的形式为：




球外磁标势必随距离r增大而减小，即


球内磁标势当r=0时必为有限，即


故有：




铁球表面边界条件为、

当r=R0时：







设球外为真空，则










由边界条件得：




比较 的系数：

当n=1时，有



所以


当 时，有






从而得到




铁球内、外的磁场强度为




其中： 。由此可见铁球外的磁场相当于一个磁偶极子所激发的场。



把 取在 方向上，即有




进一步讨论可见：

线总是闭合的， 线且不然， 线是从右半球面上的正磁荷发出，终止于左半球面的负磁荷上。在铁球内， 与 反向。说明磁铁内部的 与 是有很大差异的。




线是闭合的 线由正磁荷发出到负磁荷止









§3.5 磁多极矩


Magnetic multipole moment





本节研究空间局部范围内的电流分布所激发的磁场在远处的展开式。与电多极矩（electric multipole moment) 对应。引入磁多极矩概念，并讨论这种电流分布在外磁场中的能量问题。


1、矢势 的多极展开

给定电流分布在空间中激发的磁场矢势为




如果电流分布集中在一个小区域V中，而场点 又距离该区域比较远，这时可仿照静电情况的电多极矩展开的方法，把矢势 作多极展开，即把 在区域内的某一点展开成 的幂级数。若展开点取在坐标的原点，则




展开式的第一项：







即

表示没有与自由电荷对应的自由磁荷存在。










因为


展开式的第二项：




这里用到了稳恒电流条件


所以







0




其中

故得到





式中：



称此为磁矩。




表示把整个电流系的磁矩集中在原点时，一个磁矩对场点所激发的矢势。作为一级近似结果。展开式的第三项：



将会是更高级的磁矩激发的矢量势。因为比较复杂，一般不去讨论。

综上所述：小区域电流分布所激发的磁场，其矢势可看作一系列在原点的磁多极子对场点激发的矢势的迭加。




2、磁偶极矩的场和磁标势

根据 ，即有



由此可见




因为讨论的是区域V外的场，在 处，有



故得到




由此可见在电流分布以外的空间中




故得




3、小区域内电流分布在外磁场中的能量

设外场 的矢势为 ，电流 分布在外磁场中的能量为：




对于环形小电流，则有






当电流环线度很小， 变化不大时，取原点在线圈所在区域适当位置上，把 在原点附近展开：




所以，得到




可见




4、磁矩在外磁场中受力和力矩

体积V内的电流受外磁场的作用力为



而

从而得到












第二项：


第一项：











0









故




同理，考虑一个小区域内的电流在外磁场中受到的力矩为：




展开式的第一项：







0










故得到








§3.6 阿哈罗诺夫—玻姆效应


Aharonov-Bohm effects





在经典电动力学中，场的基本物理量是电场强度

和磁感应强度 ，势 和 是为了数学上的方便而引入的辅助量， 和 不是唯一确定的。为对应一个磁场，可以有无穷多的矢势 ，所以在经典意义上说，

和 不是直接观察意义的物理量。但是，在量子力学中，势 和 具有可观测的物理效应。1959年，阿哈罗诺夫(Aharonov)和玻姆(Bohm)提出这一新的效应（以下简称A-B效应），并被随后的实验所证明实。


下图为电学双缝衍射实验装置。









一束以电子枪发射出来的电子经双缝分为两束，分别经过路径c1,c2到达荧光屏上，两束电子有一定的相位差，在屏上可得到 干涉花纹。若在双缝后面放置一个细长螺线管 ，管上加一定电压，以阻止电子进入螺线管，电子只能在管外区域行进。


d


θ


L


c1


c2


y




实验分两步进行：首先在螺线管不通电的情况下进行，这时整个空间 ， 。屏幕上有一定的干涉条纹。然后给螺线管通电，管外区域 （可视为无限长螺线管），但管外区域 ，这是因为在包围螺线管的任一闭合路径积分有 ，其中 为管内磁通。实验发现，屏幕上的干涉条纹发生移动。因为电子不会进入管内区域，因而两种情况下的差别仅在于管外区域的矢势 不同，所以可以认为管外的矢势 对电子运动产生了作用。

干涉条纹的移动是由于两束电子产生了附加的相位差, 这种现象称为阿哈罗诺夫——玻姆效应(即A-B




效应），这一实验结果说明，磁场的物理效应不能完全用 来描述，而 不再是一个没有直接观测意义的物理量，它可以影响电子波束的相位，从而使干涉条纹发生移动。

A-B效应是量子力学现象。现在从量子力学的基本原理出发，对以上实验结果作一简要分析。

当螺线管不通电时， 。自由电子波函数由平面波描述，即




其中 是电子的动量， ， 为普朗克常数。

两束电子波函数的相位差为






其中d为双缝宽度（即双缝的间距），L为双缝到屏幕的距离，因为d>>L, y





当螺线管通电时，管外 ，电子波函数中的正则动量为


两电子束的相位差为




式中c为由c2和-c1组成的闭合回路， 是通过此回路内的磁通量。由此可见，螺线管通前后电子束的相位差不同。

但由于 引起的附加相位差 对屏幕上任一点都是相同的。故干涉条纹的图样不变，只是沿y方向平移了y0，而y0可由下式得到：



将 代入，即得






实验结果与理论预言一致。

A-B效应表明，在量子力学意义上，矢势 是具有可观测的物理效应的，因此在量子意义上磁场仅用

来描述是不够的，但是由于规范变换所引起的 的任意性，用 来描述磁场显然又是过多的。而用 及

的线积分才是恰当的。


